매티슨-파페트루-딕슨 방정식

물리학에서, 특히 일반 상대성 이론에서, 매티슨-파파페트로-딕슨 방정식은 중력장에서 움직이는 거대한 회전 물체의 움직임을 묘사합니다.비슷한 이름과 수학적 형태를 가진 다른 방정식으로는 매티슨-파파페트로우 방정식과 파파페트로우-딕슨 방정식이 있다.세 개의 방정식은 모두 같은 물리학을 설명한다.

그것들은 M의 이름을 따서 붙여졌다. 매티슨,^[1] W. G. 딕슨,^[2] A. 파파페트로우^[3]

이 글은 전체적으로 자연 단위 c = G = 1 및 텐서 지수 표기법을 사용한다.

매티슨-파페트루-딕슨 방정식

$질량$ m(\ $display style$ m $)$ 회전체에 $m$ 대한 Mathisson-Papapetrou-Dixon(MPD) 공식은 다음과 같습니다.

{dk_{\nu }}{D\tau}}+{\lambda {1}{2}}S^{\lambda \mu \rho }V^{\rho }=0,\frac\da {{2}}S^{\lambda}\end { aligned}

$\tau$ ${\$ { $displaystyle$ \ $tau$ }는 $\tau$ 궤적을 따라가는 적절한 $k_{\nu }$ 이고 k $k_{\nu }$ {\ { \ $displaystyle$ k _ { \ nu $k_{\nu }$ }}는 $k_{\nu }$ 신체의 4가지 운동입니다.

k_{\nu }=\int _{t=text{const}}}{T^{0}_{\nu}{\sqrt {g}}d^{3}x,

$V^{\mu }$ $V^{\mu }$ μ(\ $displaystyle$ V $^{\mu})$ 는 $V^{\mu }$ 체내 $X^{\mu }$ $X^{\mu }$ μ(\ $displaystyle$ X $^{\mu})$ 의 $X^{\mu }$ 4속도이며, 스큐-대칭 $S^{\mu \nu }$ $S^{\mu \nu }$ μ $S^{\mu \nu }$ μ $S^{\mu \nu }$ (\ $displaystyle$ S $^{\mu\nu})$ 는 $S^{\mu \nu }$ 각운동량이다.

S^{\mu \nu }=\int _{t=text{const}}\left\{\left(x^{\mu }-X^{\mu }\right})T^{0\nu }-\left(x^{\nu }-X^{\nu }\right)T^{0\mu}\right\}{\sqrt {g}}d^{3}x

이 지점에 대한 시신의 정보를 수집합니다.시간-슬라이스 적분에서는 에너지-모멘텀 $T^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ μ $T^{\mu \nu }$ {\ $displaystyle$ T $^{\mu \nu }}$ 가 $T^{\mu\nu}$ 0이 아닌 체내에서 평탄한 좌표를 사용할 수 있을 정도로 몸이 컴팩트하다고 가정합니다.

현재로선 13개의 양을 결정하는 공식은 10개뿐입니다.이러한 수량은 S $S^{\lambda \mu }$ 의 6가지 성분(\ $displaystyle$ S $^{\lambda \mu$ k $k_{\nu }$ 의 4가지 성분(\ $displaystyle k_{\nu}})$ 및 $k_{\nu }$ $V^{\mu }$ 의 3가지 독립 성분(\ $displaystyle$ V $^{\mu$ 입니다.따라서 방정식은 차체에서 $V^{\mu }$ $V^{\mu }$ μ {\ $displaystyle$ V $^{\mu$ 를 갖는 지점을 결정하는 데 도움이 되는 세 가지 추가 제약조건으로 보완되어야 한다. 매티슨과 피라니( $V^{\mu }S_{\mu \nu }=0$ )는 원래 V $V^{\mu }S_{\mu \nu }=0$ S μ $V^{\mu }S_{\mu \nu }=0$ $V^{\mu }S_{\mu \nu }=0$ 0 {\ $displaystyle$ V $^{\mu$ } $S_{\nu$ } } $=0}$ 의 $V^{\mu }S_{\mu \nu }=0$ 조건을 적용하기로 선택했지만, 4가지 조건을 적용하기로 했다.nts는 $V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }$ $V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }$ $V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }$ μ V $V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }$ $V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }$ V ${\$ {\ 、 \ $displaystyle$ V^ { \ $mu } S_{$ \ $mu$ \ $nu$ } $V^$ { \ $nu$ }}이 $V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }$ (가) 0이므로 $V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }$ 의 제약조건만 포함합니다.그러나 이 상태는 독특한 해결책으로 이어지지 않으며 신비로운 "헬리컬 모션"^[4]을 일으킬 수 있습니다.Tulczyjew-Dixon $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ μ $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ $=$ 0 $(k_{0},k_{1},k_{2},k_{3})=(m,0,0,0)$ {\ $displaystyle k_{\$ mu \ $nu }=0}$ 은 $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ $X^{\mu }$ X $X^{\mu }$ μ {\ $displaystyle$ X^{\ $mu }$ 를 $X^{\mu }$ k인 $(k_{0},k_{1},k_{2},k_{3})=(m,0,0,0)$ 내 $(k_{0},k_{1},k_{2},k_{3})=(m,0,0,0)$ 질량의 중심으로 $(k_{0},k_{1},k_{2},k_{3})=(m,0,0,0)$ 하기 때문에 고유한 해로 이어진다 $(k_{0},k_{1},k_{2},k_{3})=(m,0,0,0)$ $laystyle(k_{0},k_{1},k_{2},k_{3})=(m,0,0,0$

Tulczyjew-Dixon $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ μ $k_{\mu }S^{\mu \nu }=0$ $=$ 0 ${\display k_{\mu } S^{\mu$ \ $nu$ }= $0$ 을 받아들이면 MPD 방정식의 두 번째를 다음과 같이 조작할 수 있습니다.

{DS_{\lambda \mu }}{D\tau }}+{\frac {1}{m^{2}}\left(S_{\lambda \rho}}k_{\mu}}{\frac {D\tau}}}+{\mu }\r

이것은 궤적을 따라 스핀 텐서의 페르미-워커 이송의 한 형태이지만, $V^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau$ $V^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau$ V $V^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau$ = $V^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau$ X $V^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau$ / d $V^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau$ † (\ $displaystyle$ V $^{\mu$ } $= DX^{\mu }/d$ 대신에 $k^{\mu }$ 운동량 $k^{\mu }$ $k^{\mu }$ μ(\ $displaystyle$ k $^{\mu$ })에 대한 직교성을 보존하는 형태이다 $.$

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레퍼런스

메모들

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엄선된 논문

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[1] M. Mathisson (1937). "Neue Mechanik materieller Systeme". Acta Physica Polonica. Vol. 6. pp. 163–209.

[2] W. G. Dixon (1970). "Dynamics of Extended Bodies in General Relativity. I. Momentum and Angular Momentum". Proc. R. Soc. Lond. A. 314 (1519): 499–527. Bibcode:1970RSPSA.314..499D. doi:10.1098/rspa.1970.0020. S2CID 119632715.

[3] A. Papapetrou (1951). "Spinning Test-Particles in General Relativity. I". Proc. R. Soc. Lond. A. 209 (1097): 248–258. Bibcode:1951RSPSA.209..248P. doi:10.1098/rspa.1951.0200. S2CID 121464697.

[4] L. F. O. Costa; J. Natário; M. Zilhão (2012). "Mathisson's helical motions demystified". AIP Conf. Proc. AIP Conference Proceedings. 1458: 367–370. arXiv:1206.7093. Bibcode:2012AIPC.1458..367C. doi:10.1063/1.4734436. S2CID 119306409.

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