세미마팅게일

확률론에서 실제 가치의 확률적 공정 X는 국부 마팅게일과 유한 분산을 개조한 카들래그 공정을 합한 것으로 분해될 수 있다면 세미마팅게일이라고 한다. 세미마틴세일즈는 "좋은 통합자"로, Itô 적분과 Stratonovich 적분을 정의할 수 있는 가장 큰 종류의 프로세스를 형성한다.

세미마틴화목의 종류는 상당히 크다(예를 들어, 모든 연속적으로 서로 다른 과정, 브라운 운동 및 푸아송 과정을 포함한다). 서브마틴세일즈와 슈퍼마틴세일즈는 세미마틴세일즈의 서브셋을 나타낸다.

정의

여과된 확률 공간(Ω,F,(F_t),_{t ≥ 0}P)에 정의된 실제 가치 공정 X를 다음과 같이 분해할 수 있다면 세미마틴날이라고 한다.

${\displaystyle X_{t}=M_{t}+A_{{t}}}$

여기서 M은 지역 마팅게일이고 A는 지역 경계 변동의 적응 과정이다.

R 값ⁿ 공정 X = (X¹,……,Xⁿ)는 각 성분 X가ⁱ 세미마틴화일 경우 세미마틴화일이다.

대체 정의

첫째, 단순하게 예측 가능한 공정은 정지 시간 T와_T F - 측정 가능한 무작위 변수 A에 대한_t H = A1_{{t > T}} 형식의 공정의 선형 결합으로 정의된다. 이러한 단순하고 예측 가능한 프로세스 H와 실제 가치 있는 프로세스 X의 통합 H · X는

${\displaystyle H\cdot X_{t}\equiv 1_{\{t}T\}A(X_{T}-X_{T}).}$

이것은 H에서 H · X의 선형성에 의해 모든 단순 예측 가능한 공정으로 확장된다.

실제 가치 있는 공정 X는 만약 그것이 cadlag, 적응되어 있다면 그리고 매 t t 0에 대해 세미마틴데일이다.

$\displaystyle \왼쪽\{H\cdot X_{t:H{\rm {\ is\ simple\ expective\ and\}H \leq 1\right\}}$

개연성이 제한되어 있다. 비첼러-델라체리 정리에는 이 두 가지 정의가 동등하다고 명시되어 있다(Protter 2004, 페이지 144).

예

• 적응된 프로세스와 지속적으로 다른 프로세스는 연속적인 유한 변동 프로세스, 즉 세미마틴화 과정이다.
• 브라운 모션은 세미마틴게일이다.
• 모든 카들래그 마팅게일, 하위 마팅게일, 수퍼마팅게일 등은 세미마팅게일이다.
• dX = σdW + μdt 형식의 확률적 미분방정식을 만족시키는 이토 공정은 반마르트화목이다. 여기서 W는 브라운 운동이고 μ는 적응 과정이다.
• 모든 레비 과정은 세미마팅일이다.

문헌에서 연구된 대부분의 연속적이고 적응된 과정들이 세미마틴화일즈라 할지라도, 항상 그렇지는 않다.

• 허스트 파라미터 H ≠ 1/2이 있는 프랙탈 브라운 모션은 세미마팅게일이 아니다.

특성.

• 세미마틴세일즈는 Ito 적분을 정의할 수 있는 가장 큰 종류의 프로세스를 형성한다.
• 세미마틴화목의 선형 결합은 세미마틴화목이다.
• 세미마틴화목의 제품은 세미마틴화목이며, 이는 Ito 적분용 부품 공식에 의한 통합의 결과물이다.
• 2차 변동은 모든 세미마팅일에 존재한다.
• 세미마틴세일즈 등급은 선택적 정지, 국산화, 시간 변경 및 절대적으로 연속적인 조치 변경으로 마감된다.
• X가 R^m 값어치가 있는 세미마틴데일이고 f가 R에서^m R까지ⁿ 2배 연속적으로 다른 함수라면 f(X)는 세미마틴데일이다. 이것은 이토의 보조정리 결과물이다.
• 세미마팅게일이 되는 특성은 여과가 줄어드는 상황에서 보존된다. 좀 더 정확히 말하면 X가 여과_t F에 관한 세미마틴데일이고, 여과_t G에 관한 적응이라면 X는 G-세미마틴데일이다_t.
• (자코드의 셀 수 있는 팽창) 세미마팅게일이 되는 특성은 셀 수 있는 디스조인트 세트에 의한 여과를 확대하여 보존된다. F는_t 여과물이고, G는_tt F에 의해 생성된 여과물이며, 계수 가능한 불연속 측정 가능 집합이라고 가정하자. 그렇다면 모든 F-세미마틴게일_t 역시 G-세미마틴게일_t(Protter 2004, 페이지 53)

세미마팅게일 분해

정의상 모든 세미마팅게일은 지역 마팅게일과 유한변동 과정의 합이다. 그러나 이러한 분해는 독특하지 않다.

연속반마목

연속 세미마틴화일은 X = M + A로 분해되며 여기서 M은 연속 로컬 마팅게일이고 A는 0에서 시작하는 연속 유한변동 과정이다(Rogers & Williams 1987, 페이지 358).

예를 들어, X가 확률적 미분 방정식_t dX = d_tt dW + bdt를_t 만족하는 Ito 공정이라면,

${\displaystyle M_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t}\sigma_{s}\,dW_{s}\A_{t}=\int_{0}^{t}b_{s}\,ds.}$

특수반마토목

A special semimartingale is a real valued process ${\displaystyle X}$ with the decomposition ${\displaystyle X=M^{X}+B^{X}}$, where ${\displaystyle M^{X}}$ is a local martingale and ${\displaystyle B^{X}}$ is a predictable finite variation process starting at zero. 만약 이 분해가 존재한다면 P-null 집합까지 유일하다.

모든 특별한 세미마팅게일은 세미마팅게일이다. 반대로, 세미마팅게일은 공정_t^* X ≡ Sup_{s ≤ t} X가_s 국소적으로 통합될 수 있는 경우에만 특별한 세미마팅게일이다(Protter 2004, 페이지 130).

예를 들어, 모든 연속 세미마팅게일은 특별한 세미마팅게일이며, 이 경우 M과 A는 모두 연속공정이다.

승화 분해

Recall that ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ denotes the stochastic exponential of semimartingale ${\displaystyle X}$. If ${\displaystyle X}$ is a special semimartingale such that ${\displaystyle \Delta B^{X}\neq -1}$, then ${\displaystyle {\mathcal {E}}(B^{X})\ne$$q 0}$ and ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)/{\mathcal {E}}(B^{X})={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right)}$ is a local martingale.^[1] Process ${\displaystyle {\mathcal {E}}(B^{X})}$ is called the multiplicative compensator of ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ and the identity ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)={\mathcal {E}}\left(\int _{0}$$^{\cdot }{\frac {M_{{u}^{X}}}}{1+\Delta$ B_${{u}}}}}\mathcal${${\displaystyle E\}(}$$B^{$$X}){\displaystyle {\mathcal{$E$\}\}\}\}\}\}$의 $승법$ 분해.

순수 불연속 반마르트목 / 2차 순점프 반마르트목

세미마틴데일은 2차 변동의 [X]가 유한 변동의 순점프 공정이라면 순수 불연속(Kalenberg 2002)이라고 불린다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{s}}$ ${\displaystyle \underset{}{\le }}$ ${\displaystyle \underset{}{t}}$(${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ s${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$t}(\$Delta$ X_${s})^{2$

이 정의에 따르면, 시간은 전혀 점프를 보여주지 않더라도 순수하게 불연속적인 반물질이다. 대안(및 선호) 용어 2차 순점프 세미마팅게일(Protter 2004, 페이지 71)은 순수 불연속 세미마팅게일의 2차 변형이 순수 점프 과정이라는 사실을 가리킨다. 모든 유한변동 세미마팅게일은 2차 순점프 세미마팅게일이다. 적응된 연속 공정은 유한 변동의 경우에만 2차 순점프 세미마팅게일이다.

모든 세미마팅게일 X에 $대해{\displaystyle }$ 0에서 ${\displaystyle {}^{}}$하는 고유한 연속 로컬 $마팅게일{\displaystyle {}^{}}$ X${\displaystyle c^{}}$ ${\$이 2차 순점프 세미마팅게일$$(He, Wang & Yan 1992, 페이지 209; Kalenberg 2002, 페이지 527)이 있다. 로컬 마팅게일 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ ${\$을(를) X의 연속 마팅게일 부분이라고 한다$$.

$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ ${\$이(가) 측정 전용인지 확인하십시오. If ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q}$ are two equivalent measures then ${\displaystyle X^{c}(P)}$ is typically different from ${\displaystyle X^{c}(Q)}$, while both ${\displaystyle X-X^{c}(P)}$ and ${\displaystyle X-X^{c}(Q)}$ are quadr아틱 순수 반마르팅목 By Girsanov's theorem ${\displaystyle X^{c}(P)-X^{c}(Q)}$ is a continuous finite variation process, yielding ${\displaystyle [X^{c}(P)]=[X^{c}(Q)]=[X]-\sum _{s\leq \cdot }(\Delta X_{s})^{2}}$.

세미마틴날레의 연속시간 및 이산시간 구성요소

모든 $세미마틴날레{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$은(는) 고유한 분해를 가진다$$.

where ${\displaystyle X_{0}^{\mathrm {qc} }=X_{0}^{\mathrm {dp} }=0}$, the continuous-time component ${\displaystyle X^{\mathrm {qc} }}$ does not jump at predictable times, and the discrete-time component ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ is equal to the sum of its j세미마팅게일의 토폴로지에서 예측 가능한 시간에 심판하다. 그런 다음$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{q}}^{}}$ c${\displaystyle {,}^{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{d}}^{}}$ p$]$ = $0${\$daystyle$ [X$^{\mathrm {qc}}, X^{\mathrm$ {$dp}}}=0}$이(가) 있다$.$^[2] 연속시간 구성요소의 대표적인 예로는 Itô 프로세스와 Lévy 프로세스가 있다. 이산 시간 구성요소는 종종 마르코프 체인으로 간주되지만, 일반적으로 예측 가능한 점프 시간은 잘 정렬되지 않을 수 있다. 즉, $원칙적$으로 X d ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$ ${\$은(는) 합리적인 시간마다 점프할 수 있다$$. $또한{\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$ ${\$은(는) 점프 합과 동일하지만(반마팅게일 토폴로지에서) 반드시 유한 변동을 갖는 것은$$ 아님을 관찰하십시오. For example, on the time interval ${\displaystyle [0,\infty )}$ take ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ to have independent increments, with jumps at times ${\displaystyle \{\tau _{n}=2-1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}$ taking values ${\displaystyle \pm 1/n}$ 같은 확률로

다지관의 세미마틴화목

반마르팅칼레스의 개념과 확률 미적분학의 관련 이론은 서로 다른 다지관의 값을 취하는 과정으로 확장된다. 다지관 M의 프로세스 X는 F(X)가 M에서 R까지 매끄러운 기능 f의 세미마틴화일 경우 세미마틴화일이다. (로저스 1987, 페이지 24) 하브 오류: 목표 없음: CITREFRogers1987 (도움말) 일반 다지관의 세미마틴화일즈에 대한 확률 미적분학에는 스트라토노비치의 사용이 필요하다.

참고 항목

• 시그마마팅게일

참조

• He, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., ISBN 0-8493-7715-3
• Kallenberg, Olav (2002), Foundations of Modern Probability (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-95313-2
• Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
• Rogers, L.C.G.; Williams, David (1987), Diffusions, Markov Processes, and Martingales, vol. 2, John Wiley & Sons Ltd, ISBN 0-471-91482-7
• Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B.V. (2018), Introduction to Stochastic Calculus, Springer Ltd, ISBN 978-981-10-8317-4