형식주의 (수학의 철학)

Formalism (philosophy of mathematics)

수학철학에서 형식주의는 수학이나 논리의 진술이 확립된 조작규칙을 이용한 문자열의 조작(기호의 영숫자 순서, 보통 방정식)의 결과에 대한 진술로 간주될 수 있다고 보는 견해다. 형식주의의 중심 개념은 "수학은 현실의 추상적인 분야를 대표하는 명제의 본체가 아니라, 게임과 훨씬 더 유사하며, 루도나 체스보다 사물이나 속성의 존재론에 대한 헌신이 더 이상 수반되지 않는다"[1]는 것이다. 형식주의에 따르면, 논리와 수학으로 표현된 진리는 숫자, 집합, 삼각형 또는 다른 공동의 주제에 관한 것이 아니다. 사실, 그것들은 전혀 "에 관한" 것이 아니다. 오히려 수학적 문장은 해석(또는 의미론)이 주어지지 않는 한 형태와 위치가 아무런 의미를 갖지 않는 통사적 형태다. 논리주의나 직관주의와 대조적으로 형식주의자의 윤곽은 형식주의자로 분류할 수 있는 넓은 접근방식으로 인해 덜 규정되어 있다.

논리주의와 직관주의와 함께 형식주의는 19세기 후반과 20세기 초에 발달한 수학철학의 주요 이론 중 하나이다. 형식주의자들 중에서는 데이비드 힐버트가 가장 두드러진 옹호자였다.[2]

초기 형식주의

초기의 수학 형식주의자들은 "어떤 식으로든 추상적인 물체의 문제적 영역에 대한 존재론적 약속을 차단, 회피 또는 회피"하려고 시도했다.[1] 독일의 수학자 에두아르 하이네와 칼 요하네스 토마에는 수학 형식주의의 초기 옹호자로 여겨진다.[1] 하이네와 토마이의 형식주의는 '산술의 기초'에 나오는 고틀롭 프레지의 비판에서 찾을 수 있다.

앨런 위어에 따르면, 프레지가 공격하는 하이네와 토마이의 형식주의는 "공식주의 또는 게임 형식주의"라고 할 수 있다.[1] 용어 형식주의는 수학적인 표현이 숫자가 아니라 기호를 지칭하는 견해다. 하이네이는 이런 견해를 다음과 같이 표현했다. "정의에 관한 한, 나는 특정한 유형적 징후 숫자라고 부르는데 있어서 순전히 형식적인 입장을 취한다. 그래서 이 숫자들의 존재는 문제되지 않는다."[3]

토마에는 게임 포멀리스트가 "혹은 포멀리스트, 산술은 빈 게임이라고 하는 기호가 있는 게임이다. 그것은 (계산 게임에서) 특정 조합의 규칙(게임의 규칙)에 관하여 그들의 행동에 의해 배정되는 것 외에 다른 내용이 없다는 것을 의미한다."[4]

Frege는 하이네와 토마이의 형식주의에 대해 다음과 같은 세 가지 비판을 제공한다. "수학의 응용을 설명할 수 없다는 것, 형식 이론을 메타테오리와 혼동한다는 것, 그리고 무한 시퀀스의 개념에 대해 논리적으로 설명할 수 없다는 것.[5] 프레게가 하이네이의 형식주의에 대해 비판한 것은 그의 형식주의가 무한한 순서를 설명할 수 없다는 것이다. 더밋은 하이네 계정보다 더 발전된 형식주의 계정은 구체적인 물체보다는 추상적인 상징에 관심이 있다고 주장함으로써 프레지의 반대를 피할 수 있다고 주장한다.[6] 프리지는 체스와 같은 게임의 형식주의와 비교하는 것에 반대한다.[7] 프레지는 토마의 형식주의가 게임과 이론을 구분하지 못한다고 주장한다.

힐베르트의 형식주의

데이비드 힐버트

형식주의의 주요 인물은 데이비드 힐버트였는데, 그의 프로그램은 모든 수학의 완전하고 일관된 공리화를 의도했다.[8] 힐버트는 "완료 산술"(철학적으로 논란의 여지가 없는 것으로 선택되는 양의 정수의 통상적인 산술의 하위 시스템)이 일관적이라는 가정(즉, 시스템에서 모순을 도출할 수 없다)에서 수학 시스템의 일관성을 보여주는 것을 목표로 했다.

힐버트가 자명적인 시스템이 일관성이 있다는 것을 보여주려고 했던 방법은 특정한 언어를 사용하여 그것을 공식화하는 것이었다.[9] 자명 시스템을 공식화하려면 먼저 그 시스템 내에서 표현하고 운용을 수행할 수 있는 언어를 선택해야 한다. 이 언어는 다음 5가지 요소를 포함해야 한다.

  • 여기에는 x와 같은 변수가 포함되어야 하며, 이는 일부 숫자를 나타낼 수 있다.
  • 물체의 존재에 대한 기호 같은 정량자가 있어야 한다.
  • 그것은 평등을 포함해야 한다.
  • 여기에는 "만약에 그리고 만약"을 위한 파운드와 같은 결합상품이 포함되어야 한다.
  • 매개변수라 불리는 정의되지 않은 특정 용어를 포함해야 한다. 기하학에서, 이러한 정의되지 않은 용어들은 점이나 선과 같은 것일 수 있는데, 우리는 여전히 기호들을 선택한다.

힐버트는 이 언어를 채택함으로써 우리가 공리 그 자체와 선택된 공식 언어만을 사용하여 어떤 자명적 시스템 내의 모든 이론들을 증명할 수 있다고 생각했다.

괴델이 불완전성 정리에서 내린 결론은 고전적 산수를 포함할 만큼 풍부한 어떤 일관된 자명성 체계 안에서 일관성을 증명할 수 없다는 것이었다. 한편으로 이 자명한 체계를 공식화하기 위해 선택된 형식적인 언어만을 사용해야 하며, 다른 한편으로 이 언어의 일관성을 그 자체로 증명하는 것은 불가능하다.[9] 힐베르트는 원래 괴델의 작품에 좌절감을 느꼈는데, 그것이 모든 것을 수 이론으로 완전하게 공식화하려는 그의 삶의 목표를 산산조각 냈기 때문이다.[10] 그러나 괴델은 힐베르트의 형식주의 관점에 관한 모든 것을 부정한다고 느끼지 않았다.[11] 괴델이 그의 작품을 발표한 후, 증명 이론이 여전히 어느 정도 쓸모가 있다는 것이 명백해졌는데, 유일한 차이점은 힐버트가 바라던 대로 모든 수 이론의 일관성을 증명하는 데 사용될 수 없다는 것이다.[10]

힐버트는 처음에는 연역자였지만 본질적으로 의미 있는 결과를 산출하기 위해 특정한 변성법을 고려했고 미세한 산술에 관해서는 현실주의자였다.[citation needed] 이후 해석과 상관없이 다른 의미 있는 수학은 전혀 없다는 의견을 고수했다.

추가 개발

루돌프 카르나프와 같은 다른 형식주의자들은 수학을 형식적인 공리체계의 조사로 간주했다.[12]

하스켈 커리는 수학을 "정식 체계의 과학"[13]으로 정의한다. 커리의 형식주의는 용어 형식주의자, 게임 형식주의자, 힐버트의 형식주의와는 다르다. 커리에게 수학 형식주의는 수학의 형식적 구조에 관한 것이지 형식적인 시스템에 관한 것이 아니다.[13] 스튜어트 샤피로는 커리의 형식주의를 "수학의 한 분야가 발전함에 따라 그 방법론에 점점 더 엄격해지고, 최종 결과는 형식적인 연역 체계에서 그 분기의 코드화가 된다는 역사적 논증에서 출발한다"[14]고 설명한다.

형식주의에 대한 비판

쿠르트 괴델은 자명체제의 일관성에 대한 문제를 해결함으로써 형식주의의 약점 중 하나를 지적했다.

베르트랑 러셀은 공식주의가 "방에 세 명의 남자가 있다"[15]와 같은 진술에서 숫자의 언어적 적용이 의미하는 바를 설명하지 못한다고 주장해왔다.

참고 항목

참조

  1. ^ a b c d Weir, Alan (2015), "Formalism in the Philosophy of Mathematics", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2015 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-05-25
  2. ^ Simons, Peter (2009). "Formalism". Philosophy of Mathematics. Elsevier. p. 292. ISBN 9780080930589.
  3. ^ Simons, Peter (2009). Philosophy of Mathematics. Elsevier. p. 293. ISBN 9780080930589.
  4. ^ Frege, Gottlob (1903). The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry Into the Concept of Number. Chicago: Northwestern University Press. p. 183.
  5. ^ Dummett, Michael (1991). Frege: Philosophy of Mathematics. Cambridge: Harvard University Press. p. 252. ISBN 9780674319356.
  6. ^ Dummett, Michael (1991). Frege: Philosophy of Mathematics. Cambridge: Harvard University Press. p. 253. ISBN 9780674319356.
  7. ^ Frege, Gottlob; Ebert, Philip A.; Cook, Roy T. (1893). Basic Laws of Arithmetic: Derived using concept-script. Oxford: Oxford University Press (published 2013). pp. § 93. ISBN 9780199281749.
  8. ^ Zach, Richard (2019), "Hilbert's Program", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-05-25
  9. ^ a b Snapper, Ernst (September 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism" (PDF). Mathematics Magazine. 52 (4): 207–216. doi:10.1080/0025570X.1979.11976784.
  10. ^ a b Reid, Constance; Weyl, Hermann (1970). Hilbert. Springer-Verlag. p. 198. ISBN 9783662286159.
  11. ^ Gödel, Kurt (1986). Feferman, Solomon (ed.). Kurt Gödel: Collected Works: Volume I: Publications 1929-1936. 1. Oxford: Oxford University Press. p. 195. ISBN 9780195039641.
  12. ^ Carnap, Rudolf (1937). Logical Syntax of Language. Routledge. pp. 325–328. ISBN 9781317830597.
  13. ^ a b Curry, Haskell B. (1951). Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics. Elsevier. p. 56. ISBN 9780444533685.
  14. ^ Shapiro, Stewart (2005). "Formalism". The Oxford Companion to Philosophy. Honderich, Ted (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780191532658. OCLC 62563098.
  15. ^ 버트랜드 러셀 마이 철학적 발전, 1959년, CH. X.

외부 링크