무관심의 원리

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다음에 대한 시리즈 일부
베이지안 통계
이론
인정결정규칙 베이지안 효율 베이지안 인식론 베이지안 확률 확률해석 베이즈 정리 베이즈 인자 베이시안 추론 베이시안 네트워크 이전 후향 우도 결합전 후방예측 하이퍼 파라미터 하이퍼프리스트 무관심의 원리 최대 엔트로피의 원리 경험적 베이즈 방식 크롬웰의 법칙 번스타인-본 미세스 정리 슈바르츠 기준 신뢰할 수 있는 간격 최대 후미 추정치 급진확률주의
기술
베이지안 선형 회귀 분석 베이시안 추정기 대략적인 베이시안 연산 마르코프 체인 몬테카를로
수학포털
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무관심의 원칙(불충분한 이성의 원칙이라고도 함)은 인식확률을 할당하는 규칙이다. 무관심의 원칙은 관련 증거가 없는 경우 대리인은 고려 중인 가능한 모든 결과에서 자신의 신빙성(또는 '신념의 의무')을 동등하게 분배해야 한다고 명시한다.^[1]

베이지안 확률에서 이것은 가장 단순한 비정보적 이전이다. 국가 정보를 조건으로 불확실한 명제에 대한 믿음의 정도가 아닌 상대적 빈도인 ^{[citation needed]}확률의 빈도 해석에서는 무관심의 원리가 무의미하다.

예

무관심의 원칙 적용을 위한 교과서적인 예로는 동전, 주사위, 카드 등이 있다.

거시적 시스템에서는 적어도 체제를 지배하는 물리적 법칙이 결과를 예측할 만큼 잘 알려져 있지 않다고 가정해야 한다. 몇 세기 전에 John Arbuthnot에 의해 관찰된 바와 같이, 1692년 운명의 법칙 서문에서,

그러한 결정의 힘과 방향을 가진 다이(Die)가 그러한 결정의 측면에 떨어지지 않는 것은 불가능하며, 오직 나만이 그러한 결정의 측면에 떨어지게 하는 힘과 방향을 알지 못한다. 따라서 나는 그것을 찬스(Chance)라고 부르는데, 그것은 예술의 결핍에 지나지 않는다.

충분한 시간과 자원을 감안할 때, 적절한 정밀 측정을 할 수 없다고 가정할 근본적인 이유는 없으며, 이것은 높은 정확도로 동전, 주사위, 카드의 결과를 예측할 수 있게 할 것이다. 동전 던지기 기계로 한 페르시 디아코니스의 작품이 이를 보여주는 실제적인 사례다.

동전.

대칭 동전은 두 면, 임의로 머리(많은 동전은 한 면에 사람의 머리가 그려져 있음)와 꼬리가 있다. 동전이 한쪽 또는 다른 쪽에 착륙해야 한다고 가정할 때, 동전 던지기 결과는 상호 배타적이고, 완전하며, 상호 교환이 가능하다. 무관심의 원칙에 따라, 우리는 각각의 가능한 결과를 1/2 확률로 할당한다.

이 분석에는 동전에 작용하는 힘이 어떤 정밀도로도 알려져 있지 않다는 것이 내포되어 있다. 만약 동전이 발사될 때 전달되는 추진력이 충분히 정확하게 알려지면, 동전의 비행은 역학의 법칙에 따라 예측될 수 있을 것이다. 따라서 동전 던지기 결과의 불확실성은 초기 조건에 관한 불확실성에서 도출된다(대부분의 경우). 이 점은 동전 던지기에 관한 기사에서 더 길게 논의된다.

주사위

대칭 다이에는 1에서 n까지 임의로 라벨을 붙인 n개의 면이 있다. 일반적인 입체 다이에는 n = 6개의 면이 있지만, 다른 수의 얼굴을 가진 대칭 다이(Dis)를 구성할 수 있다. 우리는 주사위가 이 얼굴 혹은 다른 얼굴을 위로 하여 착륙할 것이며, 다른 가능한 결과는 없을 것이라고 가정한다. 무관심의 원칙을 적용하여, 우리는 가능한 결과에 각각 1/n의 확률을 할당한다. 동전과 마찬가지로 주사위를 던지는 초기 조건은 역학의 법칙에 따라 결과를 예측하기에 충분할 정도로 정밀하게 알려져 있지 않은 것으로 추측된다. 주사위는 일반적으로 테이블이나 다른 표면에서 튕기도록 던져진다. 이러한 상호작용은 결과의 예측을 훨씬 더 어렵게 만든다.

여기서 대칭의 가정은 매우 중요하다. 우리가 결과 "6"에 대해 내기를 걸거나 반대하도록 요청받았다고 가정해보자. 여기에 "6" 또는 "6이 아님" 두 가지 관련 결과가 있으며, 상호 배타적이고 완전하다고 생각할 수 있다. 이것은 두 결과 각각에 확률 1/2을 할당하는 것을 제안한다.

카드

표준 데크에는 52개의 카드가 들어 있으며, 각 카드에는 임의로 주문하는 방식으로 고유한 라벨이 지정되어 있다. 우리는 갑판에서 카드를 뽑는다; 무관심의 원리를 적용하여 각각의 가능한 결과를 1/52 확률로 할당한다.

이 사례는 다른 사례들보다 실제 상황에서 무관심의 원칙을 실제로 적용하기가 어렵다는 것을 보여준다. 우리가 정말로 의미하는 것은 "임의로 주문한"이라는 문구는 우리가 특정 카드를 선호하게 할 만한 정보가 전혀 없다는 것이다. 실제의 실무에서, 이것은 드문 경우로, 새로운 카드 덱은 확실히 임의의 순서가 아니며, 카드 한 장만 지나면 바로 덱도 아니다. 실제로, 우리는 카드를 섞는다; 이것은 우리가 가지고 있는 정보를 파괴하는 것이 아니라, 대신에 (희망적으로) 우리의 정보가 원칙적으로는 여전히 사용 가능하지만 실질적으로 사용할 수 없게 만든다. 실제로 일부 전문가 블랙잭 플레이어는 갑판을 통해 에이스를 추적할 수 있는데, 이들에게 무관심 원칙을 적용할 수 있는 조건이 충족되지 않는다.

연속형 변수에 적용

무관심의 원칙을 잘못 적용하면 특히 다변량 연속 변수의 경우 터무니없는 결과를 쉽게 초래할 수 있다. 대표적인 오용 사례는 다음과 같다.

• 상자 안에 큐브가 숨겨져 있다고 가정해 보자. 상자 위의 라벨에 따르면 큐브의 옆면 길이는 3에서 5cm 사이라고 한다.
• 실제 측면 길이는 알 수 없지만, 모든 값이 동등하게 될 가능성이 있고 단순히 중간값인 4 cm를 선택한다고 가정할 수 있다.
• 라벨에 있는 정보는 큐브의 표면적이 54 cm에서 150² cm 사이라는 것을 계산할 수 있게 해준다. 우리는 실제 표면적을 알 수는 없지만, 모든 값이 똑같이 발생가능하며 단순히 중간값인 102 cm를² 선택한다고 가정할 수도 있다.
• 라벨의 정보를 통해 우리는 큐브의 부피가 27에서 125 cm³ 사이라는 것을 계산할 수 있다. 우리는 실제 부피를 알 수는 없지만, 모든 값이 똑같이 가능성이 있고 단순히 76cm의 중간값을³ 선택하는 것이라고 가정할 수도 있다.
• 하지만, 우리는 이제 큐브의 측면 길이가 4cm, 표면적이 102cm², 부피가 76cm라는³ 불가능한 결론에 도달했다!

이 예제에서 입방체의 길이, 표면적 및 부피에 대한 상호 모순된 추정치는 이러한 모수에 대해 서로 상반되는 세 가지 분포를 가정했기 때문에 발생한다. 즉, 변수 중 하나에 대한 균일한 분포는 나머지 두 개에 대한 균일하지 않은 분포를 의미한다. 일반적으로 무관심의 원칙은 어떤 변수(예: 이 경우, 길이, 표면적 또는 부피)가 균일한 인식론적 확률 분포를 가져야 하는지를 나타내지 않는다.

이런 종류의 오용의 또 다른 전형적인 예는 베르트랑의 역설이다. 에드윈 T. 제인즈는 이 문제에 대한 인식론적 확률 분포를 산출할 수 있는 변환 그룹의 원리를 소개했다. 이는 명제 사이에 무관심하기보다는 등가의 문제들 사이에서 무관심하다는 말로 무관심의 원리를 일반화한다. 이것은 라벨의 순열을 동등한 문제를 발생시키는 것으로 간주할 때(즉 순열 변환 그룹을 사용) 여전히 무관심의 일반적인 원리로 감소한다. 위의 상자 예제에 이것을 적용하기 위해, 우리는 기하 방정식과 관련된 세 개의 랜덤 변수를 가지고 있다. 만약 우리가 한 세 개의 값을 다른 값보다 선호할 이유가 없다면, 우리의 이전 확률은 연속 분포에서 변수를 변경하는 규칙에 의해 연관되어야 한다. L은 길이로 하고, V는 볼륨으로 하자. 그러면 우리는 반드시

${\displaystyle f_{L}(L)=\left {\partial V \over \partial L}\right f_{V}(V)=3L^{2}f_{V}(L^{3})}$,

여기서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{}{}_{}}$, ${\displaystyle f{}_{}}$ V ${\$는 명시된 변수의 확률밀도함수(pdf)이다$$. 이 방정식에는 일반적 해법이 ${\displaystyle 있다\frac{}{}:}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle \frac{L}{}}$ ) =$$K L {\$displaystyle f(L)={K \over$ L$\},$ 여기서 K는 L의 범위에 의해 결정되는 정규화 상수로서 이 경우 다음과 같다.

${\displaystyle K^{-1}=\int _{3}^{5}{dL \over L}=\log \left({5 \over 3}\오른쪽)}$

이것을 "시험에 붙이기" 위해서, 우리는 길이가 4보다 작을 확률을 요구한다. 이 경우 다음과 같은 가능성이 있다.

${\displaystyle Pr(L<4)=\int _{3}^{4}{dL \over L\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

부피의 경우 이는 부피가 4³ = 64보다 작을 확률과 같아야 한다. 볼륨의 pdf는

${\displaystyle f}$(${\displaystyle {V\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ 1 ${\displaystyle {\frac{3}{}}^{}}$) ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}}$ V${\displaystyle {}^{}}$- 2 ${\displaystyle 3^{}}$= 1 ${\displaystyle \frac{3\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{V}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{로그}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{\frac{5}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$) ${\$ 3$}{{}V^{2}={1 \over 3V\log({5 \over$ 3$\}\}\}\}\}\}\}\}).$

그리고 64보다 작은 부피의 확률은

Pr(V<>64))=log(53)는 3통나무 ⁡(43)3통나무 ⁡(53)=log⁡(43)로그 ⁡(53)≈ 0.56{\displaystyle Pr(V<, 64)(6427)3통나무 ⁡ ⁡ 2764dV3V로그 ⁡(53)∫.=\int _{27}^{64}{dV \over 3V\log({5\over 3})}={\log({64\over 27})\over 3\log({5\over 3})}={3\log({4.$\over 3} \over 3\logs5 \over$ 3$}}={\logs4 \over 3} \over \logs5 \over 3}}\$ 약 $0.56}$.

따라서 우리는 부피와 길이에 관한 불변성을 이루었다. 또한 표면적이 6(4²) = 96 미만인 경우에도 동일한 불변성을 보일 수 있다. 그러나 이 확률 할당이 반드시 "정확한" 할당인 것은 아니라는 점에 유의한다. 길이, 부피 또는 표면적의 정확한 분포는 "실험"을 수행하는 방법에 따라 달라진다.

총 에너지가 동일한 시스템의 어떤 두 마이크로스테이트도 평형상태에서 동등하게 개연성이 있다는 통계물리학의 근본 가설은 어떤 의미에서 무관심 원리의 한 예다. 단, 미세한 상태를 연속 변수(위치 및 모멘트 등)로 설명할 때, 확률 밀도가 균일할 매개변수화 하에서는 설명하기 위해 추가적인 물리적 기초가 필요하다. 리우빌의 정리는 위치 및 이들의 결합 모멘텀a와 같은 표준적인 결합 변수의 사용을 정당화한다.

와인/물 역설은 연계된 변수들로 딜레마를 보여주고, 어떤 변수를 선택해야 할지 보여준다.

역사

개연성 있는 원작자들, 주로 제이콥 베르누이와 피에르 시몬 라플레이스는 무관심의 원리가 직관적으로 명백하다고 생각했고 굳이 이름을 붙이려고도 하지 않았다. 라플레이스는 이렇게 썼다.

우연의 이론은 같은 종류의 모든 사건을 그 존재에 관해서 우리가 똑같이 결정하지 못하고 있을 수 있는 경우와 마찬가지로 가능한 일정한 수의 사례로 축소하고, 그 확률을 추구하는 사건에 유리한 경우의 수를 결정하는 데 있다. 가능한 모든 경우의 수에 대한 이 숫자의 비율은 이 확률의 척도로, 따라서 분자가 유리한 경우의 수이고 분모가 가능한 모든 경우의 수인 분수에 지나지 않는다.

특히 이들 초기의 작가인 라플레이스는 연속 매개변수의 경우에 대한 무관심의 원리를 순진하게 일반화하여, 모든 실수에 걸쳐 일정한 함수인 이른바 "균일화된 사전 확률분포"를 부여했다. 그는 매개변수의 가치에 대한 완전한 지식 부족을 표현하기 위해 이 함수를 사용했다. 스티글러(135쪽)에 따르면 라플레이스의 균일한 사전 확률을 가정하는 것은 메타-물리적 가정이 아니었다. 그것은 분석의 용이성을 위해 만들어진 암묵적인 가정이었다.

불충분한 이성의 원리는 후대의 작가들에 의해 그것에 붙여진 그것의 이름이었는데, 아마도 충분한 이성의 레이브니츠의 원리에 대한 희곡이었을 것이다. 이 후기 작가들(조지 부울, 존 벤 등)은 두 가지 이유로 이전에 제복을 사용하는 것에 반대했다. 첫 번째 이유는 상수함수가 정규화할 수 없기 때문에 적절한 확률 분포가 아니기 때문이다. 두 번째 이유는 위에서 설명한 바와 같이 연속형 변수에 적용할 수 없기 때문이다. (하지만 이러한 역설적인 문제들은 해결될 수 있다. 첫 번째 경우, 상수 또는 더 일반적인 유한 다항식은 어떤 유한한 범위 내에서 정규화할 수 있다: [0,1] 범위만이 여기서 중요하다. 또는 함수는 연속적인 균일 분포와 마찬가지로 해당 범위를 벗어나 0으로 수정될 수 있다. 두 번째 경우, 문제가 "잘 지적된" 경우, 즉 어떤 근거 없는 가정을 할 수 없거나 해야 하는 경우, 따라서 확률 자체에 사용될 적절한 사전 확률 밀도 함수 또는 이전 모멘트 생성 함수(변수를 적절하게 고정)를 고정하는 경우 모호성은 없다. 유사한 사례에 대해서는 Bertrand 역설(확률)을 참조하십시오.

'불충분한 이성의 원리'는 경제학자 존 메이너드 케인스(1921년)에 의해 '무심의 원리'로 개칭되었는데, 경제학자 존 메이너드 케인스(1921년)는 불평등한 확률을 나타내는 지식이 없을 때에만 적용된다는 점에 주의했다.

그 개념을 보다 확고한 철학적 토대 위에 올려놓으려는 시도는 일반적으로 등가성의 개념에서 시작하여 그 개념에서 등가성으로 진전되었다.

무관심의 원칙은 동등한 지식 상태에 동등한 인식확률을 부여해야 한다는 점에 주목함으로써 보다 깊은 논리적 정당성을 부여할 수 있다. 이 주장은 E.T.에 의해 제기되었다. Jaynes: 그것은 두 가지 일반화, 즉 이전 Jeffreys에서와 같은 변환 그룹의 원리와 최대 엔트로피의 원리로 이어진다.

더 일반적으로, 사람들은 비정보적인 전례를 말한다.

참고 항목

• 베이지안 인식론
• 승계 규칙: 관측치가 거의 없을 때 기초 확률을 추정하는 공식 또는 (마인드) 표본 데이터에서 전혀 발생하지 않은 사건의 공식

참조

• Diaconis, Persi; Keller, Joseph B. (1989). "Fair Dice". The American Mathematical Monthly. 96 (4): 337–339. doi:10.2307/2324089. JSTOR 2324089. ("대칭에 의한" 공정한 주사위"와 "연속성에 의한" 주사위에 대한 논의)
• Jaynes, Edwin Thompson (2003). Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59271-2.
• Keynes, John Maynard (1921). "Chapter IV. The Principle of Indifference". A Treatise on Probability. 4. Macmillan and Co. pp. 41–64.
• Stigler, Stephen M. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900. Cambridge, Mass: Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1.