양자역학 연산자
양자역학 에서 에너지 는 시간 변환 대칭 의 결과로서 시스템의 파동함수 에 작용하면서 에너지 연산자의 관점에서 정의된다.
정의 본 문서는 다음에서 제공된다.[1]
E ^ = i ℏ ∂ ∂ t {\displaystyle {\hat}=i\hbar {\frac {\partial t}{\partial t}\,\!} 파동 함수에 작용한다(계통의 다른 구성에 대한 확률 진폭 ).
Ψ ( r , t ) {\displaystyle \PSI \left(\mathbf {r}, t\right)\,\!} 적용 에너지 연산자는 시스템의 전체 에너지에 해당 한다. 슈뢰딩거 방정식 은 양자체계의 느린 변화(비상대적 )파함수의 공간 및 시간 의존성을 설명한다. 바운드 시스템에 대한 이 방정식의 해법은 이산형(허용된 상태의 집합, 각각 에너지 레벨로 특징지어짐)이며, 이는 퀀타 개념을 낳는다.
슈뢰딩거 방정식 에너지 연산자 를 슈뢰딩거 방정식 에 사용하는 방법:
i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) = H ^ Ψ ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial t}}\psi(\mathbf {r},\t)={\hatsbf {r}\psi(\mathbf {r},t)\,\!} 다음을 얻을 수 있다:
E ^ Ψ ( r , t ) = H ^ Ψ ( r , t ) {\displaystyle {\begin{aigned}&{\hat {E}\\psi(\mathbf {r},\,t)={\mathbf {r}\nd{aigned}\,\!} 여기서 i 는 가상 단위 , ħ 은 축소된 플랑크 상수 , H {\ displaystyle {\hat H}} 연산자 다.
상수 에너지 정의에서 작업하면 일정한 에너지를 가진 입자의 파동 기능에 대한 부분적인 용액이 생성될 수 있다. 파동 기능이 분리 가능하다고 가정할 경우 시간 I t ℏ{\ displaystyle ^{-iEt/\hbar }} E 는 상수 에너지다. 전부 다 합쳐서.[2]
Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) e − i E t / ℏ {\displaystyle \PSI(\mathbf {r},t)=\psi(\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}}} 여기서 ψ r {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 에너지 오퍼레이터를 적용하면 E ^ Ψ ( r , t ) = i ℏ ∂ ∂ t ψ ( r ) e − i E t / ℏ = i ℏ ( − i E ℏ ) ψ ( r ) e − i E t / ℏ = E ψ ( r ) e − i E t / ℏ = E Ψ ( r , t ) . {\displaystyle {\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=i\hbar \left({\frac {-iE}{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\Psi (\mathbf {r} ,t). } 이를 정지 상태 라고도 하며, 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식 을 분석하는 데 사용할 수 있다.
E Ψ ( r , t ) = H ^ Ψ ( r , t ) {\displaystyle {\begin{arged}&E\PSI(\mathbf {r},\,t)={\hat{H}\PSI(\mathbf {r},\t)\\ended{arged}\,\!} 여기서 E 는 에너지의 고유값 이다.
클라인-고든 방정식 상대론적 질량 에너지 관계 :
E 2 = ( p c ) 2 + ( m c 2 ) 2 {\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}\,\!} 여기 서 다시 E = 총 에너지, p = 입자 의 총 3-모멘텀 , m = 불변 질량 , c = 빛의 속도 등식은 비슷하게 클라인-고든 방정식 을 산출할 수 있다.
E ^ 2 = c 2 p ^ 2 + ( m c 2 ) 2 E ^ 2 Ψ = c 2 p ^ 2 Ψ + ( m c 2 ) 2 Ψ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {E}}^{2}=c^{2}{\hat {p}}^{2}+(mc^{2})^{2}\\&{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {p}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}\,\!} 여기서 p ^ {\ displaystyle {\hat{p}} 모멘텀 연산자 다. 즉,
∂ 2 Ψ ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 Ψ − ( m c 2 ℏ ) 2 Ψ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\PSI }{\partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi -\좌측({\frac {mc^{2}}}{\hbar }\오른쪽)^{2}\psi \,\!} 파생 에너지 연산자는 자유 입자파 함수(슈뢰딩거 방정식에 대한 평면파 솔루션 )[3] 파형 함수가 한 차원부터 시작됨
Ψ = e i ( k x − ω t ) {\displaystyle \psi =e^{i(kx-\omega t)}}}
ψ의 시간 파생상품은
∂ Ψ ∂ t = − i ω e i ( k x − ω t ) = − i ω Ψ . {\displaystyle {\frac {\partial \PSI}{\partial t}=-i\i\omega e^{i(kx-\omega t)=-i\omega \PSI .}
De Broglie 관계별 :
E = ℏ ω , \displaystyle E=\hbar \omega,} 우리는 가지고 있다. ∂ Ψ ∂ t = − i E ℏ Ψ . {\displaystyle {\frac {\partial \psi}{\partial t}=-i{\frac {E}{\hbar }\psi .}
방정식을 다시 배열하면
E Ψ = i ℏ ∂ Ψ ∂ t , {\displaystyle E\PSI =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t},} 여기서 에너지 인자 E 는 스칼라 값이며, 입자가 가지고 있는 에너지와 측정된 값이다. 부분파생상품 은 선형 연산자 이므로 이 표현식은 에너지 연산자다. E ^ = i ℏ ∂ ∂ t . {\displaystyle {\hat{E}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}. }
스칼라 E 는 연산자의 고유값 이며, E ^ {\ displaystyle {\hat {E}} 다음 결과 요약:
E ^ Ψ = i ℏ ∂ ∂ t Ψ = E Ψ {\displaystyle {\hat{E}\psi =i\hbar {\frac {\partial t}\psi =E\psi }
3-d 평면 파형의 경우
Ψ = e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \PSI =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}}}}} 파생은 정확히 동일하다. 시간 및 시간 파생어를 포함한 용어에 변화가 없다. 연산자는 선형 이기 때문에 평면파의 어떤 선형 결합 에도 유효하므로, 파동함수나 연산자의 특성에 영향을 주지 않고 어떤 파동함수에 대해서도 작용이 가능하다. 따라서 이것은 모든 파동 기능에 적용되어야 한다. 위의 클라인-고든 방정식 과 같은 상대론적 양자역학 에서도 효과가 있는 것으로 나타났다.
참고 항목 참조 ^ Quantum Mechanics demystified, D. 맥마흔, 맥 그라우 힐 (미국), 2006, ISBN 0-07-145546-9 ^ Young, Hugh D. (2020). Sears and Zemansky's university physics with modern physics ISBN 978-0-13-515955-2 OCLC 1057733965 . ^ 원자, 분자, 고체, 핵 및 입자의 양자물리학(2판), R. 레스닉, R. 아이즈버그, 존 와일리 & 선스, 1985년 ISBN 978-0-471-87373-0
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