유한 기하학

기하학.
평면에 구면 투영
개요 역사
나뭇가지 유클리드 비유클리드 타원형 구면 쌍곡선 비아르키메데스 기하학 투사적 아핀 합성 분석 대수적 산술 디오판틴 차동 리만어 심플렉틱 이산 차동 복잡한 유한 디스크리트/컴비네이터리 디지털. 볼록하다 계산 프랙탈 발생률 비가환 기하학 비가환 대수 기하학
개념 특징들 치수 직선 및 나침반 구조 각 곡선 대각선 직교성(수직) 병렬 꼭지점 일치 유사성 대칭
제로차원 포인트
일차원 선 부분 광선 길이
2차원 비행기 지역 폴리곤 삼각형 고도 빗변 피타고라스 정리 평행사변형 광장 직사각형 마름모꼴 마름모꼴 사변형 사다리꼴 연 원형 직경 둘레 지역
입체 용량 큐브 입방체 실린더 피라미드 구
4차원/기타차원 테서랙트 하이퍼스피어
지오메트리
이름으로 아이다 아리아바타 아흐메스 알하젠 아폴로니우스 아르키메데스 아티야 보드하야나 불야이 브라마굽타 카르탄 콕서터 데카르츠 유클리드 오일러 가우스 그로모프 힐베르트 야에하데바 카티아야나 카이얌 클라인 로바체프스키 마나바 민코프스키 밍가투 파스칼 피타고라스 파라메시바라 푸앵카레 리만 사카베 시지 알투시 베블렌 비라세나 양후이 알-야사민 장 기하학 목록
기간별로 BCE 아흐메스 보드하야나 마나바 피타고라스 유클리드 아르키메데스 아폴로니우스 1 ~ 16 진수 장 카티아야나 아리아바타 브라마굽타 비라세나 알하젠 시지 카이얌 알-야사민 알투시 양후이 파라메시바라 1400~1960년대 야에하데바 데카르츠 파스칼 밍가투 오일러 사카베 아이다 1700~1960년대 가우스 로바체프스키 불야이 리만 클라인 푸앵카레 힐베르트 민코프스키 카르탄 베블렌 콕서터 현재 아티야 그로모프
v t

유한 기하학은 한정된 수의 점만을 가진 기하학적 체계이다.유클리드 선은 무한히 많은 점을 포함하고 있기 때문에 친숙한 유클리드 기하학은 유한하지 않다.픽셀이 점으로 간주되는 컴퓨터 화면에 표시되는 그래픽에 기초한 지오메트리는 유한 지오메트리가 됩니다.유한 기하학이라고 할 수 있는 많은 시스템이 있지만, 그 규칙성과 단순성 때문에 대부분 유한 투영 및 아핀 공간에 관심이 집중됩니다.유한 기하학의 다른 중요한 유형은 벤츠 평면이라고 불리는 일반적인 유형의 예인 유한 뫼비우스 또는 반전 평면과 라구에르 평면과 더 높은 유한 반전 기하학과 같은 고차원 아날로그입니다.

유한한 기하학은 유한한 필드 위의 벡터 공간에서 시작하여 선형 대수를 통해 구성될 수 있습니다. 이렇게 구성된 아핀과 투영 평면을 갈로아 기하학이라고 합니다.유한 기하학은 순수하게 공리적으로 정의될 수도 있다.가장 일반적인 유한 기하학은 갈로아 기하학이다. 왜냐하면 3차원 이상의 유한 투영 공간은 유한 필드(즉, 유한 필드 위의 벡터 공간의 투영 공간) 상의 투영 공간과 동일하기 때문이다.그러나 차원 2는 갈로아 기하학, 즉 비데사르게스 평면과 동형이 아닌 아핀 평면과 투영 평면을 가진다.다른 종류의 유한 기하학에도 유사한 결과가 적용됩니다.

유한 평면

다음 주석은 유한 평면에만 적용됩니다.유한 평면 기하학에는 크게 아핀과 투영 두 종류가 있습니다.아핀 평면에서는 평행선의 정상적인 감각이 적용됩니다.반면 투영 평면에서는 두 선이 고유한 점에서 교차하므로 평행선이 존재하지 않습니다.유한 아핀 평면 기하학과 유한 투영 평면 기하학 모두 상당히 단순한 공리에 의해 설명될 수 있다.

유한 아핀 평면

아핀 평면 지오메트리는 다음과 같이 X의 부분 집합 L(요소가 "점"이라고 함)과 함께 비어 있지 않은 집합 X(요소가 "선"이라고 함)입니다.

1. 서로 다른 두 점에 대해 두 점을 모두 포함하는 선이 정확히 한 개 있습니다.
2. Playfair의 공리:$행{\displaystyle }$ $"\$$displaystyle\ell$$"$과 점$p{\displaystyle }$${\displaystyle }$$"\$$displaystyle\$ell$$$"$에 없는 경우$$$p{\displaystyle }$ "\displaystyle\ell$"$을 $포함$하는 행 $"\$$displaystyle\ell"$이 ${\displaystyle {}^{}}$ 존재합니다$.$
3. 4개의 점 집합이 존재하며, 그 중 3개는 같은 선에 속하지 않습니다.

마지막 공리는 지오메트리가 단순하지 않은(예: 임의의 수의 점이 있는 단일 선) 반면, 처음 두 개는 지오메트리의 특성을 지정합니다.

가장 단순한 아핀 평면에는 4개의 점만 포함됩니다. 이 평면은 순서 2의 아핀 평면이라고 불립니다(아핀 평면의 순서는 임의의 선상의 점 수입니다.아래 참조).3개가 공선화되어 있지 않기 때문에 모든 점 쌍이 하나의 선을 결정하므로 이 평면에는 6개의 선이 포함됩니다.이는 교차하지 않는 모서리가 "평행"으로 간주되는 사면체 또는 대각선뿐만 아니라 "평행"으로 간주되는 정사각형에 해당합니다.보다 일반적으로 순서 n의 유한 아핀 평면에는² n개의 점과² n + n개의 선이 있습니다. 각 선은 n개의 점을 포함하며 각 점은 n + 1개의 선에 있습니다.순서 3의 아핀 평면을 헤세 구성이라고 합니다.

유한 투영 평면

투영 평면 형상은 다음과 같이 비어 있지 않은 집합 X("점"이라고 함)와 X의 부분 집합 L("선"이라고 함)의 비어 있지 않은 집합 L입니다.

1. 서로 다른 두 점에 대해 두 점을 모두 포함하는 선이 정확히 한 개 있습니다.
2. 서로 다른 두 선의 교차점에는 정확히 한 점이 포함됩니다.
3. 4개의 점 집합이 존재하며, 그 중 3개는 같은 선에 속하지 않습니다.

처음 두 공리를 살펴보면 점과 선의 역할이 서로 바뀌었다는 점을 제외하고는 두 공리가 거의 동일하다는 것을 알 수 있습니다.이는 투영 평면 형상에 대한 이중성의 원리를 제시합니다. 즉, 점을 선으로 교환하고 선을 점으로 교환할 경우 이러한 모든 형상에 유효한 참 문장이 참으로 유지됩니다.세 가지 공리를 모두 만족시키는 가장 작은 기하학에는 7개의 점이 포함됩니다.가장 단순한 투영 평면에는 7개의 선이 있습니다. 각 점은 3개의 선에 있고 각 선은 3개의 점을 포함합니다.

이 특별한 투영 평면은 때때로 Fano 평면이라고 불립니다.선 중 하나가 해당 선상의 점과 함께 평면에서 제거되는 경우 결과 지오메트리는 순서 2의 아핀 평면이 됩니다.Fano 평면은 유일하기 때문에 (동형사상에 이르기까지) 순서 2의 투영 평면이라고 불립니다.일반적으로 순서 n의 투영 평면에는 n + n + 1개의 점과 같은 수의 선이 있습니다². 각 선은 n + 1개의 점을 포함하며 각 점은 n + 1개의 선에 있습니다.

Fano 평면의 7개의 점(같은 선상의 점)을 공선점으로 전달하는 순열을 평면의 공선이라고 합니다.전체 콜라인레이션 그룹은 168차이며, 그룹 PSL(2,7) p PSL(3,2)과 동형이며, 이 특별한 경우 일반 선형 그룹 GL(3,2) p PGL(3,2)과도 동형이다.

평면순서

순서 n의 유한평면은 각 선이 n개의 점(아핀평면의 경우)을 가지거나 각 선이 n+1개의 점(투영평면의 경우)을 가지도록 하는 평면이다.유한 기하학에서 한 가지 주요 미해결 질문은 다음과 같습니다.

유한 평면의 순서는 항상 주승인가?

이것은 사실로 추측된다.

n = p^k 요소가 있는 유한 필드에 아핀 및 투영 평면을 사용함으로써 n이 소수(정의 정수 지수로 상승된 소수)일 때마다 n차 n의 아핀 및 투영 평면이 존재한다.유한 필드에서 파생되지 않은 평면도 존재하지만($예{\displaystyle }$: n ${\displaystyle =}$ {$디스플레이 스타일$ n$=9}$ ) 알려진 모든 예제는 ^[1]주력을 갖는다.

현재까지 가장 일반적인 결과는 1949년의 브루크-라이저 정리이다.

n이 4k + 1 또는 4k + 2 형식의 양의 정수이고 n이 두 정수 제곱의 합과 같지 않은 경우, n은 유한 평면의 순서로 발생하지 않습니다.

브루크-라이저 정리에 포함되지 않은 최소 정수는 10이다; 10은 4k + 2의 형태이지만, 1 + 3의²² 제곱합과 같다.주문 10의 유한 평면의 부존재는 1989년에 종료된 컴퓨터 지원 증명에서 입증되었습니다. 자세한 내용은 (Lam 1991)을 참조하십시오.

다음으로 고려해야 할 가장 작은 숫자는 12이며, 긍정도 부정도 증명되지 않았습니다.

역사

개별적인 예는 토마스 페닝턴 커크만(1847)의 연구와 폰 슈타우트(1856)에 의해 주어진 유한 투영 기하학의 체계적 발전에서 찾을 수 있다.

유한 사영 기하학의 첫 번째 자명한 처리는 이탈리아 수학자 지노 파노에 의해 개발되었다.그가 ^[3]개발한 투영 n-공간에 대한 일련의 공리의 독립성을 증명하는 그의 연구에서^[2], 그는 15개의 점, 35개의 선 및 15개의 평면을 가진 유한한 3차원 공간을 고려했다. 이 공간에서 각 선은 단지 ^[4]3개의 점만을 가지고 있었다.

1906년 오스왈드 베블렌과 W. H. Bussey는 갈로아 장 GF(q)에서 입력된 균질 좌표를 사용하여 투영 기하학을 기술했다.n + 1 좌표를 사용할 경우 n차원 유한 형상은 PG(n, ^[5]q)로 표시됩니다.합성 지오메트리에서 발생하며 연관된 변환 그룹이 있습니다.

3차원 이상의 유한 공간

유한 평면 기하학과 고차원 유한 공간의 기하학 사이의 몇 가지 중요한 차이점은 자명한 투영 공간을 참조하십시오.일반적으로 고차원 유한 공간에 대한 논의는 예를 들어 J.W.P.의 작품을 참조한다. 히르슈펠트.이러한 고차원 공간(n 3 3)에 대한 연구는 고급 수학 이론에서 많은 중요한 응용 분야를 가지고 있다.

자명한 정의

투영 공간 S는 다음 공리를 ^[6]만족시키는 P(직선의 집합)의 집합 L과 함께 집합 P(점 집합)로 공리적으로 정의될 수 있다.

• 각각 다른 두 점 p와 q는 정확히 한 줄에 있습니다.
• 베블렌의 공리:^[7]a, b, c, d가 다른 점이고 ab와 cd를 통과하는 선이 만나면 ac와 bd를 통과하는 선도 마찬가지입니다.
• 어떤 선에도 최소 3개의 점이 있습니다.

마지막 공리는 2점 선과 함께 투영 공간의 분리된 결합으로 쓰여질 수 있는 축소 가능한 경우를 제거합니다.보다 추상적으로 정의하면 점의 집합 P, 선의 집합 L 및 어떤 점이 어떤 선 위에 있는지를 나타내는 입사 관계 I로 이루어진 입사 구조(P, L, I)로 정의할 수 있다.

유한 투영 공간을 얻으려면 다음 공리가 하나 더 필요합니다.

• 점 P의 집합은 유한 집합이다.

모든 유한 투영 공간에서 각 선은 동일한 수의 점을 포함하며 공간의 순서는 이 공통 수보다 1 적은 값으로 정의됩니다.

투영공간의 부분공간은 부분집합 X이며, 따라서 X의 두 점을 포함하는 모든 선은 X의 부분집합이다(즉, X에 완전히 포함된다).전체 공간과 빈 공간은 항상 하위 공간입니다.

공간의 기하학적 치수는 다음과 같은 형태의 엄밀하게 상승하는 하위 공간의 사슬이 있는 최대 수인 경우 n이라고 한다.

$\displaystyle \varnothing = X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots\subset X_{n}=P.}$

대수적 구조

시스템의 표준 대수적 구조는 이러한 공리를 만족시킨다.분할링 D에 대해 D 위에 (n + 1)차원 벡터 공간을 구축한다(벡터 공간 치수는 기준 내의 요소 수).P를 1차원 (단일 발전기) 부분 공간이고 L을 2차원 (2개의 독립된 발전기) 부분 공간 (벡터 덧셈에 의해 닫힘)이라고 하자.발병률은 봉쇄입니다.만약 D가 유한하다면, 그것은 유한장 GF(q)일 것이다. 왜냐하면 웨더번의 작은 정리에 의해 모든 유한 나눗셈 고리는 필드이기 때문이다.이 경우, 이 구조는 유한한 투영 공간을 생성한다.또한 투영공간의 기하학적 치수가 적어도 3이면 이와 같이 공간을 구성할 수 있는 분할링이 있다.이것에 의해, 적어도 3개의 기하학적 치수의 모든 유한 투영 공간이 유한 필드상에 정의된다.이러한 유한 필드에 대해 정의된 유한 투영 공간은 선상에 q + 1개의 점을 가지므로 두 가지 순서 개념이 일치합니다.이러한 유한한 투영 공간은 PG(n, q)로 표시되며, 여기서 PG는 투영 기하학을 나타내고, n은 기하학의 기하학적 차원이며, q는 기하학을 구성하는 데 사용되는 유한 필드의 크기(순서)이다.

일반적으로 ^[8]PG(n, q)의 k차원 서브스페이스 수는 제품에 의해 주어진다.

${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}_{q}=\display _{i=0}^{k}{\frac {q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}}}},$

이항 계수의 q 아날로그인 가우스 이항 계수입니다.

기하학적 차원에 의한 유한 투영 공간의 분류

• 치수 0(줄 없음):공간은 단일 점이며 너무 퇴화되어 있기 때문에 일반적으로 무시됩니다.
• 치수 1(정확히 1줄):모든 점은 투영 선이라고 하는 고유한 선 위에 있습니다.
• 치수 2: 최소 2개의 라인이 있으며 임의의 2개의 라인이 일치합니다.n = 2에 대한 투영 공간은 투영 평면이다.이것들은 모두 PG(d, q)와 동형인 것은 아니기 때문에 분류하기가 훨씬 어렵다.데사르게 평면(PG(2, q)과 동형인 평면)은 데사르게의 정리를 만족시키고 유한장에 대한 투영 평면이지만, 많은 비데사르게 평면들이 있다.
• 치수 3 이상: 교차하지 않는 선 두 개가 있습니다.베블렌-영정리는 유한한 경우 기하학적 차원 n ≤ 3의 모든 투영공간이 어떤 유한장 GF(q) 상의 n차원 투영공간인 PG(n, q)와 동일하다는 것을 기술한다.

최소 투영 3공간

가장 작은 3차원 투영 공간은 필드 GF(2) 위에 있으며 PG(3,2)로 표시됩니다.그것은 15개의 점, 35개의 선, 그리고 15개의 평면을 가지고 있다.각 평면에는 7개의 점과 7개의 선이 포함됩니다.각 행에는 3개의 점이 있습니다.지오메트리로서 이러한 평면은 Fano 평면과 동형입니다.

모든 점은 7줄에 포함됩니다.각 개별 점 쌍은 정확히 한 선에 포함되며 각 개별 평면 쌍은 정확히 한 선에서 교차합니다.

1892년, 지노 파노는 그러한 유한 기하학을 최초로 고려했다.

커크먼의 여학생 문제

PG(3,2)는 커크먼의 여학생 문제 해결의 배경으로서 다음과 같이 말하고 있다: "15명의 여학생들이 매일 3명씩 다섯 그룹으로 나누어 걷는다.여자아이들의 산책을 일주일 동안 준비해서 그 시간 동안 여자아이들이 한 명씩 한 명씩 그룹을 지어 걷도록 하세요.소녀들이 함께 걸을 수 있는 35가지 조합이 있다.일주일 중 7일, 각 그룹에는 3명의 소녀가 있습니다.이 문제에 대한 7개의 비동형 솔루션 중 2개는 패킹으로 알려진 Fano 3 공간, PG(3,2)의 구조 측면에서 언급될 수 있다.투영 공간의 확산은 점들을 분리된 선으로 분할하는 것이고, 패킹은 선을 분리된 선으로 분할하는 것이다.PG(3,2)에서 스프레드는 15개의 포인트를 5개의 분리된 라인(각 라인에 3개의 포인트가 있음)으로 분할하는 것으로, 특정일의 여학생의 배치에 대응한다.PG(3,2) 패킹은 7개의 분리된 스프레드로 구성되며, 따라서 일주일 내내 준비된다.

「 」를 참조해 주세요.

• 블록 설계 – 유한 투영 평면의 일반화.
• 일반화 다각형
• 입사 기하학
• 선형 공간(기하학)
• 근다각형
• 부분 기하학
• 극공간

메모들

레퍼런스

• Batten, Lynn Margaret (1997), Combinatorics of Finite Geometries, Cambridge University Press, ISBN 0521590140
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective geometry: from foundations to applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3, MR 1629468
• Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). "On the life and scientific work of Gino Fano". arXiv:1311.7177.
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry: Volume One, Boston: Allyn and Bacon Inc.
• Hall, Marshall (1943), "Projective planes", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 54 (2): 229–277, doi:10.2307/1990331, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990331, MR 0008892
• Lam, C. W. H. (1991), "The Search for a Finite Projective Plane of Order 10", American Mathematical Monthly, 98 (4): 305–318, doi:10.2307/2323798

• Malkevitch, Joe. "Finite Geometries?". Retrieved Dec 2, 2013.
• Meserve, Bruce E. (1983), Fundamental Concepts of Geometry, New York: Dover Publications
• Polster, Burkard (1999). "Yea why try her raw wet hat: A tour of the smallest projective space". The Mathematical Intelligencer. 21 (2): 38–43. doi:10.1007/BF03024845.
• Segre, Beniamino (1960), On Galois Geometries (PDF), New York: Cambridge university Press, pp. 488–499, archived from the original (PDF) on 2015-03-30, retrieved 2015-07-02

• Shult, Ernest E. (2011), Points and Lines, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7

• 를 클릭합니다Ball, Simeon (2015), Finite Geometry and Combinatorial Applications, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "finite geometry". MathWorld.
• Eric Moorhouse의 입사 기하학
• 테렌스 타오의 대수적 조합 기하학
• 마이클 그린버그의 유한 기하학 에세이
• 유한 형상(스크립트)
• 유한 지오메트리 리소스
• J. W. P. 히르슈펠트 유한 기하학 연구자
  • 유한 기하학에 관한 히르슈펠트의 책
• [ AMS ]카람:유한 기하학?
• 갈로아 기하학과 일반화 다각형, 1998년 집중과정
• Carnahan, Scott (2007-10-27), "Small finite sets", Secret Blogging Seminar, notes on a talk by Jean-Pierre Serre on canonical geometric properties of small finite sets.{{citation}}: CS1 유지보수: 포스트스크립트(링크)
• Wayback Machine의 "문제 31: Kirkman의 여학생 문제" (2010년 8월 17일 보관)
• MathOverflow에서의 순서 12의 투영 평면.