선형 방정식

두 변수의 선형 방정식 그래프 두 개

수학에서 선형 방정식은 $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ x 1 + $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ … $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ + $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ + $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ { $style a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n$ }+ $b=0}$ 의 $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ 으로 $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ 될 수 있는 방정식이다. $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 서 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 1, $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ { $n}$ 은 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 미지의 변수이다. $점, a_{n}}$ 는 $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ 계수이며, 종종 실수입니다.계수는 방정식의 모수로 간주할 수 있으며 변수가 포함되지 않는 한 임의의 식일 수 있습니다.의미 있는 방정식을 얻으려면 계수 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 1, $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ n $(\$ },\ $ldots,a_{n})$ 이 $a_1, \ldots, a_n$ 모두 0인 것은 아닙니다.

또는 계수가 취해지는 일부 필드에서의 선형 다항식을 0으로 함으로써 선형 방정식을 얻을 수 있다.

이러한 방정식의 해는 미지의 것을 대입했을 때 등식을 참으로 만드는 값이다.

변수가 1개뿐인 경우 해결 방법은 정확히1개입니다( $a_{1}\neq 0$ , 1 $a_{1}\neq 0$ 0 { $displaystyle a$ _ {1} \ $neq$ 0 $a_{1}\neq 0$ ）。종종 선형 방정식이라는 용어는 암묵적으로 변수를 미지라고 부르는 이 특별한 경우를 가리킵니다.

두 변수의 경우, 각 해는 유클리드 평면의 점의 데카르트 좌표로 해석될 수 있다.선형 방정식의 해는 유클리드 평면에서 선을 형성하고, 반대로 모든 선은 두 변수에서 선형 방정식의 모든 해들의 집합으로 볼 수 있다.이것은 이러한 방정식의 유형을 설명하는 선형이라는 용어의 기원입니다.보다 일반적으로, n개의 변수에서 $선형$ 방정식의 해는 $n차원$ 의 유클리드 공간에서 초평면 $(n-1차원$ 의 부분 공간)을 형성한다.

선형 방정식은 모든 수학과 물리학 및 공학에서의 응용에서 자주 발생합니다. 부분적으로는 비선형 시스템이 종종 선형 방정식에 의해 잘 근사되기 때문입니다.

본 기사에서는 실수의 장에서 계수를 갖는 단일 방정식의 경우를 고찰하여 실해를 연구한다.이 모든 내용은 복잡한 해, 더 일반적으로 모든 분야에서 계수와 해법을 사용하는 선형 방정식에 적용됩니다.여러 개의 연립 선형 방정식의 경우 선형 방정식 시스템을 참조하십시오.

단일 변수

하나의 $변수$ x의 선형 방정식은 $ax+b=0,$ x + $ax+b=0,$ $ax+b=0,$ 0 , $ax+b=0,$ \ $displaystyle$ ax + b $=$ 0 , \ display $ax+b=0,$ $style$ a \ neq 0 입니다 $a\neq 0$ $여기$ 서 $a$ 와 b는 $a\neq 0$ 이고 $a\neq 0$ 0 { $display style$ a\ $neq$ 0 $a\neq 0$ 입니다.

$x=-{\frac {b}{a}}$ $=$ - $x=-{\frac {b}{a}}$ a $(\$ x=-{\ $frac {b}{a$ 의 $x=-{\frac {b}{a}}$ .

두 변수

$x$ 와 y의 두 변수에서의 선형 방정식은 $ax+by+c=0,$ + $ax+by+c=0,$ y + $ax+by+c=0,$ $= 0$ 의 $형식$ 이다. $여기$ 서 $a^{2}+b^{2}\neq 0$ $,$ $b$ 및 c는 $a^{2}+b^{2}\neq 0$ 2 + $a^{2}+b^{2}\neq 0$ ${\$ 0 $ax+by+c=0,$ \ $displaystyle$ a $^{2$ } + $^{2$ } + b^{2} 의 $ax+by+c=0,$ $a^{2}+b^{2}\neq 0$ 이다. $}\neq$ 0 $a^{2}+b^{2}\neq 0$

그것은 무궁무진하게 많은 가능한 해결책을 가지고 있다.

선형 함수

b $0$ 0일 $경우$ , 방정식은

ax+by+c=0

는 x의 $모든$ 값에 대한 단일 $변수$ y의 선형 방정식입니다.따라서 이것은 다음과 같이 주어진 $y$ 에 대한 고유한 해를 가지고 있다.

y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}}.

이것은 함수를 정의합니다.이 함수의 그래프는 기울기가 $(\$ 및 $-{\frac {a}{b}}$ y-절편 $-{\frac {c}{b}}.$ - $.$ {\ $displaystyle -{\frac {c}{b})$ 인 선입니다.} 그래프가 $-{\frac {c}{b}}.$ 선인 함수를 미적분학에서는 보통 선형함수라고 한다 $.$ 그러나 선형대수에서 선형함수는 합계를 합계의 영상의 합계에 매핑하는 함수이다.따라서 이 정의에서 위의 함수는 c = $0일$ $때$ , 즉 선이 원점을 통과할 때만 선형입니다.혼동을 피하기 위해 그래프가 임의의 선인 함수를 아핀 함수라고 합니다.

기하학적 해석

수직선

x =

a

방정식

의

수평선

y = b

선형 방정식의 각 해 $(x,$ $y)$

ax+by+c=0

는 유클리드 평면에서 점의 데카르트 좌표로 볼 수 있다.이 $해석$ 에서는 a와 b가 모두 0이 $아닌$ 한 방정식의 모든 해는 직선을 형성한다.반대로, 모든 선은 선형 방정식의 모든 해들의 집합입니다.

"선형 방정식"이라는 문구는 선과 방정식 사이의 대응에서 유래한다: 두 변수의 선형 방정식은 솔루션이 선을 이루는 방정식이다.

b $0$ 0일 $경우$ 선은 이전 섹션에서 정의한 x $함수$ 의 그래프입니다.b = $0$ 일 $경우$ , 이 선은 x $=$ - $x=-{\frac {c}{a}},$ , $x=-{\frac {c}{a}},$ { $displaystyle$ x $=-{\frac {c}{$ a}}} $x=-{\frac {c}{a}},$ 의 $x=-{\frac {c}{a}},$ 수직선(y축과 평행한 선)이며, x $함수$ 의 그래프가 아니다.

마찬가지로, $a$ , $0$ 이면 선은 y $함수$ 의 $그래프$ 이고, $a$ = 0이면 $y=-{\frac {c}{b}}.$ y $y=-{\frac {c}{b}}.$ - $y=-{\frac {c}{b}}.$ . \ $displaystyle$ y $=$ - {\ $frac {c}{b}}$ 의 $y=-{\frac {c}{b}}.$ 을 가진다. $}$

직선의 방정식

선을 정의하는 방법은 다양합니다.다음 서브섹션에서는 각 경우에 선의 선형 방정식이 제시된다.

기울기-절편 형식 또는 경사-절편 형식

수직이 아닌 선은 $기울기$ m과 y $절편 0$ y(y축과의 교점의 $y$ 좌표)로 정의할 수 있습니다.이 경우 선형 방정식을 쓸 수 있다.

y=display+y_{0}.

또한 선이 수평이 아닌 경우 기울기와 x $절편 0$ x로 정의할 수 있습니다.이 경우, 그 방정식을 쓸 수 있다.

y=m(x-x_{0}),

또는 동등하게

y=display-display_{0}.

이러한 형태는 수직선이 아닌 선을 ^[2]함수의 그래프로 간주하는 습관에 의존합니다.방정식으로 주어진 선의 경우

{{displaystyle ax+by+c=0,}

이러한 형태는 관계에서 쉽게 추론할 수 있다

{displaystyle} m&=-{\frac {a}{b},\x_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end { aligned}

점-경사 형태 또는 점-경사 형태

수직이 아닌 선은 $기울기$ m과 선의 임의의 점의 $x_{1},y_{1}$ $x_{1},y_{1}$ 1, $x_{1},y_{1}$ 1 $({$ }, $y_{1$ })로 $x_{1},y_{1}$ 정의할 수 있습니다.이 경우, 직선의 선형 방정식은

y=y_{1}+m(x-x_{1}),

또는

y=display+y_{1}-displaystyle_{1}.

이 방정식은 또한 쓸 수 있다.

y-y_{1}=m(x-x_{1})

선의 기울기가 두 점의 좌표로 계산될 수 있음을 강조하기 위한 것입니다.

가로채기 양식

축에 평행하지 않고 원점을 통과하지 않는 선은 두 개의 다른 점에서 축을 절단합니다.이 두 점의 절편 $값 0$ $x$ 와₀ y는 0이 아니며 선의^[3] 방정식은 다음과 같습니다.

{x}{x_{0}}+{\frac {y}{y_{0}}=1.

(이 방정식에 의해 정의된 라인에 가로채기 값으로서 x $및 0$ y가 $있는지 0$ 쉽게 확인할 수 있습니다).

2점 형식

두 개의 다른 점 $(x 1, y 1$ )과 ( $x 2,$ $y 2)$ 이 주어지면, 그것들을 통과하는 선은 정확히 1개입니다.이 선의 선형 방정식을 쓰는 방법에는 여러 가지가 있다.

x $x 2$ x일 $경우 1$ 선의 기울기는 y ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ - ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ x ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ - ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ 1 입니다 $.{$ $displaystyle { frac$ { y _ ${2}$ - $x _$ {1 $}$ $} 。따라서$ 점-기울기 형식은^[3] 다음과 같습니다.

y-y_{1}=black {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})

분모를 지우면 방정식을 얻을 수 있다.

{\displaystyle(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,}

이 값은 $x 2$ = $x일 1$ 때도 유효합니다(이 값을 검증하려면 주어진 두 점이 방정식을 만족하는지 확인하는 것으로 충분합니다).

이 형식은 주어진 두 점에서 대칭이 아니지만 상수 항을 다시 그룹화하여 대칭 형태를 얻을 수 있습니다.

\displaystyle(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1}y+(x_{1}y_{2}-x_{1}y=0}

(두 점을 바꾸면 방정식의 왼쪽 부호가 변경됩니다.)

행렬식 형식

선의 방정식의 2점 형식은 행렬식으로 간단히 표현할 수 있다.거기에는 두 가지 일반적인 방법이 있다.

$(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ - x $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ ) ( $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ y - $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ 1 $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ ) $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ - ( $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ - $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ ) $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ ( x displaystyle ( x $_$ {2} - $x$ _ { $1} )-$ ( y $_$ {2} - y $_$ {1} - ( x - $x _$ {1} $= 0$ )는 $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ 방정식의 행렬식을 확장한 결과입니다.

{\displaystyle {vmatrix}x-x_{1}\x_{2}-x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}=0.

$(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ - $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ ) $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ x $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ + ( $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ 2 - $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ ) $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ y $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ + ( $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ 2 - $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ 2 $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ ) $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ ( $x_style (y_{1}-x_{$ 1} $y+(x_{1}y_{$ 2}- $x_{$ 2} $y_1$ })y+ (x_{1}y_ ${$ 1 $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ }y_{1}y $=0)$ 의 확장식을 구할 수 있습니다.

{{vmatrix}x&y&1\x_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}=0.

매우 단순하고 니모닉한 형태일 뿐만 아니라, 이 형태는 $차원$ n – $1$ 의 공간에서 n개의 점을 $통과$ 하는 초평면의 보다 일반적인 방정식의 특별한 경우라는 장점이 있다.이러한 방정식은 투영 공간에서 점의 선형 의존 조건에 의존합니다.

세 개 이상의 변수

변수가 세 개 이상인 선형 방정식은 항상 다음과 같은 형태를 갖는 것으로 가정할 수 있습니다.

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.

$종종$ $a$ 로₀ 표기되는 계수 b를 상수항(고서적에서는^[4]^[5] 절대항이라고도 함)이라고 합니다.콘텍스트에 따라서는 i $>0$ 의_i $a$ 에 대해 계수라는 용어를 예약할 수 있습니다.

n $n=3$ $n=3$ { $style$ n $=$ $3$ } $n=3$ 변수를 $n=3$ $n=3$ 때 색인 변수 대신 $x,\;y$ x , $x,\;y$ z { $displaystyle$ $x,\;y$ z $}$ 를 $x,\;y$ $z$ $x,\;y$ 하는 것이 일반적입니다.

이러한 방정식의 해는 대응하는 변수를 태플의 각 원소로 치환하면 방정식이 진정한 등식으로 변환되는 n-튜플이다.

방정식이 의미가 있으려면 하나 이상의 변수의 계수가 0이 아니어야 합니다.실제로 모든 변수의 계수가 0인 경우, 한 변수에 대해 언급했듯이 방정식은 해가 없기 때문에 일관성이 없거나(b $0$ 0의 $경우$ ) 모든 n-튜플이 해입니다.

n 변수에서 $선형$ 방정식의 해인 n-튜플은 n차원 유클리드 공간(또는 계수가 복소수이거나 어떤 필드에 속하는 경우 아핀 공간)에서 $(n$ - 1)차원 초평면 점의 데카르트 좌표이다.변수가 3개인 경우 이 하이퍼플레인은 평면입니다.

만약 선형 방정식이 $θ$ $0$ 으로_j 주어진다면, x에 $대해 j$ 방정식을 풀 수 있고, 다음과 같이 계산될 수 있다.

\displaystyle x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}-\sum _{i\in \1,\ldots,n\},i\neq j}{\frac {a_{j}}x_{i}.}

계수가 실수인 경우 n개의 실수 변수의 $실수값$ 함수를 정의합니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Barnett, Ziegler & Byleen 2008, 15페이지
^ Larson & Hostetler 2007, 페이지 25
^ ^a ^b 윌슨 & 트레이시 1925, 52-53페이지
^ Charles Hiram Chapman (1892). An Elementary Course in Theory of Equations. J. Wiley & sons. p. 17. 17페이지 발췌
^ David Martin Sensenig (1890). Numbers Universalized: An Advanced Algebra. American Book Company. p. 113. 113페이지 발췌

레퍼런스

Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (revised ed.), D.C. Heath

외부 링크

"Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Barnett, Ziegler & Byleen 2008, 15페이지

[2] Larson & Hostetler 2007, 페이지 25

[WilsonTracey-3] 윌슨 & 트레이시 1925, 52-53페이지

[4] Charles Hiram Chapman (1892). An Elementary Course in Theory of Equations. J. Wiley & sons. p. 17. 17페이지 발췌

[5] David Martin Sensenig (1890). Numbers Universalized: An Advanced Algebra. American Book Company. p. 113. 113페이지 발췌

[2]

[3]

[4]

[5]

v t 다항식 및 다항식 함수
정도별	0 다항식(도가 정의되지 않았거나 -1 또는 -θ) 상수 함수(0) 선형 함수 (1) 선형 방정식 2차 함수 (2) 이차 방정식 세제곱 함수(3) 입방정식 4차 함수(4) 4차 방정식 5차 함수(5) 육분방정식(6) 패혈식(7)
속성별	일변량 이변량 다변량 단항식 이항 삼항식 환원 불가 정사각형 프리 균질한 준균질
도구 및 알고리즘	인수분해 최대 공약수 나누기 호너의 평가법 결과물 식별자 그뢰브너 기준

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