공선성
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기하학에서 점 집합의 공선성은 한 줄에 놓여 있는 그들의 특성이다.[1] 이 속성을 가진 점 집합은 콜린어(colinear[2])라고도 한다. 더 큰 일반성에서 이 용어는 정렬된 물체, 즉 사물들이 "줄에" 있거나 "줄에" 있는 것에 사용되어 왔다.
선 위의 점
어떤 기하학에서든 선 위의 점 세트는 일직선이라고 한다. 유클리드 기하학에서 이 관계는 "직선"에 일렬로 놓여 있는 점들에 의해 직관적으로 시각화된다. 그러나 대부분의 기하학(유클리드 포함)에서 선은 일반적으로 원시(정의되지 않은) 객체 유형이므로 그러한 시각화가 반드시 적절한 것은 아닐 것이다. 기하학적 모형은 점, 선 및 기타 객체 유형이 서로 어떻게 관련되는지 해석할 수 있으며 공선성과 같은 개념은 그 모델의 맥락 안에서 해석되어야 한다. 예를 들어, 구형의 큰 원들에 의해 선들이 표준모델로 표현되는 구면 기하학에서, 동일 원위에 연접점 세트가 놓여 있다. 그런 점들은 유클리드적 의미에서는 '직선'에 놓여 있지 않으며, 일렬로 서 있는 것으로 생각되지 않는다.
선을 선으로 보내는 기하학적 구조를 선으로 매핑하는 것을 선이라고 한다. 선은 선으로 선은 선과 선과 선 사이의 상관성을 보존한다. 기하학적 맵으로 보는 벡터 공간의 선형 맵(또는 선형 함수), 선에 대한 지도 선, 즉 선에 대한 선, 즉 선입점 세트를 선입점 세트에 매핑하는 선입니다. 투영 기하학에서 이러한 선형 매핑은 호모그래피라고 불리며 단지 한 종류의 줄무늬일 뿐이다.
유클리드 기하학의 예
삼각형
모든 삼각형에서 다음과 같은 점 세트는 일직선으로 표시된다.
- 직교점, 원곡점, 중심점, 엑서터점, 드롱샹점, 9점 원 중심은 모두 일루어선이라는 선에 떨어진다.
- De Longchamps 포인트는 또한 다른 공통점을 가지고 있다.
- 어떤 꼭지점, 외과가 있는 반대편의 접선, 그리고 나겔점은 삼각형의 스플리터라고 불리는 선으로 시준된다.
- 어느 면의 중간점, 어느 방향에서든 삼각형의 경계를 따라 그것으로부터 등거리인 점(따라서 이 두 점이 둘레를 이등분하고), 스피커 원의 중심은 삼각형의 클리버라고 불리는 선으로 일렬로 정렬되어 있다. (스파이커 원은 삼각형의 근골이며, 중심은 삼각형의 둘레에 있는 질량의 중심이다.)
- 어떤 꼭지점, 근골과 반대편의 접선, 게르곤느 점 등은 일직선으로 되어 있다.
- 삼각형의 원곡선의 어느 지점에서든 삼각형의 확장된 세 면 각각에서 가장 가까운 점은 원곡선의 점의 심슨 선에서 일직선이다.
- 고도의 발을 연결하는 선은 반대쪽 면과 일직선으로 교차한다.[3]: p.199
- 삼각형의 유도체, 고도의 중간점, 그리고 그 측면에 상대적인 외과와 해당 측면의 접촉점이 시준된다.[4]: p.120, #78
- 메넬라오스의 정리에서는 양측에 3점 P1, P2, P3{\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}삼각형 반대 vertices 1의 A2A3{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}(일부 확장)}는 각각 동일 선상의 만일 다음 제품의 세그먼트 길이 동일:[3]:페이지의 주 147.
- 인센티브, 센트로이드, 스피커 서클의 중심은 공모형이다.
- 삼각형의 원곡점, 브로카드 중간점, 레모인 점이 일직선이다.[5]
- 삼각형의 직각점에서 교차하는 두 개의 수직선은 각각 삼각형의 확장된 각 면을 교차한다. 이들 교차점 3면의 중간점은 드로즈-파니 선에서 일직선이다.
사변측정감시
- E와 F에서 반대쪽이 교차하는 볼록한 사각형 ABCD에서 AC, BD, EF의 중간점은 공선이며 그 중간점을 통과하는 선을 뉴턴 선(때로는 뉴턴-가우스 선이라고도[citation needed] 한다)이라고 한다. 만약 4각형이 접선적 4각형이라면, 그것의 인센티브 또한 이 선에 있다.[6]
- 볼록한 사각형에서 quasiorthocenter H, "면적 중심" G, quasiccircumcenter O는 이 순서로 시준되며, HG = 2GO.[7] (4각 사각형의 점 및 선 참조)
- 접선 사각형의 다른 공선성은 접선 사각형#Collinear 점으로 주어진다.
- 주기적인 4각형에서는 원곡선, 정점 중심(두 개의 바이메디언의 교차점), 반점(antiicenter)이 시준된다.[8]
- 주기적인 사각형에서는 면적 중심, 정점 중심, 대각선의 교차점이 일직선이다.[9]
- 접선 사다리꼴에서, 두 베이스가 있는 근방의 접선은 인센티브와 일치한다.
- 접선 사다리꼴에서 다리의 중간점은 인센티브와 결합한다.
헥사곤
- 파스칼의 정리(즉, 타원형, 파라볼라형 또는 하이퍼볼라형)는 원뿔형 부분(즉, 타원형, 파라볼라형, 하이퍼볼라형)에서 임의의 6점을 선택하고 선분할로 결합하면, 육각형의 반대쪽 세 쌍(필요하다면 연장형)이 세 지점에서 만나는데, 이는 st에 놓여 있다.육각의 파스칼 선이라 불리는 레이트 라인 그 반대도 사실이다: 브레이켄리지-마클라우린 정리는 육각의 반대쪽을 통과하는 세 쌍의 선들의 교차점 3개가 선 위에 놓여 있으면 육각의 6 정점이 원뿔 위에 놓여져 파푸스의 육각 정리처럼 퇴보될 수도 있다고 기술하고 있다.
원뿔단면
- 몽의 정리로는, 한 평면에 있는 어떤 세 개의 원 안에 대해서, 그 중 어느 것도 완전히 다른 한 개의 원 안에 들어 있지 않은 경우, 각각 외부적으로 두 개의 원과 접하는 세 쌍의 선들의 교차점 세 개가 일직선으로 되어 있다.
- 타원형에서는 중심, 중심, 두 중심, 곡률 반경이 가장 작은 두 꼭지점이 일직선이고 곡률 반경이 가장 큰 두 꼭지점이 일직선이다.
- 하이퍼볼라에서는 중심, 두 개의 초점, 두 개의 꼭지점이 일직선으로 되어 있다.
코네스
사면체
- 사면체의 중심은 그것의 몽게점과 할례점 사이의 중간점이다. 이 점들은 삼각형의 오일러 선과 유사한 4면체의 오일러 선을 정의한다. 사면체의 12점 구형의 중심도 오일러 선에 놓여 있다.
대수학
좌표가 주어진 점의 공선도
좌표 기하학에서 n차원 공간에서는 이들 벡터의 좌표 행렬이 1등급 이하인 경우에만 3개 이상의 구별되는 점 집합이 일렬로 정렬된다. 예를 들어, 주어진 점 X = (x12, x, ... , xn), Y = (y12, y, ... , yn), Z = (z12n, z, ... , z)
1등급 이하, 점수는 일직선이다.
동등하게, 매트릭스일 경우 세 점의 모든 부분 집합에 대해 X = (x12, x, ... , xn), Y = (y1, y2, ... , yn), Z = (z12, z, ... , zn)
랭킹 2 이하, 포인트는 콜린어(Colinar. 특히 평면의 세 점(n = 2)에 대해 위의 행렬은 정사각형이고 결정인자가 0인 경우에만 공선형이다. 3×3 결정인자는 삼각형의 면적에 정점인 세 점을 더하거나 빼면 공선형이라는 문구와 같다. 정점이 0인 삼각형.
쌍방향 거리가 주어진 점의 공선도
최소 세 개의 구별되는 점 집합을 직선이라고 하는데, 이 점의 세 개에 대해 Cayley-Menger 결정요소의 다음 결정요인이 0(d(AB)은 A와 B 사이의 거리를 의미한다)인 경우에만 모든 점이 일직선이라는 뜻이다.
이 결정 인자는 헤론의 공식에 의해 옆 길이 d(AB), d(BC), d(AC)를 가진 삼각형의 면적 제곱의 -16배와 같으므로, 이 결정 인자가 0인지 확인하는 것은 정점 A, B, C를 가진 삼각형의 면적이 0인지 확인하는 것과 같다(따라서 정점은 일렬로 되어 있다).
동등하게 d(AB)와 d(BC)의 각각보다 크거나 같은 d(AC)를 가진 점 A, B, C의 세 개에 대해 삼각형 불평등 d(AC) ≤ d(AB) + d(BC)가 동등하게 유지되는 경우에만 최소 세 개의 구별되는 점 집합이 동일하다.
수 이론
두 숫자 m과 n은 (0, 0), (m, 0), (m, n), (0, n), (0, n)의 정점이 있는 사각 격자 위에 표시된 직사각형의 경우에만 (1, 0, 0), (m, n)이 아닌 다른 공통 인자를 공유하며, 적어도 하나의 내부 지점이 (0, 0) 및 (m, n)과 결합한다.
동시성(평면 이중)
다양한 평면 기하학에서 "점"과 "선" 사이의 관계를 보존하면서 "점"과 "선"의 역할을 상호 교환하는 개념을 평면 이중성이라고 한다. 일련의 시준점을 제공하면 평면 이중성에 의해 공통점에서 모두 일치하는 일련의 선을 얻는다. 이 회선 집합이 가지고 있는 속성(공통점에서 만나는 것)을 동시성이라고 하며, 회선은 동시선이라고 한다. 그러므로 동시성은 공존을 위한 평면 이중 개념이다.
공선도 그래프
두 점이 한 선에서 결정되는 부분 기하학 P의 경우, P의 공선성 그래프는 P의 점이 정점인 그래프를 의미한다. 여기서 두 정점이 P에서 선을 결정하는 경우에만 인접한다.
통계 및 계량학에서의 사용
통계에서 공선성은 두 설명 변수 사이의 선형 관계를 가리킨다. 두 변수는 둘 사이에 정확한 선형 관계가 있으면 완벽하게 공선되므로, 두 변수의 상관관계는 1 또는 -1과 같다. , 및 }이 존재하면 완전히 콜린어(colinar)되므로 모든 관찰에 대해 우리가 가지고 있다.
즉, 다양한 관측치(X1i, X )가 (X1, X2i2) 평면에 표시되면 이 점들은 이 글의 앞부분에서 정의한 의미에서 일직선으로 표시된다.
완전 다중 공선성은 다중 회귀 모형의 k(k ≥ 2) 설명 변수가 완벽하게 선형적으로 연관되어 있는 상황을 말한다.
모든 관찰에 대해 i. 실제로 우리는 데이터 집합에서 완벽한 다중 공선성에 직면하는 경우가 거의 없다. 보다 일반적으로 다중 공선성의 문제는 둘 이상의 독립 변수 사이에 "강력한 선형 관계"가 있을 때 발생하며, 이는 다음과 같은 의미를 갖는다.
여기서 i{\의 분산은 상대적으로 작다.
횡적 공선성의 개념은 이러한 전통적인 관점으로 확장되며, 설명과 기준(즉, 설명) 변수 사이의 공선성을 가리킨다.[10]
다른 영역에서의 사용
안테나 배열
통신에서 콜린어(또는 공동선형) 안테나 배열은 각 안테나의 해당 요소가 평행하고 정렬되도록 탑재된 쌍극 안테나 배열로, 즉 공통 선이나 축을 따라 위치한다.
사진
공선성 방정식은 사진 측정과 컴퓨터 스테레오 시야에 사용되는 두 방정식의 집합으로, 이미지(센서) 평면의 좌표(2차원)를 물체 좌표(3차원)와 연관시킨다. 사진 설정에서 방정식은 카메라의 광학 중심을 통해 이미지(센서) 평면의 영상에 물체의 한 점을 중앙으로 투영하는 것을 고려하여 도출된다. 물체 점, 영상 점, 광학 중심 등 세 점은 항상 일직선이다. 또 다른 방법은 물체와 이미지 포인트를 결합하는 선 세그먼트가 모두 광학 중심에서 동시에 발생하는 것이다.[11]
참고 항목
메모들
- ^ 이 개념은 어떤 기하학 뎀보스키(1968, 페이지 26)에도 적용되지만, 종종 특정 기하학 콕시터(1969, 페이지 178), 브랜난, 에스플렌 & 그레이(1998, 페이지 106)의 논의 내에서만 정의된다.
- ^ 콜린어 (메리엄-웹스터 사전)
- ^ a b 존슨, 로저 A, 어드밴스트 유클리드 기하학, 도버 퍼블리싱, 2007년 (기원. 1929년)
- ^ 알츠힐러 코트, 네이쓴 대학 기하학, 도버 출판물, 1980.
- ^ 스콧, J. A. "삼각형 기하학에서 면적 좌표를 사용한 몇 가지 예" 수학 가제트 83, 1999년 11월, 472–477.
- ^ 두샨 주키치, 블라디미르 얀코비치, 이반 마티치, 니콜라 페트로비치, 더 IMO 컴펜디움, 스프링거, 2006년 페이지 15.
- ^ Myakishev, Alexei (2006), "On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 289–295.
- ^ Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cyclic quadrilaterals", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, pp. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
- ^ Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral (PDF)
- ^ Kock, N.; Lynn, G. S. (2012). "Lateral collinearity and misleading results in variance-based SEM: An illustration and recommendations" (PDF). Journal of the Association for Information Systems. 13 (7): 546–580.
- ^ 이러한 방정식을 동시성 방정식이라고 하는 것이 수학적으로 더 자연스럽지만, 사진 측정 문헌은 그 용어를 사용하지 않는다.
참조
- Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0
- Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0
- Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275