일반 상대성 수학

아인슈타인의 일반 상대성 이론을 연구하고 공식화할 때, 다양한 수학적 구조와 기술이 사용된다.이 기하학적 중력 이론에서 사용되는 주요 도구는 시공간을 나타내는 로렌츠 다양체에 정의된 텐서 필드입니다.이 기사는 일반 상대성 이론의 수학에 대한 일반적인 설명입니다.

참고: 텐서를 사용하는 일반 상대성 기사들은 추상 지수 표기법을 사용합니다.

텐서

일반 공분산 원리는 일반 상대성 이론의 발달에 있어 중심 원리 중 하나였다.그것은 물리 법칙이 모든 기준 프레임에서 동일한 수학적 형태를 취해야 한다고 명시하고 있다.'일반 공분산'이라는 용어는 일반 상대성 이론의 초기 공식에서 사용되었지만, 지금은 종종 '이형 공분산'으로 언급된다.

미분동형 공분산은 ^[1]일반상대성이론의 결정적인 특징이 아니며 일반상대성이론의 현재 상태에 대한 논란은 여전하다.그러나 이론이 본질적으로 기하학적 특성(비유클리드 기하학을 사용)이라는 사실과 함께 원리에 내포된 물리 법칙의 불변성은 일반 상대성이론이 텐서들의 언어를 사용하여 공식화된다는 것을 시사했다.이것에 대해서는, 이하에 자세하게 설명합니다.

다지관으로서의 시공간

수학적 일반상대성이론에 대한 대부분의 현대적 접근은 다양체의 개념에서 시작된다.보다 정확하게는, 중력을 나타내는 기본적인 물리적 구조인 곡선 시공간은 4차원적이고 매끄럽고 연결된 로렌츠식 다양체에 의해 모델링됩니다.그 외의 물리 디스크립터는, 이하에 설명하는 다양한 텐서는 다음과 같습니다.

다지관을 기본적인 수학적 구조로 선택하는 근거는 바람직한 물리적 특성을 반영하기 위함이다.예를 들어 다양체 이론에서 각 점은 (단순히 고유하지 않은) 좌표 차트에 포함되며, 이 차트는 관찰자 주변의 '국소 시공간'을 나타내는 것으로 생각할 수 있다.특수상대성이론의 법칙이 시공간 각각의 점에 대해 국부적으로 유지된다는 국부 로렌츠 공분산의 원리는 일반 다양체의 점, '와 같이 보인다', 또는 매우 가까운 민코프스키 공간(평탄한)에 국부적으로 시공간을 표현하기 위한 다양체 구조의 선택에 더 많은 지지를 제공한다.시공간)

좌표 차트를 '근처에서 측정을 수행할 수 있는 국소 관측자'로 보는 것도 물리적 데이터를 실제로 국소적으로 수집하는 방법이기 때문에 물리적 의미가 있다.우주론적 문제의 경우 좌표 차트가 상당히 클 수 있습니다.

로컬과 글로벌 구조

물리학의 중요한 차이점은 국지적 구조와 지구적 구조의 차이입니다.물리학의 측정은 비교적 작은 시공간 영역에서 수행되며, 이것이 일반 상대성 이론에서 시공간 국소 구조를 연구하는 이유 중 하나이며, 반면 전지구 시공간 구조를 결정하는 것은 특히 우주론적인 문제에서 중요하다.

일반 상대성 이론에서 중요한 문제는 적어도 국소적으로 두 개의 공간이 '동일' 때 구분하는 것이다.이 문제는 같은 차원의 두 리만 다양체가 국소적으로 등각(국소적으로 동일한)지 여부를 결정하는 다양체 이론에 뿌리를 두고 있다.이 후자의 문제는 해결되었고 일반 상대성 이론의 적응은 카르탕-칼헤데 알고리즘이라고 불립니다.

일반상대성이론의 텐서

상대성 이론의 심오한 결과 중 하나는 특권 기준 프레임의 폐지였다.물리적 현상에 대한 설명은 측정을 누가 하느냐에 따라 달라지지 않아야 한다. 한 기준 프레임은 다른 기준 프레임만큼 우수해야 한다.특수상대성이론은 어떤 관성 기준 프레임도 다른 관성 기준 프레임보다 우선하지 않고 비관성 기준 프레임보다 관성 기준 프레임을 선호한다는 것을 보여주었다.일반상대성이론은 자연을 기술하기 위해 선호되는 기준 프레임(관성 여부에 관계없이)이 없음을 보여줌으로써 관성 기준 프레임에 대한 선호도를 제거했다.

모든 관찰자는 측정을 수행할 수 있으며, 정확한 수치는 사용되는 좌표계에 의해서만 결정됩니다.이것은 사용된 좌표계(관측자에 의해 표현됨)로부터 독립적이면서도 여전히 독립적인 존재인 '불변 구조'를 사용하여 상대성을 공식화하는 방법을 제안했다.가장 적합한 수학적 구조는 텐서인 것 같았다.예를 들어, 가속 전하에 의해 생성되는 전기장과 자기장을 측정할 때, 필드의 값은 사용되는 좌표계에 따라 달라지지만, 필드는 독립적인 존재, 즉 전자기 텐서로 표현되는 독립성을 갖는 것으로 간주됩니다.

수학적으로 텐서는 일반화 선형 연산자 - 다중 선형 맵입니다.이와 같이 선형대수의 개념은 텐서를 연구하기 위해 사용된다.

다지관의 각 $점$ p $\displaystyle$ p에는 $p$ 다지관에 대한 접선 및 코탄젠트 공간을 구성할 수 있다.벡터(반변 벡터라고도 함)는 탄젠트 공간의 요소로 정의되며 코벡터(공변 벡터라고도 함)는 공변 벡터 또는 원 형태이다.

$p$ \ $displaystyle$ p $p$ , 、 type $(r,s)$ ( $(r,s)$ , $(r,s)$ s $(r,s)$ ) \ $displaystyle ( r$ , $s$ )텐서를 $(r,s)$ 작성하는 데 사용할 수 있습니다.이 텐서는 접선공간의 r\ $displaystyle$ s $\$ $s$ 과 r $\$ $displaystyle$ r $\$ 의 $r$ $s$ 직합에 작용하는 실수치 멀티라인 맵입니다.이러한 모든 다중 선형 맵의 집합은 p{{ $displaystyle$ p $}$ 에서 $(r,s)$ $p$ type $(r,s)$ , $(r,s)$ ) { $displaystyle$ (r $(r,s)$ , $(r,s)$ s ) {style (r , $(r,s)$ s )} { $displaystyle (t_{p) _{s}^{r}M$ )의 텐서 곱 공간이라고 불리는 벡터 공간을 형성하며, $(T_{p})_{s}^{r}M.$ 공간이 n차원인 경우 p $\dim(T_{p})_{s}^{r}M=n^{r+s}.$ 를 $\dim(T_{p})_{s}^{r}M=n^{r+s}.$ 수 있다 $.$ $.$ $}$

일반 상대성 이론 문헌에서는 텐서에 성분 구문을 사용하는 것이 일반적이다.

유형 $(r,s)$ , $(r,s)$ ) { $displaystyle (r, s)}$ 텐서는 $(r,s)$ 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle T={T^{a_{1}\dots a_{r}}_{b_{1}_{\frac {b_{s}}{\frac}{\frac x^{1}}}{\otimes \frac x^{a_r}}}}}}{\times {\frac x^{b}}}}{b}}}}}}}}}}}{botimes {\times {b}}}}}}}}}{{b}}}}}}}}}\times

여기서

{\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}

{\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}

{\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}

i

{\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}

{\

textstyle

{\

frac x^{a_{i}}}

는

{\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}

i번째 접선 공간의 기준이고

dx^{b_{j}}

x

dx^{b_{j}}

{\

displaystyle

dx

^{b_{j}}}

는

dx^{b_{j}}

j번째 코탄젠트 공간의 기준입니다.

시공간이 4차원으로 가정되므로 텐서의 각 지수는 4가지 값 중 하나가 될 수 있다.따라서 텐서가 보유한 요소의 총 수는 4와 같다^R. 여기서 R은 텐서 $r+s$ 공변량 $(b_{i})$ i $)$ { $displaystyle(b_{i$ }) 및 $(b_{i})$ 반변량 $)$ { $displaystyle(a_{i})$ 인덱스의 $(a_{i})$ 수 r $r+s$ + $r+s$ { $displaystyle$ r $+s}($ 텐서 순위라고 하는 수)이다.

대칭 텐서 및 반대칭 텐서

일부 물리량은 모든 성분이 독립적이지 않은 텐서로 표현된다.이러한 텐서의 중요한 예로는 대칭 텐서와 반대칭 텐서가 있습니다.반대칭 텐서는 일반적으로 회전을 나타내는 데 사용됩니다(예: 소용돌이 텐서).

4차원의 일반 등급 R 텐서는 4개의 구성요소를 가지지만^R, 대칭성 또는 반대칭성과 같은 텐서의 제약조건은 구별되는 구성요소의 수를 감소시키는 역할을 한다.예를 들어 대칭 순위 2 $텐서$ T $(\$ $displaystyle$ $T)$ 는 $T$ $T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }$ β $T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }$ $T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }$ β β α $T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }$ β β α β α $P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }$ $= T_{\beta$ \alpha } $P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }$ T_{\beta $}$ 를 $T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }$ $P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }$ 하고, 대칭 순위 2 $텐서$ 2 $P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }$ P $(\displaystyle$ P $)$ 는 $P$ P $P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }$ $P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }$ β β β $P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }$ β β β β β β β α α α α $P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }$ α α α α α α α α $pha$ \beta } $=-P_{\beta$ \ $alpha$ }} 에는 $P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }$ 6개의 독립된 성분이 있습니다.순위가 두 개 이상인 경우 대칭 또는 반대칭 지수 쌍을 명시적으로 식별해야 합니다.

2등급의 반대칭 텐서는 상대성 이론에서 중요한 역할을 한다.그러한 텐서들의 집합은 종종 바이벡터라고 불리며, 때로는 바이벡터 공간이라고 불리며, 차원 6의 벡터 공간을 형성합니다.

미터법 텐서

미터법 텐서는 (아인슈타인 장 방정식을 푼 결과) 시공간 국소 기하학을 설명하는 일반 상대성 이론의 중심 물체이다.약장 근사를 사용하면 메트릭 텐서는 '중력 퍼텐서'를 나타내는 것으로도 생각할 수 있다.미터법 텐서는 종종 그냥 '미터법'이라고 불린다.

메트릭은 대칭 텐서이며 중요한 수학적 도구입니다.텐서 지수를 올리고 내리는 데 사용될 뿐만 아니라, 지오데식 운동 방정식과 리만 곡률 텐서를 구성하는 데 사용되는 연결도 생성합니다.

관련된 좌표 거리의 증분 간격과 함께 미터법 텐서를 표현하는 편리한 방법은 선 요소를 통과하는 것입니다.

ds^{2}=g_{ab}, syslog^{a}, syslog^{b}

이 메트릭을 표현하는 방법은 미분 기하학의 선구자들에 의해 사용되었다.일부 상대론자들은 이 표기법이 다소 구식이라고 생각하지만, 많은 사람들은 이 표기법과 대체 ^[1]표기법 사이를 쉽게 전환한다.

g=g_{ab},flash^{a}\otimes dx^{b}

메트릭 텐서는 일반적으로 4×4 행렬로 작성된다.이 행렬은 대칭이므로 10개의 독립 성분이 있습니다.

불변량

GR의 주요 특징 중 하나는 물리적 법칙의 불변성 개념입니다.이 불변성은 예를 들어 국소 로렌츠 공분산, 일반 상대성 원리 또는 미분형 공분산 등의 관점에서 설명될 수 있다.

텐서를 사용하여 보다 명확한 설명을 제공할 수 있습니다.이 접근법에 사용된 텐서의 중요한 특징은 (일단 메트릭이 주어지면) 모든 R 지수에 대해 R 등급의 텐서를 수축시키는 연산이 수축 수행에 사용하는 좌표 차트와 독립적인 숫자(불변량)를 제공한다는 사실이다.물리적으로, 이것은 만약 불변량이 어떤 두 관측자에 의해 계산된다면, 그들은 같은 숫자를 얻게 될 것이고, 따라서 불변량이 어떤 독립적인 의미를 갖는다는 것을 암시한다.상대성 이론의 중요한 불변량에는 다음이 포함된다.

리치 스칼라: $R=R^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }$ $R=R^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }$ $R=R^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }$ $R=R^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }$ $R=R^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }$ $R=R^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }$ β {\ $displaystyle$ R = $R^{\$ alpha \ $disclar }g_{\alpha$ \disclar $}$
크레치만 스칼라: $K=R^{abcd}R_{abcd}$ $K=R^{abcd}R_{abcd}$ $K=R^{abcd}R_{abcd}$ $K=R^{abcd}R_{abcd}$ b $K=R^{abcd}R_{abcd}$ $K=R^{abcd}R_{abcd}$ $K=R^{abcd}R_{abcd}$ $K=R^{abcd}R_{abcd}$ $K=R^{abcd}R_{abcd}$ c d d b $K=R^{abcd}R_{abcd}$ d { $display style$ K = $R^$ { $abcd$ } R _ { $abcd$ }

상대성 이론에서 불변량의 다른 예로는 전자기 불변량과 다양한 곡률 불변량을 들 수 있으며, 중력 엔트로피와 와일 곡률 가설의 연구에서 후자의 적용 사례 중 일부가 있다.

텐서 분류

텐서의 분류는 순전히 수학적인 문제이다.그러나 GR에서는 물리적 해석을 가진 특정 텐서는 일반적으로 일부 물리학에 대응하는 텐서의 다른 형태로 분류할 수 있다.일반 상대성 이론에서 유용한 텐서 분류의 예로는 에너지-모멘텀 텐서의 세그레 분류와 와일 텐서의 페트로브 분류가 있다.텐서를 분류하는 방법은 다양하며, 텐서 불변량을 사용하는 것도 있다.

일반상대성이론의 텐서장

다지관의 텐서 필드는 다지관의 각 점에 텐서를 부착하는 지도입니다.이 개념은 섬유 다발 개념을 도입함으로써 보다 정확하게 만들 수 있다. 이 개념은 현재 맥락에서 다지관의 모든 지점에서 모든 텐서를 모아서 텐서 다발이라고 불리는 하나의 거대한 개체로 '다발'하는 것을 의미한다.그런 다음 텐서 장은 다지관에서 텐서 번들로의 지도로서 정의되며, 각 포인트 $p$ {\ $displaystyle$ p $}$ 는 $p$ p{\ $displaystyle$ p $p$ 의 텐서와 관련된다.

텐서장의 개념은 GR에서 매우 중요하다.예를 들어, 별 주위의 형상은 각 지점에서 미터법 텐서에 의해 설명되므로, 시공간 각각의 지점에서 미터법의 값이 주어져야 물질 입자의 경로를 해결할 수 있다.또 다른 예로는 (전자장 텐서에 의해 주어진) 전기장과 자기장의 값과 그러한 장에서 하전 입자의 움직임을 결정하기 위한 하전 블랙홀 주위의 각 지점의 메트릭이 있습니다.

벡터 필드는 반변수 랭크 1 텐서 필드입니다.상대성 이론에서 중요한 벡터 필드에는 적절한 시간 단위당 이동 좌표 $A^{a}={\ddot {x}}^{a}$ 인 U $U^{a}={\dot {x}}^{a}$ $U^{a}={\dot {x}}^{a}$ $a$ a \ $displaystyle$ U $^{a$ } = x $U^{a}={\dot {x}}^{a}$ $A^{a}={\ddot {x}}^{a}$ a \ $displaystyle$ A $=$ x = a \ displaystyle A^{a } $A^{a}={\ddot {x}}^{a}$ $dot {x}$ ^{ $a}$ } $U^{a}={\dot {x}}^{a}$ } } the $A^{a}={\ddot {x}}^{a}$ the the $U^{a}={\dot {x}}^{a}$ the the $the$ - - - - - - - - - - - - - - - - - - $-$ - - - - $전하$ 및 전류 $J^{a}$ 밀도를 나타내는 $J^{a}$ J $^{a$ }.상대성 이론에서 물리적으로 중요한 다른 텐서 장에는 다음이 포함된다.

응력-에너지 $T^{ab}$ $T^{ab}$ $T^{ab}$ b {\ $displaystyle$ T $^{ab$ 대칭 2위 텐서.
전자장 $F^{ab}$ $F^{ab}$ $F^{ab}$ b $F^{ab}$ {\ $displaystyle$ F $^{ab$ 랭크 2의 반대칭 텐서.

비록 '텐서'라는 단어는 한 점에 있는 물체를 가리키지만, 시공간(또는 그것의 영역)의 텐서장을 그냥 '텐서'라고 부르는 것이 일반적이다.

측정지표가 정의된 시공간에서 측정지표는 실베스터의 관성의 법칙을 사용하여 민코프스키 형태로 축소할 수 있다.

텐셔너리 유도체

일반상대성이론이 등장하기 전에 물리적 과정의 변화는 일반적으로 전자기장의 변화를 설명하는 부분 도함수에 의해 설명되었다(맥스웰 방정식 참조).특수 상대성 이론에서도 편도함수는 이러한 변화를 설명하기에 충분하다.그러나 일반 상대성 이론에서는 텐서이기도 한 도함수를 사용해야 한다는 것이 밝혀졌습니다.도함수는 벡터장의 적분 곡선에 따른 도함수라는 것을 포함하여 몇 가지 공통적인 특징을 가지고 있다.

평탄하지 않은 다양체의 도함수를 정의할 때 문제는 서로 다른 지점에서 벡터를 비교할 수 있는 자연스러운 방법이 없다는 것입니다.도함수를 정의하려면 일반 다지관에 추가 구조가 필요합니다.아래는 각각의 경우에 매니폴드에 추가 구조를 적용하여 정의할 수 있는 두 가지 중요한 파생 요소에 대해 설명합니다.

아핀 접속

시공간 곡률은 어떤 지점에서 벡터를 취하여 시공간에서 곡선을 따라 평행하게 전송함으로써 특징지을 수 있다.아핀 연결은 벡터의 방향을 바꾸지 않고 다지관상의 곡선을 따라 벡터를 합법적으로 이동하는 방법을 설명하는 규칙입니다.

정의상 아핀 접속은 쌍선형 맵 $\Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\to \Gamma (TM)$ × $\Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\to \Gamma (TM)$ ( $\Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\to \Gamma (TM)$ $\Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\to \Gamma (TM)$ ( $)$ \ $Gamma(TM)\times$ \ $Gamma$ (TM)\ $Gamma$ $\Gamma (TM)$ TM $)\$ to \Gamma $($ M $\Gamma (TM)$ 입니다.이 쌍선형 맵은 연결 계수 세트(크리스토펠 기호라고도 함)로 설명할 수 있으며, 이는 무한소 병렬 전송에서 기저 벡터의 구성요소에 어떤 일이 일어나는지 지정하는 것입니다.

({displaystyle\displaystyle_{i}}e_{j}=\Gamma_{ji}^{k}e_{k})

외관상으로는 연결계수는 텐서의 구성요소가 아닙니다.

일반적으로 각 시공간에는 $(\$ D $^{3})$ 의 $D^{3}$ 독립된 접속계수가 $D^{3}$ . $\Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}$ j $\Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}$ i k $\Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}$ $\Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}$ $\Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}$ $\Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}$ { $displaystyle$ \ $Gamma$ _ { $ji$ }^{k} = \ $Gamma$ _ { $ij$ }^{ $k$ 인 경우 대칭 또는 비틀림 없는 연결이라고 합니다. 대칭 연결은 ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}D^{2}(D+1)}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}D^{2}(D+1)}$ 의 $D$ + $)({$ textstyle $\tfrac {tfrac1}{D})$ 를 가집니다 $.$

이 곡선의 모든 $A=\gamma (0)$ $\gamma$ {\(\ $displaystyle$ $\displaystyle$ \displaystyle \display $)$ 및 두 점 $A=\gamma (0)$ $B=\gamma (t)$ $A=\gamma (0)$ )( $B=\gamma (t)$ $)$ 에 $A=\gamma (0)$ 대해 A\ $displaystyle$ A $B=\gamma (t)$ = \ $gamma$ $( t)$ 의 $B=\gamma (t)$ 접선 공간에 있는 벡터 맵을 A \ $displaystyle$ B= \ $gamma$ ( t $)$ 의 $A$ 접선 공간에 표시합니다.

X(t)=\Pi _{0,t,\display }X(0)

X(t)

X

X(t)

t

)

{

displaystyle

X

(t)}

는

X(t)

미분 방정식을 풀어서 성분별로 계산할 수 있습니다.

{d}{dt}X^{i}(t)=\nabla_{C(t)}X^{i}(t)=\Gamma_{j}X^{j}(t)C^{k}(t)

C^{j}(t)

서 C

C^{j}(t)

j (

C^{j}(t)

) {

displaystyle

C

^{j}(t

)}는

C^{j}(t)

\gamma (t)

(

\gamma (t)

) {

displaystyle \gamma (t

지점에서 곡선에 접하는 벡터입니다.

일반 상대성 이론에서 중요한 아핀 연결은 리바이스-시비타 연결로, 이 연결은 곡선을 따라 접선 벡터의 내적을 일정하게 유지하면서 곡선을 따라 평행하게 전달함으로써 얻어지는 대칭 연결이다.결과 연결 계수(Christofel 기호)는 메트릭에서 직접 계산할 수 있습니다.이러한 이유로 이러한 유형의 연결을 종종 메트릭 연결이라고 합니다.

공변 미분

X $(표시 스타일$ X $)$ 를 $X$ 점으로 ${\vec {A}}$ , ${\vec {B}}$ ${\vec {A}}$ ${\vec {B}}$ $X(표시$ 스타일 X $X$ 에 위치한 벡터이며 $,$ B $→(표시$ 스타일 { $B})$ 를 ${\vec {A}}$ ${\vec {B}}$ 벡터 필드라고 $합니다$ . $A$ ${\vec {A}}$ $({$ displaystyle ${\vec {B}}$ ${$ $A$ $})$ 의 방향에 $X$ 따라 $({$ 에서 B ${\vec {A}}$ →({ $displaystyle$ { $B$ $})$ 를 ${\vec {B}}$ ${\vec {B}}$ 으로 의미 있게 구분하는 발상은 아핀 연결과 파라미터화된 $부드러운$ 곡선 $t)$ 을 선택하면 $\gamma (t)$ $X=\gamma (0)$ 할 수 있다.= $X=\gamma (0)$ ( $0$ ) { $displaystyle$ X = \ $gamma$ ( $X=\gamma (0)$ 0 $X=\gamma (0)$ ) $및$ A ${\textstyle {\vec {A}}={\frac {d}{dt}}\gamma (0)}$ ${\textstyle {\vec {A}}={\frac {d}{dt}}\gamma (0)}$ d ${\textstyle {\vec {A}}={\frac {d}{dt}}\gamma (0)}$ ( ${\textstyle {\vec {A}}={\frac {d}{dt}}\gamma (0)}$ 0 ){ $textstyle$ { $vec$ { A } = $dfrac$ { $d$ } { $dt}$ \ $flac$ ( ${\textstyle {\vec {A}}={\frac {d}{dt}}\gamma (0)}$ 0 ${\textstyle {\vec {A}}={\frac {d}{dt}}\gamma (0)}$ )공식

\vec {A}} {\vec {B}}(X)=\lim _{\varepsilon {1}{\varepsilon }}\left[\Pi _{\varepsilon,0,\varepsilon}{\vec {B}}{\vec {\varepsilon}}}-{\lima\lima}}-}-}-{\lima

{\vec {B}}

→

{\vec {A}}

\Pi

{\

displaystyle

\

Pi}

과

\Pi

(와) 연관된 {\displaystyle

{\vec {B}}

{

A}}}

의

{\vec {B}}

{\vec {A}}

공변 도함수에 대해 곡선에 의존하지 않는 결과를 얻을 수 있으며 공변 도함수의 "물리적 정의"로 사용할 수 있다.

연결 계수를 사용하여 표시할 수 있습니다.

\displaystyle _{\vec {Y}}{\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}Y^{b}{\frac {\frac}{\frac x^{a}}=(X^{a}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c}}}Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}

X의 공변량 도함수( $X$ 접속과 관련하여)라고 불리며 $\nabla {\vec {X}}$ {\ $displaystyle \displayla {X$ 로 표시되는 괄호 안의 식은 계산에 더 자주 사용됩니다.

({displaystyle \displayla {X}=X^{a}_{;b}{\frac}{\times dx^{b}=(X^{a}_{,b}+Gamma _{bc}^{a}X^{c}){frac}{\frac}{b}{\frac}

따라서 $X$ 의 공변 도함수({ $style$ X})는 $X$ 유형(1, 1) 텐서로 보내는 벡터 필드에 작용하는 미분 연산자로 볼 수 있으며(공변 지수 증가) 유형 $(r,s+1)$ $(r,s+1)$ $displaystyle$ $(r,s+1)$ $r, s)\$ style(r, $)\$ style $(r$ , s)\style(r, $s$ ) 텐서 $(r,s)$ 필드에 작용하는 것으로 일반화할 수 있다. $+1)}$ 텐서 $(r,s+1)$ 필드.병렬 전송의 개념은 벡터 필드의 경우와 유사하게 정의될 수 있습니다.정의에 따르면, 스칼라 필드의 공변 도함수는 필드의 정규 도함수와 같다.

문헌에서는 공변량 분화를 나타내는 세 가지 일반적인 방법이 있다.

D_{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=\dotsla _{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=T_{d\dots e;a}^{b\dots c

정규 편도함수의 많은 표준 특성은 공변 도함수에도 적용된다.

{\displaystyle {begin {aligned}\nabla _{a}(X^{b}+)Y^{b}&=\nabla_{a}X^{b}+\nabla_{a}Y^{b}\\nabla_{a}(cX^{b})&=c\nabla_{a}X^{b}&c{\text{a}\nabla_{a}(X^{b})Y^{c}&=Y^{c}(\nabla_{a}X^{b})+X^{b}(\nabla_{a})Y^{c}\\nabla _{a}(f(x)X^{b})&=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}\nabla _{a}f=f\nabla _{b}+X^{b}{\partial f}\over x}\nabla}.

일반 상대성 이론에서, 보통 "the" 공변 도함수를 언급하는데, 이는 Levi-Civita 아핀 연결과 관련된 것이다.정의에 따르면, Levi-Civita 연결은 병렬 전송 하에서 메트릭을 보존하므로, 공변 도함수는 메트릭 텐서(및 그 역)에 작용하면 0을 준다.즉, (역) 미터법 텐서를 도함수에 넣고 빼서 지수를 올리고 내리는 데 사용할 수 있다.

\displaystyle \displayla _{a}T^{b}=\nabla_{a}(T_{c}g^{bc})=g^{bc}\nabla_{a}T_{c}}

Lie 파생상품

또 다른 중요한 장력파생물은 Lie파생물이다.공변 도함수와 달리, 일반 상대성 이론에서는 일반적으로 아핀 연결을 통해 메트릭에 의존하는 것처럼 보이는 식을 사용하지만, Lie 도함수는 메트릭과 독립적이다.공변 도함수는 서로 다른 점에서 벡터 간의 비교를 가능하게 하기 위해 아핀 접속을 필요로 하는 반면, Lie 도함수는 같은 목적을 달성하기 위해 벡터 필드의 합치를 사용한다.함수를 일치점을 따라 끌어다 놓는다는 생각은 Lie 도함수의 정의로 이어지며, 끌어다 놓은 함수는 주어진 지점에서 원래 함수의 값과 비교됩니다.Lie 미분은 $(r,s)$ ( $(r,s)$ , $(r,s)$ s ) { $displaystyle ( r$ , $s$ ) \ displaystyle ( $(r,s)$ r , s ) $(r,s)$ }텐서 $(r,s)$ $(r,s)$ 필드에 대해 정의할 수 있으며, 이 점에서 type $(r,s)$ $(r,s)$ , $(r,s)$ $(r,s)$ ) \ $displaystyle$ ( r , $s$ $)\$ displaystyle ( $r$ , s )텐서 $(r,s)$ 타입 $(r,s)$ ( $(r,s)$ , $(r,s)$ s )텐서로 전송되는 맵으로 볼 수 있습니다.

Lie 미분은 보통 ${\mathcal {L}}_{X}$ X $(\$ 로 표시됩니다. 여기서 $X$ (\ $displaystyle$ X $)$ 는 $X$ Lie 미분이 취해지는 벡터 필드입니다.

벡터 필드를 따르는 텐서의 Lie 도함수는 해당 텐서와 벡터 필드의 공변 도함수를 통해 표현될 수 있다.스칼라의 Lie 도함수는 방향 도함수일 뿐입니다.

{L}_{X}\phi =X^{a}\nabla _{a}\phi =X^{a}{\frac {\frac \phi}{\frac x^{a}}}}}

Lie 도함수가 취해질 때 순위가 높은 객체가 추가 항을 선택합니다.예를 들어, (0, 2) 텐서의 Lie 도함수는 다음과 같다.

{\displaystyle\mathcal {L}}T_{ab}=X^{c}\nabla_{c}T_{ab}+({a}X^{c})T_{cb}+({b}X^{c})T_{ac}=X^{c}T_{ab,c}+X_{,a}^{c}T_{cb}+X_{,b}^{c}T_{ac}}

좀 더 일반적으로 말하면

{begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}&T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{b_{1}\dots b_{s}}=X^{c}(\nabla_{c}T^{a_{1}\dots a_{r}}}_{b_{1}\ldots_{s}}-\\\\\\la_la_{c}_{c}_{c}_{c}_{c}_{c}_c}_c}_c}_c}_\\\\\\c}_c}_\\\\T^{c\ldots a_{r}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\cdots -(\nabla_{c}X^{a_{r})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\dots b_{s}}+\&quad(\nabla _{b_{1}X^{c})T^{a_{1}\dots a_{r}{}_{c\dots b_{s}}+\cdots +(\nabla_{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\dots a_{r}{}_{b_{1}\dots b_{s-1}c}\end{aligned}

실제로 위의 식에서는 【{ $displaystyle \nabla$ _ ${a}】$ 와 $\nabla_a$ 임의의 비틀림 없는 접속을 가진 ${\tilde {\nabla }}_{a}$ 도함수 $【{$ 또는 ${\tilde {\nabla }}_{a}$ 국소적으로 치환할 수 있으며, $【\$ a $\partial _{a}$ 는 li}이다.메트릭에 의존하지 않습니다.그러나 공변 미분은 지수를 올리고 내리므로 편리합니다.

일반 상대성 이론에서 Lie 도함수의 주요 용도 중 하나는 텐서나 다른 기하학적 물체가 보존되는 시공간 대칭에 대한 연구이다.특히, 킬링 대칭(Lie draging에서 메트릭 텐서의 대칭)은 공간적 시간 연구에서 매우 자주 발생한다.위의 공식을 사용하여 벡터 필드가 Killing 대칭을 생성하기 위해 충족해야 하는 조건을 기록할 수 있습니다.

{\mathcal {L}}_{X}g_{ab}=0&\왼쪽 화살표\la_{a}X_{b}+\nabla_{a}=0\&\긴 왼쪽 화살표 X^{c}g_{ab,c}+X_{,a}^{c}g_{,bc}+X_{,{c}^{c}g_{ac}=0\end{aligned}}

리만 곡률 텐서

일반상대성이론의 중요한 특징은 곡선다양체의 개념이다.다지관의 곡률을 측정하는 유용한 방법은 리만(곡선) 텐서라고 불리는 물체를 사용하는 것입니다.

이 텐서는 두 곡선을 따라 두 점 간에 벡터를 병렬로 전송하는 효과를 고려하여 아핀 연결을 사용하여 곡률을 측정합니다.이 두 병렬 전송 경로의 결과 사이의 불일치는 기본적으로 리만 텐서에 의해 정량화된다.

리만 텐서의 이 특성은 초기 평행 측지학이 어떻게 분산되는지를 설명하는 데 사용될 수 있다.이것은 측지선 편차의 방정식으로 표현되며 중력장에서 경험하는 조력이 시공간 곡률의 결과라는 것을 의미한다.

위의 절차를 사용하여, 리만 텐서는 유형(1, 3) 텐서로 정의되며, 완전히 기록될 때 크리스토펠 기호와 첫 번째 부분 도함수가 명시적으로 포함됩니다.리만 텐서는 20개의 독립된 성분을 가지고 있다.한 영역에서 이러한 모든 구성 요소가 사라지면 해당 영역의 시공간이 평평하다는 것을 나타냅니다.측지선 편차의 관점에서, 이것은 시공간 영역에서 초기에 평행한 측지선이 평행하게 유지된다는 것을 의미합니다.

리만 텐서는 때때로 리만 텐서의 대칭이라고 불리는 많은 특성을 가지고 있다.일반 상대성 이론과 특히 관련이 있는 것은 대수적, 미분적 비앙키 항등식이다.

모든 리만 다양체의 연결과 곡률은 밀접하게 관련되어 있으며, 홀로노미 그룹의 이론은 다양체 상의 곡선을 중심으로 평행 운송에 의해 정의된 선형 지도를 취함으로써 형성되며, 이 관계에 대한 설명을 제공한다.

리만 텐서는 공간이 평평한지, 곡면인 경우, 주어진 영역에서 발생하는 곡률의 양을 수학적으로 말해줍니다.리만 곡률 텐서를 도출하기 위해서는 먼저 1개의 지수와 2개의 지수를 가진 텐서의 공변량 도함수의 정의를 상기해야 한다.

$\displaystyle \mu }V_{\nu }=\display_{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{\mu \nu }V_{\rho }}$
$\nu }[V_{\mu \nu } =\displays_{\gamma }V_{\rho }_{\mu \nu }-\Gamma ^{\rho } =\gamma _{\nu$

리만 텐서의 형성을 위해, 공변 미분은 순위 1의 텐서와 관련하여 두 번 취해진다.방정식은 다음과 같이 설정됩니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\nabla _{\sigma, \mu}V_{\nu}&, =\nabla _ᆯ[\nabla_{\mu}V_{\nu}]\\&,=\partial _ᆰ[\nabla_{\mu}V_{\nu}]-\Gamma ^ᆱᆲ_ᆳ[\nabla_{\rho}V_{\nu}]-\Gamma ^ᆴᆵ_ᆶ[\nabla_{\mu}V_{\rho}]\\&,=\partial _{\sigma}는 경우에는\partial _{\mu}V_{\nu}-\Gamma ^{\alpha}{}_{\nu.\mu}V_{\alPha}]-\Gamma ^ᆫᆬ_ᆭ[\partial_{\rho}V_{\nu}-\Gamma ^{\alpha}{}_{\nu \rho}V_{\alpha}]-\Gamma ^ᆮᆯ_ᆰ[\partial_{\mu}V_{\rho}-\Gamma ^{\alpha}{}_{\rho \mu}V_{\alpha}]\\&,=\partial _{\sigma}\partial _{\mu}V_{\nu}-\partial _ᆴ(\Gamma ^{\alpha}{}_{\nu \mu}V_{\alpha})-\Gamma ^{\rho}{}_{\mu \s.igma엄마.^{\alpha }{{\nu \mu }\partial _{\sigma }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\rho }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho } \ma } \mu } \ma } \mu } \s } \gammu } \gma } \mu } }

마찬가지로 다음과 같은 것이 있습니다.

\displaystyle \mu ;\nu }V_{\nu }=\displays _{\mu }V_{\displays }-\mu }(\gamma ^{\nu }_{\nu \gama }) V_{\mu ^{\na }mma ^{\rho }{\nu \mu }\partial _{\sigma }V_{\rho }+\Gamma ^{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\rho }_{\sigma }V_{\alpha }}

두 방정식을 빼고 더미 지수를 교환하고 크리스토펠 기호의 대칭을 사용하면 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle _{\nu }-\displayla _{\mu ;\display }V_{\nu }=(\displaystyle _{\mu }\Gamma ^{\alpha })-\displaystyla _{\nu }-{\nu }V_{\nu }-{\nu

또는

\displaystyle R_{\nu \mu \mu }^{\alpha }V_{\alpha }=(\gamma ^{\nu \mu }{\gam }b-\gamma ^{\nu \mu }+Gama ^{\gam})

마지막으로 리만 곡률 텐서는 다음과 같이 기술된다.

R_{\nu \mu }^{\alpha }=\gamma ^{\alpha }_{\nu \mu }_{\gamma }-\gamma ^{\nu }+\gamma } \nu } \gamma ={\nu }

지수를 수축시켜 단순히 메트릭을 곱함으로써 텐서를 공변량으로 만들 수 있습니다. 이는 아인슈타인의 필드 방정식을 사용할 때 유용합니다.

g_{\alpha \mu \displayda }R_{\nu \displayda}=R_{\alpha \nu \mu \display }

그리고 더 분해함으로써

\displaystyle g^{\alpha \mu }R_{\alpha \nu \mu \mu }=R_{\nu \mu }

이 텐서는 리만 텐서의 $\alpha$ α(\ $displaystyle \alpha})$ 와 $\alpha$ $μ(\displaystyle$ \mu $})$ 를 $\mu$ 동일한 인디스로 $\alpha$ 하고 그 위에 합을 더해 Ricci 텐서라고 불립니다.그러면 곡률 스칼라는 한 걸음 더 나아가서 찾을 수 있습니다.

g^{\nu \display}R_{\nu \display}=R

자, 이제 3개의 다른 물체가 있습니다.

리만 곡률 텐서: $R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }$ $R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }$ μ $R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }$ ${\displaystyle R_$ {\nu $\sigma }^{\$ alpha $R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }$ }} $R_{\alpha \nu \mu \sigma }$ $R_{\alpha \nu \mu \sigma }$ α $R_{\alpha \nu \mu \sigma }$ {\ {\ $displaystyle R_{\alpha \nu \sigma$ }}
Ricci 텐서: $R_{\nu \sigma }$ $R_{\nu \sigma }$ {\ $R_{\nu \sigma }$ （ \ $displaystyle$ R _ { \ $nu$ \ $sigma }$ ）
스칼라 곡률: $R$ {\ $displaystyle$ R $}$

이 모든 것들은 아인슈타인의 장 방정식에 대한 해법을 계산하는데 유용하다.

에너지-모멘텀 텐서

중력장(물질과 에너지)의 원천은 에너지-모멘텀 텐서라고 불리는 (0, 2) 대칭 텐서로 상대성 이론에서 표현된다.그것은 리치 텐서와 밀접하게 관련되어 있다.에너지-모멘텀 텐서는 4차원의 두 번째 순위 텐서로서 4x4 행렬로 볼 수 있다.에너지-모멘텀 텐서가 특정 형태를 만족하도록 강요되는 에너지 조건이 배제되기 때문에 조던 형식이라고 불리는 다양한 허용 매트릭스 유형은 모두 발생할 수 없습니다.

에너지 절약

GR에는 에너지-모멘텀의 보존에 관한 현지법이 있습니다.텐서 방정식으로 간결하게 표현할 수 있다.

T^{ab}_{;b}=0

특수 상대성 이론에서 국소 에너지 보존에 대한 해당 문장은 다음과 같다.

T^{ab}{,b}=0

이는 '부분파생상품은 공변파생상품으로 간다'는 경험칙을 보여준다.

아인슈타인 장 방정식

아인슈타인 장 방정식은 일반 상대성 이론의 핵심이다.EFE는 질량 및 에너지(응력-에너지 텐서에서 표현)가 시공간의 곡률(아인슈타인 텐서에서 표현)과 어떻게 관련되어 있는지를 설명한다.추상 인덱스 표기법에서는 EFE는 다음과 같습니다.

({displaystyle G_{ab}+\Lambda g_{ab}=blac {8\pi G}{c^{4}})T_{ab}}

G_{ab}

서 G

G_{ab}

b

({

})는

G_{ab}

아인슈타인 텐서,

\Lambda

({

displaystyle\Lambda})

는

\Lambda

우주 상수,

g_{ab}

g

g_{ab}

({

displaystyle g_{ab})

는 미터 텐서,

c

({

displaystyle

c

}

는

g_{ab}

c

진공에서의 빛의 속도,

G

({

displaystyle

G})는

G

뉴턴의 중력 상수입니다. 만유인력의 법칙

EFE의 솔루션은 미터법 텐서입니다.EFE는 메트릭에 대한 비선형 미분방정식이기 때문에 풀기 어려운 경우가 많습니다.이러한 문제를 해결하기 위해 사용되는 많은 전략이 있습니다.예를 들어, 하나의 전략은 최종 메트릭의 안사츠(또는 교육된 추측)에서 시작하여 좌표계를 지원할 수 있을 만큼 충분히 구체적이면서도 풀 수 있는 미지의 동시 미분 방정식을 산출할 수 있을 만큼 충분히 일반적일 때까지 다듬는 것입니다.에너지-모멘텀의 물리적으로 합리적인 분포를 위해 미분방정식을 정확히 풀 수 있는 경우에서 발생하는 메트릭 텐서를 정확한 해라고 합니다.중요한 정확한 솔루션의 예로는 슈바르츠실트 솔루션과 프리드먼-레마-트레-로버트슨-워커 솔루션이 있습니다.

EIH 근사치와 기타 참고 문헌(예: Geroch and Jang, 1975 - '일반상대성이론에서의 물체의 움직임', JMP, Vol. 16 Issue 1)

측지 방정식

측정지표를 얻기 위해 EFE가 해결되면, 시공간에서 관성 물체의 움직임을 결정하는 것이 남는다.일반상대성이론에서 관성운동은 적절한 시간에 의해 매개 변수화된 시공간에서의 시간적 지질학 및 늘 지오데식스를 따라 일어난다고 가정한다.측지선은 자체 접선 ${\vec {U}}$ U $→$ {\ $displaystyle {U}$ $\nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0$ $\nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0$ ${\displaystyle \vec$ ${\vec {U}}$ {U}} $= {\vec$ {U}} $=$ 0 {\ $displaystyle$ \vec {U}}} $\nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0$ 0 $\nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0$ 과 같이 병렬로 전송하는 곡선입니다.이 조건인 측지방정식은 $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$ $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$ U $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$ $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$ $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$ d ${\$ { d } { $displaystyle$ U^ { a } = displaystyle U^ { $a}$ { $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$ \ $frac$ } { $d\ flac$ } $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$ 의 $x^{a}$ $x^{a}$ a {\ $displaystyle x$ { a $x^{a}$ } }로 쓸 수 있습니다.

{x}^{a}+{\Gamma ^{a}_{bc},{\dot {x}^{b},{\dot {x}^{c}=0

여기서

{\

{\

displaystyle {}}

은

{\dot {}}

(는) 적절한 시간

d/d\tau

/

{\

{\

displaystyle

d/

d\

tau

d/d\tau

에 의한 도함수이며, rising 매개변수가 곡선을 따라 적정 시간 상승하여 크리스토펠 기호의 존재를 나타냅니다.

일반상대성이론의 주요 특징은 중력장에서의 입자와 방사선의 경로를 결정하는 것이다.이것은 측지방정식을 풀어서 이루어진다.

EFE는 총 물질(에너지) 분포를 시공간 곡률에 관련짓는다.이들의 비선형성은 결과 시공간에서 물질의 정확한 움직임을 결정하는 데 문제를 일으킨다.예를 들어, 별 주위를 도는 하나의 행성으로 구성된 시스템에서, 행성의 운동은 행성과 항성의 에너지-모멘텀 텐서로 필드 방정식을 풀어서 결정됩니다.행성의 중력장은 전체 시공간 기하학과 물체의 움직임에 영향을 미친다.따라서 필드 방정식을 사용하여 측지 방정식을 도출할 수 있다고 가정하는 것이 타당합니다.

시스템의 에너지-모멘텀 텐서가 먼지의 텐서일 경우, 에너지-모멘텀 텐서에 대한 국소 보존 법칙을 사용하여 측지방정식이 정확히 충족됨을 나타낼 수 있다.

라그랑주 공식

물리 이론에서 운동 방정식이나 장 방정식을 도출하는 문제는 많은 연구자들에 의해 매력적이라고 여겨진다.이러한 연산을 수행하는 꽤 보편적인 방법은 변형 미적분 기법을 사용하는 것인데, 여기서 사용되는 주요 객체는 라그랑지안이다.

많은 사람들은 이 접근법을 이론을 구성하는 우아한 방법이라고 생각하지만, 다른 사람들은 이론을 표현하는 형식적인 방법이라고 생각한다.

공간 분석을 위한 수학적 기법

이론을 공식화하는 데 사용되는 기본적인 수학적 구조를 개략적으로 설명한 후, 이제 공간적 시간을 조사하는데 사용되는 몇 가지 중요한 수학적 기술에 대해 논의하겠습니다.

프레임 필드

프레임 필드는 시공간에서 정의된 4개의 벡터 필드(1개의 타임라이크, 3개의 공간라이크)의 직교 정규 집합입니다.각 프레임 필드는 타임라이크 벡터 필드의 적분 곡선을 따라 이동하는 시공간의 관찰자를 나타낸다고 생각할 수 있다.모든 텐서량은 프레임 필드의 관점에서 표현될 수 있으며, 특히 메트릭 텐서는 특히 편리한 형태를 취한다.coframe 필드와 제휴하면 프레임필드는 공간적 시간 분석 및 수학적 결과를 물리적으로 해석하기 위한 강력한 도구를 제공합니다.

대칭 벡터 필드

시공간 분석의 일부 최신 기술은 시공간 대칭을 사용하는 데 크게 의존하고 있는데, 시공간은 시공간에서 벡터 필드(일반적으로 국소적으로 정의됨)에 의해 무한히 생성되며 시공간 대칭은 시공간에서 일부 특징을 보존한다.이러한 대칭 벡터장의 가장 일반적인 유형에는 킬링 벡터장과 일반화된 킬링 벡터장이 포함된다.대칭 벡터장은 일반 상대성 이론의 정확한 해들에 대한 연구에서 광범위한 응용을 발견하며, 그러한 벡터장들의 집합은 보통 유한 차원 리 대수를 형성한다.

코시 문제

코시 문제(초기 값 문제라고도 함)는 초기 조건이 주어진 미분 방정식에 대한 해답을 찾는 시도입니다.일반 상대성 이론의 맥락에서, 이것은 초서면에 대한 초기 데이터가 주어졌을 때 아인슈타인의 장 방정식 즉 쌍곡선 편미분 방정식에 대한 해답을 찾는 문제를 의미합니다.코치 문제를 연구하면 일반 상대성 이론의 인과관계 개념과 필드 방정식의 '파라미터 상승' 해법을 공식화할 수 있다.이상적으로는 글로벌 솔루션을 원하지만 일반적으로는 로컬 솔루션이 가장 바람직합니다.일반적으로 이 초기값 문제를 해결하려면 특정 좌표 조건을 선택해야 합니다.

스피노르 형식주의

스피너는 상대성 이론에서 몇 가지 중요한 응용 분야를 발견한다.특히 뉴먼-펜로즈 형식주의에서 테트라드를 사용하여 스페이타임을 분석하는 방법으로 사용하는 것이 중요하다.

일반 상대성 이론에서 스피너의 또 다른 매력적인 특징은 스피너 형식을 사용하여 일부 텐서 방정식을 작성할 수 있는 축약된 방법입니다.예를 들어 Weyl 텐서를 분류할 때 다양한 Petrov 유형을 결정하는 것은 텐셔너리 텐서와 비교할 때 훨씬 쉬워진다.

레지 미적분

레지 미적분은 로렌츠 다양체를 이산적인 '청크'(4차원 단순 블록)로 잘라서 블록 모서리 길이를 기본 변수로 삼는 형식주의다.아인슈타인의 이산 버전-힐베르트 작용은 이들 블록의 이른바 결손각, 즉 곡률 없음에 대응하는 제로 결손각을 고려함으로써 얻어진다.이 참신한 아이디어는 수치상대성 이론과 양자중력에서 근사법에 적용되며, 후자는 레지 미적분의 일반화를 사용한다.

특이점 정리

일반상대성이론에서는 상당히 일반적인 조건하에서 중력붕괴는 불가피하게 소위 특이점이라고 불리는 결과를 초래한다는 점에 주목했다.특이점은 방정식에 대한 해답이 무한해지는 점으로, 이론이 부적절한 범위에서 조사되었음을 나타냅니다.

수치상대성이론

수치상대성이론은 일반상대성이론의 하위 분야로, 아인슈타인의 방정식을 수치적 방법을 사용하여 풀려고 한다.발생하는 편미분 방정식에 대한 해법을 근사하기 위해 유한 차분, 유한 요소 및 의사 스펙트럼 방법이 사용된다.수치상대성이론에 의해 개발된 새로운 기술에는 블랙홀 공간에서 발생하는 특이점을 처리하기 위한 절제법 및 펑크법이 포함된다.일반적인 연구 주제로는 블랙홀과 중성자별이 있다.

섭동법

아인슈타인 장 방정식의 비선형성은 종종 그것들을 풀 때 근사 방법을 고려하게 만든다.예를 들어, 중요한 접근법은 필드 방정식을 선형화하는 것입니다.섭동 이론에서 나온 기술들은 그러한 영역에서 충분한 응용을 발견한다.

「」를 참조해 주세요.

리치 미적분 – 텐서 기반 계산을 위한 텐서 지수 표기법

메모들

^[1] 일반 상대성 이론의 결정적인 특징(중심 물리 사상)은 물질과 에너지가 주변의 시공간 기하학을 곡선으로 만든다는 것이다.

레퍼런스

^ g{ $displaystyle$ g $}$ $g$ 은 $g$ 일반적으로 공변 메트릭 텐서의 $g_{ab}$ g $g_{ab}$ $g_{ab}$ { $displaystyle g_{ab}$ 를 나타내기 위해 사용된다.

Einstein, A. (1961). Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
Petrov, A. N.; Kopeikin, S. M.; Tekin, B. & Lompay, R. (2017). Metric Theories of Gravity: perturbations and conservation laws. Berlin: De Gruyter. doi:10.1515/9783110351781. ISBN 978-3-11-035173-6.

[1] { $displaystyle$ g $}$ $g$ 은 $g$ 일반적으로 공변 메트릭 텐서의 $g_{ab}$ g $g_{ab}$ $g_{ab}$ { $displaystyle g_{ab}$ 를 나타내기 위해 사용된다.

[1]

v t 물리학과
디비전	순수하다 응용의 공학 기술
접근	실험적인 이론적인 계산
고전적인	고전 역학 뉴턴의 분석적 천상의 연속체 음향학 고전 전자기학 고전 광학 광선 파도. 열역학 통계 불균형평형
현대의	상대론적 역학 스페셜 일반 핵물리학 양자역학 입자 물리학 원자·분자·광학 아토믹 분자의 현대 광학 응집 물질 물리학
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목차

텐서

다지관으로서의 시공간

로컬과 글로벌 구조

일반상대성이론의 텐서

대칭 텐서 및 반대칭 텐서

미터법 텐서

불변량

텐서 분류

일반상대성이론의 텐서장

텐셔너리 유도체

아핀 접속

공변 미분

Lie 파생상품

리만 곡률 텐서

에너지-모멘텀 텐서

에너지 절약

아인슈타인 장 방정식

측지 방정식

라그랑주 공식

공간 분석을 위한 수학적 기법

프레임 필드

대칭 벡터 필드

코시 문제

스피노르 형식주의

레지 미적분

특이점 정리

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