하한과 상한

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수학에서, 수열의 하한과 상한은 수열의 한계(즉, 최종적이고 극단적인) 한계라고 생각할 수 있다.기능도 비슷한 방식으로 생각할 수 있다(함수의 한계 참조).한 세트의 경우, 각각 세트 제한 포인트의 최소점과 우월성이 된다.일반적으로, 순서, 함수 또는 집합이 누적되는 여러 개의 객체가 있을 때, 하한과 상한 한계는 그 중 가장 작고 큰 것을 추출한다; 객체의 종류와 크기 측정은 문맥에 따라 다르지만, 극단 한계의 개념은 불변한다.한계 하한은 최소 한계, 최소 한계, 림프, 하한, 또는 내부 한계라고도 하며, 한계 하한은 우월 한계, 한계 우월, 림프, 상한, 상한 또는 외측 한계라고도 한다.

시퀀스 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 하한은 다음과 같이 표시된다$$.

시퀀스 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 한계는 다음과 같이 표시된다$$.

시퀀스 정의

시퀀스(x_n)의 하한은 다음과 같이 정의된다.

아니면..

마찬가지로 (x_n)의 상한을 다음과 같이 정의한다.

아니면..

또는 n → ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{x}}}$ ${\displaystyle \underset{}{:=}{}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ →${\displaystyle }$∞ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ n →${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle x_{}}$ n ${\$$=\liminf _{n\\to \infit }x_{n}$ 및$$ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{\lim }}{}_{}\underset{}{}}$x${\displaystyle \underset{}{}\underset{}{n}}$ ${\displaystyle :=\underset{}{lim}}$ ${\displaystyle {supp}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ lim ${\displaystyle {suppy}_{}}$ $displaystyle \varlimsup _{n\to \infty}x_{n}:$$=\limsup _{n\to \infit }x_{n}}}$이(가) 가끔 사용된다$$.

그 한계와 열등 동등하게}이 순서에subsequential 한계의 ξ 그 확장된 실수의{\displaystyle \xi}}{\displaystyle{\overline{\mathbb{R}¯ R()n) 요소 .[1]{\displaystyle(x_{n})}고}정의될 수 있()n){\dis의subsequential 제한 우수한.pla$ystyle (x_{n})}$ if there exists a strictly increasing sequence of natural numbers ${\displaystyle (n_{k})}$ such that ${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$. If ${\displaystyle E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$ is the set of all subsequential limits of${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle(x_{n$ 그러면

${\displaystyle \limsup _{n\to \infit }x_{n}=\supp E}$

그리고

${\displaystyle \liminf _{n\to \infit }x_{n}=\inf E.}$

시퀀스의 항이 실제 숫자일 경우, ±103(즉, 연장된 실수 라인)과 함께 실수가 완성되기 때문에 상한과 하한은 항상 존재한다.보다 일반적으로, 이러한 정의는 완전한 격자처럼 우월성과 인피마가 존재한다면, 부분적으로 순서가 정해진 어떤 집합에서도 타당하다.

통상적인 한계가 존재할 때마다 하한과 상한이 모두 그것과 같기 때문에, 각각은 한도가 존재하지 않는 경우에 주로 흥미 있는 통상적인 한계의 일반화로 간주할 수 있다.lim inf x와_n lim sup x 둘_n 다 존재할 때마다, 우리는

${\displaystyle \liminf _{n\ft }x_{n}\leq \limsup _{n\to \ft }x_{n}.}$

하한/상위 제한은 시퀀스를 "한계 내에서"만 바인딩했다는 점에서 빅 O 표기법과 관련이 있다. 시퀀스가 바운드를 초과할 수 있다.그러나, 빅-O 표기법을 사용하면 시퀀스의 한정된 접두사에서만 시퀀스를 초과할 수 있는 반면, e와⁻ⁿ 같은 시퀀스의 상위 한계는 실제로 시퀀스의 모든 요소보다 작을 수 있다.유일한 약속은 순서의 일부 꼬리는 상한에 임의로 작은 양의 상수를 더하고 하한에 의해 임의로 작은 양의 상수를 더하여 경계할 수 있다는 것이다.

시퀀스의 상한과 하한은 함수의 한계에 대한 특별한 경우다(아래 참조).

실수의 시퀀스 사례

수학적 분석에서 한계상위 및 한계하위는 실제 숫자의 순서를 연구하는 데 중요한 도구다.무제한의 실수 집합의 우월성과 최소성은 존재하지 않을 수 있기 때문에(실수는 완전한 격자가 아니다), 가감없이 확장된 실수 시스템의 시퀀스를 고려하는 것이 편리하다: 우리는 완전한 순서 집합인 [-수치]를 주기 위해 실선에 양과 음의 정열을 추가한다.

해석

실제 숫자로 구성된$$ 시퀀스$({\displaystyle {xn}_{}}$) ${\displaystyle(x_{n})$를 고려하십시오.상한과 하한은 실수라고 가정한다(그러므로 무한이 아니다).

• 의 제한 낮은 직급 x n{\displaystyle x_{n}}은 가장 작은 실수 b{\displaystyle b}과 같이에 대한 긍정적인 실수 ε{\displaystyle \varepsilon}, 존재하는 자연수 N{N\displaystyle}가 x의 n<>b+ε{\displaystyle x_{n}<, b+\varepsilon}에 대한 모든 n을 만듭니다. N{\dis$플레이스타일 n>N$ 다시 말해서 한계상위보다 큰 숫자는 결국 수열의 상한이 된다.한정된 수의 요소만이 $b{\displaystyle }$+ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle$ b$+\varepsilon }$보다 크다$.$
• x의 n{\displaystyle x_{n}의 한도는 하급자}가장 큰 실수 b{\displaystyle b}이 어떤 긍정적인 실수 ε{\displaystyle \varepsilon}에는 N가 x의 n을{N\displaystyle}자연스러운 숫자였을 것이다;b− ε{\displaystyle x_{n}> 존재하고, n을에 b-\varepsilon};N.{\disp$laystyle$ n$N}.$ 다시 말해, 하한치 이하의 숫자는 결국 수열의 하한선이다.한정된 수의 요소만이 $b{\displaystyle }$ - ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle b-\varepsilon }$보다 작다$.$

특성.

실수의 순서에 대한 한계 하한과 한계 상위의 관계는 다음과 같다.

앞에서 언급한 바와 같이 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$R}을($를)${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ∞${\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle \mathrm{,}}$ ${\displaystyle ]}$ .${\displaystyle [-\ft,\fty ]$로 확장하는$$ 것이 편리하다.$}$ 그러면$$ [${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{}\infty }$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$$displaystyle \left(x_{n}\right)}$에 있는 (${\displaystyle }$x n${\displaystyle {}_{}}$) ${\$$displaystyle [-\fty,\infty$]}의 \displaysty는 다음과 같은 경우에만 수렴된다.

이 경우 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\$은(는) 공통 값과 같다.($R{\displaystyle \mathbb{}}$에서만 작업할 때,$${\$displaystyle \mathb {R} ,}$${\displaystyle \mathrm{}}$convergence$$$${\$displaystyle -\infit$} 또는$$${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle \infty$}에 대한 정합은 정합으로 간주되지 않는다는$$ 점에 유의하십시오.)하한은 기껏해야 상한 한계이므로, 다음과 같은 조건이 유지된다.

If ${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ and ${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$, then the interval ${\displaystyle [I,S]}$ need not contain any of the numbers ${\displaystyle x_{n},}$ but every slight enlargement ${\displaystyle [I}$− ϵ, S+ϵ 뻗는다, 임의의 작은ϵ 을에{\displaystyle[I-\epsilon ,S+\epsilon],};0,{\displaystyle \epsilon>;0,}모든지만 유한하게 많은 지수 n.x의 n{\displaystyle x_{n}}사실과 간격[나는, S]{\displaystyle[I,S]}가장 작은 문을 닫간격{\displaystyle n.}가 포함될 것이다.이재산우리는 이 속성을 다음과 같이 공식화할 수 있다: 우리가 ${\displaystyle {가지고}_{}}$ ${\displaystyle {있는}_{}}$$$x n {\$displaystyle x_{$$k_${$n}$와 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}}$ ${\$$displaystyle x_$${h_{n}}}}$의 x n ${\$와 ${\displaystyle h_{}}$ ${\$의 repecon}이 있다$$.$$

반면 $\mathb {N}$에는 $n{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$mathb {N}이(가) 존재하여$$ 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대해 n 0이${\displaystyle {}_{}}$가) 있다.

다시 요약하려면:

• ${\displaystyle \$$Lambda$ $}$이(가) 한계 상위보다 크면 $\lambda {\displaystyle \mathrm{};}$ ${\displaystyle$ $x_{n$$}$보다 크면$$ $×$${\displaystyle n_{}}$이 가장 미세하게 많다.
• ${\displaystyle \lambda }}$이(가) 하한보다 작으면$$ $most{\displaystyle }$;${\displaystyle \lambda ;}$보다 작을 경우 x n ${\$이(가) 더 크면$$ 무한히 많다.

대체적으로.

시퀀스의 림프절과 림프절은 각각 가장 작고 가장 큰 군집점이다.

• For any two sequences of real numbers ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},}$ the limit superior satisfies subadditivity whenever the right side of the inequality is defined (that is, not ${\displaystyle \infty -\infty }$ or ${\displaystyle -\infty +\infty }$):
  $$\displaystyle \limsup _{n\put }\left(a_{n}+b_{n}\오른쪽)\leq \limsup _{n\put }\put }\put }\put(b_{n}\오른쪽)\put _{n}put \put.}$$

  

이와 유사하게, 하한은 초가성을 만족시킨다.

In the particular case that one of the sequences actually converges, say ${\displaystyle a_{n}\to a,}$ then the inequalities above become equalities (with ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$ or ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$ being replaced$[\displaystyle a}$에 의해.$$

• 음수가 아닌 실제 숫자의 두 시퀀스 $\{{\displaystyle n_{}\},}$ {${\displaystyle b_{}}$n$},$ {\$displaystyle \left\{a_{n$}\right$\},\left\{b_{n$}\right$\}}$에 대해 불평등$$
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \ft }(a_{n}b_{n}})\leq \left(\limsup _\to \infty }a_{n}\light)\limsupto }$$

  
  그리고
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \ft }(a_{n}b_{n}})\geq(\liminf \to \ft }a_{n}\riminft _{n}\fto \infto}{n}\오른쪽)}$$

  

우측이 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle 0\cdot \infit.}$ 형식이 아닐 때마다 고정하십시오.

If ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$ exists (including the case ${\displaystyle A=+\infty }$) and ${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$ then ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{$$n}b_{n}\오른쪽)=$$AB$}이$$(가) ${\displaystyle \mathrm{AB}}$ ${\displaystyle AB}$이(가$)$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ . {\$displaystyle$0\cdot $\inft .}$ 형식이 아니라면$$ AB$}$

예

• 예를 들어, ${\displaystyle {sin}_{}}$ 함수에 의해 주어진 순서를 고려하십시오: x $n{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle x_{n}=\sin(n).$$}}$ pi가 비이성적이라는 사실을 이용하여$$ 그 뒤를 잇는다.
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$$

  
  그리고
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \inflt }x_{n}=+1.}$$

  
  (순서$\{{\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3${\displaystyle }$, ${\displaystyle \dots \}}$ ${\디스플레이스타일 \{$1,$2,3,\ldots$\}}}은(는) 등분포 모드 2π이며, 등분포 정리의 결과물이기 때문이다.)

• 숫자 이론의 예는 다음과 같다.
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infit }(p_{n+1}-p_{n}),}$$

  
  ${\displaystyle {여기}_{}}$서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는$)$ n {\$displaystyle n}$ -번째 소수.

이 하한값의 값은 2로 추정되며 이는 두 개의 주요 추정치인 것으로 추정되지만 2014년^[update] 4월 현재 246보다 작거나 같은 것으로 입증되었다.^[2]연속된 소수점 사이에 임의의 차이가 있기 때문에 해당 한계 상위는 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\inflit$}이다$.$

실제값 함수

함수가 실제 숫자의 부분 집합에서 실제 숫자로 정의된다고 가정합시다.시퀀스의 경우처럼, +값과 -값을 허용하면 하한값과 상한값이 항상 잘 정의된다. 사실, 두 값이 일치하면 하한값과 상한이 존재하고 그들의 공통값과 동일하다(아마도 infinity 포함).예를 들어, 주어진 f(x) = sin(1/x) = 1이고 lim inf_x→0x→0 f(x) = -1이 있다.둘의 차이는 함수가 얼마나 '악하게' 진동하는가를 대략적으로 보여주는 것으로, 이 사실을 관측할 때 0에서 f의 진동이라고 한다.예를 들어, 이러한 진동 아이디어는 리만 통합 기능을 측정값 0을 제외하고 연속적인 것으로 특징짓기에 충분하다.^[3]0이 아닌 진동 지점(즉, f가 "나쁜 동작"인 지점)은 0을 구성하지 않는 한 무시할 수 있는 집합으로 제한되는 불연속성이라는 점에 유의하십시오.

위상학적 공간에서 완전한 격자까지의 함수

메트릭 공간의 함수

미터법 공간에 정의된 함수에 대해 림 Sup과 림 INF의 개념이 있는데, 이 함수의 한계에 대한 관계는 림 Sup, 림 INF 및 실제 시퀀스 한계와의 관계를 반영한다.메트릭 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 포함된$$ 하위 공간 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ 및 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle E\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R}$ ${\$$E\to \mathb {R}$ $\}.$ 제한 지점에 대해 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 ${\displaystyle a}$을(를) 정의하십시오$.$

${\displaystyle \imsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}(\supp\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}}}$

그리고

${\displaystyle \liminf _{x\f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}(\inf\{f(x)):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}}}}$

여기서 $B{\displaystyle (,\epsilon }$) ${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$은 ${\displaystyle a}$에 대한 반경 $radius{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$의 메트릭 볼을 나타낸다$$$.$

유의할 점은 shrinks이 줄어들면서 공 위에 있는 함수의 우월성이 단조롭게 감소하고 있기 때문에 우리는 다음과 같은 결과를 얻었다.

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\barepsilon >0}(\sup\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}}}}$

마찬가지로

$\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon_0}(\inf\{f(x)):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\}).}$

위상학적 공간의 함수

이것은 마침내 일반적인 위상학적 공간에 대한 정의에 동기를 부여한다.X, E, a를 전과 같이 취하되, 이제 X를 위상학적 공간이 되게 하라.이 경우 메트릭 볼(metric ball)을 주변 환경으로 대체한다.

${\displaystyle \imsup _{x\to a}f(x)=\inf\{\sup\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open},a\in U,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptset \}}}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup\{\inf\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\::U\ \mathrm {open},a\in U,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptset \}}}}$

(그물망과 근린필터를 이용하여 "lim"을 사용하여 공식을 작성하는 방법이 있다.)이 버전은 종종 분석에서 꽤 자주 발생하는 반연속성에 대한 논의에 유용하다.흥미로운 점은 이 버전이 확장된 실선의 위상학적 하위공간으로서 자연수의 함수로서 공간(확장된 실수의 라인인 [-],,-]에서 N의 폐쇄는 N ∪ {∞}임)으로 간주하여 순차 버전을 소급한다는 점이다.

집합 순서

집합 X의 전원 집합 ℘(X)은 집합 포함에 의해 정렬되는 완전한 격자이므로, 하위 집합 집합의 최상 및 최소값(세트 포함 측면)은 항상 존재한다.특히 X의 모든 부분집합 Y는 y Y x X이기 때문에 X의 위와 아래는 빈 집합 ∅에 의해 경계된다. 따라서 ((X)의 시퀀스(즉, X의 부분집합 시퀀스)의 우월한 한계와 열등한 한계(그리고 때로는 유용함)를 고려할 수 있다.

집합의 시퀀스 제한을 정의하는 두 가지 일반적인 방법이 있다.두 경우 모두:

• 순서는 단일 점 자체보다는 점 집합을 중심으로 누적된다.즉, 수열의 각 원소는 그 자체로 집합이기 때문에, 수열의 무한히 많은 원소들에 어떻게든 가까이 있는 축적 집합이 존재한다.
• 우월/상위/상위 제한은 이러한 축적 세트를 함께 결합하는 집합이다.즉, 모든 축적 집합의 조합이다.세트포함 방식으로 주문할 때, 우월적 한계는 각각이 포함되기 때문에 누적 포인트 집합에서 최소 상한이다.그러므로, 그것은 한계점의 우월성이다.
• 최소/최소/최소/내부 제한은 이러한 누적 집합이 모두 충족되는 집합이다.즉, 모든 축적 집합의 교차점이다.세트 포함으로 주문할 때, 최소 한계는 각각에 포함되기 때문에 누적 포인트 집합에서 가장 큰 하한이다.따라서 한계점의 최소값이다.
• 순서는 정해진 포함에 의해 이루어지기 때문에, 외부 한계는 항상 내부 한계(즉, 림 inf X_n ⊆ lim sup X_n)를 포함할 것이다.따라서 일련의 집합의 수렴을 고려할 때, 일반적으로 해당 집합의 외부 한계의 수렴을 고려하는 것으로 충분하다.

두 정의의 차이는 위상(즉, 분리를 정량화하는 방법)이 어떻게 정의되는가를 포함한다.사실 두 번째 정의는 X의 위상 유도에 이산형 메트릭을 사용할 때의 첫 번째 정의와 동일하다.

일반 집합 수렴

이 경우, 시퀀스 각 구성원의 원소가 제한 집합의 원소에 접근할 때 집합의 순서는 제한 집합에 접근한다.특히$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle {Xn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) X${\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$의 하위 집합 순서인 경우$$:

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$ which is also called the outer limit, consists of those elements which are limits of points in ${\displaystyle X_{n}}$ taken from (countably) infinitely many ${\displaystyle n.}$ That is, ${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$ if and only if there exists a sequence of points ${\displaystyle \left\{x_{k}\right\}}$ and a subsequence ${\displaystyle \left\{X_{n_{k}}\right\}}$ of ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}}$ such that ${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$ and ${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_k\to x}$${\displaystyle \lim _{k\to \ft }x_{k}\to x.}$
• ${\displaystyle }$내부 한계라고도 하는$$ 림 ${\displaystyle inf}$ X ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle \liminf X_{n}}}$은(는) $모든{\displaystyle }$n {\$displaystyle n}$에 대한$$ X n {\$displaystyle X_{n}$의 포인트 한계인 요소로 구성된다($$즉, 완전히 많은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystystyle n}).$That is, ${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$ if and only if there exists a sequence of points ${\displaystyle \left\{x_{k}\right\}}$ such that ${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$ and ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}\to x.}$

The limit ${\displaystyle \lim X_{n}}$ exists if and only if ${\displaystyle \,\liminf X_{n}{\text{ and }}\limsup X_{n}\,}$ agree, in which case ${\displaystyle \,\lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.$$}$^[4]

특수 사례: 이산형 메트릭

이것은 측정 이론과 확률에 사용되는 정의다.아래에서 논의한 위상학적 관점과 반대로, 설정 이론적 관점에서 추가적인 논의와 예는 설정 이론적 한계에 있다.

이 정의에 의해, 제한 집합이 순서의 미세한 많은 집합을 제외한 모든 요소들을 포함하고, 시퀀스 집합의 정밀하게 많은 보완물을 제외한 모든 요소를 포함하지 않는 경우 집합의 순서는 제한 집합에 접근한다.즉, 이 경우는 세트 X의 위상이 이산형 메트릭으로부터 유도될 때 일반적인 정의를 전문으로 한다.

특히 지점 x ∈ X 및 y y X의 경우 이산형 메트릭은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle d(x,y):={\cHB{case}0&{\text{{}if }x=y,\1&{\text{}if }x\neq y,\end{case}}}}$

그 아래에서는 일련의 점 {x_k}이(가) x ∈ X 포인트로 수렴되며, 만약 x_k = x가 완전히 많은 k를 제외한 모든 경우에 한한다.따라서 한계 집합이 존재할 경우, 그것은 순서의 집합 중 많은 부분을 제외하고 모두 포함된 점과 점만 포함한다.이산형 메트릭의 수렴은 가장 엄격한 형태의 수렴(즉, 가장 많은 것을 필요로 함)이기 때문에, 한계 집합의 이 정의는 가장 엄격한 가능하다.

{X_n}이(가) X의 하위 집합 시퀀스인 경우 항상 다음이 존재함:

• 림 Supp X는_n 무한히 많은 n에 대해 X에_n 속하는 X의 요소로 구성된다(계속 무한 참조).즉, 모든 k에 대해 x ∈ X와_nk 같이 {X_n}의 하위 {X_nk}이(가) 존재하는 경우에만 x ∈ im sup X_n.
• lim inf_n X는 X의_n 요소로 구성되며, X에 속하는 모든 요소들 중에서 미세하게 많은 n(즉, 완전히 많은 n)을 제외한다.즉, 모든 n>m에 대해 x ∈ X와_n 같은 m>0이 존재하는 경우에만 x ∈ im inf X를_n 입력한다.

x rim이 X를_n^c 포함하는 경우에만 x ∈ im sup X를_n 준수하십시오.

• 림 X는_n 림 inf X와_n 림 supp X가_n 일치하는 경우에만 존재한다. 이 경우 림 X = 림_n sup X = 림 sup X_n = 림 inf X_n.

이러한 의미에서, X의 모든 점이 X의_n 미세한 수를 제외한 모든 점에서 나타나거나_n^c X의 미세한 수를 제외한 모든 점에서 나타나는 한 시퀀스는 한계가 있다.

집합 포함은 집합 이론의 표준 용어를 사용하여 X의 모든 하위 집합의 집합에 대한 부분적인 순서를 제공하며, 집합 교차점이 가장 큰 하한을 생성하고 최소 상한선을 생성하기 위해 결합을 설정할 수 있다.따라서 하위 집합 집합의 최소값 또는 모임은 가장 큰 하한값인 반면, 우월 또는 결합은 가장 낮은 상한값이다.이러한 맥락에서 내부 한계인 im inf X는_n 수열의 가장 큰 꼬리가 만나는 것이고, 외부 한계인 im sup X는_n 수열의 꼬리가 가장 작은 결합이다.이하와 같이 이것을 정밀하게 한다.

• 내가_n 그 순서의 n^th 꼬리에 맞도록 하자.그것은

${\displaystyle {\reasoned}I_{n}&=\inf\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

각 I가_n+1 나보다_n 적은 수의 집합의 교차점이기 때문에 {I_n} 시퀀스는 비감소(I_nn+1 de I)이다.이 꼬리의 만남 순서에서 최소 상한은

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup\{\inf\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right).\end{정렬}}}$

따라서 한계 최소값에는 시퀀스의 세트가 거의 없는 모든 하위 집합에 대해 하한값인 모든 하위 집합이 포함된다.

• 마찬가지로, J를_n 순서의 n^th 꼬리의 조인이 되게 한다.그것은

${\displaystyle {\reasoned}J_{n}&=\sup\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

각 J가_n+1 J보다_n 적은 수의 집합의 조합이기 때문에 {J_n} 시퀀스는 증가하지 않는다(J_n ⊇ J_n+1).이 꼬리의 결합 순서에서 가장 큰 하한은

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf\{\sup\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right).\end{정렬}}}$

따라서 한계우월성은 모든 하위 집합에 포함되며, 하위 집합의 상한은 시퀀스의 세트가 거의 제외된다.

예

다음은 몇 가지 정해진 정합화 예들이다.그것들은 세트 X의 위상 유도에 사용되는 미터법과 관련하여 섹션으로 분할되었다.

이산형 메트릭 사용

• 보렐-칸텔리 보조정리기는 이러한 구조들의 적용 사례다.

이산형 메트릭 또는 유클리드 메트릭 사용

• 설정된 X = {0,1} 및 하위 집합의 순서를 고려하십시오.

${\displaystyle \{X_{n}\}=\{0\},\{1\},\{0\},\{0\},\{1\},\dots \}.}$

이 시퀀스의 "이상"과 "짝수" 요소는 두 개의 반복을 형성하며, {{0},{0},{0}, ...}과{1},{1},{1}, {1}...}은(는) 각각 한계점이 0과 1이므로, 외부 또는 상위 한계는 이 두 지점 중 {0,1}이(가) 설정된 것이다.그러나 전체적으로 {X_n} 시퀀스에서 취할 수 있는 한계점이 없으므로 내부 또는 하한은 빈 세트 {}이다.그것은

• 림_n Sup X = {0,1}
• 림_n inf X = {}

그러나 {Y_n} = {{0},{0},{0},{0}...{} 및 {Z_n} = {{1},{1},{1}...}:

• lim Sup_n Y = lim inf_n Y = lim Y = {0_n}
• 림_n Sup Z_n = 림 inf Z = 림_n Z = {1}

• X = {50, 20, -100, -25, 0, 1} 집합과 하위 집합의 순서를 고려하십시오.

${\displaystyle \{X_{n}\}=\{50\},\{20\},\{-100\},\{0\},\{0\},\{0\},\{0\},\{0\},\,\{0\},\},\1\,\,\dots \}.}.}.}$

앞의 두 예에서와 같이,

• 림_n Sup X = {0,1}
• 림_n inf X = {}

즉, 패턴과 일치하지 않는 네 가지 요소는 미세하게 많을 뿐이기 때문에 림 inf와 림 sup에 영향을 주지 않는다.사실, 이러한 요소들은 순서의 어느 곳에나 배치될 수 있다(예: 위치 100, 150, 275 및 55000).수열의 꼬리가 유지되는 한 외측과 내측 한계는 변하지 않을 것이다.본질적 우월성과 필수적 최소치를 사용하는 본질적 내적 및 외적 한계의 관련 개념은 (정확하게 많은) 상호간 첨가물보다 셀 수 없이 많은 "스퀴시"를 제공하는 중요한 수정을 제공한다.

유클리드 측정 기준 사용

• 합리적인 수의 하위 집합 순서를 고려하십시오.

${\displaystyle \{X_{n}\}=\{0\},\{1/2\},\{1/2\},\{1/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\1/4\,\},\dots \}.}.}.}$

이 시퀀스의 "이상"과 "짝수" 요소는 두 개의 반복을 형성하며, {{0},{1/2},{2/3},{3/4},...}과(와){1/2},{1/3},{1/3},{1/4}...}이(가) 각각 한계점 1과 0을 가지고 있으므로, 외측 또는 상위의 한계는 이 두 점의 설정값 {0,1}이다.그러나 전체적으로 {X_n} 시퀀스에서 취할 수 있는 한계점이 없으므로 내부 또는 하한은 빈 세트 {}이다.그래서, 앞의 예에서와 같이

• 림_n Sup X = {0,1}
• 림_n inf X = {}

단, {Y_n} = {{0},{1/2},{2/3},{3/4}에 대해서는...} 및 {Z_n} = {{1},{1/2},{1/3},{1/4},...}:

• lim Sup_n Y = lim inf_n Y = lim_n Y = {1}
• 림 Sup Z_n = 림 inf_n Z = 림 Z = {0_n}

이 네 가지 경우 각각, 제한 세트의 요소는 원래 시퀀스에서 나온 세트의 어떤 요소도 아니다.

• 동적 시스템에 대한 용액의 Ω 한계(즉, 한계치 세트)는 시스템의 용액 궤적 외측 한계값이다.^{[4]: 50–51} 궤도는 이 한계치 집합에 점점 더 가까워지기 때문에, 이러한 궤도의 꼬리는 한계치 집합으로 수렴된다.

• 예를 들어, 2차 감쇠 시스템(즉, 제로 댐핑 비율)이 없는 여러 안정적 시스템의 계단식 연결인 LTI 시스템은 동요된 후(예를 들어 타격 후 이상적인 벨) 끝없이 진동할 것이다.따라서, 만약 이 시스템의 위치와 속도가 서로 반대되는 경우 궤도는 주 공간에서 원에 접근하게 될 것이다.이 원은 계통의 Ω 한계치 집합으로, 계통의 용액 궤적 외측 한계값이다.원은 순수한 사인파 음 출력에 해당하는 궤적의 위치를 나타낸다. 즉, 시스템 출력이 순수 음조에 접근/대략적으로 근접한다.

일반화 정의

위의 정의는 많은 기술적 용도에 적합하지 않다.사실 위의 정의는 다음과 같은 정의의 전문화다.

집합 정의

집합 X ⊆ Y의 한계 하한은 집합의 모든 한계점의 최소값이다.그것은

${\displaystyle \liminf X:=\inf\{x\inf Y:x{\text{는 }}}의 제한점이다.$

마찬가지로 집합 X의 한계 상위는 집합의 모든 한계점의 우월성이다.그것은

${\displaystyle \limsup X:=\sup\{x\in Y:x{\text{는 }}}의 한계점이다.$

이러한 정의가 타당하기 위해서는 집합 X가 위상학적 공간이기도 한 부분 순서의 집합 Y의 부분 집합으로 정의되어야 한다는 점에 유의한다.더욱이 그것은 완전한 격자여야만 항상 우월자와 이피마가 존재하게 된다.그 경우 모든 세트에는 한도가 있고 한계는 한도가 있다.또한 한 세트의 하한과 상한이 세트의 요소가 될 필요는 없다는 점에 유의한다.

필터 베이스 정의

위상학적 공간 X와 그 공간에 필터 베이스 B를 취하십시오.해당 필터 베이스에 대한 모든 클러스터 포인트 집합은

${\displaystyle \bigcap \{{\overline{B}_{0}:B_{0}\in B\}}$

여기서 $B$의${\displaystyle {\stackrel{}{}0}_{\mathrm{}}}$ ${\$0}은(는) B ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ {\displaystyle B_${0}$의 닫힘은 B 0 ${\${0$\}.$이것은 확실히 폐쇄된 세트로서 세트의 한계점 세트와 유사하다.X도 부분적으로 주문한 세트라고 가정해 보자.필터 베이스 B의 상한을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \limsup B:=\supp \bigcap \{{\overline{B}_{0}:B_{0}\in B\}}$

그 우월감이 존재할 때 말이야X의 총 순서가 있고, 완전 격자이며, 순서 위상이 있을 때,

${\displaystyle \limsup B=\inf\{\supp B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

마찬가지로 필터 베이스 B의 하한은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \liminf B:=\inf \bigcap \{{\overline{B}_{0}:B_{0}\in B\}}$

이 최소값이 존재할 때, X가 완전히 정렬되고, 완전 격자이며, 순서 위상이 있는 경우,

${\displaystyle \liminf B=\sup\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

한도가 하한과 상한이 일치하면 정확히 하나의 군집점이 있어야 하며 필터 베이스의 한계는 이 고유한 군집점과 동일해야 한다.

시퀀스 및 네트에 대한 전문화

필터 베이스는 그물의 일반화, 즉 시퀀스의 일반화라는 점에 유의한다.따라서 이러한 정의는 한계에 열등감을 주고 그물(따라서 어떤 순서에 대해서도 상위를 부여한다.For example, take topological space ${\displaystyle X}$ and the net ${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$, where ${\displaystyle (A,{\leq })}$ is a directed set and ${\displaystyle x_{\alpha }\in X}$ for all ${\displaystyle \alpha \in A}$.이 네트에 의해 생성된 필터 베이스("꼬리")는 다음에$$ $의해{\displaystyle }$ 정의된 B ${\displaystyle B}$이다.

${\displaystyle B:=\{\x_{\\\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha \{0}\in A\},}$

따라서 네트의 하한과 상한은 각각$$ $[\displaystyle B}$의 하한과 동일하다.Similarly, for topological space ${\displaystyle X}$, take the sequence ${\displaystyle (x_{n})}$ where ${\displaystyle x_{n}\in X}$ for any ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ with ${\displaystyle \mathbb {N} }$ being the set of natural numbers.이 시퀀스에 의해 생성된 필터 베이스("꼬리")는 다음에 $의해{\displaystyle }$정의된 C {\$displaystyle C}$이다.

${\displaystyle C:=\{\\x_{n}n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathb {N}\},}$

따라서 수열의 하한과 상한은 각각 C {\$displaystyle$ $C}$의 하한과 동일하다.

참고 항목

• 필수우월성과 필수최소성
• 봉투(파형)
• 단측한도
• 디니파생상품
• 이론적 한계 설정

참조

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 리미트 하급 및 리미트와 관련된 미디어가 있다.

• "Upper and lower limits", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]