퇴행성 원뿔

기하학에서 퇴행 원뿔은 원뿔(도2의 다항식 방정식으로 정의되는 2도 평면 곡선)으로, 수정 불가능한 곡선이 되지 못한다. 이것은 두 개의 선형 다항식의 산물로서 정의 방정식이 복잡한 수(또는 더 일반적으로 대수적으로 닫힌 장에 걸쳐)에 대해 인수할 수 있다는 것을 의미한다.^{[note 1]}

원뿔의 대체 정의를 평면과 이중 원뿔의 3차원 공간의 교차점으로 삼아, 평면이 원뿔의 정점을 통과하면 원뿔이 퇴보한다.

실제 평면에서 퇴행 원뿔은 평행이 될 수도 있고 아닐 수도 있는 두 개의 선, 하나의 선(두 개의 일치선 또는 무한대의 선과 선의 결합), 하나의 점(사실 두 개의 복잡한 결합선), 또는 null 세트(무한도 또는 두 개의 평행 복합 결합선에서의 선 2배)가 될 수 있다.

이 모든 타락한 원뿔은 원뿔의 연필에서 발생할 수 있다. 즉, 2차 다항식 f = 0과 g = 0으로 두 개의 실제 비감속 원뿔을 정의한 경우, af + bg = 0 등식의 원뿔은 연필을 형성하는데, 이 원뿔은 1개 또는 3개의 퇴행 원뿔을 포함한다. 실제 평면에 있는 퇴행 원뿔의 경우, 주어진 퇴행 원뿔이 그들이 결정하는 연필에 속하도록 f와 g를 선택할 수 있다.

예

방정식 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 -${\displaystyle {}^{}}$y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$^{2}-y^{2}=0}$이(${\displaystyle 가}$) 있는 원뿔 섹션은 방정식이${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ - y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$(${\displaystyle }$x +${\displaystyle y}$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle (x-y)(x+y)=0}$로 기록될 수 있으며$$, "X"를 구성하는 두 개의 교차선에 해당된다. 이 퇴행 원뿔은 방정식 $a{\displaystyle }$ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\$$displaystyle a=1,b=0}$의 하이퍼볼라 연필에서 limit case $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle 0}$으로 발생한다. {\$displaystyle a(x^{2}-y^{2$}-b$}-b=0.}$$$ 제한 사례 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ b${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a=0,b=1}$은 무한대에서 선의 두 배로 구성된 퇴행 원뿔의 예다.

Similarly, the conic section with equation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$, which has only one real point, is degenerate, as ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ is factorable as ${\displaystyle (x+iy)(x-iy)}$ over the complex numbers. 따라서 원뿔은 원뿔의 고유한 실제 점인${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 0}$ ) ${\displaystyle (0,0$에서 교차하는 두 개의 복잡한 결합선으로 구성된다.

The pencil of ellipses of equations ${\displaystyle ax^{2}+b(y^{2}-1)=0}$ degenerates, for ${\displaystyle a=0,b=1}$, into two parallel lines and, for ${\displaystyle a=1,b=0}$, into a double line.

등식 $a{\displaystyle ({x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a(x^{2}+y^{2}-1)-bx=0}$의 원 연필은 $a{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle a=0}$에 대해$$ 무한대의 선과 $등식{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 0$${\$displaystyle x=0$}의 두 줄로$$ 변한다$.$

분류

복잡한 투영 평면 위에는 두 가지 유형의 퇴행 원뿔만 있을 뿐인데, 두 개의 다른 선은 반드시 한 점으로 교차하거나 한 개의 이중 선으로 교차한다. 어떤 퇴행 원뿔도 같은 유형의 다른 퇴행 원뿔로 투영적 변환에 의해 변형될 수 있다.

실제 비행기로 볼 때 상황은 더 복잡하다. 퇴보하는 실제 원뿔은 다음과 같을 수 있다.

• $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \iff }$( ${\displaystyle x}$+ y${\displaystyle }$) (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$- ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$^{2}-y^{2}=0\좌우타로우(x+y)(x-y)=0}$과 같은 두 개의 교차선
• $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$- 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \iff }$( ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$^{2}-1=0\좌우타로우 (x+1)(x-1)=0}$과 같은 두 개의 평행선
• $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x^{2}=0}$과 같은 이중 선(복수성 2)
• $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \iff }$( ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle i}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0\좌우회선(x+iy)(x-iy)=0$}과 같은 두 개의 교차 복합 결합선(실제 점만 하나)=0$}$
• $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$= 0 ${\displaystyle \iff }$( ${\displaystyle x}$+ i${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- i${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x^{2}+1=0\$과 같은 두 개의 평행 복합 결합선(${\displaystyle \mathrm{실제}}$ 점 없음)$왼쪽 오른쪽 화살표(x+i)(x-i)=0}$
• 단일 선과 무한대의 선
• 인피니티에서 선 2배(어핀 평면에 실제 점이 없음)

같은 등급의 퇴행성 원뿔 두 개에 대해서는 첫 번째 원뿔을 두 번째 원뿔에 매핑하는 첨부 변환이 있다.

판별

비생성 실제 원뿔은 $비균형{\displaystyle {}^{}{형태\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{A}}$ ${\displaystyle x}$ 2 +${\displaystyle 2}$ B ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ + C y ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle D}$ + 2 ${\displaystyle E}$ $x$+ ${\displaystyle 2}$ E${\displaystyle }$+ F$$+ {\disstyle Ax^{2}+Bxy+Cy$^{2}+2Dx+2Ey+$에 의한 타원형, 파라볼라 또는 하이퍼볼라로 분류할 수 있다.행렬의 결정 $요인인$F$\}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\\\end{bmatrix},}$

$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$의 2차 형태 행렬$.$ 이 결정 요소는 원뿔이 각각 타원형, 포물선형 또는 하이퍼볼라형인 것처럼 양, 0 또는 음이다.

유사하게 원뿔은${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ )${\displaystyle (x,y,z)}$에서 동질 2차 형태의 판별에 따라 퇴화되지 않거나 퇴화되지 않는 것으로 분류할 수 있다$.$^{[1][2]: p.16} 여기서 아핀 형태는 다음과 같이 균질화된다.

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2};}$

이 형식의 차별은 행렬의 결정 요인이다.

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\D&E&F\\end{bmatrix}.}$

원뿔은 이 행렬의 결정 요인이 0일 경우에만 변질된다. 이 경우 다음과 같은 가능성이 있다.

• < ${\displaystyle \det M<0}$인 경우에만 두 개의 교차선(하이볼라선이 두 개의 점근으로 퇴보됨)이다(첫 번째 다이어그램 참조).
• ${\displaystyle Det}$ ${\displaystyle M}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \det M=0}$인 경우에만 평행 직선 2개$($후진 포물선). These lines are distinct and real if ${\displaystyle D^{2}+E^{2}>(A+C)F}$ (see second diagram), coincident if ${\displaystyle D^{2}+E^{2}=(A+C)F}$, and non-existent in the real plane if ${\displaystyle D^{2}+E^{2}<(A+C)F}$.
• > 0 ${\displaystyle \det M>0}$인 경우에만 단일 점(후진 타원
• $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle B}$= ${\displaystyle \mathrm{C}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle A=B=C=0,}$ 및$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$ $및$ E ${\displaystyle E}$이(가) 모두 0이 아닌$$ 경우에만 단일 선(그리고 무한대의 선)을 사용한다. 이 경우는 항상 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형 원추형으로 일어난다. 그러나 다른 맥락에서 그것은 퇴행 원뿔체로 간주되지 않는다. 왜냐하면 그것의 방정식이 2도가 아니기 때문이다.

동시선의 경우는 3×3 행렬 $Q{\displaystyle }$ {\$displaystyle Q}$의 순위가 1인$$ 경우에만 발생한다$.$ 다른 모든 타락한 경우에는 순위가 2이다.^{[3]: p.108}

평면과 원뿔의 교차점에 대한 관계

원뿔은 3차원 기하학을 강조하기 위해 원뿔단면이라고도 하며, 원뿔이 있는 평면의 교차점으로서 발생한다. 면에 원뿔의 정점이 있거나 원뿔이 원통으로 변질되어 평면이 원통 축과 평행할 때 퇴행성이 발생한다. 자세한 내용은 Conic 섹션#사례 감소를 참조하십시오.

적용들

퇴행성 원뿔은 일반적으로 퇴행성 대수적 품종과 마찬가지로 비퇴행 원뿔의 한계로 발생하며, 곡선의 모듈리 공간의 압축에 중요하다.

예를 들어, 곡선의 연필(conics의1-dimensional 선형 시스템)x2+에 의한 y2=1{\displaystyle x^{2}+ay^{2}=1}는 ≠ 0{\displaystyle a\neq 0}을 a=0에 퇴화된은non-degenerate은;을에{\displaystyle a=0.}구체적으로, 그것은 타원;0,{\displaystyle a>0,}두 파 정의되어 있다.allel $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\$$displaystyle$ a$=0,}$ 및 하이퍼볼라$$(으로0 ${\displaystyle a<0}$ –)에 대한 선은 길이가 ${\displaystyle \sqrt{2}}$이고, 다른 축은 $길이{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle }$/ a${\displaystyle \sqrt{,}}$ ${\displaystyle$ 1$/{\sqrt{ },$ 이며, 이${\displaystyle \mathrm{선}}$은 a = 0${\displaystyle \mathrm{.}}$ {\$displaystystyleasesty$ a=0. a=$0.$$}$

그러한 가정은 자연적으로 발생한다 – 일반적인 선형 위치(한 줄에 3개 없음)에서 4개의 지점을 볼 때, 그들을 통해 원뿔의 연필이 있고(5개의 점이 원뿔을 결정하며, 4개의 점이 하나의 매개변수를 자유자재로 남음) 이 중 3개는 퇴보하며, 각각 한 쌍의 선으로 구성되며$,{\displaystyle }$ 이는 (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{4\mathrm{}}{}}$2, ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{2}{}}$)${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ 3 ${\$)에 해당한다.$e \textstyle {{\binom{4}{2,2}}=3}$점 선택 방법$$ 4개 지점(다항계수를 통해 결정됨)에서 2쌍의 점을 선택하는 방법

For example, given the four points ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}$ the pencil of conics through them can be parameterized as ${\displaystyle (1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,}$ yielding the following pencil; in all cases the center is at the origin:^{[note 2]}

• > : ${\displaystyle a>1:}$ 하이퍼볼레 개구부 좌우,
• ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle 1}$: ${\displaystyle a=1:}$ 평행$$ 수직선 $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 1,${\displaystyle \mathrm{x}}$= ${\displaystyle 1;}$ ${\displaystyle x=1,x=1;}$
• <: ${\displaystyle 0<1:}$개의 수직 주축을 가진 타원;
• ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle 0}$: ${\displaystyle a=0:}$ 원$$(반경 $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 포함);$$
• <: ${\displaystyle -1>$ 수평 $주축$을 가진 타원;
• ${\displaystyle a}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$: ${\displaystyle$ a$=-1:}$ 평행$$ 수평선 $y{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 1,${\displaystyle \mathrm{y}}$= 1${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle y=1,y=1;}$
• - : ${\displaystyle a<-1:}$ 하이퍼볼레이의 상하좌우,
• ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$: ${\displaystyle$ a$=\infit :}$ 대각선$$ $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle$ y$=x,y=-x;}$

$({\$$displaystyle$ $a}$에 의해 제한되며$$ →${\displaystyle \mathrm{}\to }$ ${\displaystyle a\to \infit }}$을(를$)$ $선택$하면 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$y = ${\displaystyle 0}$(\$displaystyle$ x$^{$2}-y$^{2$}=$0})$이 생성된다$.$

• 연필은 투영 선이기 때문에 이것은 ,${\displaystyle a>1,}$로 돌아간다.

이 파라메트리제이션은 역행의 기호를 반전시키는 대칭성을 가지고 있다는 점에 유의한다. (Levy 1964년)의 용어로, 이것은 원뿔의 제1종 선형 시스템이며, 링크된 비디오에서 애니메이션화되어 있다.

이러한 가문을 두드러지게 응용한 것은 (Faucette 1996년)에 있는데, 사분위의 네 근을 통하여 원뿔의 연필을 고려하고, 분해능 입방체의 세 근으로 퇴행된 원뿔 3개를 식별함으로써 사분방정식의 기하학적 해답을 준다.

파푸스의 육각 정리는 원뿔이 두 줄로 퇴보하는 파스칼의 정리의 특별한 경우다.

퇴화

복잡한 투영 평면에서 모든 원뿔은 등가성이며, 서로 다른 두 선 또는 하나의 이중 선으로 변질될 수 있다.

실제 부속 평면에서:

• Hyperbolas can degenerate to two intersecting lines (the asymptotes), as in ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=a^{2},}$ or to two parallel lines: ${\displaystyle x^{2}-a^{2}y^{2}=1,}$ or to the double line ${\displaystyle x^{2}-a^{2}y^{2}=a$$^{2},}$ 가 0으로 변경됨$$.
• 파라볼라는 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ - y${\displaystyle }$- 1${\displaystyle }$=$$0 $displaystyle$ x$^{2}-ay-1=0}$ 또는$$ 이중선 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle \mathrm{a}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x^{2}-ay=0}$의 두 개의 평행선으로 변질될 수 있지만 파라볼라는 0으로 변질될 수 있지만 파라볼라에 무한대에 이중점이 있기 때문에 두 개의 교차선으로 변질할 수 없다.
• Ellipses can degenerate to two parallel lines: ${\displaystyle x^{2}+a^{2}y^{2}-1=0}$ or the double line ${\displaystyle x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}=0,}$ as a goes to 0; but, because they have conjugate complex points at infinity which become a double point on degene두 개의 교차선으로 전락할 수 없는 배급량

퇴행성 원뿔은 무한대의 공간과 점의 치수에서 알 수 있듯이 더욱 특별한 퇴행성 원뿔로 퇴행할 수 있다.

• Two intersecting lines can degenerate to two parallel lines, by rotating until parallel, as in ${\displaystyle x^{2}-ay^{2}-1=0,}$ or to a double line by rotating into each other about a point, as in ${\displaystyle x^{2}-ay^{2}=0,}$ in each case as a goes to 0.
• x 2 - a 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$^{2}-a^{2}=0}$에서 처럼 평행선이 서로 이동하면 이중 선으로 변질될 수 있지만, 평행선이 아닌 선으로 변질될 수는 없다${\displaystyle {}^{}}$
• 이중 선은 다른 유형으로 변질될 수 없다.
• 초점까지의 거리의 합이 계간거리와 같도록 의무화되었을 때 타원에 대해 또 다른 형태의 퇴화가 발생한다. 따라서 반 미니어 축은 0이고 편심도는 1이다. 결과는 엔드포인트에 초점을 맞춘 선 세그먼트(끝점에서 타원이 다를 수 없으므로 소멸)이다. 궤도로서 이것은 방사상 타원 궤적이다.

정의할 점

일반 원뿔은 5가지 점으로 정의된다: 일반 위치에서 5포인트를 부여하면 이를 통과하는 독특한 원뿔이 있다. 이러한 점 중 3개가 선에 놓여 있는 경우 원뿔은 환원 가능하며 고유할 수도 있고 아닐 수도 있다. 4개의 점이 일직선이 아닌 경우, 5개의 점이 고유 원뿔을 정의한다(점 3개가 일직선으로 되어 있는 경우 소멸되지만, 다른 두 점이 다른 고유한 선을 결정한다). 그러나 4개의 점이 일직선인 경우, 4개의 점을 통과하는 고유한 원뿔이 없고, 나머지 선은 다른 점을 통과하지만 각도가 정의되지 않아 1개의 파라미터가 자유롭다. 5개 점이 모두 콜린어인 경우 나머지 선이 자유로워져 파라미터 2개가 자유롭다.

일반 선형 위치의 점 4개(시준 3개 없음, 특히 일치 2개 없음)를 지정하면, 점들이 사다리꼴(한 쌍은 평행) 또는 평행그램(두 쌍은 평행)을 형성하지 않는 한 일반적으로 교차하게 되는 선(탈진 원뿔)이 정확히 3쌍 있다.

세 개의 점이 주어진 경우, 이 두 쌍의 평행선이 그 사이를 통과한다. 두 쌍을 선택하여 평행선을 정의하고, 세 번째 쌍은 평행선을 통과하도록 평행선을 통과한다.

두 가지 뚜렷한 포인트를 주어, 그것을 관통하는 독특한 이중선이 있다.

메모들

참조