일반 상대성 이론의 수학 입문

일반상대성이론
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=t_{\mu \nu }}$
서론 역사 수학 공식화 테스트
기본 개념 등가원칙 특수상대성이론 월드 라인 유사 리만 다양체
현상 케플러 문제 중력 렌즈 중력파 프레임 드래그 측지 효과 이벤트 호라이즌 특이점 블랙홀 시공간 시공간도 민코프스키 시공간 아인슈타인-로젠 다리
방정식 형식주의 방정식 선형 중력 아인슈타인 장 방정식 프리드만 측지학 매티슨-파페트루-딕슨 해밀턴-야코비-아인슈타인 형식주의 ADM BSSN 포스트뉴턴어 고급 이론 칼루자-클레인 이론 양자 중력
솔루션 슈바르츠실트(내부) 리스너-노르드스트롬 괴델 커 커-뉴먼 카스너 레마슈트르톨만 타우부 너트 밀른 로버트슨-워커 pp파 반스톡툼 더스트 바일루이스파파페트로우
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물리 포털 카테고리
v t

일반 상대성 이론의 수학은 복잡하다.뉴턴의 운동 이론에서, 물체가 가속하는 동안 물체의 길이와 시간이 흐르는 속도는 일정하게 유지되는데, 이것은 뉴턴 역학의 많은 문제들이 대수학만으로 해결될 수 있다는 것을 의미한다.그러나 상대성 이론에서는 물체의 길이와 시간이 흐르는 속도가 빛의 속도에 가까워짐에 따라 눈에 띄게 변화하는데, 이는 물체의 움직임을 계산하기 위해 더 많은 변수와 더 복잡한 수학이 필요하다는 것을 의미한다.결과적으로, 상대성은 벡터, 텐서, 의사 센서, 곡선 좌표와 같은 개념의 사용을 필요로 한다.

큰 질량의 원형 궤도를 따르는 입자의 예에 기초한 도입에 대해서는 일반상대성 이론의 뉴턴 동기, 일반상대성 이론의 동기 각각에 대해 상대성 이론의 처리를 한다.

벡터 및 텐서

벡터

수학, 물리학, 공학에서 유클리드 벡터(Euclide vector, 때때로 기하학적^[1] 또는 공간적 벡터,^[2] 또는 단순히 벡터라고도 함)는 크기와 방향을 모두 가진 기하학적 객체이다.벡터는 점 A를 점 B로 옮기는 데 필요한 것이고, 라틴어 벡터는 "^[3]전달하는 사람"을 의미합니다.벡터의 크기는 두 점 사이의 거리이며 방향은 A에서 B로의 변위 방향을 나타냅니다.덧셈, 뺄셈, 곱셈, 그리고 부정과 같은 실수에 대한 많은 대수적 연산들은 벡터, 교환성, 연관성, 그리고 분포성의 친숙한 대수적 법칙을 따르는 연산들에 대해 밀접한 유사점을 가지고 있다.

텐서

텐서는 벡터의 개념을 추가 방향으로 확장합니다.스칼라, 즉 방향이 없는 단순한 숫자는 점, 즉 0차원 물체로 그래프에 표시됩니다.크기와 방향을 가진 벡터는 그래프에 선으로 나타나는데, 이것은 1차원 물체이다.벡터는 일방향이기 때문에 1차 텐서이다.2차 텐서는 두 개의 등급과 두 개의 방향을 가지며, 그래프에 시계 바늘과 유사한 두 개의 선으로 나타납니다.텐서의 "순서"는 안에 포함된 방향의 수로, 개별 방향의 치수와 별개입니다.2차원의 2차 텐서는 2x2 행렬로 수학적으로 표현될 수 있고, 3차원의 3차 매트릭스로 표현될 수 있지만, 두 경우 모두 2차 텐서의 "제곱" 행렬이다.3차 텐서는 3개의 크기와 방향을 가지며, 3차원 방향의 경우 3x3x3 등의 숫자의 세제곱으로 표현된다.

적용들

벡터는 물리학의 기본이다.속도 등 크기와 방향을 모두 갖는 양을 나타내는 데 사용할 수 있습니다.예를 들어, 초당 5m의 속도는 벡터(0, 5)로 나타낼 수 있다(양수 y축을 '위'로 하는 2차원).벡터에 의해 표현되는 또 다른 양은 힘이다. 왜냐하면 벡터는 크기와 방향을 가지고 있기 때문이다.벡터는 또한 변위, 가속도, 운동량 및 각운동량과 같은 다른 많은 물리량을 나타냅니다.전기장과 자기장과 같은 다른 물리적 벡터는 물리적 공간의 각 지점에서 벡터의 시스템, 즉 벡터장으로 표현됩니다.

텐서는 물리학 분야에서도 광범위하게 응용되고 있습니다.

• 전자기 텐서(또는 패러데이의 텐서)
• 연속체 역학의 변형 및 변형 텐서를 설명하기 위한 유한 변형 텐서
• 유전율과 전기자극성은 이방성 매체에서 텐서이다.
• 일반 상대성 이론에서 운동량 플럭스를 나타내는 데 사용되는 응력-에너지 텐서
• 구면 텐서 연산자는 구면 좌표에서 양자 각 운동량 연산자의 고유 함수이다.
• 확산 텐서 영상의 기반인 확산 텐서는 생물학적 환경에서의 확산 속도를 나타낸다.

치수

일반 상대성 이론에서는 4차원 벡터, 즉 4 벡터가 필요합니다.이 네 가지 치수는 길이, 높이, 폭, 시간입니다.이 컨텍스트에서 "포인트"는 장소와 시간이 모두 있기 때문에 이벤트가 됩니다.벡터와 마찬가지로 상대성 이론의 텐서는 4차원이 필요합니다.하나의 예는 리만 곡률 텐서이다.

좌표 변환

수학뿐만 아니라 물리학에서, 벡터는 종종 좌표계나 기준 프레임에 의존하는 튜플 또는 숫자의 목록과 함께 식별된다.좌표계를 회전 또는 스트레칭하는 등 좌표가 변환되는 경우 벡터의 성분도 변환됩니다.벡터 자체는 변하지 않지만 참조 프레임은 변합니다.이것은 벡터의 성분이 변해야 보상된다는 것을 의미합니다.

벡터는 벡터 성분의 변환이 좌표의 변환과 어떻게 관련되어 있는지에 따라 공변량 또는 반변량이라고 불립니다.

• 역변위 벡터는 거리 단위(예: 변위) 또는 거리 곱하기 다른 단위(예: 속도 또는 가속도)를 가지며 좌표계와 반대 방향으로 변환됩니다.예를 들어 단위를 미터에서 밀리미터로 변경하면 좌표 단위는 작아지지만 벡터 내의 숫자는 커집니다. 즉, 1m는 1000mm가 됩니다.
• 반면, 공변 벡터는 (구배에서와 같이) 원오버 디스턴스 단위를 가지며 좌표계와 같은 방식으로 변환됩니다.예를 들어 미터에서 밀리미터로 변경하면 좌표 단위가 작아지고 구배를 측정하는 숫자도 작아집니다. 즉, m당 1Kelvin은 mm당 0.001Kelvin이 됩니다.

아인슈타인 표기법에서, 반변 벡터와 텐서의 성분은 윗첨자(예ⁱ: x)와 공변 벡터와 첨자가 있는 텐서의 성분(예: x_i)으로 나타난다. 지수는 적절한 행렬(종종 동일 매트릭스)에 의한 곱에 의해 "상승"되거나 "하강"된다.

상대성이론은 우주에서 다른 것보다 더 선호되는 기준점(또는 원근법)이 하나도 없다고 하기 때문에 좌표 변환은 중요하다.지구에서는 지구 전체에서 사용되는 북쪽, 동쪽, 표고와 같은 차원을 사용합니다.공간에는 그런 시스템이 없다.명확한 기준 그리드가 없으면 4차원을 방향/어웨이, 왼쪽/오른쪽, 위쪽/아래쪽 및 과거/미래로 설명하는 것이 더 정확해집니다.예를 들어, 지구가 움직이지 않는 물체라고 가정하고 독립 선언서의 서명을 고려합니다.레이니어 산의 현대식 관찰자에게 이 사건은 앞, 오른쪽, 아래, 그리고 과거에 일어난 일입니다.하지만 중세 영국의 관찰자가 북쪽을 바라본다면, 이 사건은 뒤로, 왼쪽으로, 위아래로, 그리고 미래에 일어날 일이 아니다.이벤트 자체는 변경되지 않았습니다.옵서버의 위치가 바뀌었습니다.

경사축

경사 좌표계는 축이 반드시 서로 직교하는 것이 아니라 직각 이외의 각도에서 만나는 좌표계입니다.위에서 설명한 대로 좌표 변환을 사용하는 경우 새 좌표계가 기존 좌표계에 비해 경사 축을 갖는 것으로 나타나는 경우가 많습니다.

논텐서

논텐서는 지수의 상승과 하강에서 텐서처럼 동작하는 텐서와 같은 양이지만 좌표 변환에서는 텐서처럼 변환되지 않는다.예를 들어 좌표가 선형으로 변경되지 않으면 크리스토펠 기호 자체가 텐서일 수 없습니다.

일반 상대성 이론에서는 중력장의 에너지와 운동량을 에너지-모멘텀 텐서로 설명할 수 없다.대신 제한된 좌표 변환에 대해서만 텐서로 작동하는 객체를 도입합니다.엄밀히 말하면, 그러한 물체는 전혀 텐서가 아닙니다.이러한 의사센서의 유명한 예는 Landau-Lifshitz 의사센서입니다.

곡선 좌표 및 곡선 시공간

곡선 좌표는 축 사이의 각도가 점마다 변할 수 있는 좌표입니다.즉, 직선의 그리드가 있는 대신 그리드에 곡률이 있음을 의미합니다.

이것의 좋은 예는 지구의 표면이다.지도는 종종 북쪽, 남쪽, 동쪽, 그리고 서쪽을 단순한 정사각형 그리드로 묘사하지만, 사실은 그렇지 않다.대신 남북으로 이어지는 경도선은 곡선을 그리며 북극에서 만난다.이것은 지구가 평평하지 않고 둥글기 때문입니다.

일반 상대성 이론에서 에너지와 질량은 우주의 4차원(= 시공간)에 곡률 영향을 미친다.이 곡률은 중력을 발생시킨다.일반적인 비유는 늘어진 고무 시트 위에 무거운 물체를 올려놓으면 시트가 아래로 휘어지는 것이다.이것은 우주의 물체가 그 물체가 있는 좌표계를 곡선으로 만드는 것과 마찬가지로 물체 주위의 좌표계를 곡선으로 만듭니다.여기서의 수학은 2D 곡면을 설명하는 데 사용되는 3차원 대신 4차원의 곡좌표가 생성되기 때문에 개념적으로 지구보다 더 복잡합니다.

병렬 전송

고차원 공간에서의 간격

유클리드 공간에서 두 점 사이의 거리는 두 점 사이의 거리에 의해 측정된다.거리는 순수하게 공간적이며 항상 양의 값입니다.시공간에서 두 사건 사이의 거리는 두 사건 사이의 불변 간격에 의해 측정되며, 이는 사건 간의 공간적 분리뿐만 아니라 시간적 분리도 고려한다.두² 이벤트 사이의 간격 s는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {s\mathrm{}}^{}}$ 2 $=$ ${\displaystyle {}^{}}$ r${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}{}^{}}$2 {\$displaystyle$ s$^{2$}=\$Delta$ r$^{2}-c^{2$시간 간격),

여기서 c는 빛의 속도이고, δr과 δt는 각각 사건 간의 공간과 시간 좌표의 차이를 나타냅니다.위의 s에 대한² 기호 선택은 공간과 같은 규칙(-+++)을 따릅니다.δr과² 같은 표기는 (δr)²을 의미합니다.s를 interval이라고 부르고 s를 interval이라고 부르지 않는 이유는² s가 양수, 0 또는 음수일 수 있기 때문입니다².

시공간 간격은 두 사건의 시간적 분리(cδt²²) 또는 공간적 분리(δr²)가 더 큰지 여부에 따라 세 가지 유형으로 분류할 수 있다. 시간적, 빛적 또는 공간적 분리(δr)이다.

특정 유형의 세계 선은 시공간 측지학이라고 불립니다. 즉, 평탄한 민코프스키 시공간에서는 직선이고 일반 상대성 이론의 곡선 시공간에서는 가장 가까운 직선입니다.순수하게 시간과 유사한 경로의 경우, 지오데식스는 두 사건 사이의 경로를 따라 측정되는 가장 큰 분리(공간 간격) 경로인 반면, 유클리드 공간과 리만 다양체에서 지오데식스는 두 ^[4][5]지점 사이의 최단 거리의 경로이다.측지학의 개념은 일반 상대성 이론에서 중심이 됩니다. 왜냐하면 측지학 운동은 시공간에서 "순수 운동"으로 생각될 수 있기 때문입니다. 즉, 외부의 영향으로부터 자유롭습니다.

공변 미분

공변 도함수는 벡터 미적분학의 방향 도함수의 일반화이다.방향도함수와 마찬가지로 공변도함수는 (1) P점에 정의되는 벡터 u(도함수가 취해지는)와 (2) P 근방에 정의되는 벡터장 v를 입력으로 하는 규칙이다.출력은 P 지점에서도 벡터입니다.일반적인 방향 도함수와의 주된 차이점은 공변 도함수가 특정한 정확한 의미에서 좌표계에서 표현되는 방식과 독립적이어야 한다는 것이다.

병렬 전송

공변 도함수가 주어졌을 때, P에서 시작하는 곡선 θ를 따라 P점에서 벡터 v의 평행수송을 정의할 수 있다.θ의 각 점 x에 대해, x에서의 v의 평행 수송은 x의 함수가 될 것이고, v(x)로 쓸 수 있다. 여기서 v(0) = v이다. 함수 v는 θ에 따른 v(x)의 공변량 도함수가 0이라는 요건에 의해 결정된다.이것은 상수 함수가 도함수가 항상 0인 함수라는 사실과 유사하다.

크리스토펠 기호

공변량 도함수에 대한 방정식은 크리스토펠 기호를 사용하여 작성할 수 있습니다.크리스토펠 기호는 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 자주 사용되는데, 여기서 시공간은 레비-시비타 연결의 곡선 4차원 로렌츠 다양체로 표현된다.아인슈타인 장 방정식 - 물질이 존재하는 시공간 기하학을 결정하는 - 은 리치 텐서를 포함합니다.리치 텐서는 크리스토펠 기호로 쓸 수 있는 리만 곡률 텐서에서 파생되기 때문에 크리스토펠 기호의 계산은 필수적이다.지오메트리가 결정되면 크리스토펠 기호가 명시적으로 나타나는 지오데식 방정식을 풀어서 입자와 광선의 경로를 계산합니다.

측지학

일반 상대성 이론에서, 측지학은 "직선"의 개념을 곡선 시공간으로 일반화한다.중요한 것은, 모든 외부, 비중력으로부터 자유로운 입자의 세계선은 특정한 유형의 측지선이다.즉, 자유롭게 움직이거나 떨어지는 입자는 항상 측지선을 따라 움직인다.

일반 상대성 이론에서 중력은 힘이 아니라 곡률의 원천이 응력-에너지 텐서(예를 들어 물질을 나타내는 것)인 곡선 시공간 기하학의 결과로 간주될 수 있다.따라서, 예를 들어, 별 주위를 도는 행성의 경로는 별 주위의 구부러진 4차원 시공간 기하학의 측지학을 3차원 공간에 투영하는 것입니다.

곡선의 접선 벡터가 기준점의 접선 벡터의 평행 전송과 같을 경우 곡선은 측지학입니다.

곡률 텐서

리만 곡률 텐서는 수학적으로 공간의 주어진 영역에 얼마나 많은 곡률이 있는지 알려줍니다.텐서를 수축하면 두 개의 수학적 개체가 더 생성됩니다.

1. 리만 곡률 텐서: R^ρ_σμν. 공간의 곡률에 대한 가장 많은 정보를 제공하며 메트릭 텐서의 도함수에서 파생됩니다.평평한 공간에서 이 텐서는 0이다.
2. 리치 텐서: R은_σν 아인슈타인 이론에서 단 두 개의 지수를 가진 곡률 텐서의 필요성에서 비롯됩니다.이는 리만 곡률 텐서의 특정 부분을 평균화하여 구한다.
3. 스칼라 곡률: R은 곡률의 가장 단순한 측정값으로 공간의 각 점에 단일 스칼라 값을 할당합니다.Ricci 텐서를 평균화하여 구한다.

리만 곡률 텐서는 공변 도함수로 표현될 수 있다.

아인슈타인 텐서 G는 의사 리만 다양체에 정의된 2등급 텐서이다.인덱스 프리 표기법에서는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} - {\tfrac {1}{2}}\mathbf {g} R,}$

여기서 R은 리치 텐서, g는 메트릭 텐서, R은 스칼라 곡률이다.아인슈타인 장 방정식에 사용된다.

응력-에너지 텐서

응력-에너지 텐서(때로는 응력-에너지-모멘텀 텐서 또는 에너지-모멘텀 텐서)는 뉴턴 물리학의 응력 텐서를 일반화하면서 시공간에서 에너지와 운동량의 밀도와 플럭스를 설명하는 물리학의 텐서 양이다.이것은 물질, 방사선, 그리고 비중력장의 속성이다.뉴턴 중력에서 질량 밀도가 그러한 필드의 원천인 것처럼 응력-에너지 텐서는 일반 상대성 이론의 아인슈타인 장 방정식에서 중력장의 원천이다.이 텐서는 2개의 지수를 가지고 있기 때문에(다음 섹션 참조), 리만 곡률 텐서는 2개의 지수를 가진 리치 텐서로 수축되어야 한다.

아인슈타인 방정식

아인슈타인 장 방정식(EFE) 또는 아인슈타인 방정식은 알버트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 10개의 방정식의 집합으로, 시공간이 물질과 ^[6]에너지에 의해 휘어진 결과로 중력의 기본적인 상호작용을 묘사합니다.1915년 아인슈타인에^[7] 의해 텐서 방정식으로 처음 발표된 EFE는 국소 시공간 곡률(아인슈타인 텐서로 표현됨)을 해당 시공간 내의 국소 에너지 및 운동량과 동일시한다(응력-에너지 ^[8]텐서로 표현됨).

아인슈타인 장 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle G_{\mu \nu}={8\pi G\over c^{4}}T_{\mu \nu },}$

여기서_μν G는 아인슈타인 텐서이고_μν T는 응력-에너지 텐서이다.

이는 공간의 곡률(아인슈타인 텐서로 표현됨)이 물질과 에너지의 존재(응력-에너지 텐서로 표현됨)와 직접 연결된다는 것을 의미한다.

슈바르츠실트 용액과 블랙홀

아인슈타인의 일반 상대성 이론에서, 슈바르츠실트 측정법 (또한 슈바르츠실트 진공 또는 슈바르츠실트 해)은 질량의 전하, 질량의 각 운동량, 그리고 보편적 우주론이 구면 질량 외부의 중력장을 설명하는 아인슈타인 장 방정식의 해이다.오거 상수는 모두 0입니다.해답은 지구와 태양을 포함한 많은 별과 행성과 같이 느리게 회전하는 천체들을 묘사하는 데 유용한 근사치입니다.이 해법은 1916년 그가 죽기 직전 처음 이 해법을 발표한 칼 슈바르츠실트의 이름을 딴 것이다.

Birkhoff의 정리에 따르면, 슈바르츠실트 측정법은 아인슈타인 장 방정식 중 가장 일반적인 구대칭 진공해이다.슈바르츠실트 블랙홀은 전하나 각운동량이 없는 블랙홀입니다.슈바르츠실트 블랙홀은 슈바르츠실트 측정법으로 설명되며 질량을 제외하고는 다른 어떤 슈바르츠실트 블랙홀과도 구별할 수 없습니다.

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• 미분 다양체
• 크리스토펠 기호
• 리만 기하학
• 리치 미적분
• 미분 지오메트리 및 토폴로지
• 미분 지오메트리 항목 목록
• 일반상대성이론
• 게이지 중력 이론
• 일반 공변량 변환
• 로렌츠 변환의 파생

메모들

레퍼런스

• P. A. M. Dirac (1996). General Theory of Relativity. Princeton University Press. ISBN 0-691-01146-X.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English ed.). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
• R. P. Feynman; F. B. Moringo; W. G. Wagner (1995). Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.
• Einstein, A. (1961). Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.