쿼시레겔 원소

이 기사는 현대 대수학의 한 분야인 링 이론의 맥락에서 쿼시레구럴리티의 개념을 다루고 있다.수학의 다른 개념에 대한 내용은 해시 페이지 해시를 참조하십시오.

수학, 특히 고리 이론에서, 퀘이레규랄리티의 개념은 반지의 제이콥슨 급진주의자들과 함께 일하기 위한 계산적으로 편리한 방법을 제공한다.^[1]이 글에서, 우리는 주로 단핵반지에 대한 쿼시레겔러티 개념에 관심을 가진다.그러나, 비유니탈 링에서 쿼시레겔러리 이론에 한 부분을 할애하고 있는데, 이것은 비유니탈 링 이론의 중요한 측면을 구성한다.

정의

R을 (단결하여) 링이 되게 하고 r을 R의 원소가 되게 하라.그 다음 r은 1 - r이 R의 단위인 경우 quasiregular라고 한다. 즉, 곱셈을 하였을 때 되돌릴 수 없다.^[1]오른쪽 또는 왼쪽 Quasiregularity의 개념은 각각 1 - r이 오른쪽 또는 왼쪽 역을 갖는 상황에 해당한다.^[1]

$x+y-xy=0$ 링의 원소 x는 $x+y-xy=0$ + y - $x+y-xy=0$ y = $x+y-xy=0$ {\ $displaystyle x+y-xy=0}$ 과 같은 y가 있으면 우측 쿼시레구라 한다 $x+y-xy=0$ ^[2]좌심원소의 개념은 유사하게 정의된다.원소 y는 x의 우측 준역행이라고 부르기도 한다.^[3] 링이 단수일 경우 이 정의는 위에서 주어진 정의와 일치한다.^[4] $x\cdot y=x+y-xy$ $x\cdot y=x+y-xy$ $x\cdot y=x+y-xy$ = x $x\cdot y=x+y-xy$ + $x\cdot y=x+y-xy$ - $x\cdot y=x+y-xy$ $x\cdot y=x+y-xy$ 을(를 $x\cdot y=x+y-xy$ 쓴다면 이 이진 연산 $\cdot$ $\cdot$ 은(는) 연관성이 있다 $\cdot$ .^[5]사실 지도 $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ , $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ ) $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ → $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ ( $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ , $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ - x $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ (여기서 ×는 링 R의 곱셈을 나타낸다)는 단조 이형이다.^[4]그러므로 어떤 요소가 좌우의 준반사를 모두 소유한다면, 그것들은 동일하다.^[6]

일부 저자는 서로 다른 정의를 사용한다는 점에 유의하십시오. $x+y+xy=0$ + $x+y+xy=0$ + $x+y+xy=0$ = $x+y+xy=0$ ${\displaystyle$ x $+y+xy=0}$ 과 같은 y가 존재하면 원소를 x 오른쪽 quasiregular라고 부르는데 $x+y+xy=0$ ^[7] 이는 링이 단수일 때 1 + x에 오른쪽 역이 있다고 말하는 것과 같다. $x\circ y=x+y+xy$ $x\circ y=x+y+xy$ $x\circ y=x+y+xy$ = x $x\circ y=x+y+xy$ + $x\circ y=x+y+xy$ + $x\circ y=x+y+xy$ $x\circ y=x+y+xy$ ${\displaystyle$ x $\circule$ y $=x+y+xy$ 을 $(-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)$ ( - $(-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)$ ) $-$ ( - $(-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)$ y $(-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)$ ) = - $(-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)$ ( x $(-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)$ $(-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)$ ) $(-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)$ {\ $displaystyle (-x)\cdicle$ =-( $x\cdot y)}$ 을 쓰면 한 설정에서 다른 설정으로 쉽게 이동할 수 있다 $(-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)$ ^[8]예를 들어, 한 설정에서 x는 오른쪽 quasiregular이고, 다른 설정에서는 -x가 오른쪽 quasiregular이다.^[8]

예

만약 R이 고리라면 R의 첨가물 정체는 항상 4차원이다.
$x^{2}$ $x^{2}$ ${\$ x $^{2}}:$ 맞는 $x^{2}$ 경우(resp).왼쪽) quasiregular, 그러면 $x$ $x$ 이(가 $x$ ) 오른쪽(resp).왼쪽) ^[9]퀘이레겔라
R이 rng인 경우, R의 모든 영점 요소는 quasiregular이다.^[10]이 사실은 다음과 같은 기본적인 계산에 의해 뒷받침된다.

x^{n+1}=0

x^{n+1}=0

+

x^{n+1}=0

=

x^{n+1}=0

{\displaystyle

x

^{n+1}=0

이면

(1-x)(1+x+x^{2}+\dotsb +x^{n})=1

(or

(1+x)(1-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n})=1

if we follow the second convention).

여기서 x의 준역행은 -

-x-x^{2}-\dotsb -x^{n}

-

-x-x^{2}-\dotsb -x^{n}

-x-x^{2}-\dotsb -x^{n}

-

-x-x^{2}-\dotsb -x^{n}

-

-x-x^{2}-\dotsb -x^{n}

n

{\

-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}

+

-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}

-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}

-

-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}

+

-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}

(

-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}

- x

-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}

) n

-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}

{\

displaystyle -x^{2}-\dotsb

+

(-x)^{n}}

임을 쉽게 알 수 있다.

-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}

두 번째 관례에서 행렬은 고유값으로 -1을 소유하지 않는 경우 행렬 링에서 quasiregular이다.더 일반적으로, 경계 연산자는 -1이 스펙트럼에 없는 경우 준경사형이다.
유니탈 바나흐 대수학에서 $\|x\|<1$ in $\|x\|<1$ < $\|x\|<1$ < $\|x\|<1$ ${\displaystyle$ \ x $\{1}$ 가 되면 기하계열 $\sum _{0}^{\infty }x^{n}$ $\sum _{0}^{\infty }x^{n}$ $\sum _{0}^{\infty }x^{n}$ $\sum _{0}^{\infty }x^{n}$ $\sum _{0}^{\infty }x^{n}$ ${\$ 가 수렴된다 $\sum _{0}^{\infty }x^{n}$ $\|x\|<1$ 결과적으로, 그러한 모든 x는 quasiregular이다.
R이 고리이고 S = R[X₁, ..., X_n]이 R에 대한 불침투성의 공식 파워시리즈의 고리를 나타내는 경우, S의 원소는 정수가 R의 원소인 경우 정수가 정수일 경우 정수일 경우 정수일 경우 정수일 경우 정량이다.

특성.

제이콥슨 급진주의자의 모든 원소 a(반복적일 필요는 없음) 반지는 quasiregular이다.^[11]사실, 반지의 제이콥슨 급진주의자는 반지의 독특한 오른쪽 이상으로서 특징지어질 수 있는데, 모든 원소가 오른쪽 퀘이레겔라라는 성질에 대해 최대의 의미를 갖는다.^[12]^[13]그러나, 우의 퀘이레규어 원소가 반드시 제이콥슨 급진파의 일원이 될 필요는 없다.^[14]이것은 기사의 첫머리에 나오는 이 말을 정당화시킨다 - 비록 쿼지컬적인 요소가 반드시 "나쁜" 것은 아니지만, "나쁜 요소"는 쿼지컬이다.반지의 제이콥슨 급진주의자들은 종종 "나쁜" 것으로 여겨진다.
만약 반지의 원소가 영점이고 중심이라면, 그것은 반지의 제이콥슨 급진파의 일원이다.^[15]이는 그 요소에 의해 생성된 주된 권리 이상은 쿼시레겔러(사실, 영감) 요소들로만 구성되기 때문이다.
만약 반지의 원소 r이 idempotent라면, 반지의 제이콥슨 급진파의 일원이 될 수 없다.^[16]왜냐하면 idempotent 원소는 quasiregular일 수 없기 때문이다.위의 것뿐만 아니라 이러한 속성은 기사 상단에 제시된 퀘이크리즘의 개념이 제이콥슨 급진파와 협력할 때 계산적으로 편리하다는 논평을 정당화한다.^[1]

일반화-반사화

준관원소의 개념은 반감으로 쉽게 일반화된다.a가 의미 S의 요소인 경우, $\mu _{a}(r)=ra+1$ 에서 그 자체로 아핀 지도는 $\mu _{a}(r)=ra+1$ a $\mu _{a}(r)=ra+1$ ( r $\mu _{a}(r)=ra+1$ ) $\mu _{a}(r)=ra+1$ = r $\mu _{a}(r)=ra+1$ + 1 $\mu _{a}(r)=ra+1$ 이다 $\mu _{a}(r)=ra+1$ S의 원소 a는 $\mu _{a}$ $\mu _{a}$ ${\$ 가 고정점을 가지면 $\mu _{a}$ quasiregular라고 하는데, 이 점이 고유할 필요는 없다.그러한 각각의 고정점을 a의 왼쪽 준역행이라고 한다.b가 a의 왼쪽 준역전이고 b = ab + 1을 추가하면 b를 a의 준역전이라고 한다. 준역전자를 갖는 의미전체의 어떤 요소도 준역전이라고 한다.일부지만 semiring의 모든 요소quasiregular;예를 들어, 평소 덧셈과 reals의 곱셈과nonegative reals의 semiring에{\displaystyle \mu_{}μ}가능하다 1모든<>1감사했지만 ≥ 1에 없습니다. 고정 소수 점[17이 있는{\displaystyle{\frac{1}{1-a}}}−는 고정 포인트 1.]만약 e반향의 바로 그 요소는 준정규 반향, 닫힌 반향 ^[18]또는 때때로 레만 반향^[17](Daniel J. Lehmann의 논문을 기리는 후자)이라고 불린다.^[19]

준정기적 의미들의 예는 클레인 알헤브라스(그 중에서, 정기의 대수)에 의해 제공되며, 여기서 준정기적 의미를 최소한의 고정점 해법으로 정의되는 단항작용(a*으로 표기)의 역할로 해제한다.클레인 알헤브라는 덧없는 특유한 존재지만 모든 준정기적인 의미들이 그렇지는 않다.우리는 비원소 실재의 예를 무한을 포함하도록 확장할 수 있으며, 그것은 어떤 원소 a ≥ 1의 준역행위가 무한인 것과 함께 준정기적인 반감이 된다.그러나 이 준정기적 의미 부여는 부가적으로 idempotent가 아니기 때문에 클레인 대수학과는 다르다.^[18]그러나 그것은 완전한 연기다.^[20]더 일반적으로, 모든 완전한 반감은 준정형이다.^[21]몇몇 저자들은 실제로 폐쇄적인 의미라는 용어는 단순한 정반대의 의미보다는 완전한 의미에 사용된다.^[22]^[23]

Conway semirings are also quasiregular; the two Conway axioms are actually independent, i.e. there are semirings satisfying only the product-star [Conway] axiom, (ab)* = 1+a(ba)*b, but not the sum-star axiom, (a+b)* = (a*b)*a* and vice versa; it is the product-star [Conway] axiom that implies that a semiring is quasiregular.또한, 제품별 Conway 공리를 만족하는 경우에만 정류적 의미 부여가 Quasiregular이다.^[17]

퀘이레규어적 의미들은 최단 경로 문제의 일반화인 대수적 경로 문제에 나타난다.^[18]

참고 항목

역원소

메모들

^ ^a ^b ^c ^d 아이작스, 페이지 180
^ 램, 4.2, 페이지 50
^ Polcino & Sehgal(2002년), 페이지 298.
^ ^a ^b 램, 4.2(3), 페이지 50
^ 램, 4.1, 페이지 50
^ Since 0 is the multiplicative identity, if $x\cdot y=0=y'\cdot x$ , then $y=(y'\cdot x)\cdot y=y'\cdot (x\cdot y)=y'$ . Quasiregularity does not require the ring to have a multiplicative identity.
^ 카플란스키, 페이지 85
^ ^a ^b 램, 페이지 51
^ 카플란스키, 페이지 108
^ 램, 4.2(2), 페이지 50
^ 아이작스, 정리 13.4(a), 페이지 180
^ 아이작스, 정리 13.4(b), 페이지 180
^ 아이작스, 코롤라리 13.7, 페이지 181
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^ 아이작스, 코롤라리 13.5, 페이지 181
^ 아이작스, 코롤라리 13.6, 페이지 181
^ ^a ^b ^c Jonathan S. Golan (30 June 2003). Semirings and Affine Equations over Them. Springer Science & Business Media. pp. 157–159 and 164–165. ISBN 978-1-4020-1358-4.
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참조

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Irving Kaplansky (1969). Fields and Rings. The University of Chicago Press.
Lam, Tsit-Yuen (2003). Exercises in Classical Ring Theory. Problem Books in Mathematics (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0387005003.
Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). An introduction to group rings. Springer. ISBN 978-1-4020-0238-0.

[Isaacs,_p._180-1] 아이작스, 페이지 180

[2] 램, 4.2, 페이지 50

[3] Polcino & Sehgal(2002년), 페이지 298.

[Lam4.2(3)-4] 램, 4.2(3), 페이지 50

[5] 램, 4.1, 페이지 50

[6] Since 0 is the multiplicative identity, if $x\cdot y=0=y'\cdot x$ , then $y=(y'\cdot x)\cdot y=y'\cdot (x\cdot y)=y'$ . Quasiregularity does not require the ring to have a multiplicative identity.

[7] 카플란스키, 페이지 85

[Lam51-8] 램, 페이지 51

[9] 카플란스키, 페이지 108

[10] 램, 4.2(2), 페이지 50

[11] 아이작스, 정리 13.4(a), 페이지 180

[12] 아이작스, 정리 13.4(b), 페이지 180

[13] 아이작스, 코롤라리 13.7, 페이지 181

[14] 아이작스, 181쪽

[15] 아이작스, 코롤라리 13.5, 페이지 181

[16] 아이작스, 코롤라리 13.6, 페이지 181

[Golan2003-17] Jonathan S. Golan (30 June 2003). Semirings and Affine Equations over Them. Springer Science & Business Media. pp. 157–159 and 164–165. ISBN 978-1-4020-1358-4.

[PoulyKohlas2012b-18] Marc Pouly; Jürg Kohlas (2011). Generic Inference: A Unifying Theory for Automated Reasoning. John Wiley & Sons. pp. 232 and 248–249. ISBN 978-1-118-01086-0.

[19] Lehmann, D. J. (1977). "Algebraic structures for transitive closure" (PDF). Theoretical Computer Science. 4: 59–76. doi:10.1016/0304-3975(77)90056-1.

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