방사분포함수

통계역학에서 입자계(atoms, 분자, 콜로이드 등)의$$ 방사상 분포함수 $g{\displaystyle }$ (또는 쌍상관함수) g${\displaystyle }$(${\displaystyle r)}$ g (r$){\displaystyle g(r)}$는 기준 입자로부터의 거리의 함수로서 밀도가 어떻게 변화하는지 설명한다.

주어진 입자를 원점 O에 두고, ${\displaystyle \mathrm{and}}$= ${\displaystyle N}$/ V ${\displaystyle \rho$= $N/V}$이(가) 입자의 평균 수 밀도라면, O로부터$$ 거리 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 국부 시간 평균 밀도는 ${\displaystyle g}$g ( ${\displaystyle r}$)$${\$displaystystyle \rho$ g$(r)}$이다$.$ 이 단순화된 정의는 동종 및 등방성 시스템에 대해 유지된다. 좀 더 일반적인 경우를 아래에서 고려해 볼 것이다.

가장 간단한 용어로 그것은 이상적인 기체에 대한 그것과 비교하여 주어진 기준 입자에서 떨어진$$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$}$의 거리에서 입자를 찾을 확률을 측정한 것이다. 일반 알고리즘에는 입자로부터 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ $및$ r + ${\displaystyle d}$ r$${\$displaystyle$r+$dr}$의 거리에 얼마나 많은 입자가 있는지 결정하는 것이 포함된다. 이 일반적인 테마는 오른쪽에 묘사되어 있는데, 여기서 붉은 입자는 우리의 기준 입자이고, 푸른 입자는 주황색으로 점철된 원형 껍질 안에 중심이 있는 입자들이다.

방사형 분포 함수는 보통 모든 입자 쌍 사이의 거리를 계산하여 히스토그램으로 빈으로 만들어 결정한다. 그런 다음 히스토그램은 입자 히스토그램이 완전히 상관관계가 없는 이상적인 기체에 대해 정규화된다. 3차원의 경우 이 정규화는 시스템$({\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{density}}$) ${\displaystyle (\rho )}$에 구형 쉘의 체적을 곱한$$ 수밀도로, 상징적으로 $4{\displaystyle }$ 4 ${\displaystyle \pi }$ r ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \rho \,4\pi r^{2}dr}$로 표현할 수 있다$.$

잠재적 에너지 함수가 주어질 경우 방사상 분포 함수는 몬테카를로 방법과 같은 컴퓨터 시뮬레이션 방법이나 또는 페르쿠스-예빅 근사치 또는 하이퍼넷트 체인 이론과 같은 근사 폐쇄 관계를 사용하여 Ornstein-Zernike 방정식을 통해 계산할 수 있다. 또한 전통적인 현미경 또는 콘코칼로컬 현미경을 통해 충분히 큰(마이크로미터 크기) 입자에 대한 직접 시각화 또는 방사선 산란 기법에 의해 실험적으로 결정할 수 있다.

방사형 분포 함수는 커크우드-버프 솔루션 이론을 사용하여 미시적 세부 사항을 거시적 특성에 연결시킬 수 있기 때문에 기본적으로 중요하다. 더욱이 커크우드-버프 이론의 반전에 의해 거시적 특성으로부터 방사형 분포 함수의 미시적 세부 사항을 얻을 수 있다.

정의

Consider a system of ${\displaystyle N}$ particles in a volume ${\displaystyle V}$ (for an average number density ${\displaystyle \rho =N/V}$) and at a temperature ${\displaystyle T}$ (let us also define ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{k$$T}}$ ).$$ The particle coordinates are ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$, with ${\displaystyle \textstyle i=1,\,\ldots ,\,N}$. The potential energy due to the interaction between particles is ${\displaystyle \textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N})}$ 그리고 우리는 외부적으로 적용되는 분야의 경우를 고려하지 않는다.

The appropriate averages are taken in the canonical ensemble ${\displaystyle (N,V,T)}$, with ${\displaystyle \textstyle Z_{N}=\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}}$ the configurational 적분, 입자 위치의 가능한 모든 조합을 인수한다. ${\displaystyle d{\mathbf{}}_{}}$ r 1 ${\$ {$d} \mathbf {r} _{1},$$d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle r{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$\mathbf {$r}$\mathbf {$r}$$_{2$} 등에서 입자 ${\displaystyle {}_{}}$을 찾을 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle P^{(N)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}}{Z_$${N}}\,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} \{N},}$.

(1)

입자의 총수가 커서 $){\$ P$^{(N)}$ 그 자체로는$$ 그다지 유용하지 않다. 하지만 우리는, 유일한 n의 위치를<>축소된 구성,;N{\displaystyle n&lt의 확률을 얻을 수 있다.N}입자, 남아 있는 N− n{N-n\displaystyle}입자들에 대한 제약 조건들과 r1…, rn{\displaystyle\textstyle \mathbf{r}_{1}\,\ldots ,\,\mathbf{r}_{n}}에 고정되어 있다. 이를 위해 (1)을 $나머지{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 좌표 r n${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N{\mathbf{}}_{}}$ ${\$에 대해 통합해야 한다$.$

$daystyle P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots$$$${N}}\int \cdots \int \mathrm {e}^{-\beta U_{N}\mathrm {d} \mathbf {r} _{n+1}\cdots \mathbf$ {$r} \mathbf {r$} $_{N$

입자가 동일하다면, $이들{\displaystyle }$ $중$ n ${\displaystyle$ $n}$이(가) 모든 순열에서$$ $r{\displaystyle {\mathbf{}}_{}{}_{}\dots ,}$ r ${\displaystyle n{\mathbf{}}_{}}$ {${\displaystyle {}_{}}$}, r ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r},\ldots ,\\\\mathbf${r$$$}$$$$_{n}}}$을 차지할 확률을 고려하는 것이 더 목적이다.

$displaystyle \rho^{(n)}(\mathbf$$}}}{{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots,\mathbf {r} _{n}\,}$.

(2)

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1}$의 경우$,$ (2) 결정의 경우 격자 부위에서 날카로운 최대치를 갖는 주기적인 함수인 1입자 밀도를 제공한다. (동종) 액체의 경우, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$} 위치와 독립적이며, 시스템의$$ 전체 밀도와 동일하다.

${\displaystyle {\frac {1}{V}\int \rho^{(1)(\mathbf {r} _{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}=\rho ^{1}={V}=\rho \,},}$

이제는 상관 함수 $g{\displaystyle {}^{}}$($){\$ g$^{(n)}}}$을(를) 다음에$$ 도입할 차례다.

${\displaystyle \rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})=\rho ^{n}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})\,}$.

(3)

${\displaystyle g^{}}$(${\displaystyle n^{}}$$){\$ 원자가 서로 독립되어 있으면${\displaystyle {}^{}}if$ (${\displaystyle n^{}}$$){\$ 간단히 n ${\$$displaystyle$ $\rho ^{n}}$과 같으므로 원자 간의 상관관계는$^{{n}$ 수정되기$$ 때문에 상관 함수라고 한다$$.

(3)과 (2)부터는 다음과 같다.

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})={\frac {V^{n}N!$$}{{N^{n}(N-n)!$$}}}\cdot {\frac{1}{Z_$${N}}\,\int \cdots \int \mathrm {e}^{-\beta U_{N}\mathrm$ {$d} \mathbf {r}_{n$+1}\$cdots \mathbf$ {d}$\mathbf {r}$_{N},} .

(4)

g(r) 관련 관계

구조계수

그것이 직접 시스템의 구조 인자이고 따라서 실험적으로 X선 회절 또는 중성자 회절을 사용하여 결정될 수 있다(를 푸리에 변환을 통해)관련된(2)(r1, r2){\displaystyle g^{(2)}(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2})g은 2차 상관 관계 함수}특별한 중대하다.[1]

If the system consists of spherically symmetric particles, ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$ depends only on the relative distance between them, ${\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}$. We will drop the sub- and superscript: ${\displaystyle \textstyle g(\mathbf {r} )\equiv g^{(2)}(\mathbf {r} _{12})}$. Taking particle 0 as fixed at the origin of the coordinates, ${\displaystyle \textstyle \rho g(\mathbf {r} )d^{3}r=\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}$ is the average n${\displaystyle {위치\mathrm{}}^{}}$ $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ ${\displaystyle {}^{}}$의 d 3 r {\$displaystyle \textstyle$ d$^{3}r}$에서 찾을 수 있는 입자 움버($남은{\displaystyle }$ N${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle N-1}$ 중$).$

We can formally count these particles and take the average via the expression ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}{d^{3}r}}=\langle \sum _{i\neq 0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\rangle }$, with ${\displaystyle \textstyle \$$angle \cdot \rangle }$ 앙상블$$ 평균, 항복:

${\displaystyle g(\mathbf {r} )={\frac {1}{\rho }}\langle \sum _{i\neq 0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\rangle =V{\frac {N-1}{N}}\left\langle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})\right\rangle }$

(5)

여기서 두 번째 평등은 $입자{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle N}$- ${\displaystyle 1}$ ${\$의 동등성을 요구한다$.$ The formula above is useful for relating ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ to the static structure factor ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$, defined by ${\displaystyle \textstyle S(\mathbf {q} )=\langle \sum _{ij}\mathrm {e} ^{-i\mathbf$$\{$$q}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\rangele /N}).$

${\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{q})&, =1+{\frac{1}{N}}\langle \sum}\left\langle \int _{V}\mathrm{d}\mathbf{r}\,\mathrm{e}^{-i\mathbf{q}\mathbf{r}}\sum _{ji\neq}\delta \left는 경우에는\mathbf{r}-(\mathbf{r}_{나는}-\mathbf{r}_{j})\righ{e}^{-i\mathbf{q}(\mathbf{r}_{나는}-\mathbf{r}_{j})}\rangle =1+{\frac{1}{N}_{ji\neq}\mathrm.t]\right\rangle \\&=1+{\frac {N(N-1)}{N}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\left\langle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})\right\rangle \end{aligned}}}$

, 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle S(\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }g(\mathbf {r} )}$, proving the Fourier relation alluded to above.

This equation is only valid in the sense of distributions, since ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ is not normalized: ${\displaystyle \textstyle \lim _{r\rightarrow \infty }g(\mathbf {r} )=1}$, so that ${\displaystyle \textstyle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} g(\$$mathbf {r}$은$($는) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 볼륨으로 분산되어$$ 구조 인자의 원점에서 Dirac 피크로 이어진다. 이 기여는 실험적으로 접근할 수 없기 때문에 위의 방정식에서 빼서 구조 계수를 정규 함수로 재정의할 수 있다.

${\displaystyle S'(\mathbf {q} )=S(\mathbf {q} )-\rho \delta (\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }[g(\mathbf {r} )-1]}$.

마지막으로 $S{\displaystyle }$ (${\displaystyle {}^{}}$ ) ${\displaystyle \equiv }$ S ${\displaystyle {\prime }^{}}$ (${\displaystyle q\mathbf{}}$) ${\displaystyle$ S$(\mathbf {q} )\equiv S'(\mathbf {q} )}$의 이름을 바꾸고, 시스템이$$ 액체인 경우 다음과 같은 동위원소를 호출할 수 있다.

${\displaystyle S(q)=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }[g(r)-1]=1+4\pi \rho {\frac {1}{q}}\int \mathrm {d} r\,r\,\mathrm {sin} (qr)[g(r)-1]}$.

(6)

압축성 방정식

(6) $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q=0}$에서 평가하고$$ 등온 압축성 ${\displaystyle {ibility}_{}}$ T ${\$와 원점에서$$ 구조 계수 사이의 관계를 사용하면 압축성 방정식이 산출된다.

${\displaystyle \rho kT\chi _{T}=kT\left({\frac {\partial \rho }{\partial p}}\right)=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,[g(r)-1]}$.

(7)

평균 힘의 잠재력

방사형 분포 함수는 다음을 통해$$ 평균 $힘{\displaystyle {}^{}}$ w${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 2{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( r${\displaystyle }$) ${\displaystyle w^{(2)}(r)}$의 2개 입자 전위와 관련됨을^[2] 알 수 있다.

${\$$$$T}\오른쪽$

(8)

희석한 한계에서 평균 힘의 잠재력은 평형점 구성이 $주어진{\displaystyle }$g (${\displaystyle r}$ ) ${\displaystyle g(r)}$을 갖는 정확한 쌍 잠재력이다$.$

에너지 방정식

If the particles interact via identical pairwise potentials: ${\displaystyle \textstyle U_{N}=\sum _{i>j=1}^{N}u(\left \mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right )}$, the average internal energy per particle is:^{[3]: Section 2.5}

${\displaystyle {\frac {\left\langle E\right\rangle }{N}}={\frac {3}{2}}kT+{\frac {\left\langle U_{N}\right\rangle }{N}}={\frac {3}{2}}kT+{\frac {\rho }{2}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,u(r)g(r,\rho ,T)}$.

(9)

주의 압력 방정식

에너지 방정식을 개발하면 다음과 같은 상태의 압력 방정식이 발생한다.

${\displaystyle p=\rho kT-{\frac {\rho ^{2}}{6}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,rg(r,\rho ,T){\frac {\mathrm {d} u(r)}{\mathrm {d} r}}}$.

(10)

3차원 열역학적 특성

방사상 분포 기능은 잠재적 에너지와 압력 등 몇 가지 주요 열역학적 특성을 계산할 수 있기 때문에 중요한 척도가 된다.

입자가 쌍으로 된 전위를 통해 상호작용하는 3-D 시스템의 경우 시스템의 잠재적 에너지는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[4]

${\displaystyle PE={\frac {N}{2}}4\pi \rho \int _{0^{\nft }r^{2}u(r)g(r)dr}$

여기서 N은 $시스템$의 입자 수, , ${\displaystyle \rho$}은$($는) 숫자 밀도, $u{\displaystyle (}$r )${\displaystyle u(r)}$은 쌍 전위(pair parent)이다$$.

시스템 압력은 또한 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle r}$) ${\displaystyle g(r)}$에 두 번째 처녀 계수를 연관시켜 계산할 수도 있다.$$ 압력은 다음과 같이 계산할 수 있다.^[4]

${\displaystyle P=\rho k_{B}T-{\frac {2}{3}\pi \rho ^{2}\int_{0}^{0}}\frac {du(r)}{dr}r}r^{3}g(r)}$

$여기$서 T ${\displaystyle T}$은 온도가 되고$$ k ${\displaystyle B_{}}$ ${\$는 볼츠만의 상수다. $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle g(r)}$의 계산과 관련된 평균 때문에 전위와 압력의 결과가 이러한 속성을 직접 계산하는 것만큼 정확하지 않다는 점에 유의하십시오$.$

근사치

희석 시스템(예: 기체)의 $경우{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$(${\displaystyle r}$ ) ${\displaystyle g(r)}$이(가) 설명하는$$ 입자 위치의 상관관계는 참조 입자에 의한 잠재적$$ $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle u(r)}$에 의한 것일 뿐 간접 영향은 무시한다. 첫 번째 근사치에서 볼츠만 분포 법칙에 의해 간단히 주어진다.

${\$$T}\오른쪽$

(11)

If ${\displaystyle u(r)}$ were zero for all ${\displaystyle r}$ – i.e., if the particles did not exert any influence on each other, then ${\displaystyle g(r)=1}$ for all ${\displaystyle \mathbf {r} }$ and the mean local density would be equal to the mean density ${\displaystyle \rho }$: the O에서 입자의 존재는 입자 주위의 입자 분포에 영향을 미치지 않을 것이며 기체는 이상적일 것이다. $u{\displaystyle }$${\displaystyle (}$${\displaystyle r)}$ ${\displaystyle u$${\displaystyle (}$$r)}$이(가) 유의한$$ $거리$ r ${\$$displaystyle$ $u(r)}$의 기호에 따라 평균 로컬 밀도가 $\rho {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\rho}$과$($${\displaystyle 와}$) 다를 수 있음$($부호)$u(r)}$ $$.

기체의 밀도가 증가함에 따라 r ${\$ {$r}$에 위치한 입자가 기준 입자의 영향을 받는 O의 입자뿐만 아니라 다른 인접 입자와도 상호작용을 경험하기$$ 때문에 저밀도 한계는 점점 정확도가 낮아진다. 이러한 매개 상호작용은 밀도에 따라 증가하는데, 이는 상호작용할 이웃이 더 많기 때문이다: 가상 방정식과 유사한 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle g(r$의 밀도 확장을 쓰는 것이 물리적으로 타당하다.

${\displaysty$$T}}\right]y($r)\quad $\mathrm$ {$with}\quad y(r)=1$+\$sum _{n=1}^{$n=1}{$n1$}^\$rho$ ^{n$}y_{n}(r)}$.

(12)

이러한 유사성은 우연이 아니다. 실제로 위의 관계에서 열역학적 매개변수(등가 7, 9 및 10)를 대체하면 그에 상응하는 처녀적 팽창이 발생한다.^[5] ${\displaystyle \mathrm{보조}}$ 함수 $y{\displaystyle }$( r${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ y$(r)}$을(를) 공동 분포 함수로 한다.^{[3]: Table 4.1} 고정밀도와 고정된 양의 온도에서 고전적인 유체의 경우 평형 상태에서$$ ${\displaystyle \mathrm{주어진}}$ $g{\displaystyle }$( r $){\displaystyle g(r)}$를 생성하는 유효 쌍 전위는 존재하는 경우 최대 첨가 상수까지 고유하다는 것이 밝혀졌다.^[6]

최근에는 격자나 네트워크와 같이 공간적으로 배설되는 데이터를 위한 쌍상관함수 개발에 어느 정도 관심을 기울이고 있다.^[7]

실험적인

중성자 산란 또는 X선 산란 데이터를 사용하여 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle g(r)}$을(를) 간접적으로$$ 결정할 수 있다(구조 인자 $S{\displaystyle }$(${\displaystyle q}$ )${\displaystyle S(q$과의 관계를 통해). 이 기법은 매우 짧은 길이의 척도(원자 수준까지)에서^[8] 사용할 수 있지만 상당한 공간과 시간 평균(각각 표본 크기와 획득 시간 초과)을 포함한다. 이렇게 하여 액체금속부터^[9] 충전된 콜로이드에 이르는 다양한 시스템에 대해 방사상 분포 기능이 결정되었다.^[10] 실험 $S{\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$) ${\displaystyle S(q)}$에서 ${\displaystyle g}$( r${\displaystyle }$) ${\displaystyle g(r)}($으)^[11]로$$ 가는 것은 간단하지$$ 않으며 분석이 상당히 관련될 수 있다.

기존의 ${\displaystyle \mathrm{현미경}}$이나 콘코칼로컬 현미경에서 입자 위치를 추출하여 $g{\displaystyle }$( r $){\displaystyle g(r)}$를 직접 계산할$$ 수도 있다.^[12] 이 기술은 입자 충분히 광검파(는 마이크로 미터 범위에서)에 큰 것까지,실테지만, 정적 정보로부터 그것은 또한(예를 들어 확산 constants[13])고 또한(개별 입자의 수준으로), 그것을 허락할 space-resolved 동적 매개 변수에 액세스 할 수 있time-resolved 수 있다는 이점을 한정되어 있다. 로 콜로이드 결정,^[14] 안경,^[15][16] 겔,^[17][18] 유체 역학 상호작용에서 국소 구조의 형태학과 역학을 밝힌다.^[19]

2D 분자 가스의 경우 스캐닝 터널링 현미경 검사를 통해 전체(거리 의존 및 각도 의존) 쌍 상관 함수의 직접 시각화를 달성했다.^[20]

고차상관함수

방사형 분포함수만으로는 구조정보의 특성화에 미흡하다는 점에 주목했다. 구별되는 점 공정은 퇴행성 문제로 알려진 동일하거나 실질적으로 구별할 수 없는 반경 분포 함수를 가질 수 있다.^[21][22] 이 경우 구조를 더 자세히 설명하려면 고차 상관 함수가 필요하다.

> {\$displaystyle \textstyle g$$^{(k$$)}}이($가) 있는$$ 고차 분포 함수는 일반적으로 시스템의 열역학에는 덜 중요하기 때문에 덜 연구되었고, 동시에 기존의 산란 기법으로는 접근할 수 없기 때문이다$.$ 그러나 그것들은 일관성 있는 X선 산란으로 측정될 수 있으며, 질서 없는 시스템에서 국부 대칭이 드러날 수 있는 한 흥미롭다.^[23]

참조

• 위덤, B. (2002) Statistical Mechanics: 화학자들을 위한 간결한 소개. 케임브리지 대학교 출판부
• 맥쿼리, D. A. (1976년) 통계역학. 하퍼 콜린스 출판사.

참고 항목

• 오렌슈타인-제르니케 방정식
• 구조 인자
• MatDL Wiki의 방사형 분포 함수