링 위의 선형 방정식

대수학에서는 한 분야에 걸친 선형 방정식과 선형 방정식의 체계가 널리 연구되고 있다."필드 위"는 방정식의 계수와 찾고 있는 해법이 일반적으로 실제 또는 복합적인 수인 주어진 필드에 속함을 의미한다.이 기사는 "필드"가 "커머셜 링" 또는 일반적으로 "노메테리아 통합 도메인"으로 대체되는 동일한 문제에 전념하고 있다.

단일 방정식의 경우 문제가 두 부분으로 갈라진다.첫째, 비균형 방정식이 주어지는 이상적인 멤버십 문제.

a_{1}x_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k}=b

$a_{1},\ldots ,a_{k}$ 링 $R$ 에 1 $a_{1},\ldots ,a_{k}$ , $a_{1},\ldots ,a_{k}$ … , $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ${\$ $b$ 를 $a_{1},\ldots ,a_{k}$ 사용하여 x $x_{1},\ldots ,x_{k}$ , $x_{1},\ldots ,x_{k}$ … $x_{1},\ldots ,x_{k}$ , $x_{1},\ldots ,x_{k}$ $x_{1},\ldots ,x_{k}$ ${\$ $R$ 에 $x_{1},\ldots ,x_{k}$ $\ldots ,x_{$ k}, 그리고 있는 경우 하나를 제공할 솔루션을 가지고 있는지 결정한다.이는 $b$ 가 $a$ 에_i 의해 생성된 이상에 속하는지 여부를 결정하는 것이다. $이$ 문제의 가장 간단한 예는 k = $1$ 과 $b$ = $1$ 의 경우, $a$ 가 R의 단위인지를 결정하는 것이다.

The syzygy problem consists, given $k$ elements $a_{1},\ldots ,a_{k}$ in $R$ , to provide a system of generators of the module of the syzygies of $(a_{1},\ldots ,a_{k}),$ that is a system of generators of the submodule of those elements $(x_{1},\ldots ,x_{k})$ $(x_{1},\ldots ,x_{k})$ ) $R$ 의 $(x_{1},\ldots ,x_{k})$ ^k ${\displaystyle(x_{1},\ldots ,x_{k}}$ 은(는) 동종 방정식의 해법이다.

a_{1}x_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k}=0.

$가장$ 간단한 경우, k = $1$ 이면 $a$ 의₁ 전멸기의 발전기를 찾을 수 있다.

이상적인 멤버십 문제에 대한 해결책이 주어지면, 거기에 시지키스 모듈의 요소를 더함으로써 모든 해결책을 얻는다.즉, 모든 해결책은 이 두 가지 부분적인 문제의 해결책에 의해 제공된다.

여러 방정식의 경우 하위 문제로 동일한 분해가 발생한다.첫 번째 문제는 서브모듈 멤버십 문제가 된다.두 번째 것은 시지 문제라고도 불린다.

산술 연산을 위한 알고리즘(추가, 뺄셈, 곱셈)이 있고 위의 문제에 대해서는 계산 가능한 링 또는 유효 링이라고 할 수 있다.링 위의 선형대수가 효과적이라고도 말할 수 있다.

그 기사는 선형대수가 효과적인 주요 고리를 고려한다.

제너럴리티스

시지 문제를 해결할 수 있으려면 무한 목록을 출력할 수 없기 때문에 시지스의 모듈을 정밀하게 생성해야 한다.그러므로 여기서 고려되는 문제들은 노에테리아 반지, 혹은 적어도 논리 정연한 고리에게만 이치에 맞는 것이다.실제로 이 글은 다음과 같은 결과 때문에 노에테리아 통합 영역으로 제한된다.^[1]

노메테리아 적분영역이 주어졌을 때, 단일 방정식에 대한 이상적인 멤버쉽 문제와 시지즈 문제를 해결하기 위한 알고리즘이 있다면, 그 알고리즘으로부터 방정식 시스템과 관련된 유사한 문제에 대해 추론할 수 있다.

이 정리는 알고리즘의 존재를 증명하는 데 유용하다.그러나 실제로 시스템의 알고리즘은 직접 설계된다.

필드는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 곱셈, 곱셈의 계산 알고리즘을 갖게 되는 즉시 효과적인 링이다.사실 서브모듈 멤버십 문제를 해결하는 것이 흔히 시스템 해결이라고 하는 것이고, 시지 문제를 푸는 것은 선형 방정식의 시스템 매트릭스의 null 공간을 계산하는 것이다.두 문제의 기본 알고리즘은 가우스 제거다.

유효 링의 특성

$R$ 은 효과적인 상호 교환 반지가 되게 하라.

원소 $a$ 가 영점 분점인지 테스트하기 위한 알고리즘이 있다: 이것은 선형 방정식 $도끼$ = $0$ 을 푸는 것과 같다.
원소 $a$ 가 단위인지 시험하기 위한 알고리즘이 있고, 원소 a가 단위라면 그 반비례 계산: 이것은 선형 방정식 $도끼$ = $1$ 을 푸는 것과 같다.
$내$ 가₁, $...,$ ..., $a$ 에_k 의해 창조된 이상에 의해.
- $R$ 의 두 요소가 R $/ I$ 에 동일한 이미지를 가지고 있는지 테스트하기 위한 알고리즘이 있다: $a$ 와 $b$ 의 영상의 동일성을 테스트하는 것은 $등식$ a = $b 1$ + a + $z 1$ + $a k k;$
- $선형대수학$ 은R/ $I$ 보다 효과적이다: $R$ $/$ $I$ 를 통해 선형 시스템을 해결하기 $위해서$ 는 R을 통해 이를 작성하고 z + $z 1 i,1 i, j$ + z(i = 1, $...$ 의 경우)를_k_{i, k} ih 방정식의 한 면에 추가하면 충분하다. 여기서 z는 새로운 미지의 것이다.
선형대수학은 방정식의 선형 시스템을 풀 때 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 할 수 있는 다항식 수준의 상한을 계산하는 알고리즘이 있는 경우에만 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 다항식 R[x_ ${1},\ldots,x_{n}}}$ 의 다항식 링 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ {n $}][\displaystyle R[x_$ {n}]에 효과적이다.반대로 용액에서 발생하는 정도의 상한을 알고 있는 경우, 미지의 다항식을 계수를 알 수 없는 다항식으로 쓸 수 있다.그런 다음, 두 다항식이 계수가 같을 경우에만 같기 때문에, 문제의 방정식은 계수에서 선형 방정식이 되며, 이 방정식은 유효 링을 통해 해결할 수 있다.

정수 또는 주 이상 도메인 이상

이 기사에서 다루는 모든 문제를 정수에 걸쳐 해결하는 알고리즘이 있다.즉, 선형 대수학은 정수보다 효과적이다. 자세한 내용은 선형 디오판틴 시스템을 참조하십시오.

보다 일반적으로 선형대수학은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대한 알고리즘이 있다면 주 이상영역에 효과적이다.

$도끼형식$ 의 해결방정식 = $b$ , 즉, $a$ 가 b의 구분자인지 시험하고, 만약 이 $경우,$ a/ $b$ 를 계산한다.
Bézout의 정체성, 즉 $a$ 와 $b$ 를 주어진, + $bt$ 와 $같은$ 계산 $s$ 와 $t$ 는 $p$ 와 $q$ 의 가장 큰 공통점이다.

단모형 행렬을 단위가 되는 정사각형 행렬이라고 하여 단모형 행렬의 개념을 일반 사례로 확장하는 것이 유용하다.이것은 결정 인자가 변위할 수 없다는 것을 의미하며, 단변수 행렬이 정확하게 변위할 수 있는 행렬임을 암시하며, 역행렬의 모든 항목이 도메인에 속한다.

위의 두 알고리즘은 주 이상영역에서 $a$ 와 b가 주어진 경우, 단항 행렬을 계산하는 알고리즘이 있음을 의미한다.

{\bmatrix}s&t\\u&v\end{bmatrix}

그런

{\bmatrix}s&t\u&v\end{bmatrix}{bmatrix}a\b\end{bmatrix}={\nd{bmatrix}\cd(a,b)\0\end{bmatrix}}.

(이 알고리즘은 Bézout의 아이덴티티 계수 $s$ 와 t, u와 $v$ 의 경우 $-b$ 와 $a$ 의 몫 + $bt$ 를 취함으로써 얻는다. 이 선택은 제곱 행렬의 결정 요인이 $1$ 이라는 것을 의미한다.)

그러한 알고리즘을 가지면, 스미스 정상 형태의 매트릭스는 정수 대소문자와 같이 정확하게 계산될 수 있으며, 이는 모든 선형 시스템을 해결하기 위한 알고리즘을 얻기 위해 선형 디오판틴 시스템에 기술된 내용을 적용하기에 충분하다.

이것이 일반적으로 사용되는 주된 경우는 필드 위의 일변량 다항식 링 위에 선형 시스템이 있는 경우다.이 경우, 위의 단항 행렬을 계산하기 위해 확장된 유클리드 알고리즘을 사용할 수 있다. 자세한 내용은 다항식 최대 공통 구분자 § 베주트의 ID와 확장된 GCD 알고리즘을 참조한다.

필드 위에 있는 다항식 링 초과

선형 대수학은 필드 k $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 에 있는 다항식 $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ , … , x $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 에 효과적이다.이것은 1926년에 그레테 헤르만에 의해 처음 증명되었다.^[2]헤르만의 결과에서 비롯되는 알고리즘은 그들의 계산 복잡성이 효과적인 컴퓨터 계산을 허용하기에는 너무 높기 때문에 역사적 관심사에 불과하다.

선형대수가 다항식 링과 컴퓨터 구현에 효과적이라는 증거는 현재 모두 그뢰브너 기반 이론에 기초하고 있다.

참조

^ Richman, Fred (1974). "Constructive aspects of Noetherian rings". Proc. Amer. Math. Soc. 44 (2): 436–441. doi:10.1090/s0002-9939-1974-0416874-9.
^ Hermann, Grete (1926). "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale". Mathematische Annalen. 95: 736–788. doi:10.1007/BF01206635. S2CID 115897210.. Communications in Computer 대수 32/3 (1998년)의 영어 번역 : 8-30

David A. Cox; John Little; Donal O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (second ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2. Zbl 0861.13012.
Aschenbrenner, Matthias (2004). "Ideal membership in polynomial rings over the integers" (PDF). J. Amer. Math. Soc. AMS. 17 (2): 407–441. doi:10.1090/S0894-0347-04-00451-5. S2CID 8176473. Retrieved 23 October 2013.

[1] Richman, Fred (1974). "Constructive aspects of Noetherian rings". Proc. Amer. Math. Soc. 44 (2): 436–441. doi:10.1090/s0002-9939-1974-0416874-9.

[2] Hermann, Grete (1926). "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale". Mathematische Annalen. 95: 736–788. doi:10.1007/BF01206635. S2CID 115897210.. Communications in Computer 대수 32/3 (1998년)의 영어 번역 : 8-30

[1]

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유효 링의 특성

정수 또는 주 이상 도메인 이상

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