내포 래디컬

대수학에서 내포된 급진적 표현은 (둥지) 또 다른 급진적 표현을 포함하는 급진적 표현(사각형 뿌리 기호, 입방근 표지 등)이다. 예는 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}\},}$

일반적인 오각형을 논할 때, 그리고 더 복잡한 오각형을 논할 때 발생한다.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt{3}}+{\sqrt[{3}]{4}\}}}.}$

데닝

일부 내포된 활성산소는 내포되지 않은 형태로 다시 쓸 수 있다. 예를 들어,

${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt{2}}=1+{\sqrt {2}}\}$

${\displaystyle {\sqrt{5+2}{\sqrt{6}}}={\sqrt{2}}+{\sqrt{3}},}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}{3}-1}={\frac {1-{\-{\sqrt[{3}]{3}}}{4}}{\sqrt[{3}]{9}}}}}\,}}}}}}},.}$

이런 식으로 중첩된 급진파를 다시 쓰는 것을 데스텔링이라고 한다. 이것은 항상 가능한 것은 아니며, 가능할 때 조차도 종종 어렵다.

내포된 제곱근 2개

내포된 두 제곱근의 경우 다음과 같은 정리가 폄하 문제를 완전히 해결한다.^[1]

a와 c가 이성적인 숫자이고 c가 이성적인 숫자의 제곱이 아니라면 x와 y 두 개의 이성적인 숫자가 있다.

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt{c}}={\sqrt {x}pm {\sqrt {y}}}}$

${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}c}$ ${\$이(가) 합리적인 숫자 d의 제곱인$$ 경우에만.

내포된 래디컬이 실제일 경우 x와 y는 두 숫자임

$displaystyle {\frac {a+d}{2$$$$}}~}$과 a -${\displaystyle \frac{d}{}}$ 2,${\$d ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ $스타일 ~{\frac {a-d}{2}}~,~}$ 여기서$$ ${\displaystyle d}$= ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$- c ${\displaystyle \{\backslash }{\displaystyle \sqrt{d}}$ $디스플레이$ 스타일 $~d={\sqrt{a^{2}-c}$는 합리적인$$ 수이다.

특히 a와 c가 정수라면 2x와 2y가 정수다.

이 결과는 양식에 대한 설명을 포함한다.

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt{c}}=z\pm {\sqrt{y}},}$

z는 항상 $z{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle z\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$,${\displaystyle$ z$=\pm {\sqrt {z^{2}}:}$라고 쓸 수 있으며, 적어도$$ 하나의 항은 양수여야 한다(방정식의 왼쪽이 양수이기 때문이다).

보다 일반적인 입증 공식은 그 형태를 가질 수 있다.

${\displaystyle{\sqrt{a+{\sqrt{c}}}=\\sqrt{x}}\\\sqrt {x}+\\\sqrt{x}{\sqrt {y}}}}}$

그러나 갈루아 이론은 $왼쪽$이 Q${\displaystyle }$(${\displaystyle c}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathb {Q}({\$$sqrt{$$c}),$ $또는$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle {x$$},},$ {\displaystyle ${\sqrt{y},$ $또는$${\displaystyle \sqrt{}}$ 둘 모두의 기호를 변경하여 얻어야 함을 암시한다. 첫 번째 경우에는 x = c와 ${\displaystyle \Delta }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \gamma =\delta =0.}$을(를) 취할 수 있다는 뜻이며$$, 두 번째 경우에는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$과(를) 다른 계수는 0이어야 한다. If ${\displaystyle \beta =0,}$ one may rename xy as x for getting ${\displaystyle \delta =0.}$ Proceeding similarly if ${\displaystyle \alpha =0,}$ it results that one can suppose ${\displaystyle \alpha =\delta =0.}$ This shows that the apparently more general denesting can always be reduce위와 같이 d하다

증명: 제곱을 통해 방정식

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt{c}}={\sqrt {x}pm {\sqrt {y}}}}$

와 동등하다

${\displaystyle a+{\sqrt{c}=x+y\pm 2{\sqrt {xy},}$

그리고, 오른쪽에서 마이너스일 경우,

x ≥ y ,

(제곱근은 표기법 정의에 의해 음성이 아니다.) x와 y를 교환함으로써 불평등이 항상 충족될 수 있기 때문에, x와 y의 첫 번째 방정식을 푸는 것은 해결과 동등하다.

${\displaystyle a+{\sqrt{c}=x+y\pm 2{\sqrt {xy}}}$

이러한 동일성은 $x{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{y}}$ ${\$$displaystyle$ ${\sqrt${$xy$$}}$이(가) 2차 필드 Q${\displaystyle (c\sqrt{}}$ ${\displaystyle )}$에 속함을$$ 의미한다$.$$}}$ 이 필드에서$$ 모든 요소는 $\alpha {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle \alpha +\beta {\sqrt{c}},$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }}$을(으)로 고유하게 작성할 수 있다. 이는${\displaystyle }$± ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{y}}$ ${\$이(가) 합리적이지$$ 않음을 의미한다(그렇지 않으면 방정식의 오른쪽이 합리적일 수 있지만 왼쪽이 비합리적임). x와 y는 합리적이어야 하므로${\displaystyle }$± ${\displaystyle 2}$ x ${\displaystyle \sqrt{y}}$ ${\$의 제곱은 합리적이어야$$ 한다. 이는${\displaystyle }$± 2 ${\displaystyle \sqrt{x}}$ y ${\$의 식에서$$ $\alpha {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ c${\displaystyle }$. ${\displaystyle \alpha +\sqrt {c}}$을$($를) 의미함을 의미한다.$$ 그러므로

${\displaystyle a+{\sqrt{c}=x+y+\propert {\sqrt{c}}$

일부 합리적인 수 $\beta {\displaystyle }$. ${\displaystyle \beta .}$ 1 $및{\displaystyle \sqrt{}}$ c ${\$에 대한 분해의 고유성은$$ 따라서 고려된 방정식이 다음과 동등하다는 것을 의미한다$$.

${\displaystyle a=x+y\pm {\text{and}\pm 2{\sqrt{xy}={\sqrt {c}.}$

x와 y는 이차 방정식의 뿌리여야 한다는 비에타의 공식에 따른다.

${\displaystyle z^{2}-az+{\frac {c}{4}=0~;}$

= - = > 0 ${\$그렇지 않으면 c는 a의 제곱일 것임), 따라서 x와 y는 다음과 같아야 한다.

${\displaystyle \frac{a}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}}$ -${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}c}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$ $displaystyle {\frac$ {$a+{\sqrt$ {$a^{2}-c}{2$}}~} 및$$ ${\displaystyle a\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{2\sqrt{{}^{}}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\sqrt{{c\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$. ${\displaystyle~{\frac {a-{\sqrt{a^}-c}{2}}.}}}}$

따라서 x와 y는 $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ -${\displaystyle \sqrt{{}^{}c}}$ $displaystyle$ d$={\sqrt{a^{2}-c}}$가 합리적인$$ 숫자일 경우에만 합리적이다.

다양한 부호를 명시적으로 선택하기 위해서는 반드시 양의 실제 제곱근만을 고려해야 하며, 따라서 c > 0을 가정해야 한다. ${\displaystyle {등식\mathrm{}}^{}}$a ${\displaystyle {}^{}}$= c + ${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}}은 a > √c를 나타낸다$$. 그러므로 내포된 급진성이 실재하고, 반증이 가능하다면 a > 0. 그런 다음 솔루션이 기록하십시오.

${\displaystyle {\time{aigned}{\sqrt {a+{\sqrt{c}}&={\sqrt {\tfrac {a+d}{2}}}}}+{\sqrt{a-d}{2}}:\\\sqrt{c}}}}}\\\sqrt {a-{c}}}}={\sqrt {a+d}{2}}:}{\sqrt {\tfrac {a-d}{2}}.\end{정렬}}}$

라마누잔의 정체성

스리니바사 라마누잔은 중첩된 급진파와 관련된 많은 호기심 많은 정체성을 보여주었다. 그 중에는 다음과 같은 것들이 있다.^[2]

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}$

${\displaystyle {{\sqrt[{3}]{28}-{28}-{\sqrt[{3}}}}}}}}}={\tfrac {1}{1}{3}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}{2}}\\-1}{\sqrt[{3}}}{9}}-{\sqrt[{3}}}}}}}{\sqrt[{3}}}}}}}}{\sqrqrc{9}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ ^[3]

라마누잔에서 영감을 받은 다른 이상하게 생긴 급진주의자들은 다음과 같다.^{[citation needed]}

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\left\sqrt{2}}+{\sqrt{3}\오른쪽)\좌측(5-{\sqrt{6}}}}+2{\sqrt{3}+3}{\sqrt{2}}\우측)}}}={\sqrt{10-{\frac {13-5{\sqrt{6}}{5+{\sqrt{6}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{49+20{\sqrt{6}}}{\sqrt[{4}}}}{49-20{\sqrt{6}}}}}=2{\sqrt {3}}}.}$

후자는 특별한 경우: ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a\geq$ 1$}$과 $b{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle$ b$^{2}=a$^{[citation needed]}$^{2$}-$1,}$

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{a+b}+{\sqrt[{4}}}}}={a-b}={\sqrt{2+{\sqrt{2(a+1)}}}}}$

란다우의 알고리즘

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈으로 도움도 된다. (2015년 2월)

1989년에 수잔 랜도는 어떤 내포된 활성산소가 검출될 수 있는지를 결정하기 위한 첫 번째 알고리즘을 도입했다.^[4] 초기 알고리즘은 경우에 따라 작동하지만 다른 알고리즘은 작동하지 않았다. 란다우의 알고리즘은 통합의 복잡한 뿌리를 포함하며 내포된 급진파의 깊이에 관해서 기하급수적인 시간에 실행된다.^[5]

삼각법에서

삼각법에서 여러 각도의 씨네와 코사인은 내포된 활성산소의 단위로 표현할 수 있다. 예를 들어,

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]}$

그리고

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{24}}=\sin 7.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\frac {1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}}}.}$

마지막 평등은 § 2개의 내포된 제곱근의 결과에서 직접 발생한다.

입방정식의 해법에서

입방정식의 대수적 용액에 내포된 활성산소가 나타난다. 어떤 입방정식도 2차 항 없이 단순화된 형태로 쓸 수 있다.

${\displaystyle x^{3}+++q=0,}$

그 뿌리의 한 가지에 대한 일반적인 해결책이다.

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.}$

큐빅이 진짜 뿌리가 하나밖에 없는 경우, 큐브 뿌리의 반지름이 진짜이고 큐브 뿌리가 진짜 큐브 뿌리가 되는 이 표현에 의해 진짜 뿌리가 주어진다. 3개의 진짜 뿌리의 경우 제곱근 표현은 상상의 숫자다. 여기서 어떤 진짜 뿌리는 첫 번째 큐브 뿌리를 복잡한 방사체의 특정한 복잡한 큐브 뿌리로 정의하고, 두 번째 큐브 뿌리를 첫 번째 큐브 뿌리의 복잡한 결합으로 정의함으로써 표현된다. 이 해법에서 내포된 활성산소는 입방정식에 최소한 하나의 합리적인 해법이 없는 한 일반적으로 단순화할 수 없다. 실제로 큐빅이 세 가지 비합리적이지만 실제적인 해답을 가지고 있다면 우리는 세 가지 해답이 모두 복잡한 숫자의 큐브 뿌리로 쓰여진 이레두시빌리스가 있다. 다른 한편으로, 방정식을 고려하라.

${\displaystyle x^{3}-7x+6=0,}$

합리적인 해결책 1, 2, 3을 가지고 있다. 위에 제시된 일반적인 솔루션 공식은 솔루션을 제공한다.

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-3+{\frac{10{\sqrt{3}}{9}}}}{9}}}}}}}{\sqrt[{3}}]{-3-{10{\frac {\sqrt}}{9}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

입방체 뿌리와 그 결합을 선택할 때, 이것은 복잡한 숫자와 관련된 내포된 활성산소를 포함하지만, 용액 1, 2 또는 –3 중 하나로 환원할 수 있다.

무한 내포된 활성산소

제곱근

특정 조건에서는 다음과 같은 무한히 내포된 제곱근

${\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt{2+\cdots}}}}}}}$

숫자에 합치하다 이 이성적인 숫자는 x가 방정식을 주는 과격한 기호 아래에도 나타난다는 것을 깨달음으로써 알 수 있다.

${\displaystyle x={\sqrt {2+x}.}$

이 방정식을 풀면 x = 2(양수 제곱근을 의미한다는 관습에 따라 두 번째 해법 x = -1은 적용되지 않는다)라는 것을 알게 된다. 이 접근방식은 또한 일반적으로 n > 0일 경우 다음 사항을 나타내는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle{\sqrt{n+{\sqrt{n+}{\sqrt{n+\cdots }}}}}}}}}}{\tfrac {1}{1}:{1}{1+{\sqrt{1+4n}}\rig)}}$

x² - x - n = 0 등식의 양수근이다. n = 1의 경우 이 루트는 황금 비율 φ으로 대략 1.618과 같다. 또한 n > 1을 얻는 경우에도 동일한 절차가 적용된다.

${\displaystyle{\sqrt{n-{\sqrt{n-{\sqrt{n-\cdots }}}}}}}}}}}{\tfrac {1}{1}:{2}}:}\{{{{{1}}}}\tfrack1+{\sqrt{1n}}}\오른쪽)}}$

x² + x - n = 0 등식의 양수근이다.

중첩 제곱근 2

2의 내포된 제곱근은 무한 내포된 과격파의 특수한 경우다. 그것들을 씨네와 코사인에 묶는 많은 알려진 결과들이 있다. 예를 들어, 2의 내포된 제곱근은 다음과^[6] 같이 나타났다.

${\displaystyle R\left(b_{k},\ldots ,b_{1}\right)={\frac {b_{k}}{2}}{\sqrt {2+b_{k-1}{\sqrt {2+b_{k-2}{\sqrt {2+\cdots +b_{2}{\sqrt {2+x}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle x=2\sin \left(\pi b_{1}/4\right)}$ with ${\displaystyle b_{1}}$ in [-2,2] and ${\displaystyle b_{i}\in \{-1,0,1\}}$ for ${\displaystyle i\neq 1}$, are such that ${\displaystyle R\le$$ft(b_{k},\ldots ,b_{1}\right)=\cos \theta }$ for$$

${\displaystyle \theta =\left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{k}}{4}}-{\frac {b_{k}b_{k-1}}{8}}-{\frac {b_{k}b_{k-1}b_{k-2}}{16}}-\cdots -{\frac {b_{k}b_{k-1}\cdots b_{1}}{2^{k+1}}}\right)\pi .}$

이 결과는 k 내포된 뿌리로 구성된 다음과 ${\displaystyle \mathrm{같은}}$ 무한 내포된 활성산소의 값을$$ $임의$의 x ${\displaystyle \in }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle x\in [-2,2]}$에 대해 추론할 수 있다.

${\displaystyle R_{k}(x)={\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt{2+x}}}}}.}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x\geq$ 2$\}$인 경우^[7]

${\displaystyle {\reasoned}R_{k}(x)&={\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2+x}}}}}}\\&=\left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\right)^{1/2^{k}}+\left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\right)^{-1/2^{k}}\end{aligned}}}$

이러한 결과는 $위$에 정의된$$ $R{\displaystyle (b{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ $){\$의 일부 중첩된 제곱근 표현을 얻기 위해 사용될 수 있다.$$ 그러면^[6]

${\displaystyle \pi =\lim_{k\오른쪽 화살표 \}왼쪽[{\frac {2^{k+1}{1}{1}R(\brace {1,-1,1,b_{1},\ldots,1,1,1,b_{1}}}{k{{}}}}}}}$

여기서 b ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle b_{1}\neq$ 2$\}.$

라마누잔의 무한 급진주의자들

라마누잔은 인도 수리학회지에 다음과 같은 문제를 제기했다.

$(\displaystyle ?)={\sqrt{1+2{\sqrt{1+3{\sqrt{1+\cdots }}}}.}$

이는 보다 일반적인 공식화에 주목함으로써 해결할 수 있다.

$(\displaystyle ?)={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots }}}}}}}}}.}$

이것을 F(x)로 설정하고 양쪽을 스퀴즈하는 것은

${\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+x{a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n)^{\sqrt {\mathrm {\cdots}}}}}},}$

로 단순화할 수 있는

${\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+xF(x+n)}$

그 다음에 는 보여질 수 있다.

${\displaystyle F(x)={x+n+a}.}$

따라서 a = 0, n = 1, x = 2를 설정하면

${\displaystyle 3={\sqrt {1+2{\\sqrt {1+\cdots}}}}.}$

라마누잔은 잃어버린 수첩에 다음과 같은 무한한 급진적 설교를 했다.

${\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}.}$

기호의 반복 패턴은${\displaystyle }$(${\displaystyle +,}$ ${\displaystyle +,}$ ${\displaystyle +,}$-${\displaystyle ,}$+${\displaystyle }$) 입니다${\displaystyle .}$ ${\표시$ 스타일$(+,+,+,-,+).$$}$

비에테의 π표현

è에 대한 비에트의 공식, 지름에 대한 원의 원주의 비율.

${\displaystyle {\frac{2}{\pi }={\frac {\sqrt{2}}:}\prcdot {2+{\sqrt{2}}:}\prcdot{\prqrt{2+}}{\sqrt{2+}}}{{sqrqrt}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

큐브 뿌리

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2018년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

어떤 경우에는 다음과 같이 무한히 중첩된 큐브 뿌리가

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}}]{6+{\sqrt[{3}}]{6+\cdots }}}}}}}}}}}}$

또한 합리적인 숫자도 나타낼 수 있다. 다시, 전체 표현이 그 안에 나타난다는 것을 깨달음으로써 우리는 그 방정식을 갖게 된다.

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+x}.}$

이 방정식을 풀면 x = 2라는 것을 알 수 있다. 더 일반적으로, 우리는 그것을 발견한다.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}}]{n+{\sqrt[{3}]{n+\cdots }}}}}}}}}}}$

모든 n > 0에 대한 x³ - x - n = 0 등식의 양의 실제 근이다. n = 1의 경우 이 루트는 플라스틱 번호 ρ이며 대략 1.3247과 같다.

같은 절차도 같은 방법으로도

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n-{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{n-\cdots }}}}}}}}}}}}$

모든 n > 1에 대해³ 등식 x + x - n = 0의 실제 루트로 한다.

허쉬펠트의 컨버전

An infinitely nested radical ${\displaystyle {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsb }}}}}$ (where all ${\displaystyle a_{i}}$ are nonnegative) converges if and only if there is some ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle M\geq a_{n}^{2^{$$모든{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대해 $-n$$\}\}.$^[8]

"if"의 증거

우리는 그것을 관찰한다.

${\displaystyle {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsb }}}}\leq {\sqrt {M^{2^{1}}+{\sqrt {M^{2^{2}}+\dotsb }}}}=M{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dotsb }}}}<2M}$.

더구나 ${\displaystyle 시퀀스\sqrt{{}_{}}}({\displaystyle \sqrt{{1\mathrm{}}_{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{\sqrt{{a\mathrm{}}_{}}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\sqrt{\sqrt{2_{}}{}_{}}}}$+${\displaystyle \sqrt{\sqrt{}}}$… ${\displaystyle \sqrt{\sqrt{n\sqrt{{}_{}}}}}$) ${\$는 단조롭게 증가하고 있다$$. 그러므로 그것은 단조로운 수렴 정리에 의해 수렴된다.

"만 해당"의 증거

${\displaystyle 시퀀스\sqrt{{}_{}}}({\displaystyle \sqrt{{1\mathrm{}}_{}}}$+ a ${\displaystyle \sqrt{\sqrt{\sqrt{2_{}}{}_{}}}}$+${\displaystyle \sqrt{\sqrt{}}}$… ${\displaystyle \sqrt{\sqrt{n\sqrt{{}_{}}}}}$) ${\$가 수렴되면$$ 바운드된다.

However, ${\displaystyle a_{n}^{2^{-n}}\leq {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsc {\sqrt {a_{n}}}}}}}}$, hence ${\displaystyle \left(a_{n}^{2^{-n}}\right)}$ is also bounded.

참고 항목

• 활성산소의 합계

참조

추가 읽기

• Landau, Susan (1994). "How to Tangle with a Nested Radical". Mathematical Intelligencer. 16 (2): 49–55. doi:10.1007/bf03024284. S2CID 119991567.
• 제곱근을 포함하는 표현식의 내포 깊이 감소
• 제곱근의 제곱근 단순화
• Weisstein, Eric W. "Square Root". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Nested Radical". MathWorld.