라이프니츠 표기법

dy

dx

d²y

dx²

의 첫 번째 도함수와 두 번째 도함수는 y 에 관하여 x, 라이프니츠 표기법으로

미적분학에서 17세기 독일 철학자이자 $수학자$ 인 고트프리트 빌헬름 라이프니츠를 기리기 위해 명명된 라이프니츠의 표기법은 δx와 δ리가 각각 x와 y의 유한 증분을 나타내는 것처럼 각각 $x$ 와 $y$ 의 무한히 작은(또는 무한소) 증분을 나타내는 기호 $dx$ 와 $dy$ 를 사용합니다.

$변수$ $x$ , 또는 $y$ = f( $x$ )의 함수로 y를 생각합니다. $그렇다면$ , x에 $대한$ y의 도함수는 나중에 극한으로 보게 된 것입니다.

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},

라이프니츠에 따르면, $x$ 의 무한소 증분에 의한 $y$ 의 무한소 증분의 몫, 또는

{\frac {dy}{dx}}=f'(x),

여기서 오른쪽은 $fat$ $x$ 의 도함수에 대한 조셉-루이 라그랑주의 표기법입니다. 무한히 작은 증분을 미분이라고 합니다. 이와 관련된 것은 무한소 증분이 합산되는 적분(예: 길이, 면적 및 부피를 작은 조각의 합으로 계산하는 것)입니다. 라이프니츠는 또한 동일한 미분을 포함하는 밀접하게 관련된 표기법을 제공했는데, 이는 유럽 대륙 수학의 발전에서 효율성이 결정적인 것으로 입증되었습니다.

오랫동안 미적분학의 기초로 사용하기에는 너무 부정확하다고 여겨졌던 라이프니츠의 무한소 개념은 결국 19세기에 위어스트라스 등에 의해 개발된 엄격한 개념으로 대체되었습니다. 결과적으로 라이프니츠의 몫 표기법은 현대적 정의의 한계를 나타내기 위해 재해석되었습니다. 그러나, 많은 경우에, 그 기호는 실제 몫의 역할을 하는 것처럼 보였고, 그것의 유용성은 여러 경쟁적인 표기법 앞에서도 그것을 인기 있게 유지했습니다. 비표준 분석, 접선 공간, O 표기법 등을 포함하여, 무한소와 무한소 변위의 개념에 엄격한 의미를 부여할 수 있는 몇 가지 다른 형식론이 20세기에 개발되었습니다.

미적분학의 도함수와 적분은 미분 형식의 현대 이론으로 포장될 수 있으며, 도함수는 실제로 두 미분의 비율이고, 적분도 마찬가지로 라이프니츠 표기법에 정확하게 따라 행동합니다. 그러나 이를 위해서는 먼저 도함수와 적분을 다른 방법으로 정의해야 하며, 따라서 라이프니츠 표기법의 자기 일관성과 계산 효율성을 새로운 기초를 제공하기보다는 표현해야 합니다.

역사

무한소 미적분학에 대한 뉴턴-라이프니츠의 접근법은 17세기에 도입되었습니다. 뉴턴이 플럭스와 플루언트를 연구한 반면, 라이프니츠는 그의 접근법을 합과 차이의 일반화에 기초했습니다.^[2] $Leibniz는$ ∫ {\ $displaystyle \textstyle$ \int} 문자를 처음 사용했습니다. 그는 그 당시 독일에서 흔히 사용되던 길쭉한 것들로 ſ움마를 쓴 라틴어 suma (섬)에 기초를 두었습니다. 그는 차이를 합의 역연산으로 보고 ^[3]이 역연산을 나타내기 위해 라틴어 미분의 첫 글자인 기호 $d$ 를 사용했습니다.^[2] 라이프니츠는 표기법에 대해 까다로웠고, 수년간 실험하고, 조정하고, 거부하고, 그것들에 관한 다른 수학자들과 대응해 왔습니다.^[4] $그$ 가 y의 미분에 사용한 표기법은 ω, $l$ , y/d부터 마침내 dy에 $정착$ 할 때까지 연속적으로 다양했습니다. 그의 본질적인 기호는 1686년 6월 Acta Eruditorum에 출판된 "De Gometryria Recondita et analysis indivisibilium atque infinitorum" (숨겨진 기하학과 불가분과 무한의 분석에 관하여)에서 처음으로 공개적으로 나타났지만,^[6]^[7] 그는 적어도 1675년부터 개인 원고에서 그것을 사용해 왔습니다.^[8]^[9]^[10] 라이프니츠는 1684년 Acta Eruditorum에 발표된 "Nova Methodus pro Maximis et Minimis"라는 글에서 $dx$ 를 처음 사용했습니다.^[11] $기호$ dx $/ dy$ 는 1675년의 개인 원고에 등장하지만,^[12]^[13] 위에서 언급한 출판물들 중 어느 것에서도 이러한 형태로 등장하지 않습니다. 그러나 라이프니츠는 $dy ad dx$ 와 $dy$ : $dx$ 와 같은 형태를 인쇄에 사용했습니다.^[11]

바이에르스트라스의 추종자들은 19세기 말에 도함수와 적분에 대한 라이프니츠의 표기법을 문자 그대로 받아들이지 않았습니다. 즉, 수학자들은 무한소의 개념이 그 발전 과정에서 논리적 모순을 내포하고 있다고 느꼈습니다. 많은 19세기 수학자들(Weierstrass 등)은 위와 같은 극한을 이용하여 무한소가 없는 도함수와 적분을 논리적으로 엄밀하게 다루는 방법을 발견한 반면, Cauchy는 무한소와 극한을 모두 이용했습니다(Cours d'Analyse 참조). 그럼에도 불구하고 라이프니츠의 표기법은 여전히 일반적으로 사용되고 있습니다. 표기법을 문자 그대로 사용할 필요는 없지만, 미분방정식의 해에서 변수 분리 기술을 사용할 때 보통 대안보다 간단합니다. 물리적 응용 분야에서는 예를 들어 f(x)를 초당 미터로 측정하고 dx를 초 단위로 측정할 수 있으므로 f(x) dx는 미터 단위로 측정할 수 있으며 정적분의 값도 마찬가지입니다. 그런 식으로 라이프니츠 표기법은 차원 분석과 조화를 이룹니다.

미분을 위한 라이프니츠 표기법

종속변수 $y$ 가 독립변수 $x$ 의 함수 $f$ 를 나타낸다고 가정하자.

y=f(x)

그렇다면 미분을 위한 라이프니츠의 표기법에서 $함수$ f의 도함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\frac {dy}{dx}}\,{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ or }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.

라이프니츠 표현은 또한 $때때로$ dy $/ dx$ 로 쓰여진 것으로, 도함수와 파생 함수에 사용되는 여러 가지 표기법 중 하나입니다. 일반적인 대안은 라그랑주 표기법입니다.

{\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x)

또 다른 대안은 뉴턴의 표기법으로 종종 시간에 대한 도함수(속도와 같은)에 사용되며, 종속 변수 위에 점을 두어야 합니다(이 경우 $x$ ).

{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}={\dot {x}}.

라그랑주의 '프라임' 표기법은 특히 도출된 함수의 논의에 유용하며, 도출된 함수의 값을 특정 값으로 표기하는 자연스러운 방법이 있다는 장점이 있습니다. 그러나 라이프니츠 표기법은 수년간 그것을 인기 있게 유지해 온 다른 미덕을 가지고 있습니다.

현대적 해석에서 $dy / dx$ 라는 표현은 (라이프니츠가 구상했던 것처럼) 두 양 $dx$ 와 $dy$ 의 나눗셈으로 읽어서는 안 되며, 오히려 전체 표현은 에 대한 약자인 하나의 기호로 보아야 합니다.

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

(δ 대 d를 참고하십시오. 여기서 δ는 유한한 차이를 나타냅니다.)

이 표현은 $x$ 의 함수로 간주되는 미분 연산자 $d / dx$ (다시, 단일 기호)를 $y$ 에 적용하는 것으로도 생각할 수 있습니다. 이 연산자는 오일러 표기법으로 $D$ 로 표기됩니다. 라이프니츠는 이 형태를 사용하지 않았지만, 그가 d $기호$ 를 사용한 것은 이 현대적 개념과 상당히 밀접하게 일치합니다.

전통적으로 표기법에 내포된 나눗셈은 없지만(그러나 비표준 분석 참조), 나눗셈과 같은 표기법은 많은 상황에서 도함수 연산자가 나눗셈처럼 행동하기 때문에 도함수에 대한 결과를 얻고 기억하기 쉽기 때문에 유용합니다.^[14] 이 표기법은 미적분학의 기하학적, 기계적 응용의 핵심에 도달하는 것처럼 보인다는 사실 때문에 장수합니다.^[15]

상위 도함수에 대한 라이프니츠 표기법

$라이프니츠$ 표기법에서 $f$ 의 n차 도함수 y = $f$ (x)가 주어지면,

f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.

이 표기법은 2차 도함수의 경우 $다음$ 과 같은 방법으로 d $/ dx$ 를 연산자로 사용하여 얻어집니다.^[16]

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}\,=\,{\frac {d}{dx}\left ({\frac {dy}{dx}\right)}

세 번째 도함수는 다음과 같이 기록될 수 있습니다.

{\frac {d\left ({\frac {dy}{dx}\right}}{dx}\right)}{dx}\right)}{\right}

에서 얻을 수 있습니다.

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\좌측 ({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}\left ({\d}{dx}\frac {dy}{dx}\right)\left ({\frac {dy}{dx}\right)

마찬가지로, 더 높은 도함수는 귀납적으로 얻어질 수 있습니다.

신중하게 선택된 정의를 사용하여 $dy / dx$ 를 미분의 몫으로 해석하는 것은 가능하지만, 더 높은 차수의 형식으로 이 작업을 수행하면 안 됩니다.^[17] 그러나 고차 도함수에 대한 대안적인 라이프니츠 표기법은 이를 가능하게 합니다.

그러나 라이프니츠는 이 표기법을 사용하지 않았습니다. 인쇄에서 그는 다층 표기법이나 숫자 지수(1695년 이전)를 사용하지 않았습니다. 예를 들어 $x$ 를³ 쓰는 것은 그의 시대에 흔히 있었던 것처럼 $xxx$ 를 쓰는 것이었습니다. 예를 들어, 미분의 제곱은 호 길이 공식에 나타날 수 있기 $때문$ 에 dxdx로 표기되었습니다. 그러나 라이프니츠는 오늘날 우리가 연산자를 사용하는 것처럼 $그$ 의 d 표기법을 사용했습니다. 즉, 그는 2차 도함수 $애시디$ 와 3차 도함수 애시디를 $작성$ 할 것입니다. 1695년 라이프니츠는 ddx와 dddx에 $각각$ $d$ ⋅ $x$ 와 d ⋅ $x$ 를 쓰기 시작했지만, 비슷한 시기에 쓰여진 미적분학에 관한 그의 교과서에는 라이프니츠의 원래 형태를 사용했습니다.

다양한 공식에 사용

미적분학에서 라이프니츠의 주석이 그렇게 오랫동안 견뎌온 한 가지 이유는 미분과 적분에 사용되는 적절한 공식을 쉽게 기억할 수 있게 하기 때문입니다. 예를 들어, 체인 규칙—함수 g가 $x$ 에서 미분 $가능$ 하고 $y$ = $f$ $($ u)가 u = g(x)에서 미분 가능하다는 suppose. 그렇다면 합성 함수 $y$ = $f$ (g( $x))$ 는 $x$ 에서 미분 가능하고 그 도함수는 라이프니츠 표기법으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

이것은 $적절하게 1$ 정의되고 관련된 몇 가지 함수인 u, $u 2, ...,$ $u$ 의_n 합성을 다루기 위해 일반화될 수 있으며 다음과 같이 표현됩니다.

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.

또한 치환식에 의한 적분은 다음과^[20] 같이 표현될 수 있습니다.

\inty\, dx=\inty {\frac {dx}{du}}\,du,

여기서 $x$ 는 새로운 변수 $u$ 의 함수로 생각되고 왼쪽의 함수 $y$ 는 $x$ 로 표현되고 오른쪽은 $u$ 로 표현됩니다.

$만약$ y = f( $x$ ) 여기서 $f$ 가 가역적인 미분가능 함수라면, 역함수의 도함수는 존재한다면 다음과 같이 주어질 수 있습니다.

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left ({\frac {dy}{dx}\right}}

여기에 괄호를 추가하여 도함수가 분수가 아니라는 사실을 강조합니다.

그러나 미분방정식을 풀 때 $dys$ 와 $dxs$ 를 분리 가능한 것으로 생각하기 쉽습니다. 미분방정식의 가장 간단한 유형 중 하나는^[22]

M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,

여기서 $M$ 과 $N$ 은 연속 함수입니다. 그러한 방정식을 (묵시적으로) 푸는 것은 미분 형태의 방정식을 조사함으로써 수행될 수 있고,

M(x)dx+N(y)dy=0

그리고 통합하여 얻기 위해

\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.

가능하면 미분방정식을 이 형태로 다시 작성하여 위의 논법을 적용하는 것을 변수분리법이라고 합니다.

이러한 각각의 경우에서 도함수에 대한 라이프니츠 표기법은 하나가 아니라 분수처럼 작용하는 것처럼 보입니다.

무한소의 현대적 정당화

1960년대에, 에드윈 휴이트와 저지 우 ś의 초기 연구를 바탕으로, 아브라함 로빈슨은 라이프니츠의 무한소에 대한 수학적 설명을 개발했고, 이 개념들에 기초하여 비표준적인 분석을 개발했습니다. 로빈슨의 방법은 소수의 수학자들만 사용합니다. 제롬 카이스러는 로빈슨의 접근법에 기초한 무한소 접근법인 미적분학 1학년 교과서를 썼습니다.

현대의 무한소 이론의 관점에서 볼 $때$ , δx는 무한소 x $증분$ 이고, δy는 대응하는 y 증분이며, 도함수는 무한소 비율의 표준 부분입니다.

f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}

f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}

δ

Y δ x) {\displaystyle

f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}

'(x)={\rm {st}}{\Bigg(}{\frac {\Deltay}{\Deltax}}{\Bigg)}.

그런 다음 하나는 $dx=\Delta x$ $dx=\Delta x$ = δ $dx=\Delta x$ x {\displaystyle $dx$ = $dx=\Delta x$ $dy=f'(x)dx$ x}, $dy=f'(x)dx$ = $dy=f'(x)dx$ '( $dy=f'(x)dx$ ) $dx$ {\ $displaystyle dy$ =f $dy=f'(x)dx$ x) dx}를 설정하므로 $정의$ 에 $f'(x)$ f'(x) {\displaystyle f'(x)}는 dy의 dx 비율이 됩니다.

마찬가지로, 비록 대부분의 수학자들은 현재 적분을 보고 있습니다.

\int f(x)\, dx

한계로서

\lim_{\Deltax\rightarrow 0}\sum_{i}f(x_{i})\,\Deltax,

$여기$ 서 δx는 x를 $포함$ 하는 구간이며, 라이프니츠는 이를 무한히 많은 $극소량$ f(x) dx의 합(그에 대한 적분 부호를 나타냄)으로 보았습니다. 비표준 분석의 관점에서 볼 때, 적분은 그런 무한합의 표준 부분으로 보는 것이 옳습니다.

이러한 개념의 정확성을 얻기 위해 필요한 절충점은 실수 집합을 초실수 집합으로 확장해야 한다는 것입니다.

라이프니츠의 다른 표기법

라이프니츠는 수학의 다양한 영역에서 많은 다른 표기법을 실험했습니다. 그는 좋은 표기법이 수학을 추구하는 데 있어서 기본적인 것이라고 느꼈습니다. 1693년에 그는 로피탈에게 보낸 ^[23]편지에서 이렇게 말하고 있습니다.

분석의 비밀 중 하나는 사용 가능한 징후를 능숙하게 사용하는 기술의 특성에 있습니다. 선생님, 비에타와 데카르트가 모든 신비를 알지 못했다는 것을 작은 울타리에서 관찰하실 것입니다.

그는 시간이 지남에 따라 좋은 표기법에 대한 자신의 기준을 다듬었고, "넓은 부분이 있는 기호의 공간을 만들기 위해 줄 사이의 공간을 넓힐 필요 없이 일반적인 유형처럼 줄에 설정할 수 있는 기호를 채택하는 것"의 가치를 깨닫게 되었습니다.^[24] 예를 들어, 그의 초기 작품에서 그는 상징의 그룹화를 나타내기 위해 빈큘러를 많이 사용했지만, 나중에 그는 이러한 목적을 위해 괄호 쌍을 사용하는 아이디어를 도입하여 더 이상 페이지의 줄 사이의 간격을 벌릴 필요가 없는 타이프세터를 완화하고 페이지를 더 매력적으로 보이게 만들었습니다.^[25]

라이프니츠가 도입한 200개가 넘는 새로운 기호들 중 많은 것들이 오늘날에도 여전히 사용되고 있습니다.^[26] 그는 $미분$ dx, $dy$ 와 적분 기호(∫) 외에 나눗셈을 위한 콜론(:), 곱셈을 위한 중간점(⋅), 유사(~)와 합동(≅)을 위한 기하학적 기호, 비율에 대한 Recorde의 등호(=)의 사용(replacing 우레드의 :: 표기법)과 행렬식에 대한 이중 suffix 표기법.

참고 항목

라이프니츠–뉴턴 미적분학 논쟁

메모들

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참고문헌

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[Katz524-2] Katz 1993, 524쪽

[3] Katz 1993, 529쪽

[4] Majur 2014, p. 166

[5] 카조리 1993, Vol. II, p. 203, 각주 4

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[13] 카조리 1993, Vol. II, p. 186

[14] Jordan, D. W.; Smith, P. (2002). Mathematical Techniques: An Introduction for the Engineering, Physical, and Mathematical Sciences. Oxford University Press. p. 58.

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[18] 카조리 1993, 페이지 204-205

[19] Briggs & Cochran 2010, 페이지 176

[20] 스와코프스키 1983, 257쪽

[21] 스와코프스키 1983, 369쪽

[22] 스와코프스키 1983, 895쪽

[Cajori185-23] 카조리 1993, Vol. II, 페이지 185

[24] 카조리 1993, Vol. II, 페이지 184

[25] Majur 2014, pp. 167-168

[26] Majur 2014, p. 167

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v t 무한소
역사	적정성 라이프니츠 표기법 적분 기호 비표준 분석에 대한 비판 더 애널리틱스 기계적 정리의 방법 카발리에리의 원리
관련지점	비표준해석 비표준 미적분학 내부집합론 합성미분기하학 매끄러운 무한소 분석 건설적 비표준 분석 무한소변형이론(물리학)
형식화	미분 초실수 이중수 초현실적 숫자
개별개념	표준부품함수 전이원리 초정수 증가정리 모나드 내부집합 레비-시비타 필드 초무한 집합 연속법칙 오버스필 미세연속성 초월적 동질성 법칙
수학자	고트프리트 빌헬름 라이프니츠 에이브러햄 로빈슨 피에르 드 페르마 오거스틴-루이 코시 레온하르트 오일러
교재	무한정 쁘띠 분석 초등 미적분학 코스 디 애널리시

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