이차변동

수학에서, 이차적 변화는 브라운 운동과 다른 마팅칼레스와 같은 확률적 과정의 분석에 사용된다. 2차 변동은 공정의 한 종류의 변동에 불과하다.

정의

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이(가$)$ ${\displaystyle \mathrm{확률}}$ 공간${\displaystyle (\Omega \mathcal{}}$ ,${\displaystyle F\mathbb{}}$ ${\displaystyle ,}$ P ) {\$displaystyle(\Oomega ,{F},\mathb$ {P$})$에 정의되고 시간 색인 t ${\displaystytle t}$이 음수가 아닌 실제 숫자에 걸쳐$$ 정의되어 있다고 가정합시다. 그것의 이차적 변동은 ${\displaystyle {다음}_{}}$과 같이 정의된${\displaystyle }$[${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}_{}}$ t ${\$로 쓰여진 공정이다$.$

${\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\Vert P\vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}-X_{k-1}-1})^{2}}$

여기서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은$({\displaystyle }$는) 간격의 ${\displaystyle \mathrm{파티션}}$에${\displaystyle \mathrm{걸쳐}}$ 있으며${\displaystyle }$[0$$, t ] {\$displaystyle$ [0$$$,t]}$ 파티션 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 표준은 메쉬이다. 이 한계는 존재하는 경우 확률의 수렴을 사용하여 정의된다. 공정이 여기에 주어진 정의의 의미에 있어서 유한 이차적 변동을 가질 수 있으며, 그 경로는 그럼에도 불구하고 모든 칸막이에 걸쳐 총액의 우월성을 취한다는 고전적 의미에서는 거의 모든 > $[\displaysty t>0}$에 대해 1분위가 무한대임을 확신한다는 점에 유의하십시오. 특히 Brownian Motion의 경우 그러하다.

보다 일반적으로 두 공정 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 공분산(또는 교차 분산)은$$

${\displaystyle [X,Y]_{t}_{t}=\lim_{\vert P\vert \to 0}\sum _{k=1}^{k=1}n}\왼쪽(X_{t_{k-1}-1}{k-1}\right)\(Y_{k_{k-1}{k-1}:{k-1}:{k-1}.}$

공분산은 양극화 정체성에 의한 2차 변동의 관점에서 작성될 수 있다.

${\displaystyle [X,Y]_{t}={\tfrac {1}{1}{1}2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t}).}$

유한변동공정

공정 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 모든 유한 시간 간격(확률 1 포함)에 걸쳐 변동을 갖는 경우 변동이 유한하다고 한다$$. 그러한 프로세스는 특히 모든 연속적으로 서로 다른 기능을 포함하여 매우 일반적이다. 2차 변동은 모든 연속적인 유한 변동 공정에서 존재하며 0이다.

이 문장은 비연속적인 과정으로 일반화될 수 있다. 임의의 cadlag 유한변동공정 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$은(는) X ${\displaystyle X}$의 점프의 제곱합과 같은 2차 변동을 가지고$$ 있다$.$ $이$를 보다 정확하게 설명하기 위해 t ${\displaystyty t}$에 대한 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$$displaystystyle X_{t}$의 왼쪽 한계가 $X{\displaystyle {}_{}}$ -${\}$로 표시된다$$., 그리고 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에서 X ${\displaystyle$ X$}$의 점프는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$- X ${\displaystyle t_{}}$- ${\$로 기록될$$ 수 있다$.$ 그러면 다음과 같은 2차 변형이 주어진다.

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}}$

연속적인 유한 변동 프로세스가 2차 변동을 0으로 가지고 있다는 증거는 다음의 불평등에서 나타난다. 여기서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은$({\displaystyle }$는) 간격[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,t]}$의 분할이고$,$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle t{}_{}}$( X${\displaystyle }$)$${\$displaystyle V_{$t}($X)}$은${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,t]}$에 대한$$X {\$displaystystyle$ X$}$의$$$변형$이다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n} X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}} \sum _{k=1}^{n} X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}} \\&\leq \max _{ u-v \leq \Vert P\Vert } X_{u}-X_{v} V_{t}(X).\end{정렬}}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 연속성에 의해$$this ${\displaystyle P}$‖ ${\displaystyle \Vert$}이$($가) 0이 되면 한계에서 사라진다.

Ititu 프로세스

표준 브라운 운동 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 2차 변형이 존재하며$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t{}_{}}$= t ${\displaystyle [B]_{t}=t}$에 의해 주어지지만$,$ 정의의 한계는 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$감각에$$ 의미하며 경로에 의미하지 않는다. 이는 정의에 따라 Itsu 통합의 관점에서 표현될 수 있는 Itsu 프로세스를 일반화한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,d[B]_{s}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,\end{aligned}}}$

여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 브라운 운동이다. 그러한 모든 공정은 다음과 같은 2차적 변동을 가진다.

${\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.}$

세미마팅게스목

모든 반물질목의 2차적 변동과 공변량이 존재한다는 것을 보여줄 수 있다. 그들은 Itô의 보조정리부에 나타나면서 확률 미적분학 이론의 중요한 부분을 이루고 있는데, 그것은 Itô 적분까지의 체인 룰의 일반화다. 2차 공분산은 부품 공식에 의한 통합에도 나타난다.

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}}}$

[${\displaystyle X},{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$을(를${\displaystyle )}$ 계산하는 데 사용할 수 있다$.$

또는 확률적 미분 방정식으로 작성할 수 있다.

$\\d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dX_{t}\,dY_{t}}}},dY_{t}},},}$

여기서 d ${\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle d_{}}$ Y ${\displaystyle {}_{}}$= d${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$. ${\displaystyle$\,$dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.$$}$

마팅게일스

모든 카들라그 마팅칼레스와 지역 마팅칼레스는 2차 변형이 잘 정의되어 있는데, 이는 이러한 과정이 반마팅칼레스의 예라는 사실에서 따온 것이다. It can be shown that the quadratic variation ${\displaystyle [M]}$ of a general locally square integrable martingale ${\displaystyle M}$ is the unique right-continuous and increasing process starting at zero, with jumps ${\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}$ and such that ${\dis$$플레이스타일 M^{2}-[M]}$은(는) 지역 마팅게일이다$$. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 존재에 대한 증명이 카란디카-라오(2014년)에 제시되어 있다.$$

정사각형 통합형 마팅칼레스에 유용한 결과는 Itô Isometry로, Itô 통합의 분산을 계산하는데 사용할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\int _{0}{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\e} \left(\int _{0}^{t})H^{2}\,d[M]\오른쪽).}$

$이{\displaystyle }$ 결과는 M ${\displaystyle M}$이(가) 카들래그 사각형 통합형 마팅게일이고 H ${\displaystyle H}$이(가) 한정 예측 가능한 프로세스일 때마다 유지되며 Itô 적분 구성 시 종종 사용된다.

또 다른 중요한 결과는 버크홀더-데이비스-군디 불평등이다. 이것은 2차 변동의 관점에서 마팅게일의 최대 한도를 제공한다. For a local martingale ${\displaystyle M}$ starting at zero, with maximum denoted by ${\displaystyle M_{t}*=\operatorname {sup} _{s\in [0,t]} M_{s} }$, and any real number ${\displaystyle p\geq 1}$, the inequality is

${\displaystyle c_{p}\operatorname {E}([M]_{t}^{p/2})\leq \operatorname {E}(((M_{t}^{*^})\leq C_{p}\operatorname {E}([M]_{t}^{p/2})).}$

여기서 < ${\$은(는)$$p {\$displaystyle$p}의 선택에 따라 상수지만 사용된$$ $마팅게일{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$ 또는 시간$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaysty$ t$}$에 따라 달라지는 것은 아니다. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 연속 로컬 마팅게일이라면, Burkholder-Davis-Gundy 불평등은 > 0[\$displaystyp>0$을(를) 유지한다.

대안적 과정인 예측 가능한 2차 변동을 지역적 정사각형 통합 마팅 판매에 사용하는 경우가 있다. 이것은 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle M_{t}\angle }$ 로$$작성되며, M $2{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}⟨}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle$ M$^{2}-\langle M\angle }}}$이(가) 로컬 마팅게일 정도로 0부터 시작되는 예측 가능한 고유한 우측 연속 프로세스로 정의된다. 그것의 존재는 Dob-Meyer 분해 정리에서 따르며, 지속적인 국부 마팅ales의 경우 2차 변이와 동일하다.

참고 항목

• 총변동
• 경계변동

참조

• Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
• Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469. doi:10.1007/s12044-014-0179-2.