포인트 세트

수학에서 점 집합^[1]^[2](역시 기반 집합^[1] 또는 루트 집합^[3])은 순서 쌍 $(X,x_{0})$ , $(X,x_{0})$ $(X,x_{0})$ ) ${\displaystyle (X,x_{0})$ 이며, 여기서 $(X,x_{0})$ $X$ $X$ 은 $X$ 집합이고 x $x_{0}$ ${\$ 은 $x_{0}$ 기준점이라고 하는 $X$ $X$ ${\displaystystyle X}$ 의 요소로서,^[2] 또한 철자가 있다.^[4]^{: 10–11}

지적했다 세트 지도 사이에 X{X\displaystyle}Y에게에서 다른 그 지도 하나 basepoint{Y\displaystyle}(X, x0){\displaystyle(X,x_{0})}과{\displaystyle(Y,y_{0})}(라고 불리는 기반 maps,[5]maps,[4]또는 point-preserving 지적했다 maps[6])(Y0y)은 기능, 지도 f:X→ Y{\displayst.f\colyle $f(x_{0})=y_{0}$ $\to Y}$ 에 $f \colon X \to Y$ f $f(x_{0})=y_{0}$ $f(x_{0})=y_{0}$ $f(x_{0})=y_{0}$ ) $f(x_{0})=y_{0}$ = $f(x_{0})=y_{0}$ $f(x_{0})=y_{0}$ ${\$ 이것은 보통 표시된다.

f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})

:

f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})

( X

f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})

, x

f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})

)

f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})

→

f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})

,

f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})

f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})

)

{\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}})

.

뾰족한 세트는 매우 단순한 대수 구조다.유니버설 대수학적으로 볼 때, 포인트 세트는 기준점을 선택하는 $*:X^{0}\to X,$ 단일 무효 연산 $*:X^{0}\to X,$ operation $*:X^{0}\to X,$ : X $*:X^{0}\to X,$ → $*:X^{0}\to X,$ , ${\$ 디스플레이 $스타일 *:X^{0}\to$ X $}$ 와 함께 $X$ 된 $X$ X ${\displaystyle$ X $}$ 이다.^[7]뾰족한 지도는 이러한 대수적 구조의 동형성이다.

모든 점 집합의 클래스와 모든 기반 맵의 클래스가 하나의 범주를 형성한다.이 범주에서 포인트 싱글톤 세트 $(\{a\},a)$ , $(\{a\},a)$ ) ${\displaystyle(\{a\}a)}$ 은 초기 $(\{a\},a)$ 개체 및 터미널 개체, ^[1]즉 0개 개체다.^[4]^{: 226}포인트 세트부터 일반 세트까지 충실한 펑터가 있지만 꽉 차지 않고 이러한 카테고리가 동등하지 않다.^[8]^{: 44}특히 빈 세트는 기준점으로 선택할 수 있는 요소가 없어 뾰족한 세트가 아니다.^[9]

포인트 세트와 기반 맵의 범주는 세트와 부분 함수의 범주와 동일하다.^[6]기준점은 부분 함수가 정의되지 않은 인수의 "기본값"으로 작용한다.한 교과서는 "이처럼 '개선', '무한' 요소를 추가함으로써 세트와 부분 지도를 공식적으로 완성한 것은, 특히 토폴로지(원포인트 압축)와 이론 컴퓨터 과학에서 여러 번 재창조된 것"이라고 지적했다.^[10]

The category of pointed sets and pointed maps is isomorphic to the coslice category ( $\mathbf {1} \downarrow \mathbf {Set}$ ), where $\mathbf {1}$ is (a functor selecting) a singleton set, and $\scriptstyle {\mathbf {Set} }$ (the identity functor of) th집합의 ^[8]^{: 46}^[11]e 범주고유 지도 $\mathbf {1} \to \mathbf {1}$ → 1 ${\$ 1 $} \$ mathbf {1} \ $to \mathbf$ {1 $} }$ 은(는) 코즐라이스 범주의 화살표를 정의하는 정류 삼각형을 $\mathbf {1} \to \mathbf {1}$ 확장하여 알제라의 동형성을 정의하는 정류 제곱을 형성하므로 대수적 특성화와 일치한다.

포인트 세트와 포인트 맵의 카테고리는 상품과 콤프로덕트를 모두 가지고 있지만, 유통 카테고리는 아니다. $0\times A$ 0 $0\times A$ $0\times A$ $0\time A$ 이(가) $0$ $0$ 에 대해 이형성이 아닌 $0\times A$ 범주의 예다 $0$ ^[9]

많은 대수학적 구조는 다소 사소한 방식으로 뾰족한 집합이다.예를 들어, 그룹은 신원 요소를 기준점으로 선택함으로써 점 집합이므로 그룹 동형성이 점보존 지도가 된다.^[12]^{: 24}이 관찰은 집단에서 뾰족한 집합에 이르는 망각적인 펑터의 존재로서 범주 이론적 용어로 재작성될 수 있다.^[12]^{: 582}

뾰족한 집합은 이산 위상 아래의 뾰족한 공간 또는 하나의 원소가 있는 필드 위의 벡터 공간으로 볼 수 있다.^[13]

"뿌리깊은 세트"로서 그 개념은 항이마트로이드와^[3] 운송용 폴리토페스의 연구에서 자연스럽게 나타난다.^[14]

참고 항목

액세스 가능한 점 그래프
알렉산드로프 확장
연장된 실수 라인 – 실수의 연장 +부수 및 -부수
Riemann 구체 – 확장된 복합 평면의 모델과 무한대의 점

참조

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외부 링크

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