거친길

확률론적 분석에서, 대략적인 경로는 예를 들어 Wiener 프로세스와 같이 고전적으로 불규칙한 신호에 의해 구동되는 제어된 미분 방정식에 대한 강력한 솔루션 이론을 구축할 수 있는 매끄러운 경로의 개념을 일반화한 것이다. 이 이론은 1990년대에 테리 라이온스에 의해 개발되었다.^[1][2][3] 그 이론에 대한 몇 가지 설명이 가능하다.^[4][5][6][7]

거친 경로 이론은 고진동 시스템과 비선형 시스템 사이의 상호작용을 포착하고 정밀하게 만드는 데 초점을 맞추고 있다. 그것은 L.C.의 조화 분석에 기초한다. 영, K.T. Chen의 기하 대수학, H의 Lipschitz 함수 이론. 휘트니와 확률적 분석의 핵심 아이디어. 개념과 획일적인 추정치는 순수하고 응용된 수학 및 그 이상에 광범위하게 적용된다. 마팅게일 속성이나 예측 가능성 등 특정한 확률론적 특성을 사용하지 않고 확률론적 분석(원-자카이, 스트로크-바라단 지지 정리, 확률론적 흐름의 건설 등)에서 많은 고전적 결과를 비교적 쉽게 회복할 수 있는 도구상자를 제공한다. 이 이론은 또한 이타의 SSDE 이론을 반마티날 설정 이상으로 확장시킨다. 수학의 중심에는 비선형 동적 ${\displaystyle 시스템{}_{}}$ d${\displaystyle {}_{}{t}_{}}$ = ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle y_{}}$t ) ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$t , ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\dmathrm {d} y_{t}=f$에 대한 영향을 정확하게 예측할 수 있도록 부드럽지만 잠재적으로 매우 진동적인 다차원 경로 $x{\displaystyle {}_{}}$ t ${\$t}}}를 효과적으로$$ 설명하는 과제가 있다.$(y_{t}\,\mathrm {d}x_{t},y_{0}=a}$. 서명은 단조로운 경로에서 자유 텐서 대수학의 그루플라이크 요소로 이어지는 동형상이다. 경로 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대한 요약 정보를 제공한다$.$ 이 비확정 변환은 적절한 null 수정까지의 경로에 충실하다. 이러한 졸업된 요약이나 경로의 특징은 험난한 경로의 정의의 핵심에 있다; 국지적으로 그들은 경로의 미세한 구조를 볼 필요를 제거한다. 테일러의 정리는 어떤 매끄러운 기능이 어떻게 국소적으로 특정 특수함수(그 점에 기초한 단수)의 선형 결합으로 표현될 수 있는지를 설명한다. 반복 통합 조정(서명의 용어)은 흐름이나 경로를 유사하게 설명할 수 있는 형상의 보다 미묘한 대수학 형태를 형성한다; 그것들은 대략적인 경로의 정의를 허용하고 경로의 지속적인 기능을 위한 자연적인 선형 "기준"을 형성한다.

마틴 하이러는 KPZ 방정식에 대한 강력한 솔루션 이론을 구축하기 위해 거친 경로를 사용했다.^[8] 그 후 그는 2014년 필즈 메달을 받은 규칙성 구조^[9] 이론으로 알려진 일반화를 제안했다.

동기

거친 경로 이론은 제어된 미분 방정식을 이해하려는 것을 목표로 한다.

${\daystyle \mathrm {d}Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}V_{j}^{j}^{i}(Y_{t})\\\mathrm {d}X_{t}^{j}.}$

여기서, Banach 공간에서 값을 취하는$$ 연속 경로 ${\displaystyle X_{}}$ $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 컨트롤은 다를 필요도 없고 경계 변동도 없어야 한다. 제어 경로 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$의 일반적인 예는 Wiener 프로세스의 샘플 경로다$$. 이 경우 앞에서 언급한 제어된 미분방정식은 확률적 미분방정식으로 해석할 수 있으며, "${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle X{}_{}^{}}$ t ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 대한 통합은 It의 의미로 정의할 수 있다. 그러나 Itô의 미적분은 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 의미로 정의되며, 특히$$ 경로적 정의가 아니다. 거친 경로는 확률적 미분 방정식의 거의 확실한 경로적 정의를 제공한다. 용액의 대략적인 경로 개념은 $만약{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$(${\displaystyle n{}_{}}$) t ${\$${\displaystyle {\_}_{}}$${t}$가 p {\$displaystyle X_{t}$에 수렴되는 매끄러운 경로의 연속이라면$$ p ${\displaystyle p}$ -분배$$ 메트릭(아래 설명), 그리고$$

${\dmatrm \mathrm {d}Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t}),\matrm {d}X(n)_{t}^{j};}$

${\daystyle \mathrm {d}Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}V_{j}^{j}^{i}(Y_{t})\\\mathrm {d}X_{t}^{j}}}}$

그런 다음 $Y{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle Y(n)}$이(가) $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -분산$$ 메트릭의$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 수렴한다$$. 이러한 연속성 속성과 해결책의 결정론적 특성은 확률적 흐름에 대한 결과뿐만 아니라 프리들린-웬첼의 큰 편차 이론과^[10] 같은 확률적 분석에서 많은 결과를 단순화하고 강화하는 것을 가능하게 한다.

실제로 거친 경로 이론은 이타스와 스트라토노비치 미적분학의 범위를 훨씬 뛰어넘어 가우스 과정이나 마르코프 과정과 같은 비세마르팅게일 경로에 의해 구동되는 미분 방정식을 이해할 수 있게 한다.^[11]

거친 경로의 정의

거친 경로는 잘린 자유 텐서 대수(더 정확히 말하면 자유 텐서 대수에 내장된 자유 영점 그룹에서) 값을 취하는 경로로, 현재 이 절에서 간략하게 회상하고 있다. The tensor powers of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, denoted ${\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes n}}$, are equipped with the projective norm ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$ (see Topological tensor product, note that rough path theory in fact works for a 보다 일반적인 규범계급. $T{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ d${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle$ T$^{(n)}(\mathb {R} ^{d})$를 잘린 텐서 대수(tenor alge)로$$ 두십시오.

${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})=\bigoplus _{i=0}^{n}{\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes i},}$ where by convention ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d})^{\otimes 0}\cong \mathbb {R} }$.

Let ${\displaystyle \triangle _{0,1}}$ be the simplex ${\displaystyle \{(s,t):0\leq s\leq t\leq 1\}}$. Let ${\displaystyle p\geq 1}$. Let ${\displaystyle \mathbf {X} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ be continuous maps ${\displaystyle {\mathrm{△}}_{0,1}\to T^{(\lfloor p\rfloor )}({\mathbb{R}}^{}}$${\displaystyle \triangle _{0,1}\to T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$. Let ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ denote the projection of ${\displaystyle \mathbf {X} }$ onto ${\displaystyle j}$-tensors and likewise for ${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}}$. $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -분산$$ 메트릭은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle d_{p}\왼쪽(\mathbf {X},\mathbf {Y} \right):=\max _{j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }\sup _{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1}\left(\sum _{i=0}^{n-1}\Vert \mathbf {X} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}-\mathbf {Y} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}\Vert ^{\frac {p}{j}}\right)^{\frac {j}{p}}}$

서 수상은${\displaystyle }$모든 유한 파티션{ 0= < 1> ${\displaystyle \{0=t_{0}[$0$,1]$의${\displaystyle }${${\displaystyle 0=}$$t_{0}<\cdots$ <t_${n}=$$\}}}}}}$을(를) 인수한다$.$

A continuous function ${\displaystyle \mathbf {X} :\triangle _{0,1}\rightarrow T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$ is a ${\displaystyle p}$-geometric rough path if there exists a sequence of paths with finite total variation ${\displaystyle X(1),X(2)$$,\ldots }$ 그런$$ 것.

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -분산$$ 메트릭을 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$으{\displaystyle }$)로$$ n${\displaystyle }$→ $【\displaystyle n\rightarrow \infty$ $\}$^[12]로 수렴.

범용한계정리

거친 경로 이론의 중심 결과는 라이온스의 보편적 한계 정리다.^[1] 결과의 한 가지(취약) 버전은 다음과 같다. $X{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle X(n)}$을(를) 총 변동이 유한한 경로의 시퀀스로 하고$$ 다음으로(를) 두십시오.

X(n)s, t)s1,(1, s∫<>의 1<>는 과목은 dX(n)야, s∫<>의 1<>…<>매우⌊ p⌋<>는 과목은 dX(n)s1⊗⋯ ⊗ dX(n)가 어떻게 되⌊ p⌋){\displaystyle \mathbf{X}(n)_ᆯ=\left(1,\int_{s<, s_{1}<>는 과목은}\mathrm{d}X(n)_{s_{1}},\int _{s<,{1s_}< ,\ldots, \ldots <, s_{\lfloor p\r.바닥}<>는 과목은}\mathrm{d}X(n)_{$s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d}$ X$(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}}}}$은$($는) $X{\displaystyle (n)}$ ${\displaysty X(n)}$의 거친 경로 상승을 의미한다.

Suppose that ${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$ converges in the ${\displaystyle p}$-variation metric to a ${\displaystyle p}$-geometric rough path ${\displaystyle \mathbf {X} }$ as ${\displaystyle n\to \infty }$. Let ${\displaystyle (V_{j}^{$최소한⌊ p⌋{\displaystyle \lfloor p\rfloor}으로 껑충껑충 내달렸다 파생 상품과 ⌊ p나는})_{j=1,\ldots ,d}^{i=1,\ldots ,n}} 기능 ⌋{\displaystyle \lfloor p\rfloor}-th 파생 상품α{\displaystyle \alpha}-Hölder 일부 α 을을 지속적이면 안− ⌊ p⌋{\displaystyle \alpha>p-\lfloor p\rfloor}. 르.t${\displaystyle Y}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle Y(n)}$이(가) 미분 방정식의 해결책임$$

${\dmathrm {d}Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{j}^{i}(Y(n)_{t}\,\mathrm {d}X(n)_{t}^{j}}}}}}}$

$그리고{\displaystyle \mathbf{}}$ Y${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \mathbf {Y}(n)}$을(를) 다음과 같이 정의하도록$$ 하십시오.

${\displaystyle \mathbf {Y} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} Y(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

$그런{\displaystyle \mathbf{}}$ 다음 $Y{\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ) ${\displaystyle \mathbf {Y}(n)}$ p ${\displaystyle p}$ -분산$$ $메트릭$을 p ${\displaystyle p}$ -geometric$$ rough 경로 $Y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\\$에 수렴한다$.$

더욱이 $Y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) 미분 방정식의 해법이다.

${\daystyle \mathrm {d}Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}V_{j}^{j}^{i}(Y_{t})\\mathrm {d}X_{t}^{j}\qquad(\star )}$

기하학적 거친 경로 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 의해 구동됨$.$

Concisely, the theorem can be interpreted as saying that the solution map (aka the Itô-Lyons map) ${\displaystyle \Phi :G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{d})\to G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{e})}$ of the RDE ${\displaystyle (\star )}$ is continuous (and in fact locally lipschitz) in the ${\displaystyle p}$ $[\displaystyle p}$ -영역$$ 위상. 따라서 거친 경로 이론은 주행 신호를 거친 경로로 간주함으로써 고전적인 확률적 미분 방정식 이상에 대한 강력한 해법 이론을 가지고 있음을 보여준다.

거친 경로의 예

브라운 운동

Let${\displaystyle }$(${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ )${\displaystyle {}_{}{}_{}}$t ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$ ($B_{t})_{$t\$geq$ 0$}}}$은(는) 다차원 표준 브라운 운동이다$$. $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circle}$이(가) 스트라토노비치 통합을 나타내도록 하자$$. 그러면

${\displaystyle \mathbf {B} _{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}}\otimes \circ \mathrm {d} B_{s_{2}}\right)}$

<$<<\$displaystyle 2<p$<3$$}>$에 대한 $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle p}$ -through$$ frough path이다 이 기하학적 험난한 길을 스트라토노비치 브라운의 험난한 길이라고 부른다.

프랙탈 브라운 운동

보다 일반적으로 $B{\displaystyle {}_{}}$ H${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle B_{H}(t)}$을(를) > ${\$ H$>{\frac{1}{4}}}}$을(를) 가진 다차원 분수 브라운 운동(좌표 구성요소가 독립된 분수령 브라운 운동인 프로세스)이$$ 되도록 한다 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ B H m${\displaystyle }$($$t ) {\$displaystypisplaystydisplaystydisplaystypeconal$ Browise $B_${{{{down frace Browise B_{{{{down b_${$$H}^{m}(t)}$은(는) $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle B_{H}(t$의 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ -th$$ dynadious picites 선형 보간이다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {B} _{H}^{m}(s,t)=\left(1,\int _{s_{1}\}\right).&\mathrm {d}B_{H}^{m}(s_{1}),\int _{s_{1}<s_{2}<t}\,\mathrm {d}B_{{}H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d}B_{H}^{m}(s_{2}),\\&\왼쪽.\int _{s_{1}{2}<s_{3}\mathrm {d}B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d}B_{H}^{m}(s_{2})\otimes \mathrm {d}B_{H}^{m}(s_{3}\오른쪽)\end{aigned}}}$

$확실히{\displaystyle }$p {\$displaystyle$p} -분산$$ 메트릭을 1 $<$ p {\$displaystyle$ p} -geometric$$ rough 경로로 수렴한다 p ${\displaystyle {\frac {1}{$$H}<p$^[13] 언제 0<>이 제한 기하학적 거친 경로 미분 방정식 부분은 브라운 운동에 의해 허스트 매개 변수 H을들을 이해하기;14{\displaystyle H>,{\frac{1}{4}}}.;H14{\displaystyle 0< ≤, 사용될 수 있다.H\leq{\frac{1}{4}}}, 이원 근사치를 따라 위의 제한 i. 융합하지 않은 점을 변한다n $p{\displaystyle }$ $[\displaystyle p}$ -displays$$. 그러나, 물론 거친 경로 양력을 보인다면, 그러한 (비유일) 양력의 존재는 라이온스-빅토르 확장 정리의 결과라고 할 수 있다.

강화의 고유성이 없음

일반적으로${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$은(는) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$d 디스플레이 $스타일 \mathb{R} ^{d}}}$ 값$$ 확률적 과정으로$$ 한다. 함수$({\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$, ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle ({}^{}}$ d${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\$ {$s,t}^{j}\in {\big(}\mathb$ {R$}{d}\big )^{\otimes$ j$}$를 거의 확실하게$$ 구성할 수 있다면

${\displaystyle \mathbf {X} :(s,t)\오른쪽 화살표(1,X_{t}-X__{s}_{s,t}^{2},\ldots,\mathbf {X} _{s,t}^{\lllfloor }})}$

$p{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$$displaystyle p}$ -geometric$$ rough path, 그 다음 X ${\displaystyle {s,}_{}}$ t ${\$$displaystyle$ $\mathbf {X$$}$ $_{s,t}$은 프로세스 $X$의 향상이다$.$ 한 번 강화가 선택되면 거친 경로 이론의 기계는 제어된 미분 방정식을 이해할 수 있다.

${\daystyle \mathrm {d}Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}V_{j}^{j}^{i}(Y_{t})\\\mathrm {d}X_{t}^{j}.}$

충분한 정규 벡터 필드 $V{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ $.$ {\$displaystyle$ V_{$j}^{i}.$$}$

모든 확률적 프로세스(결정론적 경로라고 해도)는 두 개 이상의 가능한 개선(사실 헤아릴 수 없이 많은)을 가질 수 있다는 점에 유의한다.^[14] 서로 다른 개선은 통제된 미분 방정식에 대한 다른 해결책을 야기할 것이다. 특히 브라운의 거친 길이 아닌 다른 방식으로 브라운의 동작을 기하학적 거친 경로로 끌어올리는 것이 가능하다.^[15] 이는 스트라토노비치 미적분학만이 고전적 제품 규칙을 만족시키는 확률적 미적분학 이론이 아님을 시사한다.

${\daystyle \mathrm {d}(X_{t}\cdot Y_{t}=X_{t}\,\mathrm {d}Y_{t}+)Y_{t}\,\mathrm {d}X_{t}.}$

사실 기하학적 험난한 길로서 브라운 모션을 향상시키는 것은 이 고전적인 제품 규칙을 만족시키는 미적분을 만들어 낼 것이다. Itô 미적분은 브라운의 움직임을 기하학적 험난한 길로서 향상시킨 것에서 직접 오는 것이 아니라, 갈린 험난한 길로서 오는 것이다.

확률적 분석에서의 적용

비반시마틴화목에서 구동되는 확률적 미분방정식

거친 경로 이론은 형태의 (stochastic) 미분방정식에 대한 경로적 개념을 제공할 수 있다.

${\daystyle \mathrm {d}Y_{t}=b(Y_{t})\,\mathrm {d}t+\sigma(Y_{t})\,\mathrm {d}X_{t}}}\matrmatrm {d}{t}}}.$

다차원 확률 프로세스 X ${\displaystyle t_{}}$ ${\$가 거의 확실히 거친 경로로 강화될 수 있고$$ $드리프트{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$과 변동성 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma$}이$($가) 충분히 부드럽다면$$(범용한계 정리 섹션 참조).

마르코프 프로세스, 가우스 프로세스, 그리고 거친 경로로 강화될 수 있는 다른 프로세스들의 많은 예가 있다.^[16]

특히 말리아빈 미적분과 거친 경로이론의 조합을 통해 증명된 분절 브라운 운동에 의해 구동되는 미분 방정식의 해법에 대한 많은 결과가 있다. 실제로 Hurst H > 4 ${\$ H$>{\frac{1}{4}}}}}$이가우스)의 한 종류에 의해 구동되는 제어된 미분방정식에 대한 해결책이 벡터 필드의 Hörmander 조건 하에서 부드러운 밀도를 가지고 있다는 것이 최근에 증명되었다.^{[17] [18]}

프리들린-갠젤의 큰 편차 이론

$Let{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$) ${\displaystyle L(V,W)}$은 Banach 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 다른$$ Banach $공간{\displaystyle }$ W ${\displaystyle$ W$}$까지의 경계 선형 맵 공간을 나타낸다$$$.$

$B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$를 d ${\displaystyle d}$ -차원$$ 표준 브라운 운동으로$$ 한다. Let ${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$ and ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})}$ be twice-differentiable functions and whose second derivatives are ${\displaystyle \alpha }$-Hö일부 > ${\displaystyle \cHB$ >0$}$에 대한 lder

$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\$을 확률적 미분 방정식의 고유한 해결책이 되게$$ 하라.

${\displaystyle \mathrm {d} X^{\varepsilon }=b(X_{t}^{\epsilon })\,\mathrm {d} t+{\sqrt {\varepsilon }}\sigma (X^{\varepsilon })\circ \mathrm {d} B_{t};\,X^{\varepsilon }=a,}$

여기서 $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circle }$은(는) 스트라토노비치 통합을 의미한다$$.

The Freidlin Wentzell's large deviation theory aims to study the asymptotic behavior, as ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$, of ${\displaystyle \mathbb {P} [X^{\varepsilon }\in F]}$ for closed or open sets ${\displaystyle F}$ with respect to the uniform topology.

The Universal Limit Theorem guarantees that the Itô map sending the control path ${\displaystyle (t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})}$ to the solution ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$ is a continuous map from the ${\displaystyle p}$-variation topology to the ${\displaystyle p}$-variation topology(따라서 균일한 위상). 그러므로 큰 편차 이론의 수축 원리는 프리들린-을 감소시킨다.Gandzell의 $문제$는 p ${\displaystyle$p} -분산$$ 토폴로지의${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$ ,${\displaystyle b\sqrt{}}$ ${\displaystyle B{}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$) ${\displaystyle ($t, ${\\sqrt {\\barepsilon }}B_{t})$에 대한 큰 편차 원리를 입증하는 것이다.^[10]

이 전략은 브라운 운동에 의해 구동되는 미분 방정식뿐만 아니라 분수 브라운 운동과 같이 거친 경로로 강화될 수 있는 확률적 과정을 구동하는 미분 방정식에도 적용할 수 있다.

확률적 흐름

다시 한 번 ${\displaystyle B_{}}$ t ${\$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$d} -차원$$ 브라운 모션이 되게$$ 한다. 드리프트 용어 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$과 변동성 용어 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$이(가) 확률적 미분 방정식을 갖도록 충분한 정규성을 가지고$$ 있다고 가정한다.

${\daystyle \mathrm {d} \phi _{s,t}(x)\phi _b(\phi _{s,t}(x)\\mathrm {d}B_{t};X_{s}=x}$

험난한 길이라는 의미에서 독특한 해결책을 가지고 있다. 확률 흐름 이론의 기본적인 질문은 흐름 지도 ${\displaystyle {map}_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$) ${\displaystyle \phi _{s,t(x)}}$이(가) 존재하며 모든 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s\leq u\leq t}$에 대한 cocycyclick 속성을 충족하는지 여부다$.$

${\displaystyle \phi _{u,t}(\phi _{s,u}(x))=\phi _{s,t}(x)}$

$s{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s,u,t}$에 독립적인 null 집합 외부$.$

유니버설 리미트 정리(Universal Limit Organization)는 다시 한번 브라운의 거친 경로 ${\displaystyle {B\mathbf{}}_{}}$ $s{\displaystyle {\mathbf{}}_{\mathbf{}}}$, t ${\$이(가) 존재하는지 여부까지 이 문제를 줄이고 모든 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystystyleq u\leq t}$에 대한 곱셈을 만족한다$.$

${\displaystyle \mathbf {B} _{s,u}\otimes \mathbf {B} _{u,t}=\mathbf {B} _{s,t}}}}$

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s},$$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 및$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 독립적인 null 집합 외부$.$

$사실$, 거친 경로 $이론$은 ${\displaystyle s_{}}$$${\$displaystyle s$ ${\displaystyle }$${\displaystyle$ t},$$$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$},$ $x$$$ ${\displaystyle x}$에 독립적인 null 집합 외부뿐만 아니라$$ 드리프트 $b{\displaystyle }$ ${\displaystystyle b},$ 변동성$$ $\sigma {\displaystyle }$ ${\\displaystystystyteam$}의 존재와 고유성을 부여한다$.$$a$

프리들린의 경우와 같이.Gandzell 이론, 이 전략은 브라운 운동에 의해 구동되는 미분 방정식뿐만 아니라 거친 경로로 강화될 수 있는 모든 확률적 과정을 고수한다.

제어된 거친 경로

제어된 거친 길, M에 의해 소개되었다. 구비넬리(Gubinelli)^[5]는 거친 적분이 있는 경로$$ $Y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이다.

${\daystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d}X_{u}}}}$

주어진 기하학적 거친 경로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대해 정의할 수 있다$.$

보다 정확히 말하자면, $L{\displaystyle }$(${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$) ${\displaystyle L(V,W)}$이(가) Banach 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 다른 Banach 공간 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$까지의 경계 선형 맵 공간을 나타내도록$$ 하자$.$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -geometric$$ 거친 경로 지정

${\displaystyle \mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor }})}$

on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, a ${\displaystyle \gamma }$-controlled path is a function ${\displaystyle \mathbf {Y} _{s}=(\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma \rfloor })}$ such that ${\displaystyle {\mathbf{Y}}^j}$:[0,1]→ L((Rd)⊗ j+1, Rnx{\displaystyle \mathbf{Y}^{j}:[0,1]\rightarrow L((\mathbb{R}^{d})^{\otimes j+1},\mathbb{R}^{n})}, M을이 존재한다;0{\displaystyle M>0}등으로 0≤ s≤ t≤ 1{\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}과 j=0,1,…,⌊γ ⌋{\displaystyle. j=0,1$,\ldots,\l바닥 \cHB \loor$ $\},$

${\displaystyle \vert \mathbf {Y} _{s}^{j}\vert \leq M}$

그리고

${\displaystyle \left\ \mathbf {Y} _{t}^{j}-\sum _{i=0}^{\lfloor \gamma \rfloor -j}\mathbf {Y} _{s}^{j+i}\mathbf {X} _{s,t}^{i}\right\ \leq M t-s ^{\frac {\gamma -j}{p}}.}$

예: 립(입술) 함수

X)(1, X1,…, Xp ⌊ ⌋){\displaystyle \mathbf{X}=(1,\mathbf{X}{1},\mathbf{X},\ldots^{\lfloor p\rfloor}^)}모든 0s≤ ≤지 1{\displaystyle 0\leq s\leq t\l ≤에 대한 p{p\displaystyle}-geometric 거친 경로는 횔더 조건이 M을 존재하는 만족하는;0{\displaystyle M>0} 보자.eq 1}$$ 그리고 $all{\displaystyle }$j = ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$…,${\displaystyle p}$ p ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle j=$1,$2,\ldots,\lfloor p\loor$ $\},$

${\displaystyle \vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\vert \leq M(t-s)^{\frac {j},}$

where ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ denotes the ${\displaystyle j}$-th tensor component of ${\displaystyle \mathbf {X} }$. Let ${\displaystyle \gamma \geq 1}$. Let ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ be an ${\displaystyle \lflo$$또는 \gamma \$$rfloor$$}$ -time$$ differentable function, t${\displaystyle \gamma }$ {\$displaystyle \lfloor }$ -th$$ 파생상품은 $\gamma {\displaystyle }$ -${\displaystyle \lfloor }$ - \ ${\displaystyle \backslash }$ \ \ \ $\down \loor$öder이다$$.

${\displaystyle(f(\mathbf {X} _{s}^{1}), Df(\mathbf {X} _{s}^{1}),\ldots,D^{\lma \rfloor }f(\mathbf {X} _{s}^1})}}}}}}$

$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$ - 제어된$$ 경로.

제어된 경로의 통합은 제어된 경로임

$Y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$}$이(가$$) > - ${\$$displaystyle \gamma >p-1$인 경우

${\daystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d}X_{u}}}}$

정의 및 경로

${\displaystyle \left(\int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u},\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma -1\rfloor }\right)}$

$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$ - 제어된$$ 경로.

제어된 미분방정식에 대한 해결책은 제어된 경로임

Let ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})}$ be functions that has at least ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$ derivatives and the ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$-th derivatives are ${\displaystyle \g$ -$\lfloor \gamma \rfloor }$ ö$$ > p ${\displaystyle \gamma >p}$에 대해 연속된 öder $Y{\displaystyle }$ ${\displaysty Y}$을(를) 미분 방정식의 해결책이 되게$$ 하라.

${\daystyle \mathrm {d}Y_{t}=V(Y_{t})\,\mathrm {d}X_{t}.}$

정의

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}Y}{\mathrm {d}X}(\cdot )=V(\cdot );}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{r+1}Y}{\mathrm {d} ^{r+1}X}(\cdot )=D\left({\frac {\mathrm {d} ^{r})Y}{{\mathrm {d} ^{r}X}\right)(\cdot )V(\cdot ),}$

여기서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는) 파생 연산자를 가리킨다$$.

${\displaystyle \left(Y_{t},{\frac {d} Y}{\mathrm {d}X},{\frac {\mathrm {d} ^{2}Y}{{\mathrm {d} ^{2}X}(Y_{t}),\ldots,{\frac {\lfloor \llfloor }{{{d}}{\lmatrma \rfloor }{d}}}}}}}}{\lmartma \rflow \rflow \rfloor \rfloor \x}}}}}}}}}$

$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$ - 제어된$$ 경로.

서명

$X{\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$d 디스플레이 $스타일$ X$:[0,1]\오른쪽$ 화살표 $\mathb {R} ^{d}}}}$을(를) 총변동이 유한한 연속함수가 되도록$$ 한다. 정의

${\displaystyle S(X)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \mathrm {d} X_{s_{2}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{n}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X_{s_{n}},\ldots \right).}$

경로의 서명은 $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle X{}_{}}$) ${\displaystyle {0\mathrm{},}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$로 정의된다$.$

서명은 기하학적 거친 경로에 대해서도 정의할 수 있다. $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 기하학적 거친 경로로$$ 하고 $X{\displaystyle \mathbf{}(n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathbf {X}(n)$을 다음과 같이 총 변동이 유한한 경로의 시퀀스로$$ 설정한다.

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -분산$$ 메트릭을 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$으$)$로 수렴한 다음

${\dapplaystyle \int_{s_{1}<\cdots <s_{{N}\,\mathrm {d}X(n)_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d}X(n)_{s_{N}}}}}}}}}}}}}}}}.$

converges as ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ for each ${\displaystyle N}$. The signature of the geometric rough path ${\displaystyle \mathbf {X} }$ can be defined as the limit of ${\displaystyle S(X(n))_{s,t}}$ as ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

그 서명은 첸의 신분을 만족시킨다,^[19] 라는 것이다.

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{s,u}\otimes S(\mathbf {X} )_{u,t}=S(\mathbf {X} )_{s,t}}}}}$

$모든{\displaystyle }$ s ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s\leq u\leq t}$에 대해$.$

서명 변환의 커널

서명이 사소한 시퀀스인 경로 집합 또는 더 정확히 말하면

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,0,\ldots )}$

나무와 같은 경로의 개념을 사용하여 완전히 특징 지을 수 있다.

A ${\displaystyle p}$-geometric rough path is tree-like if there exists a continuous function ${\displaystyle h:[0,1]\rightarrow [0,\infty )}$ such that ${\displaystyle h(0)=h(1)=0}$ and for all ${\displaystyle j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }$ and all ${\displaystyle 0\le }$${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq$ 1$\},$

${\displaystyle \vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\vert ^{p}\leq h(t)+h-2\inf _{u\in [s,t]}h(u)}$

여기서 $X{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$j}}$은(는) $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ -th$$ 텐서 성분을 나타낸다$.$

기하학적 거친 경로 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$}}$이$($가)^[20][21] ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X\mathbf{}{}_{}}$) ${\displaystyle {0,}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ S$(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,$$0,\$$dots )}$을(를) 만족하는 경우 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$.

경로의 서명으로 볼 때 나무와 같은 조각이 없는 독특한 경로를 재구성할 수 있다.^[22][23]

무한치수

또한 텐서 대수의 규범이 특정한 능력 조건을 만족시킨다면, 거친 경로 이론의 핵심 결과를 무한의 차원으로 확장할 수도 있다.^[24]

참조