양자역학에서 연산자 상승 및 하강
선형대수학 (및 그 양자역학 에 대한 적용)에서 상승 또는 하강 연산자 (합리적으로 래더 연산자 )는 다른 연산자의 고유값 을 증가시키거나 감소 시키는 연산자다.양자역학에서는 상승 연산자를 창조 연산자 라고 부르기도 하고, 하강 연산자를 소멸 연산자 로 부르기도 한다. 양자역학에서 사다리 연산자의 잘 알려진 적용은 양자 조화 진동자 와 각운동량 의 공식에 있다.
용어. 상승·하강 사다리 연산자와 양자장 이론 에서 흔히 사용되는 생성·멸종 연산자의 관계에 대해 약간의 혼란이 있다. 생성 연산자는 상태 i 의 입자 수를 증가 시키는i † 반면, 해당 소멸 연산자는 상태i i 의 입자 수를 감소시킨다. 이것은 다른 연산자(이 경우 입자 번호 연산자 )의 고유값 증가 또는 감소라는 사다리 연산자의 상기의 정의 요건을 명확하게 만족시킨다.
사다리 연산자 라는 용어는 일반적으로 시스템의 상태를 기술 하는 양자 숫자 를 증가시키거나 감소시키는 작용하는 연산자를 설명하기 위해 사용되기 때문에 혼란이 발생한다.QFT의 생성/멸종 연산자로 입자 상태를 변경하려면 초기 상태에서 입자를 제거하기 위해 전멸 연산자를 사용 하고 최종 상태에 입자를 추가하기 위해 생성 연산자를 사용 해야 한다.
"사다리 연산자"라는 용어는 때때로 수학에서 리 알헤브라와 특히 아핀 리 알헤브라 의 맥락에서 사다리 연산자를 통해 근계통 과 최고 중량 모듈을 구성할 수 있는 수(2) 아발게브라를 설명하기 위해 사용된다.[1] 특히 가장 높은 무게는 상승작업자에 의해 소멸되고 나머지 양의 뿌리공간은 하강작업자(하위작업자당 사다리작업자 1세트)를 반복적으로 적용함으로써 얻는다.
일반 제형 두 측정 시스템 X 와 N이 정류 관계 를 가지고 있다고 가정하자.
[ N , X ] = c X , {\displaystyle [N,X]=cX,} 어떤 스칼라 c 를 위해. n ⟩ {\ displaystyle {n\rangele}} N 의 고유 상태라면, N n ⟩ = n n ⟩ , {\displaystyle N n\rangele =n n\rangele ,} 연산자 X 는 고유값을 c 로 이동시키는 방식으로 n n{\ displaystyle {n\rangele } N X n ⟩ = ( X N + [ N , X ] ) n ⟩ = X N n ⟩ + [ N , X ] n ⟩ = X n n ⟩ + c X n ⟩ = ( n + c ) X n ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}NX n\rangle &=(XN+[N,X]) n\rangle \\&=XN n\rangle +[N,X] n\rangle \\&=Xn n\rangle +cX n\rangle \\&=(n+c)X n\rangle .\end{aligned}}}
즉, n ⟩ {\ displaystyle {n\rangele}} n 을 가진 N 의 고유 상태라면, X ⟩ {\ displaystyle {X n\rangele}} n + c 를 가진 N 의 고유 상태 또는 0이다. 연산자 X 는 c 가 진짜일 경우 N의 상승 연산자 , c가 진짜 일 경우 N 의 하강 연산자 다.
N 이 은둔자 연산자 인 경우 c 는 실제여야 하며 X 의 은둔자 연관 은 다음과 같은 감응 관계를 준수한다.
[ N , X † ] = − c X † . {\displaystyle [N,X^{\doger }]=-cX^{\doger }}
특히 X 가 N 의 하강 연산자라면 X 는† N 의 상승 연산자, 그 반대의 경우도 마찬가지 다.
각 운동량 사다리 연산자 개념의 특정한 적용은 각운동량 의 양자 기계적 처리에서 발견된다. 일반적인 각운동량 벡터 J 의 경우, 구성요소를 가진x J, J, J 는y z 두 개의 래더 연산자 J 와+ J 를– 정의한다.[2]
J + = J x + i J y , {\displaystyle J_{+}=J_{x}+iJ_{y}}} J − = J x − i J y , {\displaystyle J_{-}=J_{x}-iJ_{y}}} 내 가 가상의 단위 인 곳이지.
각운동량 연산자의 데카르트 성분 사이의 정류 관계 는 다음과 같다.
[ J i , J j ] = i ℏ ϵ i j k J k , {\displaystyle [J_{i}, J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk} J_{k}} 여기서 ε 은ijk Levi-Civita 기호 이며, i , j , k 각각은 x , y , z 값 을 취할 수 있다.
이로부터 사다리 조작자와 J사이 의z 정류 관계를 얻는다.
[ J z , J ± ] = ± ℏ J ± , {\displaystyle \left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm }}} [ J + , J − ] = 2 ℏ J z . 왼쪽[왼쪽] J_{+},J_{-}\오른쪽]=2\hbar J_{z}. } (기술적으로 s l 2 ){\displaystyle {{\mathfrak{s}l}(2,\mathb {R} )}
사다리 조작자의 특성은 주어진 상태에서 Jz 조작자의 작용을 어떻게 수정하는지를 관찰함으로써 결정할 수 있다.
J z J ± j m ⟩ = ( J ± J z + [ J z , J ± ] ) j m ⟩ = ( J ± J z ± ℏ J ± ) j m ⟩ = ℏ ( m ± 1 ) J ± j m ⟩ . {\displaystyle {\reasoned} J_{z}J_{\pm }j\,m\rangele &=\left(J_{\pm }J_{z}+\left) [J_{z}},J_{\pm }\오른쪽] j\,m\angle \\&=\좌측(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm \}\hbar \,m\&=\hbar \좌측) J_{\pm }j\,m\angle .\end{aigned}}}
이 결과와 비교
J z j ( m ± 1 ) ⟩ = ℏ ( m ± 1 ) j ( m ± 1 ) ⟩ . {\displaystyle J_{z}j\,(m\pm 1)\rangele =\hbar(m\pm 1) j\,(m\pm 1)\rangele .}
따라서 J j m ⟩{\ displaystyle {J_{\pm }j\,m\angle }}}} 스칼라 에 j m 1 {\ displaystyle {j\,m\pm 1\rangele ( .
J + j m ⟩ = α j ( m + 1 ) ⟩ , {\displaystyle J_{+} j\,m\rangele =\alpha j\,(m+1)\rangele ,} J − j m ⟩ = β j ( m − 1 ) ⟩ . {\displaystyle J_{-} j\,m\angle =\beta j\,(m-1)\angle.}
이것은 양자역학에서 사다리 연산자의 정의적 특징인 양자수의 증감(또는 감소)을 보여주고, 따라서 하나의 양자 상태를 다른 양자 상태에 매핑한다. 흔히 사업자를 올리고 내리는 것으로 알려진 이유다.
α 와 β 값을 구하려면 먼저 J 와+ J 가− 에르미트식 결합체 (J J † \ displaystyle {J_{\pm }=J_{\mp ^{\dager}}}}})
⟨ j m J + † J + j m ⟩ = ⟨ j m J − J + j m ⟩ = ⟨ j ( m + 1 ) α ∗ α j ( m + 1 ) ⟩ = α 2 , {\displaystyle \langle j\,m J_{+}^{\dagger }J_{+} j\,m\rangle =\langle j\,m J_{-}J_{+} j\,m\rangle =\langle j\,(m+1) \alpha ^{*}\alpha j\,(m+1)\rangle = \alpha ^{2},} ⟨ j m J − † J − j m ⟩ = ⟨ j m J + J − j m ⟩ = ⟨ j ( m − 1 ) β ∗ β j ( m − 1 ) ⟩ = β 2 . {\displaystyle \langle j\,m J_{-}^{\dagger }J_{-} j\,m\rangle =\langle j\,m J_{+}J_{-} j\,m\rangle =\langle j\,(m-1) \beta ^{*}\beta j\,(m-1)\rangle = \beta ^{2}. }
사다리 조작자의 제품은 통근 쌍 J 와2 J 로z 표현될 수 있다.
J − J + = ( J x − i J y ) ( J x + i J y ) = J x 2 + J y 2 + i [ J x , J y ] = J 2 − J z 2 − ℏ J z , {\displaystyle J_{-}J_{+}=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})= J_{x}^{2}+ J_{y}^{2}+i[J_{x}}, J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z}}}} J + J − = ( J x + i J y ) ( J x − i J y ) = J x 2 + J y 2 − i [ J x , J y ] = J 2 − J z 2 + ℏ J z . {\displaystyle J_{+}J_{-}=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})= J_{x}^{2}+ J_{y}^{2}-i[J_{x}}, J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}. }
따라서 α와 β의 값을 J 와2 J 의z 고유값 으로 표현할 수 있다.
α 2 = ℏ 2 j ( j + 1 ) − ℏ 2 m 2 − ℏ 2 m = ℏ 2 ( j − m ) ( j + m + 1 ) , {\displaystyle \i1}{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}m^-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1)),} β 2 = ℏ 2 j ( j + 1 ) − ℏ 2 m 2 + ℏ 2 m = ℏ 2 ( j + m ) ( j − m + 1 ) . {\displaystyle \i1}{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}m=\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1)). }
α 와 β 의 위상 은 물리적으로 유의미하지 않으므로, 양성과 실재 (Condon-Shortley phase convention )로 선택할 수 있다(Condon-Shortley phase convention.그 후 다음을 수행하십시오.[3]
J + j , m ⟩ = ℏ ( j − m ) ( j + m + 1 ) j , m + 1 ⟩ = ℏ j ( j + 1 ) − m ( m + 1 ) j , m + 1 ⟩ , {\displaystyle J_{+} j,m\angle =\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1) }}} j,m+1\rangele =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}j,m+1\rangele ,} J − j , m ⟩ = ℏ ( j + m ) ( j − m + 1 ) j , m − 1 ⟩ = ℏ j ( j + 1 ) − m ( m − 1 ) j , m − 1 ⟩ . {\displaystyle J_{-} j,m\rangele =\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}j,m-1\rangele =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m-m-1}}j,m-1\rangele.}
m 이 j 의 값( j ≤ m ≤ {\ displaystyle {-j\leq m\leq j})
J + j j ⟩ = 0 , {\displaystyle J_{+} j\,j\angle =0,} J − j ( − j ) ⟩ = 0. {\displaystyle J_{-}j\,(-j)\rangele =0. }
위의 시연은 효과적으로 클렙슈-고단 계수 의 구성이다.
원자 및 분자물리학의 응용 해밀턴계의 원자 또는 분자계통의 많은 용어는 각운동량 연산자의 스칼라 산물 을 포함한다. 그 예로는 극세사 해밀턴의 자기 쌍극자 용어 가 있다.[4]
H ^ D = A ^ I ⋅ J , {\displaystyle {\hat{H}_{\text{ D}}={\hat{A}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J},} 내 가 핵 스핀인 곳이지
각운동량 대수학은 구면 기준 으로 다시 표시하여 단순화할 수 있는 경우가 많다. 구면 텐서 연산자 의 표기법을 사용하여 J (1) ≡ J 의 "-1", "0" 및 "+1" 성분은 다음과 같이 주어진다.[5]
J − 1 ( 1 ) = 1 2 ( J x − i J y ) = J − 2 J 0 ( 1 ) = J z J + 1 ( 1 ) = − 1 2 ( J x + i J y ) = − J + 2 . {\displaystyle {\reasoned} J_{-1}^{(1)&={\dfrac {1}{{1}{\dfrrt{2}}:}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_}{-}{\sqrt{2}}\\\\\ J_{0}^{{0}^{1}&=J_{z}\\J_{+1}^{1}-{{\frac{1}{1}{\sqrt{1}:{2}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac{J_}}{\sqrt{2}}. \end{정렬}}}
이러한 정의로부터 위의 스칼라 제품을 다음과 같이 확장할 수 있음을 알 수 있다.
I ( 1 ) ⋅ J ( 1 ) = ∑ n = − 1 + 1 ( − 1 ) n I n ( 1 ) J − n ( 1 ) = I 0 ( 1 ) J 0 ( 1 ) − I − 1 ( 1 ) J + 1 ( 1 ) − I + 1 ( 1 ) J − 1 ( 1 ) , {\displaystyle \mathbf {I}^{(1)\cdot \mathbf {J}^{(1)=\{n=-1}^{+1}(-1)^{n} I_{n}^{(1)J_{-n}^{(1)} =I_{0}^{(1)} J_{0}^{(1)-I_{-1}^{(1)} J_{+1}^{(1)-I_{+1}^{(1)J_{-1}^{-1}^{(1)}}
이 확장의 중요성은 해밀턴어에서 이 용어로 어떤 상태가 결합되어 있는지, 즉 mi = ±1 과j m = 11 로 양자수가 다른 상태를 명확하게 나타낸다는 것이다.
조화 발진기 래더 연산자 개념의 또 다른 적용은 고조파 발진기의 양자 기계적 처리에서 발견된다. 하강 및 상승 연산자를 다음과 같이 정의할 수 있다.
a ^ = m ω 2 ℏ ( x ^ + i m ω p ^ ) a ^ † = m ω 2 ℏ ( x ^ − i m ω p ^ ) {\displaystyle {\hat{p}{a}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}}\i \overm\omega{p}\오른쪽) \\hat{a}^{\mat{a}^{\n1}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }\left\x}-{i \overm\omega}{\p}\hat {p}\right}\ended}}}}}}}}}}}}}}
그것들은 시스템의 미분 방정식을 직접 풀지 않고도 에너지 고유값을 추출할 수 있는 편리한 수단을 제공한다.
수소성 원자 사다리 연산자를 사용한 문헌에는 두 가지 주요한 접근법이 있는데, 하나는 라플라스-룬지-렌츠 벡터를 사용한 것이고, 또 다른 하나는 해밀턴의 인자화를 사용한 접근법이 있다.
라플라스-룬지-렌츠 벡터 사다리 연산자 개념의 또 다른 적용은 수소 같은 원자와 이온의 전자 에너지의 양자 기계적 처리에서 발견된다. 라플라스-런지-렌츠 벡터 는 해밀턴과 역제곱으로 대칭 전위를 교환하며, 이 전위의 사다리 연산자를 결정하는 데 사용할 수 있다.[6] [7] 하강 및 상승 연산자를 정의할 수 있다(클래식 Laplace-Runge-Lenz 벡터 기반).
A → = ( 1 Z e 2 μ ) { L → × p → − i ℏ p → } + r → r {\displaystyle{\vec{A}}=\좌측({\frac {1}{Ze^{2}\mu }\}\우측)\좌측\{\vec{{{\vec}\{p}\valdsymbol{p}-{p}\bar\}+{\vec {r}}}}}}}}}} 여기서 L {\ displaystyle {\vec{L}} {\ displaystyle {\vec{p}} μ {\displaystyle \mu} {\ displaystystyle e} Z}은 각운동량 래더 연산자와 유사하게 A x i y {\ displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{ y }}, A A-Y {\ displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y
진행에 필요한 정류자는 다음과 같다.
[ A ± , L z ] = ∓ i ℏ A ∓ {\displaystyle [A_{\pm }},L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}\hbar A_{\mp }}}}} 그리고 [ A ± , L 2 ] = ∓ 2 ℏ 2 A ± − 2 ℏ A ± L z ± 2 ℏ A z L ± {\displaystyle [A_{\pm }},L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2} A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z} L_{\pm }} 그러므로, A + ? , ℓ , m ℓ ⟩ → ? , ℓ , m ℓ + 1 ⟩ {\displaystyle A_{+} ?,\ell ,m_{\ell }\rangele \rightarrow ?,\ell ,m_{\ell }+1\rangele } 그리고 − L 2 ( A + ? , ℓ , ℓ ⟩ ) = − ℏ 2 ( ℓ + 1 ) ( ( ℓ + 1 ) + 1 ) ( A + ? , ℓ , ℓ ⟩ ) {\displaystyle -L^{2}\왼쪽(A_{+}},\ell,\ell \rangle \rigle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)(\ell +1)+1)\왼쪽(A_{+},\ell \ell \rangle \rigle \rigle \rigle \right)} 그렇게 A + ? , ℓ , ℓ ⟩ → ? , ℓ + 1 , ℓ + 1 ⟩ {\displaystyle A_{+} ?,\ell,\ell,\ell \rangele \rightarrow ?,\ell +1,\ell +1\rangele } 여기서 "?"는 토론에서 나오는 초기 양자 숫자를 나타낸다.
Pauli[8] [9]
1 − A ⋅ A = − ( 2 E μ Z 2 e 4 ) ( L 2 + ℏ 2 ) {\displaystyle 1-A\cdot A=-\좌({\frac {2E}{\\\mu Z^{2}e^{4}}\우)(L^{2}+\hbar ^{2}) 그리고 Pauli 방정식 III: ( A × A ) j = − ( 2 i ℏ E μ Z 2 e 4 ) L j {\displaystyle \left(A\time A\right)_{j}=-\\좌({\frac {2{\boldsymbol{i}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}}\우) L_{j}} 그리고 방정식부터 시작해서 A − A + ℓ ∗ , ℓ ∗ ⟩ = 0 {\displaystyle A_{-}A_{+} \ell ^{*},\ell ^{*}\rangele =0} 그리고 팽창하면서 얻는다(각운동량 ∗{\ displaystyle \ell ^*} ( 1 + 2 E μ Z 2 e 4 ( L 2 + ℏ 2 ) − i 2 i ℏ E μ Z 2 e 4 L z ) ? , ℓ ∗ , ℓ ∗ ⟩ = 0 {\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right) ?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0} 뤼드베르크 공식으로 이어지는 것은 다음과 같다. E n = − μ Z 2 e 4 2 ℏ 2 ( ℓ ∗ + 1 ) 2 {\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2} }}}} ℓ 1 n {\displaystyle \ell ^{*}+1=n=? }, n {\displaystyle n}
해밀턴주의 인자화 수소 같은 전위를 위한 해밀턴인은 다음과 같이 구면 좌표로 쓸 수 있다.
H = 1 / ( 2 μ ) [ p r 2 + ( 1 / r 2 ) L 2 ] + V ( r ) {\displaystyle H=1/(2\mu )[p_{r}^{2}+(1/r^{2}) L^{2}]+V(r)} 여기서 V( r Z e 2 {\displaystyle V(r)=-Ze^{2}/r} p r {\ displaystyle p_{r}} p r = ( x / r ) p x + ( y / r ) p y + ( z / r ) p z {\displaystyle p_{r}=(x/r)p_{x}+(y/r)p_{z}} 현실적이고 자기중심적인 관문이지
Suppose n l ⟩ {\displaystyle nl\rangle } l ⟩ {\displaystyle l\rangle } n {\displaystyle n} L 2 n l ⟩ = l ( l + 1 ) ℏ 2 n l ⟩ {\displaystyle L^{2} nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2} nl\rangle } 해밀턴인을 H l {\ displaystyle H_{l}
H = 1 / ( 2 μ ) [ p r 2 + ( 1 / r 2 ) l ( l + 1 ) ℏ 2 ] + V ( r ) {\displaystyle H=1/(2\mu )[p_{r}^{2}+(1/r^{2}l(l+1)\hbar ^{2}]+V(r)}
인자화 방법은 인펠트와 헐이[10] 뉴마진과 골딩은[11]
연산자 C l {\ displaystyle C_{l}
C l ∗ C l = 2 μ H l + F l {\displaystyle C_{l}^{*}C_{l}=2\mu H_{l}+F_{l}}}}} (1 )
그리고
C l C l ∗ = 2 μ H l + 1 + G l {\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}}}} 스칼라 F l {\ displaystyle F_{l} G l {\ displaystyle G_{l} . 벡터 C l lC l l ⟩ {\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}C_{l nl\rangele } C l C l ∗ C l n l ⟩ = ( 2 μ E l n + F l ) C l n l ⟩ = ( 2 μ H l + 1 + G l ) C l n l ⟩ {\displaystyle {\begin}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}nl}nl\rangele &=(2\mu E_{l}^{n}+) F_{l}C_{l} nl\rangele \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l}C_{l}nl}nl\rangele \end}}}}}} 로 재조정될 수 있는. H l + 1 ( C l n l ⟩ ) = [ E l n + ( F l − G l ) / ( 2 μ ) ] ( C l n l ⟩ ) {\displaystyle H_{l+1}(C_{l}nl\rangele )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l}/(2\mu )](C_{l}nl\rangele )} C l n l ⟩ {\displaystyle C_{l}nl\rangele } H l 1 {\ displaystyle H_{l+1} E l + 1 n ′ = E l n + ( F l − G l ) / ( 2 μ ) {\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l}/(2\mu )} F l G l {\ displaystyle F_{l}= G_ {l}}}} n ′ {\displaystyle n ^{'}= n} 와 ) 상태 l ⟩ {\displaystystyle {l}nl l \rangele }
수소 원자의 경우, 설정
V ( r ) = − B ℏ μ r {\displaystyle V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}} 와 함께 B = Z μ e 2 ℏ {\displaystyle B={\frac {Z\mu e^{2}}:{\hbar }}} C l {\ displaystyle C_{l} C l = p r + i ℏ ( l + 1 ) r − i B l + 1 {\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar(l+1)}{r}{r}-{\frac {iB}{l+1}}}} 와 함께 F l = G l = B 2 ( l + 1 ) 2 {\displaystyle F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}:{(l+1)^{2 }}}} 에너지 ( 따라서 max so {\ displaystyle C_ {l}nl_ {\max }}\rangele =0 }) 1 E l n = − F l / 2 μ = − B 2 2 μ ( l 맥스. + 1 ) 2 = − μ Z 2 e 4 2 ℏ 2 ( l 맥스. + 1 ) 2 {\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\max }+1)^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\max }+1)^{2 }}}} n {\displaystyle n} l max {\displaystyle l_{\max }+1}
집단 이론과의 관계 어떤 시스템에 퇴행성이 있을 때마다, 대개 관련된 대칭적 특성과 집단이 있다. 동일 displaystyle n} 전위의 SO( 4) 대칭으로 확인되었다.[12] [13]
3D 등방성 고조파 오실레이터 3D 등방성 고조파 오실레이터 에는 다음과 같은 전위가 있다.
V ( r ) = μ ω 2 r 2 / 2 {\displaystyle V(r)=\mu \omega^{2}r^{2}/2}
그것은 유사하게 인자화 방법을 사용하여 관리할 수 있다.
인자화법 적절한 인자는 다음과[11]
C l = p r + i ℏ ( l + 1 ) r − i μ ω r {\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar(l+1)}{r}{r}-i\mu \omega r} 와 함께 F l = − ( 2 l + 3 ) μ ω ℏ {\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar } 그리고 G l = − ( 2 l + 1 ) μ ω ℏ {\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar } 그러면 E l + 1 n ′ = E l n + F l − G l 2 μ = E l n − ω ℏ {\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu{l}}}}}{l}^{n}-\omegahbar }}} 그리고 이 일을 계속하면 E l + 2 n ′ = E l n − 2 ω ℏ E l + 3 n ′ = E l n − 3 ω ℏ … {\displaystyle {\begin}E_{l+2}^{n^{'}{n^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{n^}}}}}{n}-3\omega \hbar \\dots &line}}}}}}}}}}}}}} 이제 해밀턴인은 긍정적인 에너지 수준만을 가지고 있다. ⟨ ψ 2 μ H l ψ ⟩ = ⟨ ψ C l ∗ C l ψ ⟩ + ⟨ ψ ( 2 l + 3 ) μ ω ℏ ψ ⟩ = ⟨ C l ψ C l ψ ⟩ + ( 2 l + 3 ) μ ω ℏ ⟨ ψ ψ ⟩ ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi 2\mu H_{l} \psi \rangle &=\langle \psi C_{l}^{*}C_{l} \psi \rangle +\langle \psi (2l+3)\mu \omega \hbar \psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi \psi \rangle \\&\geq 0\end{aligned}}} 즉 {\displaystyle l} 시리즈 l max max = 0 displaystyle C_{l_{\max }}nl_{\max }\rangele =0} E l 맥스. n = − F l 맥스. / ( 2 μ ) = ( l 맥스. + 3 / 2 ) ω ℏ {\displaystyle E_{l_{\max }^{n}=-F_{l_{\max }/(2\mu )=(l_{\max }}+3/2)\오메가 \hbar }}}} 이 displaystyle l C l l = displaystyle C_{l}nl\rangele 0 } Ω displaystyle \omega \hbar . 값 n dispecification E l n = − F l = ( n + 3 / 2 ) ω ℏ {\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=(n+3/2)\오메가 \hbar }}
그런 다음 n ′ n {\displaystyle '=n-1 (
C l n l ⟩ = λ l n n − 1 l + 1 ⟩ {\displaystyle C_{l}nl\rangele =\lambda _{l}^{n}n-1\l+1\rangele } 솔루션을 사용하여λ {\displaystyle \lambda } λ l n = − μ ω ℏ 2 ( n − l ) {\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt{2(n-l)}}}}
각운동량에서 기인하는 퇴행성이 있고, 오실레이터 전위에 의한 추가적인 퇴행성이 있다. Consider the states n n ⟩ , n − 1 n − 1 ⟩ , n − 2 n − 2 ⟩ , … {\displaystyle n\,n\rangle , n-1\,n-1\rangle , n-2\,n-2\rangle ,\dots } C ∗ {\displaystyle C^{*}} C n − 2 ∗ n − 1 n − 1 ⟩ , C n − 4 ∗ C n − 3 ∗ n − 2 n − 2 ⟩ , … {\displaystyle C_{n-2 }^{*} n-1\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*} n-2\,n-2\rangle ,\dots } n n ⟩ , n n − 2 ⟩ , n n − 4 ⟩ , . . . {\displaystyle nn\rangle , n\,n-2\rangle , n\,n-4\rangle ,... 같은 에너지지만l {\displaystyle l} ( 각운동량 퇴행성 외에도 n 1 n 2 2 {\displaystyle (n+1)(n+2)/2}
집단 이론과의 관계 3D 등방성 고조파 오실레이터의 퇴보성은 특수 단일 그룹 SU(3) [14] [15]
역사 많은 소식통들은 디랙 이 사다리 사업자의 발명에 의해 신용하고 있다.[16] Dirac의 사다리 연산자 사용은 총 각운동량 양자수 {\displaystyle j} ħ 정수 배수가 되어야
참고 항목 참조 ^ Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X ^ de Lange, O. L.; R. E. Raab (1986). "Ladder operators for orbital angular momentum". American Journal of Physics 54 (4): 372–375. Bibcode :1986AmJPh..54..372D . doi :10.1119/1.14625 . ^ Sakurai, Jun J. (1994). Modern Quantum Mechanics . Delhi, India: Pearson Education, Inc. p. 192. ISBN 81-7808-006-0 ^ Woodgate, Gordon K. (1983-10-06). Elementary Atomic Structure ISBN 978-0-19-851156-4 . Retrieved 2009-03-03 . ^ "Angular Momentum Operators" . Graduate Quantum Mechanics Notes . University of Virginia . Retrieved 2009-04-06 .^ David, C. W. (1966). "Ladder Operator Solution for the Hydrogen Atom Electronic Energy Levels". American Journal of Physics . 34 (10): 984–985. doi :10.1119/1.1972354 . ^ Burkhardt, C. E.; Levanthal, J. (2004). "Lenz vector operations on spherical hydrogen atom eigenfunctions". American Journal of Physics . 72 (8): 1013–1016. doi :10.1119/1.1758225 . ^ Pauli, Wolfgang (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Z. Phys . 36 (5): 336–363. doi :10.1007/BF01450175 . S2CID 128132824 . ^ B. L. Van der Waerden, New York, Dover, Quantum Mechanics 출처 ^ L., Infeld; Hull, T.E. (1951). "The Factorization Method". Rev. Mod. Phys . 23 : 21–68. doi :10.1103/RevModPhys.23.21 . ^ a b Newmarch, J. D.; Golding, R. M. (1978). "Ladder operators for some spherically symmetric potentials in quantum". Am. J. Phys . 46 : 658–660. doi :10.1119/1.11225 . ^ Weinberg, S. J. (2011). "The SO(4) Symmetry of the Hydrogen Atom" (PDF) . ^ Lahiri, A.; Roy, P. K.; Bagchi, B. (1989). "Supersymmetry and the Ladder Operator Technique in Quantum Mechanics: The Radial Schrödinger Equation". Int. J. Theor. Phys . 28 : 183–189. doi :10.1007/BF00669809 . S2CID 123255435 . ^ a b Kirson, M. W. (2013). "Introductory Algebra for Physicists: Isotropic harmonic oscillator" (PDF) . Weizmann Institute of Science. Retrieved 28 July 2021 . ^ , D. M. "." 33 (3) (1965) 207–211. Fradkin, D. M. (1965). "Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU3". Am. J. Phys . 33 (3): 207–211. doi :10.1119/1.1971373 . ^ https://www.fisica.net/mecanica-quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf
![{\displaystyle [N,X]=cX,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34981a0271e7d802e40809d41f08742a922a9e38)
(가) 고유값 방정식을 가진 N의 고유 상태라면,
![{\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eaf3806c2784f9cf5f57319df09bc3ff695e511)
![{\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3395ea77248bdf9d4afb58dfd5fc4b2adb3ddf4)
![{\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452ea8c532b6bf78f44018b1ec58cddcb9b610e8)
![{\displaystyle \left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17698b4dd2452ca516a2e67791fd193793ae0ef)
![{\displaystyle \left[J_{+},J_{-}\right]=2\hbar J_{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d542739b7f035b0a0976f0bca47cf8ef62f8bebc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &=\left(J_{\pm }J_{z}+\left[J_{z},J_{\pm }\right]\right)|j\,m\rangle \\&=\left(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm }\right)|j\,m\rangle \\&=\hbar \left(m\pm 1\right)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9995b65fceba587cb374c3170a3db3d0adc88af3)
![{\displaystyle J_{-}J_{+}=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180f780cd664922bdfbfd3d56b32f036050ad439)
![{\displaystyle J_{+}J_{-}=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5803012b929c6f9dd7bac574a71ad2c2bc6f2779)
각운동량, p
선형운동량, 
시스템의 감소된 질량, e 
전자충전, 
![{\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f0fe3a400a6139a7980d27bdcbdf0e47c526c8)
![{\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22368e378a634ef2eb9de857490aa715e54aaf5e)
다른 모든 조건과 함께 각운동량 양자수음 최대값이다.
(는) 전통적인 양자 수입니다. ![{\displaystyle H=1/(2\mu )[p_{r}^{2}+(1/r^{2})L^{2}]+V(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b548e07b8bd41a88c5b0e058d0f4008470a44c8)
방사형 운동량이다.
![{\displaystyle H=1/(2\mu )[p_{r}^{2}+(1/r^{2})l(l+1)\hbar ^{2}]+V(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f44e6fffc25849cce5761206adcaa86d84e2612)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c789ff51cddc8b558ddea6278b9eaee4f7fc7c4d)
(가) 있는 경우 
(
종료해야 하며, 그 다음이 다음인 경우
값이 아닌 한 
