확률 상자

확률 상자(또는 p-box)는 수치 계산을 수행해야 하는 경우 위험 분석 또는 정량적 불확실성 모델링에 자주 사용되는 알레르기와 인식론적 불확실성으로 구성되는 불확실한 숫자의 특성화다.확률 한계 분석은 p-box로 산술 및 논리적 계산을 하는 데 사용된다.

x에 대한 확률 분포에서 왼쪽(상단) 바운드와 오른쪽(하단) 바운드로 구성된 불확실한 숫자 x에 대한 p-box의 예가 오른쪽 그림에 나와 있다.범위는 x 값이 0 이하 24 이상일 때 일치한다.경계는 단조롭게 증가하고 서로 교차하지 않는 한 계단 기능을 포함한 거의 모든 형태를 가질 수 있다.p-box는 p-box의 왼쪽과 오른쪽 가장자리 사이의 너비로 표현되는 내성(진동적 불확실성)과 p-box의 전체 기울기로 표현되는 가변성(원리적 불확실성)을 동시에 표현하기 위해 사용된다.

해석

p-box에는 이중적인 해석이 있다.이 값은 모든 x-값과 관련된 누적 확률의 한계로 이해할 수 있다.예를 들어, 오른쪽에 표시된 p-box에서 값이 2.5 이하가 될 확률은 4%에서 36% 사이입니다.p-box는 특정 확률 수준에서 x-값의 한계로도 이해할 수 있다.이 예에서 95번째 백분위수는 9와 16 사이에 있을 것이 확실하다.

p-box의 좌우 한계가 미지의 분포를 둘러싸는 것이 확실하다면, 그 한계는 엄격하거나 절대적이라고 한다.또한 한계는 분포 함수에 대해 이용 가능한 정보를 고려할 때 분포 함수에 대해 가능한 가장 엄격한 한계일 수 있으며, 이 경우 한계는 최상으로 가능하다고 한다.그러나 이 한계 내에 있는 모든 분포가 한계가 엄격하고 가장 가능성이 높은 경우에도 불확실한 숫자에 대해 가능한 분포는 아니라는 것이 일반적인 경우일 수 있다.

수학적 정의

P-box는 수량의 분포함수(또는 동등하게 생존함수)에 대해 좌우의 경계로 지정되며, 선택적으로 수량의 평균과 분산을 지정된 간격으로 구속하는 추가 정보(가족, 단항성, 대칭성 등)가 지정된다.p-box는 이러한 제약조건과 일치하는 확률 분포의 종류를 나타낸다.

진짜 숫자에 유통 기능 R{\displaystyle \mathbb{R}}, 함수 D:R→[0,1],{\displaystyle D:\mathbb{R}\rightarrow[0,1],}에 D())≤ D(y) 때마다 x<>는 y, D의 +∞에서 한계는 1과 −∞에서 한계는 0형입니다. 분배의 기능은 다음과 같은 사기 만족 F p-box의 세트이다.공백이aints, 지정된 분포 함수의 경우 F F, 분포의 예상 값에 대한 지정된 경계 m₁ ≤ m₂, 분포의 분산에 대한₂ 지정된 경계 v₁ ≤ v.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\overline {F}}(x),\\[4pt]&m_{1}\leq \int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x)\leq m_{2}\\[4pt]&v_{1}\leq \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,\mathrm {d} F(x)-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x)\right)^{2}\leq v_{2}\\[4pt]&F\in \mathbf {F} \end{aigned}}$

여기서 $\int {}_{}^{}$ -${\mathrm{\infty }}_{}^{}$ ${}_{}^{}$ $d$ d F$$( x$$) ${\textstyle \int$ _${-\infit }^{\infit }\cdots \,\mathrm {d}F(x)}$ 형식의 통합은 Rieman-Stieltjes 통합이다.

따라서 제약조건은 분포함수 F가 규정된 한계 내에 속하고, 분포의 평균이 구간 m에 속하며, 분포의 분산이 구간 v에 속하며, 분포가 일부 허용 가능한 분포 F 등급 내에 속한다는 것이다.리만-스티엘트제스 통합은 F의 차별성에 의존하지 않는다.

P-box는 사건 발생 시 상한 및 하한 확률이 작용하는 랜덤 변수에 대해 P-box는 동일한 역할을 한다.강력한 베이즈 분석에서^[1] p-box는 분배 대역으로도 알려져 있다.^[2][3]p-box는 Kolmogorov, Lévy 또는 Wasserstein 메트릭스 아래에$$ 있는 $분포{\displaystyle }$ F${\displaystyle d\mathbb{}}$ D$${\$displaystyle F\in$ \mathb ${D}$의 닫힌 인접 영역으로 구성될 수 있다.p-box는 조잡하지만 계산적으로 편리한 종류의 신뢰 집합이다.신뢰 집합은 (F, F, m, v를 자동으로 결정하지만 종종 계산하기 매우 어려운) 분포의 볼록 집합으로서 제약 조건 F의 관점에서만 정의되는 반면, p-box는 일반적으로 F의 느슨한 구속 사양을 가지거나 F = $D{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$계산에 제약 조건이 없다$.$p-matrix를 사용하는 경우, 신뢰 집합과 달리 상당히 효율적인 경우가 많으며, 모든 표준 수학 함수에 대한 알고리즘이 알려져 있다.

A p-box is minimally specified by its left and right bounds, in which case the other constraints are understood to be vacuous as ${\textstyle \left\{{\overline {F}},{\underline {F}},[-\infty ,+\infty ],[0,+\infty ],\mathbb {D} \right\}.}$ Even when these ancillary constraints are 빈칸, p-box의 왼쪽과 오른쪽 가장자리에서 유추할 수 있는 평균과 분산에는 여전히 비독점적 한계가 있을 수 있다.

p-box의 출처

P-box는 수량에 관한 다양한 종류의 불완전한 정보로부터 발생할 수 있으며, 데이터와 분석적 판단으로부터 p-box를 얻는 방법에는 여러 가지가 있다.

배포 p-박스

확률 분포가 특정 형상(예: 정규, 균일, 베타, Weibull 등)을 가지고 있다고 알려져 있지만 그 매개변수를 구간으로만 부정확하게 지정할 수 있는 경우, 그 결과를 분포 p-box 또는 때로는 모수 p-box라고 한다.그러한 p-box는 가능한 매개변수가 주어진 극단적인 분포를 감싸면 쉽게 얻을 수 있다.예를 들어, 수량이 구간의 어딘가에서 평균으로 정상이라고 알려진 경우 [7,8], [1,2] 구간의 표준편차 [1,2], p-box의 좌우 가장자리는 4개의 확률 분포 즉, 정상(7,1), 정상(7,2), 정상(8,2)의 분포함수를 포합하여 찾을 수 있다.σ)는 평균 μ와 표준 편차 σ의 정규 분포를 나타낸다.이 각각의 간격 내에 평균과 표준 편차가 있는 정규 확률 분포는 모두 이 p-box 내에 완전히 포함되는 분포 함수를 가질 것이다.왼쪽과 오른쪽 경계는 많은 비정규 분포를 둘러싸지만, 정규성을 분포 패밀리로 지정하여 p-box에서 제외된다.

배포가 필요 없는 p-box

분포의 평균과 분산과 같은 모수를 정확하게 알 수 있더라도 분포 패밀리를 알 수 없는 경우에는 분포를 정확하게 지정할 수 없다.이러한 상황에서 주어진 순간과 일치하는 모든 분포의 봉투는 지정된 매개변수를 가진 모든 분포 함수를 둘러싸는 마르코프, 체비셰프, 칸텔리 또는 로우에^[4][5] 기인한 것과 같은 불평등으로부터 구성될 수 있다.이들은 불확실한 분포의 가족이나 형태에 대해 어떠한 가정도 하지 않기 때문에 분포가 없는 p-box를 정의한다.분포가 단일하지 않은 것과 같은 질적 정보를 이용할 수 있을 때, p-box는 상당히 강화될 수 있다.^[6]

부정확한 측정의 P-박스

모집단의 모든 구성원을 측정할 수 있거나 랜덤 표본 데이터가 풍부한 경우 분석가는 종종 경험적 분포를 사용하여 값을 요약한다.그러한 데이터가 각 표본 값에 대한 구간 범위로 표현되는 부적합한 측정 불확도를 갖는 경우 경험적 분포는 p-box로 일반화될 수 있다.^[7]이러한 p-box는 모든 간격 측정의 하단 끝점을 p-box의 왼쪽 가장자리를 형성하는 누적 분포로 압축하고, 상단 끝점을 누적하여 오른쪽 가장자리를 형성함으로써 지정할 수 있다.측정 불확도가 넓을수록 결과 p-box는 넓어진다.

또한 간격 측정은 정규성 또는 로그 정규성 등과 같은 형상 가정을 만드는 모멘트 또는 최대우도 방법에 기초하여 분포 추정치를 일반화하는 데 사용될 수 있다.^[7][8]측정 불확도를 엄격하게 처리할 수 있지만, 결과 분포 p-box는 가능한 값의 하위 샘플만을 기초로 한 표본 추정치일 때 일반적으로 엄격하지 않다.그러나 이러한 계산은 분포의 모수 사이의 의존성을 고려하기 때문에, 모수의 구간 추정치를 분포의 p-box에 대해 수행된 것과 무관한 것으로 처리함으로써 얻을 수 있는 것보다 더 엄격한 p-box를 산출하는 경우가 많다.

신뢰대역

확률 분포를 특징짓는 경험적 데이터의 표본 크기가 작기 때문에 확률 분포의 모양에 불확실성이 있을 수 있다.Kolmogorov-Smirnov[9] 및 이와 유사한^[10] 신뢰 밴드를 포함하여 분포 형상에 대한 표본 추출 불확실성을 설명하기 위해 전통적 통계에서 여러 가지 방법이 제안되었는데, 여기에는 기초 분포의 형상에 대해 가정을 하지 않는다는 점에서 분포가 없다.기초 분포의 형태나 패밀리에 대해 가정을 하는 관련 신뢰 대역 방법이 있으며, 이는 종종 더 엄격한 신뢰 대역을 야기할 수 있다.^[11][12][13]신뢰 밴드를 구성하려면 신뢰 수준을 정의하는 확률을 선택해야 하며, 일반적으로 결과가 비확실적이 되려면 100% 미만이어야 한다.(1 - α)% 신뢰 수준의 신뢰 밴드는 생성 시간의 (1 - α)%가 데이터가 랜덤하게 샘플링된 분포를 완전히 둘러싸도록 정의된다.분포 함수에 대한 신뢰 밴드는 엄격하거나 확실한 경계보다는 통계적 범위를 나타내더라도 때때로 p-box로 사용된다.이 사용은 실제 분포가 무엇이든 간에 p-box 안에 있다고 암묵적으로 가정한다.

유사한 베이시안 구조를 베이시안 p-box라고 하며,^[14] 이것은 데이터의 베이시안 분석에서 특정 확률 수준에 해당하는 매개변수 공간의 부분 집합 내에 매개변수를 포함하는 모든 분포를 둘러싸는다.이 부분집합은 데이터가 주어진 매개변수에 대해 신뢰할 수 있는 영역이며, 이는 가장 높은 후방 확률밀도 영역 또는 가장 낮은 후방 손실 영역 또는 다른 적절한 방법으로 정의될 수 있다.베이시안 p-box를 구성하려면 신뢰도 수준(신뢰도 수준과 아날로그)을 지정하는 것 외에 사전 분포를 선택해야 한다.

C-박스

C-box(또는 신뢰 구조^[15])는 랜덤 표본 데이터에 의존하고 모든 신뢰 수준에서 Neyman^[16] 신뢰 구간을 인코딩하는 고정된 실제 값 수량의 추정기다.^[17][18][15]이들은 각각 관련 신뢰도(확률) 질량을 갖는 초점 구간(또는 집합)의 집합의 형태로 추정치에 대한 주적 불확실성을 특징짓는다.이 집합은 p-box로 묘사될 수 있으며 확률 한계 분석을 통해 신뢰 해석을 투영할 수 있다.

일반적으로 수학적 계산을 통해 전파될 수 없는 기존의 신뢰 구간과 달리, c-box는 결과에 대한 임의의 신뢰 구간을 얻을 수 있는 능력을 보존하는 방법으로 계산에 사용될 수 있다.^[19][18]예를 들어 예측 분포와 공차 분포 모두에 대한 확률 상자를 계산하는 데 사용할 수 있다.

C-box는 랜덤 표본 데이터에서 직접 다양한 방법으로 계산할 수 있다.데이터가 랜덤하게 생성된 기본 분포의 패밀리가 알려진 모수 문제(정규 분포, 대수 정규 분포, 지수 분포, 베르누이 분포, 이항 분포, 포아송 분포 포함)와 기본 분포의 형태를 알 수 없는 비모수 문제 모두에 대한 신뢰 상자가 있다.^[19]신뢰 상자는 작은 표본 크기의 영향을 포함하여 관측치로부터의 추론에서 오는 매개변수에 대한 불확실성을 설명하지만, 이산 데이터 관측치로부터 연속적인 매개변수를 특성화하려고 시도할 때 발생하는 데이터 및 인구통계학적 불확실성의 영향도 설명한다.

C-box는 몇 가지 다른 개념들과 밀접한 관련이 있다.그것들은 부트스트랩 분포와 유사하며,^[20] 학생들의 t-분포와 같은 전통적인 신뢰 분포의 일반화를 부정확하게 한다.마찬가지로, c-box는 모든 신뢰 수준에서 관심 매개변수에 대한 빈번한 신뢰 구간을 인코딩한다.그것들은 희박하거나 부정확한 표본 데이터로부터 추정된 통계적 매개변수에 대한 추론적 불확실성을 특징짓는다는 점에서 베이지안 후분포와 유사하지만, repa를 통해 통계적 성과에 대한 보증을 제공하기 때문에 공학에 유용하게 만드는 순수하게 빈번한 해석을 가질 수 있다.테드 용법베르누이 또는 이항 속도 매개변수의 경우, c-box는 수학적으로 월리의 부정확한 베타 모델과^[21][22] s=1 매개변수를 갖는 수학적으로 동등하며, 이는 부정확한 디리클레 과정의 특별한 경우로서 강력한 베이즈 분석의 중심 개념이다.

특정 신뢰 수준에서 전체 분포 함수에 대한 신뢰 한계인 신뢰 대역과 달리, c-box는 가능한 모든 신뢰 수준에서 고정 수량에 대한 신뢰 구간을 동시에 인코딩한다.

가능한 분포의 봉투

변수를 설명할 수 있는 여러 가지 가능한 확률 분포가 있고, 분석가가 이용 가능한 정보에 기초하여 이들 분포 중 어떤 것도 할인할 수 없는 경우, 다양한 누적 분포의 봉투로 p-box를 구성할 수 있다.^[23][24]민감도 연구로 어떤 분포가 올바른 분포인지에 대한 불확실성도 설명할 수 있지만, 그러한 연구는 가능한 분포의 수가 증가할수록 복잡해지고, 다중 분포가 있을 수 있는 변수의 수가 증가함에 따라 조합적으로 더 복잡해진다.확률적 혼합물 모델 또는 베이지안 모델 평균에서 평균 함께 분포하는 불확실성을 처리하기 위한 다양한 대안적 접근법보다 이러한 불확실성에 대해 더 보수적인 접근법이 있다.알려지지 않은 실제 분포는 p-box에 포함되는 분포의 등급 내에 있을 가능성이 높다.대조적으로, 실제 분포가 평균화되고 있는 분포 중 하나라고 가정하면, 평균 분포는 알려지지 않은 실제 분포와 다를 것이 확실하다.

계산 결과의 P-박스

P-box는 확률분포를 포함하는 계산, 확률분포와 구간을 모두 포함하거나 다른 P-box를 포함하는 계산에서 발생할 수 있다.예를 들어 확률 분포로 대표되는 수량과 구간으로 대표되는 수량의 합은 일반적으로 p-box로 특징지어진다.^[25]잘 지정된 확률 분포로 특징지어지는 두 랜덤 변수의 합은 일반적으로 두 개의 합계 사이의 코풀라(의존함수)가 완전히 명시된 경우에만 또 다른 정밀한 확률 분포다.이들의 의존도를 알 수 없거나 부분적으로만 명시하는 경우, 서로 다른 의존 관계가 합계에 대해 많은 다른 분포를 야기하기 때문에 합계는 p-box로 더 적절하게 표현될 것이다.콜모고로프는 원래 합계의 분포 사이의 의존성에 대해 아무것도 알 수 없는 경우 합계의 분포에 대해 어떤 한계를 둘 수 있는지를 물었다.^[26]그 문제는 1980년대 초반에야 풀렸다.그 이후로, 합계에 대한 공식과 알고리즘이 일반화되었고 다양한 의존성 가정 하에서 차이, 제품, 인용문 및 기타 이항 및 단항 함수로 확장되었다.^{[26][27][28][29][30][31][32]}

집합적으로 확률 한계 분석이라고 하는 이러한 방법은 입력 값, 그 종속성 또는 심지어 수학적 표현 자체의 형태에 대한 불확실성이 있을 때 수학 식을 평가하는 알고리즘을 제공한다.계산 결과는 입력 p-box가 각각의 분포를 포함한다고 확신할 경우 출력 변수의 가능한 모든 분포를 둘러싸도록 보장된다.계산된 p-box도 p-box 내에 가능한 분포만 있다는 의미에서 최선이 될 수 있지만 이것이 항상 보장되는 것은 아니다.예를 들어, 두 (정밀) 분포의 독립성 가정 없이 랜덤 값을 추가함으로써 발생할 수 있는 확률 분포의 집합은 일반적으로 계산된 p-box에서 인정한 모든 분포의 적절한 부분 집합이다.즉, 출력 p-box 내에는 두 입력 분포 사이의 어떤 의존성에서도 발생할 수 없는 분포가 있다.그러나 출력 p-box는 입력 p-box가 각각의 기본 분포를 포함한다고 확신하는 한 가능한 모든 분포를 항상 포함한다.이 속성은 종종 위험 분석에 사용하기에 충분하다.

특례

정확한 확률 분포와 간격은 실제 값과 정수와 마찬가지로 p-box의 특별한 경우다.확률 분포는 변동성을 나타내며 내성이 결여되기 때문에, p-box의 왼쪽과 오른쪽 경계는 누적 분포 함수의 값에서 모든 x 값(0에서 1까지 감소하지 않는 함수)에 대해 일치한다.수학적으로 확률 분포 F는 p-box {F, F, E(F), V(F), F}이며 여기서 E와 V는 기대와 분산 연산자를 나타낸다.간격은 경솔함만을 나타낸다.그것의 p-box는 그 간격의 끝점에서 상하가 0에서 1로 점프하는 직사각형 상자처럼 보인다.수학적으로 구간[a, b]은 퇴화된 p-박스 {H(a), H(b), [a, b], [0, (b–a)/²4], D ${\$에 해당하며, $여기$서 H는 Hubiside 스텝 함수를 나타낸다.정확한 스칼라 숫자 c에는 두 가지 종류의 불확실성이 모두 결여되어 있다.그것의 p-box는 값 c에서 0에서 1까지의 단계 함수에 불과하다. 수학적으로 이것은 {H(c), H(c), c(c), 0, H(c)이다.

적용들

P-box 및 확률 한계 분석은 다음을 포함하여 공학 및 환경 과학 분야의 많은 분야에 걸쳐 많은 응용 분야에서 사용되어 왔다.

• 엔지니어링 설계^[33]
• 전문가 유도^[34]
• 종 민감도 분포^[35] 분석
• 아리안 5호 발사체^[36] 전면부재의 좌굴하중에 대한 항공우주공학 민감도 분석
• 화학 원자로 역학의^[37][38] ODE 모델
• 흡입된 VOCs의^[39] 약동학적 변동성
• 지하수 모델링^[40]
• 직렬 시스템의^[41] 경계 고장 확률
• 제철소 브라운필드^[42][43] 토양의 중금속 오염
• 염도 위험 모델에^[44] 대한 불확실성 확산
• 전원 공급 시스템 안전 평가^[45]
• 오염지반위험도평가^[46]
• 식수 처리를^[47] 위한 엔지니어링된 시스템
• 토양 선별 수준^[48] 계산
• 미국^[49][50] EPA가 하우사톤강 슈퍼펀드 현장에서 PCB 오염에 대한 인간 보건 및 생태학적 위험 분석
• 캘커시외하구 슈퍼펀드 부지의^[51] 환경평가
• 초음속 노즐 추력을^[52] 위한 항공우주공학
• 엔지니어링 문제에^[53] 대한 과학적 계산의 검증 및 검증
• 환경 수은 오염의^[54] 작은 포유류에 대한 독성
• 지하수^[55] 오염 이동시간 모델링
• 신뢰성 분석^[56]
• Leadbeater 주머니쥐^[57] 재도입을 위한 멸종위기종 평가
• 농약에^[58] 대한 식충조류 노출
• 기후변화 예측^[42][59][60]
• 대기열 시스템에서^[61] 대기 시간
• 올림픽 반도의^[62] 점박이올빼미 멸종위험도 분석
• 침습종 또는 농해충^[63] 유입에 대한 생물학적 취약성
• 유한요소 구조 분석^[64][65][66]
• 원가추정^[67]
• 핵 비축량 인증^[68]
• 프래킹은 수질오염의^[69] 위험성

비평

내부 구조 없음.p-box는 경계 내의 내부 구조에 대한 정보를 거의 보유하지 않기 때문에, p-box 내의 어떤 분포가 가장 가능성이 높은지, 또는 가장자리가 매우 가능성이 없거나 뚜렷하게 가능성이 있는 시나리오를 나타내는지는 설명하지 않는다.이것은 p-box의 가장자리가 결정 임계값을 둘러싸는 경우에 따라 의사결정을 복잡하게 할 수 있다.

정보를 잃다.계산 효율을 달성하기 위해 p-box는 보다 복잡한 뎀스터-샤퍼 구조 또는 신뢰 집합에 비해 정보가 손실된다.^[23]특히 p-box는 수량의 모드(가장 가능성이 높은 값)에 대한 정보를 잃어버린다.이 정보는 특히 수량이 알 수 없지만 고정된 값인 경우에 유용할 수 있다.

기존 확률로 충분함.p-box에 대한 일부 비평가들은 정확하게 명시된 확률 분포가 모든 종류의 불확실성을 특징 짓기에 충분하다고 주장한다.예를 들어, 린들리는 "불확실성에 접근하는 것은, 확률만이 그것에 대해 생각할 수 있는 건전한 방법"^[70][71]이라고 단언했다.이러한 비평가들은 '확률에 대한 불확실성'에 대해 말하는 것은 무의미하며 전통적인 확률은 모든 형태의 불확실성을 특징 짓기에 충분한 완전한 이론이라고 주장한다.이러한 비판에 따라, p-box 사용자들은 적절한 정밀하게 명시된 분배 기능을 식별하기 위한 필수적인 노력을 하지 않았다.

가능성 이론은 더 잘 할 수 있다.일부 비평가들은 p-box의 왼쪽 가장자리와 오른쪽 가장자리로 따로 작업하기보다는 가능한 분포로 작업하는 것이 타당하다고 주장한다.그들은 가능성 분포에 의해 유도된 확률 분포 집합이 유사 p-box의 가장자리로 둘러싸인 분포의 하위 집합이라고 주장한다.^[72][73]p-box보다 가능성 있는 분배로는 더 잘할 수 없다는 반론도 나온다.^[74]

참고 항목

• 불확실한 수
• 간격을 두고
• 누적 확률 분포
• 높은 확률과 낮은 확률
• 신빙성 세트
• 위험분석
• 불확도 전파
• 확률 한계 분석
• 뎀스터-샤퍼 이론과 뎀스터-샤퍼 구조 섹션
• 확률을 부정확하게 하다.
• 우도비를^[13] 사용한 분포 및 생존 함수에 대한 동시 신뢰 밴드
• 지정된 X에^[75] 대한 F(X)에 대한 점별 이항 신뢰 구간
• 불확도 전파 소프트웨어

참조

추가 참조

• 보드리트, C, D.두부아(2006년).불완전한 확률론적 지식의 실제적 표현.계산 통계 & 데이터 분석 51: 86–108.
• 보드리트, C, D. 두부아, D.가이오넷(2006년).위험 평가에서 확률적이고 가능한 정보의 공동 전파 및 활용.퍼지 시스템에서의 IEEE 거래 14: 593–608.
• 베르나르디니, A, F.톤온(2009년).랜덤/퍼지 집합 및 p-box의 극단적 확률 분포.국제 신뢰도 및 안전 저널 3: 57–78 (대체 링크)
• 데스터케, S, D. 두부아, E.초즈나키(2008년).실제적인 불확실성 표현 통합 – I: 일반화된 p-box.국제학술지 근사추론 49: 649–663.
• 두부아, D. (2010)(주석) 불완전한 확률론적 정보에 따른 위험 분석의 표현, 전파 및 의사결정 문제.위험 분석 30: 361–368. doi:10.111/j.1539-6924.2010.01359.x.
• 두부아, D, D.가이온넷(2011년).인식 가능한 불확실성 상황에서 위험 정보에 입각한 의사결정.국제 일반 시스템 저널 40: 145–167.
• 기요넷, D, F. 블랜차드, C.하펫, Y. 메나드, B.Côme과 C.보드리트(2005년).Projet IREA—Evaluation des risque d'exposition에 있는 Traitment des initiativity des in evaluation.Relocity BRGM/RP-54099-FR, Bureau de Referhers et Géologiquees et Minieres, 프랑스.