달랑베르 연산자

특수 상대성 이론, 전자기학 및 파동 이론에서 달랑베르 연산자(상자로 표시됨: ◻ $\Box$ {\ $displaystyle \Box})$ 는 달랑베르시안, 파동 연산자, 상자 연산자 또는 때로는 쿼블라 연산자(cf. 나블라 기호)라고도 불리는 민코프스키 공간의 라플라스 연산자입니다. 연산자의 이름은 프랑스의 수학자이자 물리학자인 장 르롱 달랑베르의 이름을 따서 지어졌습니다.

민코프스키 공간에서 표준 좌표 $(t,$ $x,$ y, z $)$ 에서 다음과 같은 형태를 갖습니다.

{\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu}\partial _{\mu}=\eta^{\mu \nu}\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}{\frac {\partial ^{2}}-{\partial  t^{2}}-{\partial x^{2}}-{\frac {\partial^{2}}-{\partial  y^{2}}-{\frac {\partial^{2}}-{\partial  z^{2}}-\&={\frac {1}{c^{2}}}-{\partial ^{2}\over \ t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta~~.\end{align}}

$\nabla ^{2}:=\Delta$ ∇ 2 : = δ {\displaystyle \n $abla^{2$ }: $=$ \ $Delta$ }는 $\nabla ^{2}:=\Delta$ 3차원 라플라시안이고 $η$ 는 역 민코프스키 메트릭입니다.

\eta _{00}=1

\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1

= 1

{\displaystyle

\eta _

\eta _{00}=1

\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1

}

\eta _{00}=1

=

\eta _{00}=1

\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1

},

\eta _{00}=1

\eta _{00}=1

1 =

\eta _{00}=1

\eta _{00}=1

2 =

\eta _{00}=1

33 = - 1

\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1

{\displaystyle

\eta _

\eta _{00}=1

11} =\eta _

\eta _{00}=1

22} =\eta _

\eta _{00}=1

33} =

\eta _{00}=1

1},

\eta _{00}=1

\eta _{00}=1

ν = 0 {\displaystyle \eta _{\mu \n

μ

≠ ν

{\displaystyle

\mu

\n에 대한 u}

=

0}

eq \n

u

$μ$ 와 ν의 합 지수의 범위는 0에서 3까지입니다. 아인슈타인 표기법을 참조하십시오. 우리는 빛의 속도 $c$ = 1과 같은 단위를 가정했습니다.

( $\eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1$ 저자는 η 00 = - 1 $\eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1$ η $\eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1$ = η 22 = η 33 $\eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1$ = 1 ${\displaystyle$ \ $eta$ _{ $00$ } =-1 $,\;\$ eta _{ $11$ } =\eta $_{22$ } =\eta _{33} = 1}의 음의 메트릭 서명을 사용하기도 합니다.)

로런츠 변환은 민코프스키 미터법의 불변성을 남기므로 달랑베르티안은 로런츠 스칼라를 산출합니다. 위의 좌표 식은 모든 관성 프레임의 표준 좌표에 대해 유효합니다.

상자 기호 및 대체 표기법

달랑베르티안에 대한 다양한 표기법이 있습니다. 가장 일반적인 것은 상자 기호 ◻ {\ $displaystyle \Box}($ 유니코드: 4개의 변이 시공간의 4차원을 나타내는 U+2610 ☐ 투표함)과 상자 squared 기호 ◻ 2 ${\displaystyle$ \Box ^{2}}는 제곱항(라플라시안과 같은 much)을 통해 스칼라 속성을 강조합니다. 라플라시안의 삼각형 표기법을 따라 $\Delta _{M}$ δ M ${\$ displaystyle $\Delta$ _{M}}을 사용하기도 합니다.

달랑베르시안을 평면 표준 좌표로 표기하는 또 다른 $방법은$ ∂ 2 {\ $displaystyle$ \ $partial$ ^{2}}입니다. 이 표기법은 편미분이 지수화되는 양자장 이론에서 광범위하게 사용되므로 편미분 제곱이 있는 지수가 없다는 것은 달랑베르시안의 존재를 나타냅니다.

때때로 박스 기호는 4차원 Levi-Civita 공변 도함수를 나타내는 데 사용됩니다. $기호는$ ∇ {\displaystyle \n그런 다음 $abla}$ 은 $\nabla$ (는) 공간 도함수를 나타내는 데 사용되지만 이는 좌표 차트에 종속됩니다.

적용들

작은 진동에 대한 파동 방정식은 다음과 같은 형태입니다.

\Box_{c}u\left(x,t\right)\equivu_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,

$여기$ 서 u $(x,$ t $)$ 는 변위입니다.

진공에서의 전자기장에 대한 파동방정식은

\Box A^{\mu}=0

여기서 $A$ 는^μ 로렌츠 게이지의 전자기 4-전위입니다.

클라인-고든 방정식은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}\right)\psi =0~.

그린의 함수

녹색의 함수 $G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ ( $G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ ~ - $G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ ~ $G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ {\ $displaystyle$ G\ $left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$ 는 다음과 같이 정의됩니다 $G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$

\Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta\tilde {x}}-{\tilde {x}'\right)

여기서 $\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ δ(x $\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ ~ $\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ - x $\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ ~ ') ${\displaystyle \delta \left({\tilde$ { $x}}-{\tilde {x}}'\$ right)}는 다차원 디랙 델타 ${\tilde {x}}$ 이고 $x$ ~ ${\displaystyle {\tilde$ {x ${\tilde {x}}'$ 및 $x$ ~ ' ${\tilde$ {x $}'는$ 민코프스키 공간의 두 점입니다.

특수한 해결책은 신호 전달 시간에만^[2] 해당하는 지연된 그린의 함수에 의해 제공됩니다.

G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pir}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)

여기서 $\Theta$ θ {\displaystyle $\Theta$ \Theta}는 Heaviside 스텝 함수입니다.

참고 항목

참고문헌

^ Bartelmann, Matthias; Feuerbacher, Björn; Krüger, Timm; Lüst, Dieter; Rebhan, Anton; Wipf, Andreas (2015). Theoretische Physik (Aufl. 2015 ed.). Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-642-54618-1. OCLC 899608232.{{cite book}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)
^ S. Siklos. "The causal Green's function for the wave equation" (PDF). Retrieved 2 January 2013.

외부 링크

"D'Alembert operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Poincaré, Henri (1906). Translation:On the Dynamics of the Electron (July) – via Wikisource.Poincaré, Henri (1906). Translation:On the Dynamics of the Electron (July) – via Wikisource.원래는 Rendicontiel Circolo Matematico di Palermo로 인쇄되었습니다.
Weisstein, Eric W. "d'Alembertian". MathWorld.

[1] Bartelmann, Matthias; Feuerbacher, Björn; Krüger, Timm; Lüst, Dieter; Rebhan, Anton; Wipf, Andreas (2015). Theoretische Physik (Aufl. 2015 ed.). Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-642-54618-1. OCLC 899608232.{{cite book}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)

[2] S. Siklos. "The causal Green's function for the wave equation" (PDF). Retrieved 2 January 2013.

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