복수 정량화

수학과 논리학에서 복수 정량화는 단수 값뿐만 아니라 개별 변수 x가 복수 값을 가질 수 있는 이론이다. 앨리스, 숫자 1, 런던에서 가장 높은 건물 등과 같은 개별 물건을 x로 대체하는 것뿐만 아니라, 우리는 앨리스와 밥 둘 다, 또는 0에서 10 사이의 모든 숫자 또는 20층 이상의 런던의 모든 건물들을 대체할 수도 있다.

이론의 요점은 1차적 논리에 세트 이론의 힘을 주되 세트와 같은 대상에 대한 "존재적 헌신"은 전혀 하지 않는 것이다. 고전적인 엑스포는 볼로스 1984와 루이스 1991이다.

역사

이 견해는 비록 더 오래되었지만(특히 시몬스 1982년 참조), 조지 볼로스(George Boolos)와 일반적으로 연관되어 있으며, 존 스튜어트 밀(John Stuart Mill)과 다른 명목주의 철학자들이 옹호하는 계급의 견해와 관련이 있다. 밀은 우주나 "클래스"는 그 밑에 속하는 개별적인 대상과 구별되는 객관적 존재를 갖는 특이한 종류의 것이 아니라 "클래스 내의 개별적인 사물보다 많지도 적지도 않다"고 주장했다. (밀 1904년, II. Ⅱ. 2. 또한 I. i. i. i. i. i. i. 3).

비슷한 입장은 러셀의 6장(1903년)에서도 베르트랑 러셀에 의해 논의되었으나, 후에 "무계급" 이론에 찬성하게 되었다. 또한 Ernst Schroeder가 옹호한 초기 관점에 대한 비평은 Gottlob Frege 1895를 참조하라.

일반적인 생각은 라이프니즈로 거슬러 올라갈 수 있다. (2011년 리브, 페이지 129–133)

1970년대에 렘코 샤, 고데하르트 링크, 프레드 랜드만, 프리데리케 몰트만, 로저 슈바르츠실트, 피터 라세르손 등이 언어학 분야의 일을 하면서 플뤼랄에 대한 관심이 되살아났다.

배경과 동기

다항식(가변 다항식) 술어와 관계

다음과 같은 문장

앨리스와 밥은 협력한다.

앨리스, 밥, 캐롤이 협력한다.

다종(다종(다양성, 또한 무양성) 술어 또는 관계("이 예에서는")를 포함한다고 하며, 이는 그들이 고정된 아리티(cf)를 가지고 있지 않더라도 동일한 개념을 지지한다는 것을 의미한다. 린네보 & 니콜라스 2008). 다종 관계/predicate의 개념은 1940년대 초에 나타나서 Quine(cf)에 의해 특히 많이 사용되어 왔다. 모턴 1975). 복수 정량화는 xx가 복수 변수인 "xx cooper"와 같은 술어의 가변 길이 인수에 대한 정량화를 다룬다. 이 예에서 xx를 단일인의 이름으로 인스턴스화하는 것은 의미론적으로 말이 되지 않는다는 점에 유의하십시오.

명목론

대체로 말하면 명목주의는 집합, 계급, 관계, 속성 등과 같은 보편적(추상적 실체)의 존재를 부정한다. 따라서 복수 논리는 명목론자들이 부정하는 개념(예: 집합)에 의존하지 않고 다종 술어에 관련된 사람들과 같은 풀에 대한 추론을 공식화하기 위한 시도로 개발되었다.

표준 1차 논리에서는 일부 문장을 풀로 표현하는데 어려움이 있다. 가장 잘 알려진 것은 Geach-Kaplan 문장으로서 "일부 비평가들은 서로를 존경한다"는 것이다. 카플란은 선주문이 불가능하다는 것을 증명했다(그 증명은 그 글에서 찾을 수 있다). 따라서 공식 언어로의 그것의 비유는 우리에게 (즉, 존재의) 집합에 대한 정량화를 약속한다. 그러나 일부 사람들은^[who?] 이 문장들을 설명하는 데 세트업무가 필수적이라는 것을 납득할 수 없다고 생각한다.

"앨리스, 밥, 캐롤은 서로만 존경한다"와 같은 문장의 개별 인스턴스는 세트를 포함할 필요가 없으며, 다음과 같은 1차 문장의 결합에 해당한다.

∀x(앨리스가 x를 동경한다면 x = Bob 또는 x = Carol)

∀x(밥이 x를 동경한다면 x = Alice 또는 x = Carol)

∀x(Carol이 x를 동경한다면 x = Alice 또는 x = Bob)

여기서 x는 모든 비평가(비평가들은 스스로를 존경할 수 없는 것으로 읽힌다). 그러나 이는 선주문이 불가능한 '일부 사람들은 서로만 동경한다'는 사례로 보인다.

볼로스는 2차 단차 정량화는 복수 정량화 측면에서 체계적으로 해석될 수 있으며, 따라서 2차 단차 정량화는 "원리적으로 순수하다"^[1]고 주장했다.

이후 올리버&스마일리(2001년), 레이오(2002년), 이이(2005년), 맥케이(2006년) 등의 문장을 주장하였다.

그들은 뱃사공이다.

그들은 함께 만나고 있다.

그들은 피아노를 들어올렸다.

그들은 건물을 에워싸고 있다.

그들은 서로를 존경한다.

또한 단조로운 2차 논리로는 해석할 수 없다. '선배동료' '함께 만나고 있다' '건물을 둘러싸고 있다' 같은 술어는 유통성이 없기 때문이다. 만약 어떤 것이 F일 때마다 그 각각이 F일 경우, 술어 F는 분배적이다. 그러나 표준 논리에서는 모든 단음절 술어는 분배적이다. 그러나 그러한 문장은 실존적 가정에도 결백해 보이며, 정량화를 포함하지 않는다.

그러므로 술어의 분배적 만족과 비분배적 만족을 모두 허용하는 복수 용어의 통일된 계정을 제안할 수 있는 한편, 그러한 술어가 개인들의 집합(또는 단지 신학적 합계의 술어)이라는 "가수적" 가정으로부터 이 입장을 옹호할 수 있다.

여러 작가들은^[who?] 복수 논리가 수학의 기초를 단순화하고, 세트 이론의 역설을 피하고, 그것들을 피하기 위해 필요한 복잡하고 비독점적인 공리 세트를 단순화하는 가능성을 열어준다고 제안했다.^{[clarification needed]}

반면 니콜라스(2008년)이 복수 논리가 s를 차지하기 위해 사용해야 한다고 주장했다 최근 Linnebo &, 니콜라스(2008년)은 자연 언어는 종종"이 사람들 그 사람들에게고, 이런 다른 사람들은 서로 경쟁하"(예를 들어 온라인 경기에서 팀) 같은superplural 변수(그리고 quantifiers 관련된)을 함유하고 있다고 제안했다에만질량 명사의 틱스, 예를 들어 "wine"와 "furniture"와 같은 것.

형식 정의

이 절에서는 명목론 플라톤주의(Boolos 1985)에서 볼로스가 제공한 것과 거의 동일한 복수 논리/정량화의 간단한 공식화를 제시한다.

구문

하위 영역 단위는 다음과 같이 정의된다.

술어 기호 $F$ ${\displaystyle F$ $G$ $G$ 등(적절한 경구 포함, 암시적으로 남아 있음)
단일 변수 기호 $x$ ${\displaystyle$ x $x$ $y$ $y$ 등.
복수 변수 기호 ${\bar {x}}$ ${\$ ${\bar {y}}$ ${\$ 등 ${\bar {y}}$

전체 문장은 다음과 같이 정의된다.

$F$ $F$ 이 $F$ (가) n-ary 술어 기호이고, $x_{0},\ldots ,x_{n}$ , x n ${$ $F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $x_{$ $F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ $}$ 이 $x_0, \ldots, x_n$ (가) 단수 변수 $F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ 라면 $F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ F $F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ , , , $F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ ) $F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ {\ $displaysty F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ 가 문장이다 $F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ .
$P$ $P$ 이 $P$ (가) 문장이면 $\neg P$ ¬ $\neg P$ {\ $displaystyle \neg$ P}도(가) 문장인 경우
$P$ $P$ 과 $P$ $Q$ $Q$ 이(가) 문장이라면 $Q$ $P\land Q$ $P\land Q$ Q ${\displaystyle P\land$ Q $}$ 도 $문장인$ 것이다.
$P$ $P$ 이(가) 문장이고 $P$ $x$ $x$ 이 $x$ (가 $)$ 단수 변수 기호인 경우 $\exists x.P$ $\exists x.P$ . P $\exists x.P$ {\ $displaysty \exists x$ $P}$ 는 $\exists x.P$ 문장이다.
$x$ $x$ 이 $x$ (가) 단일 변수 기호이고 ${\bar {y}}$ 의 ${\$ 이(가) 복수 변수 기호인 ${\bar {y}}$ 경우 $x\prec {\bar {y}}$ $x\prec {\bar {y}}$ $x\prec {\bar {y}}$ ${\$ x $\prec{\bar {y}$ 이(가) 문장 $x\prec {\bar {y}}$ (여기서 ≺은 일반적으로 "중 하나"로 해석됨)
$P$ $P$ 이(가) 문장이고 $P$ ${\bar {x}}$ 의 ${\$ 이(가) 복수 변수 기호인 ${\bar {x}}$ 경우 $\exists {\bar {x}}.P$ $\exists {\bar {x}}.P$ . p ${\displaysty \exists$ {\ $bar {x}.$ $P}$ 는 $\exists {\bar {x}}.P$ 문장이다.

마지막 두 줄은 복수 논리 구문에 대한 유일한 본질적으로 새로운 구성요소다. 이것들의 관점에서 정의 가능한 다른 논리 기호는 논설적인 속기로 자유롭게 사용될 수 있다.

이 논리는 단조로운 2차적 논리와 동일시되는 것으로 밝혀졌다.

모델 이론

복수 논리의 모델 이론/제약론은 논리의 세트 부족을 현금화하는 것이다. A model is defined as a tuple $(D,V,s,R)$ where $D$ is the domain, $V$ is a collection of valuations $V_{F}$ for each predicate name $F$ in the usual sense, and $s$ is a Tarskian sequ일반적인 의미에서 (변수에 대한 값의 할당) (즉, 단수 변수 기호의 $D$ 에서 D{\ $displaystyle$ D} $D$ 의 요소까지) . 새 구성 요소 $R$ $R$ 은 $R$ 도메인의 값을 복수 변수 기호와 연결하는 이진 관계다.

만족은 다음과 같이 주어진다.

$(D,V,s,R)\models F(x_{0},\ldots ,x_{n})$ iff $(s_{x_{0}},\ldots ,s_{x_{n}})\in V_{F}$
$(D,V,s,R)\models \neg P$ , V $(D,V,s,R)\models \neg P$ , $(D,V,s,R)\models \neg P$ , R $(D,V,s,R)\models \neg P$ ) $(D,V,s,R)\models \neg P$ $(D,V,s,R)\models \neg P$ $(D,V,s,R)\models \neg P$ $(D,V,s,R)\models \neg P$ ifff $(D,V,s,R)\models \neg P$ ( $,$ , $(D,V,s,R)\nvDash P$ , $(D,V,s,R)\nvDash P$ ) $(D,V,s,R)\nvDash P$ P ${\displaystyle$ ( $D,V,s,R)\nvDash P}$
$(D,V,s,R)\models P\land Q$ iff $(D,V,s,R)\models P$ and $(D,V,s,R)\models Q$
${\displaystyle (D,$ $P}$ ( $(D,V,s',R)\models P$ $(D,V,s',R)\models P$ $(D,V,s',R)\models P$ R $(D,V,s',R)\models P$ 과 같은 $s'\approx _{x}s$ $s'\approx _{x}s$ $s'\approx _{x}s$ $s'\approx _{x}s$ $s'\approx _{x}s$ s {\ $displaystyle$ s $'\s$ 근사 $_{x}s}$ 가 있는 $(D,V,s,R)\models \exists x.P$ 경우 $(D,V,s',R)\models P$ $(D,V,s',R)\models P$ {\ $displaystyle (D,V,s,R)\model P$ }
$(D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}$ , $(D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}$ , $(D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}$ , R $(D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}$ ) x $(D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}$ x $(D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}$ $(D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}$ 의 ${\$ $bar$ ${y},$ s $(D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}$ x $s_{x}R{\bar {y}}$ 의 ${\$ s_ ${x}R{\$ bar ${y}}}}}$
${\displaystyle (D, V,s,R)\models \exists {\bar {x}.$ $P}$ $(D,V,s,R')\models P$ ( $(D,V,s,R')\models P$ V $(D,V,s,R')\models P$ $(D,V,s,R')\models P$ $(D,V,s,R')\models P$ , R $(D,V,s,R')\models P$ )과 $R'\approx _{{\bar {x}}}R$ 같은 R $R'\approx _{\bar {x}}R$ $R'\approx _{\bar {x}}R$ 의 $R'\approx _{\bar {x}}R$ R {\ $displaystyle$ R $'\ approx{\bar {x}R}$ 이(가) 있는 경우 $(D,V,s,R)\models \exists {\bar {x}}.P$ $(D,V,s,R')\models P$ } ${\displaystystyle$ ( $D,V,s,R$ ')\ $models$ P}

여기서 단수 변수 기호의 $s\approx _{x}s'$ s $s\approx _{x}s'$ x $s\approx _{x}s'$ { $s\approx _{x}s'$ {\ $displaystyle s\ _{x}s'}$ 는 $s\approx _{x}s'$ $x$ $x$ 이외의 모든 $y$ 단수 변수 $기호$ y ${\displaystyle$ y $x$ 에 $s_{y}=s'_{y}$ 대해 $s_{y}=s'_{y}$ = $s_{y}=s'_{y}$ $s_{y}=s'_{y}$ { ${\$ 복수 변수 기호의 $R\approx _{\bar {x}}R'$ R $R\approx _{\bar {x}}R'$ ≈ $x$ $′.$ $yle R\approx _{\bar {x}}R'}$ means that for all plural variable symbols ${\bar {y}}$ other than ${\bar {x}}$ , and for all objects of the domain $d$ , it holds that $dR{\bar {y}}=dR'{\bar {y}}$ .

구문처럼, 마지막 두 개만이 복수 논리에서 진정으로 새로운 것이다. Boolos는 할당 $관계$ R $R$ 을 사용함으로써 $R$ 도메인이 집합을 포함할 필요가 없으며, 따라서 복수 논리는 술어의 확장에 대해 말할 수 있는 능력을 여전히 유지하면서 존재론적 순수성을 달성한다고 관찰한다. 따라서 복수 $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ 이해 스키마 $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ x $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ ↔ x $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ f $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ ) ${\displaystyle \exists {\bar {x}.$ $\all y.y\prec {\bar {x}\좌우$ 이동 $F(y)}$ 은(는) 복수 변수의 정량화가 도메인 전체에 걸쳐 정량화되지 않기 때문에 러셀의 역설을 산출하지 않는다 $\exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)$ . 볼로스가 정의하고 있는 논리의 또 다른 측면은, $F({\bar {x}})$ 의 역설의 이러한 우회에 결정적으로 중요한 것으로서, $F({\bar {x}})$ ( x $){\displaystyle$ F $({\bar{x}}})$ 형식의 문장이 제대로 형성되지 않았다는 $F({\bar {x}})$ 사실이다. 술어 이름은 복수 변수 기호가 아니라 단수 변수 기호와만 결합할 수 있다.

이것은 볼로스처럼 복수 논리가 존재론적으로 순수하다고 정의한 가장 단순하고 분명한 주장으로 받아들여질 수 있다.

참고 항목

메모들

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참조

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외부 링크

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보다 광범위한 참고 문헌 목록
https://web.archive.org/web/20150211224457/http:///lumiere.ens.fr/~amari/genius/PaperSeminar/Nicolas-Semantics-plurals-Handout-0110.pdf

[1] Harman, Gilbert; Lepore, Ernest (2013), A Companion to W. V. O. Quine, Blackwell Companions to Philosophy, John Wiley & Sons, p. 390, ISBN 9781118608029.

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