한계대체율

경제학에서 한계대체율(MISS)은 소비자가 동일한 수준의 효용을 유지하면서 다른 재화와 교환하여 하나의 재화를 일부 포기할 수 있는 비율이다. 평형소비수준에서(외부성이 없다고 가정할 때), 한계대체율은 동일하다. 한계대체율은 한계생산성의 3가지 요인 중 하나이며, 다른 요인은 변혁의 한계율과 한 요인의 한계생산성이다.^[1]

무관심의 경사가 커브처럼

재화와 용역이 지속적으로 분리된다는 신고전주의 경제학의 표준 가정 하에, 한계대체율은 교환방향에 관계없이 동일하며, q의 소비다발을 통과하는 무관심 곡선(더 정확히 말하면 -1에 곱한 기울기)의 경사에 해당하게 된다.우스티온, 그 시점에서: 수학적으로, 그것은 암묵적인 파생물이다. Y에 대한 X의 MISA는 소비자가 현지에서 X의 한 단위를 교환할 수 있는 Y의 양이다. MISS는 무관심 곡선을 따라 각 지점에서 다르므로 정의에 대한 위치를 유지하는 것이 중요하다. 또한 이러한 가정 또는 효용이 정량화된 가정 하에서, 재화나 용역 Y(MISS_xy)에 대한 재화나 용역 X의 한계 대체율은 Y의 한계 효용에 대한 X의 한계 효용과 동등하다. 형식적으로.

${\displaystyle MISS_{xy}=-m_{\mathrm {indif}}=-(dy/dx)\,}$

${\displaystyle MISS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}\,}$

일정한 효용(무관심 곡선을 따라 점)을 주는 상품 X와 Y의 묶음을 비교할 때, X의 한계 효용은 포기하는 Y의 단위로 측정된다는 점에 유의해야 한다.

For example, if the MRS_xy = 2, the consumer will give up 2 units of Y to obtain 1 additional unit of X.

As one moves down a (standardly convex) indifference curve, the marginal rate of substitution decreases (as measured by the absolute value of the slope of the indifference curve, which decreases). This is known as the law of diminishing marginal rate of substitution.

Since the indifference curve is convex with respect to the origin and we have defined the MRS as the negative slope of the indifference curve,

${\displaystyle \ MRS_{xy}\geq 0}$

Simple mathematical analysis

Assume the consumer utility function is defined by ${\displaystyle U(x,y)}$, where U is consumer utility, x and y are goods. Then the marginal rate of substitution can be computed via partial differentiation, as follows.

Also, note that:

${\displaystyle \ MU_{x}=\partial U/\partial x}$

${\displaystyle \ MU_{y}=\partial U/\partial y}$

where ${\displaystyle \ MU_{x}}$ is the marginal utility with respect to good x and ${\displaystyle \ MU_{y}}$ is the marginal utility with respect to good y.

By taking the total differential of the utility function equation, we obtain the following results:

${\displaystyle \ dU=(\partial U/\partial x)dx+(\partial U/\partial y)dy}$, or substituting from above,

${\displaystyle \ dU=MU_{x}dx+MU_{y}dy}$, or, without loss of generality, the total derivative of the utility function with respect to good x,

${\$$MU_{x}{\frac {dx}{dx}}}+$$MU_{y}{\frac {dy}{dx$ 즉,

${\$$MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx$ .

무관심 곡선의 어떤 점을 통해서든 dU/dx = 0인데, U = c, 여기서 c는 상수이기 때문이다. 위 방정식에서 다음과 같이 한다.

${\$$MU_{y}{\frac {dy}{dx}}$또는 재배열

${\displaystyle -{\frac {dy}{dx}}={\frac {MU_{x}}}{{x}}}}{{\frac}}}}{MU_{y}}}}}$

한계대체율은 어떤 상품 묶음 수량이 관심 있는가에 따라 무관심 곡선의 기울기의 절대값으로 정의된다. 이는 한계 효용 비율과 동일한 것으로 나타났다.

${\$$MU_{x}/MU_{y}.\,}$.

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소비자가 예산 제약과 관련하여 효용을 최대화할 때 무관심 곡선은 예산 라인에 접하게 되며, 따라서 m은 기울기를 나타낸다.

${\displaystyle \m_{\mathrm {filency}}}=m_{\mathrm {예산}}}}}}$

${\displaystyle \ -(MISS_{xy})=-(P_{x}/P_{y}}}}$

${\displaystyle \ MISS_{xy}=P_{x}/P_{y}}}$

따라서, 소비자가 그의 예산 라인의 시장 바구니를 극대화한 효용성을 선택할 때,

${\displaystyle \ MU_{x}/{y}=P_{x}/P_{y}}}$

${\displaystyle \ MU_{x}/P_{x}=MU_{y}/P_{y}}}$

이 중요한 결과는 소비자의 예산이 할당되었을 때 효용이 극대화되어 지출된 돈의 단위당 한계 효용이 각 상품에 대해 동일하다는 것을 말해준다. 이 평등이 유지되지 않는다면 소비자는 화폐 단위당 낮은 한계 효용성을 가진 상품에 대한 지출을 줄이고 다른 상품에 대한 지출을 증가시킴으로써 효용을 높일 수 있다. 한계대체율을 낮추려면 소비자는 한계효용성이 (한계효용성을 감소시키는 법칙에 따라) 떨어지기를 원하는 재화를 더 많이 구입해야 한다.

감소하는 한계대체율

경제 이론의 중요한 원리는 좋은 X가 좋은 Y로 대체될수록 Y에 대한 X의 한계 치환율이 감소한다는 것이다. 즉, 소비자가 점점 더 좋은 X를 갖게 됨에 따라, 그는 점점 더 좋은 Y를 포기할 준비가 되어 있다.

소비자의 X 재고 증가와 Y 재고 감소에 따라 그는 X의 특정 증분에 대해 Y 재고 감소를 포기하려고 한다. 즉, Y에 대한 X의 한계대체율은 소비자가 X를 더 많이 가지고 있고 Y가 더 적기 때문에 떨어진다. Y 감소에 대한 X의 한계 치환율도 무관심 곡선의 서로 다른 지점에서 접선을 그리는 것으로 알 수 있다.

Using MRS to determine Convexity

When analyzing the utility function of consumer's in terms of determining if they are convex or not. For the horizon of two goods we can apply a quick derivative test (take the derivative of MRS) to determine if our consumer's preferences are convex. If the derivative of MRS is negative the utility curve would be concave down meaning that it has a maximum and then decreases on either side of the maximum. This utility curve may have an appearance similar to that of a lower case n. If the derivative of MRS is equal to 0 the utility curve would be linear, the slope would stay constant throughout the utility curve. If the derivative of MRS is positive the utility curve would be convex up meaning that it has a minimum and then increases on either side of the minimum. This utility curve may have an appearance similar to that of a u. These statements are shown mathematically below.

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}<0{\text{ Strict Convexity of Utility Function}}}$

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}=0{\text{ Weak Convexity of Utility Function}}}$

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}>0{\text{ Non Convexity of Utility Function}}}$

For more than two variables, the use of the Hessian matrix is required.

See also

• Marginal concepts
• Marginal rate of technical substitution (the same concept on production side)
• Indifference curves
• Consumer theory
• Convex preferences
• Implicit differentiation
• Labour economics

References

Adam Hayes. (2021, March 31). Inside the marginal rate of substitution. Investopedia. Jerelin, R. (2017, May 30). Diminishing marginal rate of substitution Indifference curve Economics. Economics Discussion

• Krugman, Paul; Wells, Robin (2008). Microeconomics (2nd ed.). Palgrave. ISBN 978-0-7167-7159-3.
• Pindyck, Robert S.; Rubinfeld, Daniel L. (2005). Microeconomics (6th ed.). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-008461-1.
• Dorfman, R. (2008). "Marginal Productivity Theory". In Palgrave Macmillan (ed.). The New Palgrave Dictionary of Economics. London: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/978-1-349-95121-5_988-2. ISBN 978-1-349-95121-5 – via SpringerLink.