몽에의 정리
Monge's theorem
기하학에서, 가스파드 몽의 이름을 딴 몽의 정리에는, 평면 내의 어떤 세 원에도 완전히 다른 원 안에 들어 있는 것이 없으며, 세 쌍의 외부 접선 선들의 교차점이 각각 일직선으로 되어 있다고 명시되어 있다.
평면에 있는 두 원 중 어떤 원에 대해서도 외부 접선은 두 원 모두에 접하지만 그 사이를 통과하지 않는 선입니다.어떤 두 원에도 그런 외부 접선선이 두 개 있다.그러한 각 쌍은 확장된 유클리드 평면에 고유한 교차점을 가지고 있다.몽의 정리에는 세 쌍의 원이 주는 그런 세 가지 점이 항상 일직선으로 놓여 있다고 되어 있다.원 중 두 개의 크기가 같은 경우, 두 개의 외부 접선선은 평행이다.이 경우 몽의 정리는 다른 두 교차점이 그 두 외부 접선과 평행한 선에 놓여 있어야 한다고 주장한다.즉, 두 외부 접선이 무한의 지점에서 교차한다고 간주되면 나머지 두 교차점은 무한의 동일한 지점을 통과하는 선에 있어야 하므로, 이들 사이의 선은 외부 접선과 동일한 각도를 취한다.
교정쇄
가장 간단한 증거는 3차원적 유추를 사용한다.[1]세 원은 서로 다른 반경의 세 구에 대응하도록 하라; 원은 구들의 중심을 통과하는 평면에서 발생하는 등화기에 대응한다.세 개의 구는 두 개의 평면 사이에 독특하게 샌드위치될 수 있다.각 쌍의 구체는 두 구에 외부적으로 접하는 원뿔을 정의하며, 이 원뿔의 정점은 두 외부 접선의 교차점, 즉 외부 동음이의 중심점에 해당한다.원뿔의 한 선이 각 평면에 있으므로, 각 원뿔의 꼭지점은 양쪽 평면에 있어야 하며, 따라서 두 평면의 교차선 어딘가에 있어야 한다.따라서 세 개의 외부 동음이의 중심은 연골이다.
몽에의 정리도 데스아게스의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.또 다른 쉬운 증거는 메넬라오스의 정리를 사용하는데, 그 비율은 각 원의 지름으로 계산할 수 있기 때문에 메넬라오스의 정리를 사용했을 때 주기적인 형태에 의해 제거될 것이기 때문이다.데스아게스의 정리 역시 3점이 선 위에 놓여 있다고 주장하고 있으며, 2차원이 아닌 3차원으로 고려하고 2면의 교차점으로서 선을 작성하는 것과 같은 생각을 사용해 비슷한 증거를 가지고 있다.
참고 항목
- 동심원
- 아폴로니우스의 문제, 다른 세 개의 원들을 주어 하나의 원(필수적으로 독특한 것은 아님)을 구성한다.
참조
- ^ Wells, David (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 153–154. ISBN 0-14-011813-6.
참고 문헌 목록
- Graham, L. A. (1959). Ingenious Mathematical Problems and Methods. New York: Dover. ISBN 0486205452. Retrieved 1 December 2012.
