전제주의

Pre-intuitionism

수학철학에서, 선입관론자들은 수학의 본질에 대해 비공식적으로 비슷한 철학을 공유한 작지만 영향력 있는 집단이었다.이 용어 자체는 L. E. J. 브루워에 의해 사용되었는데, 그는 1951년 캠브리지에서 열린 강연에서 직감주의와 그 전임자의 차이점을 다음과 같이 설명했다.[1]

[데데드킨드, 칸토르, 페아노, 제르멜로, 쿠투라트 등의 "오래된 형식주의 학교"와는 전혀 다른 지향점을 가진 학교는 주로 푸앵카레, 보렐, 르베게 등이 주도했던 프리-intuismist 학교였다.이러한 사상가들은 자연수의 도입에 대해 변형된 관찰적 관점을 유지한 것 같다, 완전한 유도의 원리에 대해서는 [...] 고전적 논리로 추론된 그러한 이론에도 언어와 논리와는 무관한 존재와 정확성을 가정하고 그것의 비 모순성을 고려했다.논리적인 증거가 없더라도 확실한 오리무중요한 것.그러나 연속체에 대해서는 언어와 논리와 엄격히 무관한 기원을 추구하지 않았던 것 같다.

자연수의 도입

L. E. J. 브루워에 의해 정의되는 전제주의자들은 특히 자연수의 도입이나 자연수가 어떻게 정의/표시되는지에 관하여 여러 가지 면에서 형식주의자의 관점과 달랐다.[1]푸앵카레에게 있어서 수학적 실체의 정의는 실체 자체의 구성이지 근원적인 본질이나 존재의 표현이 아니다.

마음과 언어 모두 인간의 구성 없이는 어떤 수학적인 물체도 존재하지 않는다는 말이다.

완전한 유도의 원리

이러한 정의감은 푸앵카레가 자연수에 대한 주세페 페아노의 자명한 이론을 놓고 베르트랑 러셀과 논쟁할 수 있게 했다.

페아노의 다섯 번째 공리는 다음과 같이 말하고 있다.

  • 허용, 0에 속성 P가 있음;
  • 그리고 숫자 x보다 작은 모든 자연수가 속성 P를 가지고 있다면 x도 속성 P를 가지고 있다.
  • 그러므로, 모든 자연수는 P 속성을 가지고 있다.

이것은 시스템에 필요한 유도의 성질을 확립하는 완전 유도의 원칙이다.페아노의 공리는 자연수만큼 무한하기 때문에 P의 성질이 어떤 x에 속하고 또한 x + 1에 속한다는 것을 증명하기는 어렵다.우리가 할 수 있는 것은, 만약 몇 번의 실험 끝에 P가 x와 x + 1로 보존된 것을 보여준다면, 우리는 그것이 n + 1의 실험 후에도 여전히 사실임을 유추할 수 있을 것이다.그러나 이것 자체가 유도다.그래서 그 논쟁은 악순환이다.

이로부터 푸앵카레는 원형성에 빠지지 않고 자연수에 대한 페이노의 공리의 일관성을 확립하지 못하면 완전한 유도의 원리는 일반적인 논리로 증명할 수 없다고 주장한다.

따라서 일반적으로 산술과 수학은 분석적인 것이 아니라 합성적인 것이다.따라서 논리주의는 질책되고 직관은 보류된다.푸앵카레와 전제주의자들이 공유한 것은 언어만의 문제가 아니라 지식 그 자체인 논리와 수학의 차이에 대한 인식이었다.

제외된 중간에 대한 인수

푸앵카레가 직감주의자들과 비슷하다고 여겨지는 것은 무엇보다도 이러한 주장을 위해서였다.그러나 브루워에게 있어서, 사전 관념론자들은 여전히 공국적인 테르티 배타리("제외 중간의 법칙")를 사용했기 때문에, 형이상학에서 수학을 분리하는 데 필요한 만큼 멀리 가지는 못했다.

배제된 중간의 원칙은 몇몇 이상한 상황을 초래한다.예를 들어, "내일 해전이 있을 것이다"와 같은 미래에 대한 진술은 아직 진실도 거짓도 아닌 것 같다.그래서 어떤 상황에서는 진술이 진실이어야 하는지 거짓이어야 하는지에 대한 의문이 있다.직감주의자에게 이것은 배제된 중간의 법칙을 마치 페아노의 악순환처럼 고정되지 않은 것으로 간주하는 것 같다.

그러나 이전의 제국주의자들에게 이것은 사과와 오렌지를 섞는 것이다.그들에게 수학은 한 가지(인간의 정신, 즉 합성)였고, 논리는 또 다른(분석학)이었다.

다른 전제주의자들

위의 예들은 푸앵카레의 작품만을 포함하고 있을 뿐, 브루워는 다른 수학자들을 프리-intuitionists; 보렐과 르베그로 명명했다.헤르만 바일(Hermann Weyl)과 레오폴드 크로네커(Leopold Kronecker)와 같은 다른 수학자들도 역할을 했다. 비록 브루워가 그의 확정적인 연설에서 인용한 것은 아니지만 말이다.

사실 크로네커는 "신은 자연 숫자를 만들었고, 그 외 모든 것은 인간의 일이다"라는 그의 단수적이고 인용된 문구로 전 제국주의자들 중에서 가장 유명한 것일지도 모른다.

크로네커는 푸앵카레와는 거의 정반대의 방향으로 가고, 자연수는 믿지만 배제된 중간의 법칙은 믿지 않는다.그는 어떤 것이 반드시 존재해야 한다는 비건설적 존재 증거에 대해 의문을 표명한 최초의 수학자였다. 왜냐하면 그것은 존재하지 않는 것이 "불가능"하다는 것을 보여줄 수 있기 때문이다.

참고 항목

메모들

  1. ^ a b Luitzen Egbertus Jan Brouwer (Arend Heyting, Collected Works, North-Holland, 1975년, 페이지 509).

참조

  • 논리적인 미앤더링 – 브루워의 배제된 제3자의 원칙에 대한 전제주의자들의 주장에 대한 다양한 공격에 대한 얀 Sraathof의 짤막한 기사.
  • 증거와 직관 – 직관주의자와 논리학자와 관련된 다양한 지식들에 관한 기사.
  • 브루워의 직감주의에 대한 캠브리지 강의 - 브루워에서 브뤼어는 프리-인턴주의 학교에 대해 이야기하고 그가 생각하는 많은 단점들을 다루고 있다.