완벽하게 매치된 레이어

완벽하게 일치하는 레이어(PML)는 파동 방정식의 인공 흡수 레이어로, 특히 FDTD와 FE 방법에서 개방된 경계의 문제를 시뮬레이션하기 위해 계산 영역을 수치적 방법으로 자르는 데 일반적으로 사용된다.^[1][2] 일반적인 흡수 물질과 구별되는 PML의 주요 특성은 비 PML 매체에서 PML에 발생하는 파동이 인터페이스에 반사되지 않도록 설계되었다는 것이다. 이 특성은 PML이 다시 인터리에 반사되지 않고 계산 영역 내부의 파동을 강력하게 흡수할 수 있게 한다.또는

PML은 원래 맥스웰 방정식과 함께 사용하기 위해 1994년^[3] 베렌거에 의해 공식화되었으며, 그 이후 맥스웰 방정식과 기타 파동형 방정식 모두에 대해 PML과 관련된 여러 가지 개조가 있었으며, 엘라스타이드 역학,^[4] 선형화된 오일러 방정식, 헬름홀츠 방정식, 다공성 등이었다. 베렌저의 원래 제형은 전자파장을 PML 영역에서 두 개의 비물리적 장으로 분할하기 때문에 분할장 PML이라고 불린다. 단순성과 효율성으로 인해 더욱 인기를 끌게 된 후기 제형을 단색 PML 또는 UPML이라고 하는데,^[5] 이 PML을 인공 비등방성 흡수 물질이라고 한다. Although both Berenger's formulation and UPML were initially derived by manually constructing the conditions under which incident plane waves do not reflect from the PML interface from a homogeneous medium, both formulations were later shown to be equivalent to a much more elegant and general approach: stretched-coordinate PML.^[6][7] In particular, PMLs는 하나의 (또는 그 이상의) 좌표가 복잡한 숫자에 매핑되는 좌표변환에 해당하는 것으로 나타났으며, 보다 기술적으로 이것은 실제로 파동 방정식을 복잡한 좌표로 계속 분석하여 기하급수적으로 붕괴하는 파동에 의한 전파(기름) 파동을 대체하는 것이다. 이 관점은 다른 좌표계 및 파동 방정식뿐만 아니라 도파관 같은 이종 매체에 대해 PML을 도출할 수 있도록 한다.^[8][9]

기술 설명

구체적으로 x 방향으로 전파되는 파동을 흡수하도록 설계된 PML의 경우, 다음과 같은 변환이 파동 방정식에 포함된다. 파형 방정식에 x 파생 ${\displaystyle \mathrm{모델}}$ $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ x ${\displaystyle \partial /\partial x}$이(가) 나타날$$ 때마다 다음 항목으로 대체된다.

${\displaystyle {\frac {\frac {\reason }{\frac {1}{1+{\frac {i\flama (x)}{\omega }}{\frac {\frac {}{\fract }{\frac }}}}}}}}}\frason x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) 각도 주파수이고 $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle$\ \$ma}$은(는) x의 일부 함수다. $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma$}이(가) 양수인$$ 경우 다음과 같은 이유로 전파파가 감쇠된다.

${\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}\to e^{i(kx-\omega t)-{\frac {k}{\omega}}}\int ^{x}\ma(x')dx'}}}}}}$

우리는 어디로+x 방향(k>;0{\displaystyle k>0})에 복잡한 좌표로 변형된 것(해석 접속 법.)지원:x→ x+i∫)σ()′)d)′{\displaystylex\to x+{\frac{나는}{\omega}}\int ^{)}\sigma(x')dx'},거나 동등한 접속 d)→ d)(1+iσ ωplanewave propagating해 왔다. /ω)$dx\to dx(1+i\vma /\omega$ $)\}.$ 동일한 좌표 변환은 어떤 전파 상수 k에 대해$$ x의존도가 ${\displaystyle {ei}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ x ${\$ 형식일 때마다 파형을 감쇠하게 한다. 여기에는 x축과 어느 정도 각도로 전파되는 평면파와 도파관의 가로 모드도 포함된다.

위의 좌표 변환은 변환파 방정식에 그대로 두거나 재료 설명(예: 맥스웰 방정식의 허용성 및 투과성)과 결합하여 UPML 설명을 구성할 수 있다. 계수 σ/Ω은 주파수에 따라 달라진다. 따라서 감쇠율은 k/Ω에 비례하며, Ω과 k 사이의 분산 관계 때문에 균일한 물질의 주파수(예: 진공 물질 분산은 포함하지 않음)와 독립적이다. 그러나 이러한 주파수 의존성은 예를 들어 FDTD 방법에서 PML의 시간 영역 구현이 주파수 독립형 흡수기에 비해 더 복잡하며, 보조 미분 방정식(ADE) 접근법을 수반한다는 것을 의미한다(동등하게, i/Ω은 시간 영역의 일체형 또는 콘볼루션으로 나타난다).

완벽하게 일치하는 층은 원래 형태에서 전파파만 감쇠시킨다; 순수하게 방출되는 파동(감쇠하는 장)은 PML에서 진동하지만 더 빨리 붕괴하지는 않는다. 그러나, PML에 실제 좌표 스트레칭을 포함함으로써 반사파의 감쇠도 가속할 수 있다: 이는 상기의 표현에서 in을 복잡한 숫자로 만드는 것과 일치하며, 상상의 부분은 실제 좌표 스트레칭을 생성하여 반사파가 더 빨리 붕괴되도록 한다.

완벽하게 일치하는 레이어의 제한 사항

PML은 널리 사용되고 있으며, 많은 계산 전자석에서 선택되는 흡수 경계 기법이 되었다.^[1] 대부분의 경우 잘 먹히지만, 어쩔 수 없는 성찰이나 심지어 기하급수적인 성장에 시달리며 고장나는 중요한 경우가 몇 가지 있다.

완벽하게 일치하는 층이 있는 한 가지 주의사항은 그것들이 정확하고 연속적인 파동 방정식에 대해서만 반사되지 않는다는 것이다. 컴퓨터의 시뮬레이션을 위해 파동 방정식을 디스코트하면 작은 숫자 반사가 나타난다(해상도 증가와 함께 사라짐). 이 때문에 PML 흡수계수 σ은 일반적으로 파장의 파장 규모에서 단거리에 걸쳐 0(예: 2차)에서 점차적으로 켜진다.^[1] 일반적으로, 어떠한 absorber여부 PML-N, 제한의 경우 충분히 점차(그리고 흡수 층 진하게 되)에 달려 있지만,discretized 시스템에 PML-N의 이익 크기 단순한 등방성 흡수 계수에 비해 많은 주문에 의해 finite-thickness"전환"반사를 줄이는 것이다 무반사다.[10]

특정 물질에는 그룹과 위상 속도가 서로 반대인 "후방파" 솔루션이 있다. 이는 전자석 및 특정 고형물질의 음향파에 대해서도 "좌측" 음성지수 메타물질에서 발생하며, 이 경우 표준 PML 제형이 불안정하여 위의 분석에서 k의 기호가 뒤집힌다는 이유만으로 붕괴보다는 지수성장으로 이어진다.^[11] 다행히 왼손잡이 매체에 간단한 해결책이 있다(모든 파동이 거꾸로 되어 있다). 단지 σ의 기호를 뒤집었을 뿐이다. 그러나 복잡성은 물리적 왼손잡이 재료가 분산된다는 것이다. 왼손잡이는 특정 주파수 범위 내에서만 왼손잡이기 때문에 σ 계수는 주파수에 따라 달라져야 한다.^[12][13] 아쉽게도 이국적인 소재가 없어도 σ에 대한 어떤 신호 선택도 지수 성장을 이끌 수 있도록, 같은 주파수에서 전후파 솔루션을 동시에 보여주는 특정 파동 유도 구조물(고지수 실린더가 중앙에 있는 중공 금속관 등)을 설계할 수 있으며, 이 경우 PML은 불손해 보인다.가릴 것 ^[14]없이 불안정한

PML의 또 다른 중요한 한계는 복잡한 좌표에 대한 해결책의 분석적 연속(복잡한 "조정된 스트레칭")을 지원하기 위해 매체가 경계와 직교하는 방향으로 불변해야 한다는 것이다. 그 결과 PML 접근방식은 주기적인 매체(예: 광 결정 또는 음소 결정)의 경우 더 이상 유효하지 않으며(무한한 분해능에서 더 이상 반사되지 않음)^[10] 또는 심지어 비스듬히 경계로 들어가는 도파관(daveguide)^[15]의 경우에도 유효하지 않다.

참고 항목

• 카그니아드-데 후프법

참조

외부 링크

• PML(YouTube)의 효과에 관한 애니메이션