P-분산

수학적 분석에서 p-분산은 순서가 지정된 집합에서 ${\displaystyle \mathrm{메트릭}}$ 공간에 이르는 함수에 대한 세미몬의 집합으로, 실제 숫자 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 1$[\displaystyle p\geq 1}$에 의해 지수화된다$.$ p-분산은 함수의 정규성 또는 부드러움의 척도다.구체적으로 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle I}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$, d${\displaystyle }$) ${\디스플레이 스타일$ f$:$$I\to (M,d$ 여기서 $({\displaystyle M}$, ${\displaystyle d}$) ${\디스플레이$ 스타일$(M,d)}$은(는) 메트릭 공간이고$$ 완전히 정렬된 집합이며, p-분리는

${\displaystyle \ f\ _{p{\text{-var}}=\좌측(\sup _{D}\sum _{t_{k}\in D}d(f(t_{k-1}),f(t_{k-1})^{p}\p}^{1/p}}}}}$

여기서 D는 구간 I의 모든 유한 파티션에 걸쳐 있다.

함수의 p 변동은 p와 함께 감소한다.f가 유한 p-분산을 가지고 있고 g가 α-Hölder 연속 함수인 경우 g ${\displaystyle g}$f ${\displaystyle g\circ$ f$}$은 유한$$ $p{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$ ${\${\$alpha}}}}$ -분산을 가진다$$.

p가 1인 경우를 총변동이라고 하며, 1분위가 유한한 함수를 경계변동함수라고 한다.

쾰더 표준과 연결

p-분산을 Hölder 규범의 매개변수 독립 버전으로 해석할 수 있으며, 이는 불연속 함수로도 확장된다.

f가 α–Hölder 연속형(즉, α–Hölder 규범은 유한)이면, $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$ ${\${1$}{\alpha }}$ -분리는$$ 유한하다.구체적으로, 간격[a,$b$]에 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle f{}_{\frac{\alpha }{}}}$ ${\displaystyle {\text{-var}}_{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle f{}_f\alpha }$(${\displaystyle b}$ - a )${\displaystyle {}^{\alpha }}$α {\$displaystyle \f\{\frac {1}{\\$lapa$}{\n1$}{\\$ext-var}}}\lq \{\\알파$}}b-a$^{\alpha$

반대로 f가 연속적이고 p-분산이 유한한 경우, $f{\displaystyle }$ ∘${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle$ f$\circ \tau$$\}$이(가)${\displaystyle }$1/${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -}${\$displaystyle$1/$p-}$ Hölder$$ 연속인 reparameteration이 존재한다.^[1]

p가 q 미만일 경우, 콤팩트 세트의 유한 p-분리의 함수 공간은 한정된 q-분산의 함수에 노르말 1을 연속적으로 내장한다.즉, ‖ ${\displaystyle f{}_{}}$q ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle {\text{-var}}_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle {\text{-var}}_{}}$ ${\$ 그러나 embed더 공간과 유사한 상황과는 달리 임베딩은 콤팩트하지 않다.예를 들어, f${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= x ${\displaystyle n^{}}$ ${\$에 제공된 [0,1]의 실제 기능을 고려해 보십시오$.$그것들은 1분위로 균일하게 경계되고 점방향으로 불연속 함수 f에 수렴되지만, 이것은 p-분산의 수렴일 뿐만 아니라 균일한 수렴도 아니다.

Riemann-Stieltjes 통합에 적용

f와 g가 일반적인 불연속부가 없는 [a, b]에서 ℝ까지의 함수이며, 유한 와 g가 유한한 q-분산을 가진 f이고, 1 +1 > ${\displaystyle${1$}{p}}+{\frac{1}{q}}}}1$}, Rieman-StieltJes 적분산인 경우

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=\lim _{D \to 0}\sum _{t_{k}\in D}f(t_{k+1})[g(t_{k+1}-g({t_{k}})]}$

정리가 잘 되어 있다이 적분은 영(1936)에서 나왔기 때문에 영 적분으로 알려져 있다.^[2]이 확실한 적분의 가치는 다음과 같이 영-러브 추정치에 의해 제한된다.

${\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dg(x)-f(\xi )[g(b)-g(a)]\right \leq C\,\\\{p{-var}}\,g\ _{q{\text-var}}}}}}}}\{{{q{\cext-var}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

여기서 C는 p와 q에만 의존하는 상수이고 ξ은 a와 b 사이의 숫자다.^[3]f와 g가 연속적인 경우, 무한정 적분 $F{\displaystyle (w}$ ${\displaystyle )}$=${\displaystyle {}_{}^{}}$∫ a ${\displaystyle {}_{}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle d}$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle F(w)=\int _{a}^{w(x)\,dg(x)}$는 유한$$ q-분산을 갖는 연속 함수다.If a ≤ s ≤ t ≤ b then ${\displaystyle \ F\ _{q{\text{-var}};[s,t]}}$, its q-variation on [s,t], is bounded by ${\displaystyle C\ g$$\ _{q{\text{-var}};[s,t]}(\ f\ _{p{\text{-var}};[s,t]}+\ f\ _{\infty ;[s,t]})\leq 2C\ g\ _{q{\text{-var}};[s,t]}(\ f\ _{p{\text{-var}};[a,b]}+f(a))$$}$ 여기서$$ C는 p와 q에만 의존하는 상수다.^[4]

유한 p-분산 신호에 의해 구동되는 미분방정식, p < 2

ℝ에서^d e × d 실제 행렬까지의 함수를 ℝ에서^d ℝ^e 값 단형이라고 한다.

만약 f는 리프 시츠 연속적입니다one-form ℝd에, 그리고 간격[a, b]에서 X는 연속 함수 유한 p-variation와 2이하 p과 ℝd한 다음의 X에서 양호 ∫ bf(X(t))dX(t){\displaystyle \int_{}(X(t))\,dX(t)}, 계산할 수 있기 때문에 f(X(t)의 각 구성 요소)는 통로가 되o. ℝe-valuedffp-분리와 통합은 정확히 많은 젊은 통합의 합이다.경로 X에 의해 구동되는$$ ${\displaystyle \mathrm{등식}}$d ${\displaystyle Y}$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle d}$X {\$displaystyle dY=f($X)\,$dX}$에 대한 솔루션을 제공한다.

More significantly, if f is a Lipschitz continuous ℝ^e-valued one-form on ℝ^e, and X is a continuous function from the interval [a, b] to ℝ^d with finite p-variation with p less than 2, then Young integration is enough to establish the solution of the equation ${\displaystyle dY=f(Y)\,dX}$ driven by the path X.^[5]

유한$$ p-분산 신호에 의해 구동되는 미분방정식, p $\ge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \geq }$ 2

거친 길의 이론은 영 적분 방정식과 영 미분 방정식을 일반화하고 p-분리의 개념을 많이 활용한다.

브라운 모션용

p-값은 확률적 분석에 사용되는 2차 변동과 대조되어야 하며, 이는 하나의 확률적 공정을 다른 공정으로 가져간다.특히 2차 변동의 정의는 p가 값 2를 가질 때 p-분산의 정의와 약간 유사해 보인다.이차적 변동은 파티션이 더 미세해질수록 한계로 정의되는 반면, p-분리는 모든 파티션에 대한 우월성이다.따라서 공정의 2차 변동은 2분위보다 작을 수 있다.W가_t [0, T]에 대한 표준 브라운 운동인 경우, 확률 1에 따라 그것의 p-분리는 ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \le }$ 2 ${\displaystyle p\leq 2}$에 대해 무한하며, 그렇지$$ 않으면 유한하다.W의 2차 변동은${\displaystyle }$[ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$= ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle [W]_{T}=T}$ 입니다$.$

이산형 시계열의 p-분산 계산

개별 시계열의 관측치 X₀,...,X의_N 경우 O(N²)의 복잡성으로 p-분산을 계산하는 것이 간단하다.다음은 동적 프로그래밍을 사용한 C++ 코드 예:

곱절로 하다 p_var(경시하다 찌꺼기::벡터<곱절로 하다>& X, 곱절로 하다 p) {  만일 (X.사이즈를 맞추다() == 0)   돌아오다 0.0;  찌꺼기::벡터<곱절로 하다> cum_p_var(X.사이즈를 맞추다(), 0.0);   // 누적 p-message  을 위해 (size_t n = 1; n < X.사이즈를 맞추다(); n++) {   을 위해 (size_t k = 0; k < n; k++) {    cum_p_var[n] = 찌꺼기::맥스.(cum_p_var[n], cum_p_var[k] + 찌꺼기::포우(찌꺼기::복근(X[n] - X[k]), p));   }  }  돌아오다 찌꺼기::포우(cum_p_var.뒤쪽에(), 1./p); } 

ℝ값 프로세스와^[6] 임의 메트릭 공간의 프로세스에 대해 훨씬 더 효율적이면서도 더 복잡한 알고리즘이 존재한다.^[7]

참조

• Young, L.C. (1936), "An inequality of the Hölder type, connected with Stieltjes integration", Acta Mathematica, 67 (1): 251–282, doi:10.1007/bf02401743.

외부 링크

• 경계 p-분산 Fabrice Baudoin이 있는 연속 경로
• 영 적분, 잘린 변이 및 거친 경로에 대해 Rafaw M. Wowchowski