구조계수

응축물리학 및 결정학에서 정적 구조 인자(또는 줄여서 구조 인자)는 물질이 입사 방사선을 산란시키는 방법에 대한 수학적 설명이다.구조 인자는 X선, 전자, 중성자 회절 실험에서 얻은 산란 패턴(간섭 패턴)의 해석에 있어 중요한 도구다.

혼란스럽게, 두 개의 다른 수학 표현들이 사용되고 있는데, 둘 다 '구조 인자'라고 불린다.하나는 보통 $S{\displaystyle }$ (${\displaystyle q\mathbf{}}$ ) ${\displaystyle$ S$(\mathbf {q} )}$라고 쓰여 있다$;$ 보다 일반적으로 유효하며, 원자당 관측된 확산 강도와 단일 산란 단위가 생성하는 강도를 연관시킨다.다른 하나는 일반적으로 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ 또는$$ F $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\$라고 쓰여 있으며, 장거리$$ 위치 순서가 있는 시스템에만 유효하다.이 표현식은 결정${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ $){\displaystyle (hk$$\ell )}$ 면에$$ 의해 확산되는 빔의 진폭과 위상을 원시 단위 셀의 정점에서 단일 산란 단위에 의해 생성된 면의$밀러$ 지수(h k $ℓ$와 관련시킨다.${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$은$($는) $S{\displaystyle (}$${\displaystyle q\mathbf{}}$ $){\displaystyle$ S$(\mathbf {q}$$$)의 특별한 경우는 아니지만$$$$$,$ $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}${\$displaystyle F_{hk\ell}}}}}}$은 진폭을 부여한다.산란 강도를 주는 것은$$ F ${\displaystyle h{}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\$의 제곱법이다.${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$은 완벽한 수정을 위해 정의되며 결정학에서 사용되며, S (${\displaystyle q\mathbf{}}$ )${\displaystyle$ S$(\mathbf {q}$ )은$$질서 없는 시스템에 가장 유용하다$$.결정 폴리머와 같이 부분적으로 주문된 시스템의 경우 분명히 중첩되어 있으며, 전문가들은 필요에 따라 한 표현에서 다른 표현으로 전환할 것이다.

정적 구조 계수는 산란 광자/전자/중성자 에너지를 분해하지 않고 측정한다.에너지 분해 측정은 동적 구조 계수를 산출한다.

S(q)의 파생

Consider the scattering of a beam of wavelength ${\displaystyle \lambda }$ by an assembly of ${\displaystyle N}$ particles or atoms stationary at positions ${\displaystyle \textstyle \mathbf {R} _{j},j=1,\,\ldots ,\,N}$. Assume that the scattering is weak, so that the amplitude of the incident beam은 샘플 볼륨(Born 근사치) 전체에 걸쳐 일정하며, 흡수, 굴절 및 다중 산란(키네마틱 회절)을 무시할 수 있다.The direction of any scattered wave is defined by its scattering vector ${\displaystyle \mathbf {q} }$. ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k_{s}} -\mathbf {k_{o}} }$, where ${\displaystyle \mathbf {k_{s}} }$ and ${\displaystyle \mathbf {k_{o}} }$ ( ${\displaystyle {\mathbf{k}}_{\mathbf{s}}}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle k{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathbf{}}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ /${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {k_{s}}$= $\mathbf {k_}}$ =$2\pi /\data$는 산란 및 입사 빔 파동 벡터, $\theta {\displaystyle }$ ${\displaysty \theta }}$은 그 사이의 각이다$$.For elastic scattering, ${\displaystyle \mathbf {k} _{s} = \mathbf {k_{o}} }$ and ${\displaystyle q= \mathbf {q} ={{\frac {4\pi }{\lambda }}\sin(\theta /2)}}$, limiting the possible range of ${\displaystyle \mathbf {q} }$ (see Ewald sphere). The amplitude and phase of this scattered wave will be the vector sum of the scattered waves from all the atoms ${\displaystyle \Psi _{s}(\mathbf {q} )=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}}$ ^[1][2]

원자 조합의 경우 f ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 $j$ ${\displaystyle j}$ -th$$ 원자의 원자 형태 인자다.산란 강도는 이 함수에 복합 결합을 곱하여 구한다.

${\displaystyle I(\mathbf {q} )=\Psi _{s}(\mathbf {q} )\times \Psi _{s}^{*}(\mathbf {q} )=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}\times \sum _{k=1}^{N}f_{k}\mathrm {e} ^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{k}}=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}f_{k}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}}$

(1)

구조 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{계수}}}$는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ /${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}}$ j${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$}}에 의해 정규화된 이 강도로 정의된다.

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{\sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}f_{k}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}}$

(2)

If all the atoms are identical, then Equation (1) becomes ${\displaystyle I(\mathbf {q} )=f^{2}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}}$ and ${\displaystyle \sum _{j=1}^N{f}_j^2=N{f}^2}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}=Nf^{2}}:$ 그래서$$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{{N}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\mathrm {e}^{-i\mathbf {q} \cdot(\mathbf {R}-}-}-}}}}}}}) _{{R}}}}}}}}}}}}}})$

(3)

또 다른 유용한 단순화는 물질이 분말이나 단순한 액체처럼 등방성인 경우다.그 다음 강도는 $q{\displaystyle }$=${\displaystyle }{\displaystyle q\mathbf{}}$ = \$displaystyle q= \mathbf {q}$ 및 ${\displaystyle {\mathrm{r<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; q=|\backslash mathbf\; \{q\}\; |\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/56116ed0e5c6a710eae74c3e26a60767edcae57b"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:6.877ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="116">}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle r{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $displaystyle r_{jk}= \mathbf {r} _{j}-\mathbf {r}$ 및$$ 방정식 (2)에 따라 달라진다.^[1]

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{\sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}f_{k}{\frac {\sin(qr_{jk})}{qr_{jk}}}}$

(4)

대체 파생은 좋은 통찰력을 주지만 푸리에 변환과 콘볼루션을 사용한다.일반적으로 볼륨 $V{\displaystyle }${\$displaystyle V}$에 정의된$$ 스칼라(실제) 수량 $){\displaystyle \phi(\mathbf {r} )$를 고려하십시오$.$ 예를 들어, 질량 또는 전하 분포 또는 비균형 매체의 굴절률에 해당할 수 있다.If the scalar function is integrable, we can write its Fourier transform as ${\displaystyle \textstyle \psi (\mathbf {q} )=\int _{V}\phi (\mathbf {r} )\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} )\,\mathrm {d} \mathbf {r} }$. In the Born approximation the amplitude of the scattered waVe은 산란 벡터 q{\displaystyle \mathbf{q}에}해당하는 때 연구 대상 시스템이 동일한 유권자들의 eac(원자, 분자, 콜로이드 입자 등) 많은 N{N\displaystyle}로 구성된 것은 푸리에 변환 ψ(q){\displaystyle\textstyle \psi(\mathbf{q})}.[1]에 비례한다.h발음하는 o질량 $또는{\displaystyle }$ 전하 f${\displaystyle }$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$의 분포를 갖는 f는 총 분포를 델타 함수 집합으로 이 함수의 콘볼루션으로 간주할 수 있다.

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=\sum _{j=1}^{N}f(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{j})=f(\mathbf {r} )\ast \sum _{j=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {R} _{j}),}$

(5)

$R{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle j}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle N}$ ${\$ 입자$$ 위치를 이전과 같이 지정한다.Using the property that the Fourier transform of a convolution product is simply the product of the Fourier transforms of the two factors, we have ${\displaystyle \textstyle \psi (\mathbf {q} )=f(\mathbf {q} )\times \sum _{j=1}^{N}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j$$\}\},$ 이렇게 하면:

${\displaystyle I(\mathbf {q} )=\left f(\mathbf {q} )\right ^{2}\times \left(\sum _{j=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}\right)\times \left(\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{k}}\right)=\left f(\mathbf {q} )\right ^{2}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k}}.}$

(6)

여기 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) $q{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 함수로 명시되어 있다는$$ 점을 제외하고, 이는 모든 입자가 동일한 방정식 (1)과 분명히 동일하다$.$

일반적으로 입자 위치는 고정되어 있지 않으며 측정은 유한 노출 시간 동안 거시적 샘플(간격 거리보다 훨씬 큼)으로 이루어진다.따라서 실험적으로 접근 가능한 강도는 ${\displaystyle \mathrm{평균}}$ 1${\displaystyle }$⟨ I (${\displaystyle q\mathbf{}}$) ${\displaystyle ⟩}$ ${\$이다$.$ $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle \langle \cdotrangle}$이 시간 또는 앙상블 평균을 나타내는지는$$ 지정할 필요가 없다.이를 감안하여 방정식 (3)을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}\right\rangle .}$

(7)

퍼펙트 크리스털

결정에서 구성 입자는 주기적으로 배열되며, 변환 대칭이 격자를 형성한다.결정 구조는 기초라고 불리는 원자의 그룹을 모든 격자점에 배치한 브라바이스 격자(Bravais lattice)로 설명할 수 있다. 즉, [crystal structure] = [lattice] = [lattice]$\ast {\displaystyle }$ {\$displaystyle\ast }$ [basis].격자가 무한하고 완전히 규칙적이면 그 체계는 완벽한 결정체다.이러한 시스템의 경우 $q{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 대한 특정 값 집합만 산란을 제공할 수 있으며$$, 다른 모든 값에 대한 산란 진폭은 0이다.이 값들의 집합은 상호 격자라 불리는 격자를 형성하는데, 이것은 실제 공간 결정 격자의 푸리에 변환이다.

원칙적으로 산란계수 $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle q\mathbf{}}$) ${\displaystyle$ S$(\mathbf$ {$q}$ )는 완벽한 결정으로부터의 산란을 결정하기 위해 사용될$$ 수 있다. 단순한 경우, 기초가 원점에서 단일 원자일 때(그리고 평균화가 필요 없도록 모든 열 운동을 무시함) 모든 원자는 동일한 환경을 가지고 있다.식 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle I(\mathbf {q} )=f^{2}\left \sum _{j=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}\right ^{2}}$ and ${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N}}\left \$$sum _{j=1}^{N}\mathrm {e}^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}\오른쪽$$^{2}}.$

구조 계수는 격자 푸리에 변환의 제곱 계수로, 산란 방향이 0이 아닌 강도를 가질 수 있다.이러한 $q$의$$값 {\$displaystyle \mathbf$ {$q}$에서 모든 격자점으로부터의 파형은 위상에 있다.구조 인자의 값은 이 모든 역수 격자점에 대해 동일하며,$q{\displaystyle \mathbf{}}$${\$$displaystyle$ $f}$의 $변경$에 의해서만 강도가 달라진다$.$

단위

구조 요인 진폭의 단위는 입사 방사선에 따라 달라진다.X선 결정학의 경우 그것들은 단일 전자(2.82 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle {15}^{}}$ ${\$m$$)에 의한 산란 단위의 배수로, 원자핵에 의한 중성자 산란에는 ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle {14}^{}}$ ${\$m의$$ 산란 단위가 일반적으로 사용된다.

The above discussion uses the wave vectors ${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi /\lambda }$ and ${\displaystyle \mathbf {q} =4\pi \sin \theta /\lambda }$. However, crystallography often uses wave vectors ${\displaystyle \mathbf {s} =1/\lambda }$ and${\displaystyle \mathbf{g}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \sin \theta }$ /$$ {\$displaystyle \mathbf {g} =2\sin \theta /\lambda$ $\}.$ 따라서 다른 출처의 방정식을 비교할 때 인자 2 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$이(가) 나타나거나 사라질 수$$ 있으므로 정확한 수치 결과를 얻기 위해서는 일관된 양을 유지하는 주의가 필요하다.

F의_hkl 정의

결정학에서는 기초와 격자를 따로 취급한다.완벽한 결정의 경우 격자는 확산된 보의 위치(앵글)를 결정하는 역수 격자를 제공하며, 기초는 확산된 보의 진폭과 위상을$$ 결정하는 구조 $인자{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ h ${\displaystyle k_{}}$ ${\$를 제공한다.

${\displaystyle F_{hk\ell }=\sum _{j}^{{n}f_{j}\mathrm {e}^{-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+}+\ell z_}}}}}}}}}}}}}}}}}}},$

(8)

여기서 합이 ${\displaystyle {단위}_{}}$ 셀의 모든 원자에 걸쳐 있는 $x{\displaystyle {}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$, y ${\displaystyle j_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ j , ${\displaystyle z_{}}$ j ${\$는 j ${\displaystyle j}$ -th$$ 원자의 위치 좌표이며$$, ${\displaystyle f_{}}$$$${\$$displaystyle$ $f_{j$$}}}$는 $j$의 산란 계수다.^[4]The coordinates ${\displaystyle x_{j},y_{j},z_{j}}$ have the directions and dimensions of the lattice vectors ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$. That is, (0,0,0) is at the lattice point, the origin of position in the unit cell; (1,0,0) is at the next lattice point along${\displaystyle \mathbf {a} }$ and (1/2, 1/2, 1/2) is at the body center of the unit cell. ${\displaystyle (hkl)}$ defines a reciprocal lattice point at ${\displaystyle (h\mathbf {a^{*}} ,k\mathbf {b^{*}} ,l\mathbf {c^{*}} )}$ which corresponds to the real-space plane def밀러 지수$({\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$) ${\displaystyle(hkl)}$에 의해 삽입됨($$브래그의 법칙 참조).

${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$은 단위 세포$$ 내 모든 원자의 파동 벡터 합이다.어떤 격자점에서든 원자는 모든 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\displaystyle hk\ell }$에 대한 기준 위상각 0을 가지고 있다$$$({\displaystyle \mathrm{h<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; hk\backslash ell\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d326d35816e810e335242d7a63aa075ff8940339"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:3.52ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="239">}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$+ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (hx_{j}+ky_{j}+}+\ell z_{j}}).$(1/2, 0, 0)에서 원자로부터 산란된 파형은 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 짝수일$$ 경우 위상, $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 홀수일 경우 위상 이탈이 된다.

다시 한 번, 콘볼루션을 이용한 대안적 관점이 도움이 될 수 있다.Since [crystal structure] = [lattice] ${\displaystyle \ast }$ [basis], ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$[crystal structure] = ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$[lattice] ${\displaystyle \times {\mathcal {F}}}$[basis]; that is, scattering ${\displaystyle \propto }$ [reciprocal lattice] ${\d$$isplaystyle \cHB }$ $$[baself factor

3-D의_hkl F 예

신체중심입방체(BCC)

신체 중심 큐빅 브라바이스 격자(cI)의 경우 포인트$({\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0}$ ) ${\displaystyle (0,$0${\displaystyle ,\frac{0}{}}$$)},$${\displaystyle }$(1$$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle \frac{1}{}}$,${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ )$${\$displaystyle({\tfrac{1},{1},{{1},\tfrac{1$},{$1}$2}})를 사용하며$$,{{{{{tfrc$}}}$를 사용하게 된다.

${\displaystyle F_{hk\ell }=\sum _{j}f_{j}e^{-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}++\ell z_{j}}}}}=f\좌측[1+\좌측(e^{-i\pi }오른쪽)^{h+k+\ell }\right]=f\left[1+(-1)^{h+k+\ell }\right]}$

그래서

${\displaystyle F_{hk\ell}={\begin{case}2f,&h+k+\ell ={\text}\ven}\0,&h+k+\ell ={\text{odd}\end}}}}}}}$

얼굴 중심 큐빅(FCC)

FCC 격자는 브라바이스 격자이며, 푸리에 변환은 차체 중심의 입방 격자형 격자형이다.However to obtain ${\displaystyle F_{hk\ell }}$ without this shortcut, consider an FCC crystal with one atom at each lattice point as a primitive or simple cubic with a basis of 4 atoms, at the origin ${\displaystyle x_{j},y_{j},z_{j}=(0,0,0)}$ and at the three adjacent face centers, ${\displaystyle x_{j},y_{j},z_{j}=\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0\right)}$, ${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ and ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0,{\frac {1}{2}}\right$$)\}\}.$ 방정식 (8)이 된다.

${\displaystyle F_{hk\ell }=f\sum _{j=1}^{4}\mathrm {e}^{-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}++\ell z_}}}}}}}}=f\좌측[1+\mathrmatrmatrmit(h+pi(h+k) ^{ni(h+k)}}}}}}}}}}+\mathrm {e} ^{[-i\pi(k+\ell )]}+\mathrm {e} ^{[-i\pi(h+\ell )]\right]=f\f\1+(-1)^{h+k}+(-1)^{k+\ell }+(-1)^{h+\ell }\right]}$

그 결과로

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{case}f,&h,k,\ell \{\mbox{모두 짝수 또는 모든 홀수}\0,&h,k,\ell \{\mbox{혼합 패리티}\end{case}}}}}}}}}$

FCC 구조에서 결정되는 자료에서 가장 심한 회절 피크는 일반적으로 (111)이다.금과 같은 FCC 소재의 필름은 삼각형 표면 대칭으로 (111) 방향으로 성장하는 경향이 있다.분산된 빔 그룹(여기서, $혼합{\displaystyle }$ 패리티의$$ h${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle h,k,\ell })$에 대한 제로 분산 강도를 체계적 부재라고 한다.

다이아몬드 결정 구조

다이아몬드 큐빅 크리스털 구조는 다이아몬드(탄소), 주석, 그리고 대부분의 반도체를 예로 들 수 있다.입방 단위 세포에는 8개의 원자가 있다.우리는 그 구조를 8개의 원자의 기초가 되는 단순한 입방체로 생각할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}x_{j},y_{j},z_{j}=&,(0,\ 0,\ 0)&, \left({\frac{1}{2}},\{\frac{1}{2}},\ 0\right)\&\left(0,\{\frac{1}{2}},\{\frac{1}{2}}\right)&, \left({\frac{1}{2}},\ 0,\{\frac{1}{2}}\right)\\&, \left({\frac{1}{4}},\{\frac{1}{4}},\{\frac{1}{4}}\right)&, \left(}{\frac{3}{4},\{\frac{3}{4}},\{{\frac{1}.4}}\right))&\left({\frac{1}{4},\\\frac {3}{4}},\\frac {3}{4}\{4}\\\frac\{3}}{3}},\\\frac {1}{1},\frac {3}}\{4}\ed}}}}}}$

그러나 위의 FCC와 비교해 보면 (0, 0), (1/4, 1/4, 1/4)에서 두 개의 원자를 기초로 구조를 FCC로 설명하는 것이 더 간단하다고 본다.이를 위해 방정식(8)은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle F_{hk\ell }({\rm {{basis})=f\sum _{j=1}^{2}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})]}=f\left[1+\mathrm {e} ^{[-i\pi /2(h+k+\ell )]}\right]=f\left[1+(-i)^{h+k+\ell }\right]}}}$

그리고 다이아몬드 입방 구조의 구조 인자는 위의 FCC의 구조 인자와 이것의 산물이다(원자 형태 인자를 한 번만 포함).

${\displaystyle F_{hk\ell }=f\왼쪽[1+(-1)^{h+k}+(-1)^{k+\ell }+(-1)^{h+\ell }\right]\reft \reft[1+(-i)^{h+k+\ell }\right]}$

그 결과로

• h, k, ℓ이 혼합 패리티(이상한 값과 짝수 값을 조합한 값)인 경우 첫 번째(FCC) 항은 0이므로 ${\displaystyle F{}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$= 0 ${\displaystyle F_{hk\ell$}$^{2}=0}$
• h, k, ℓ이 모두 짝수이거나 모두 홀수일 경우 첫 번째(FCC) 항은 4이다.
  • h+k+lap이 홀수인 경우 F $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle 1}$± i${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle F{}_{}}$ h ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 32}$ f ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$
  • if h+k+ℓ is even and exactly divisible by 4 (${\displaystyle h+k+\ell =4n}$) then ${\displaystyle F_{hk\ell }=4f\times 2, F_{hk\ell } ^{2}=64f^{2}}$
  • h+${\displaystyle k}$+mal이 짝수이긴 하지만 정확히 4(${\displaystyle }$+ k${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle n}$ 4n$${\$displaystyle h+k+\ell$ \$neq$ 4n$\})$로 나눌 수 없는 경우, 두 번째 용어는 0이고 F ${\displaystyle h{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F_{hk\}}}} ^{$2}=$0}$

이 점들은 다음 방정식으로 캡슐화된다.

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{case}f,&h+k+\ell =4N\\4(pm i)f,&h+k+\ell =2N+1\0,&h+k+\ell =4N+2\\\end{case}}}}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow F_{hk\ell }^{2}={\begin}64f^{2},&h+k+\ell =4N\\\\322f^{2},&h+k+\ell =2N+1\0,&h+k+\el =4N+2\case}}}$

$여기$서 N ${\displaystyle N}$은(는) 정수다$$.

아연블렌드 결정구조

아연블렌드 구조는 모든 동일한 요소가 아닌 두 개의 서로 관통하는 FCC 격자의 혼합물이라는 점을 제외하면 다이아몬드 구조와 유사하다.$A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$을(를) 사용하여 화합물의 두 요소를 나타내는 결과 구조 계수는 다음과 같다$.$

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}4(f_{A}+f_{B}),&h+k+\ell =4N\\4(f_{A}\pm if_{B}),&h+k+\ell =2N+1\\4(f_{A}-f_{B}),&h+k+\ell =4N+2\\\end{cases}}}$

염화 세슘

염화 세슘은 Cs의 기초가 (0,0,0), Cl의 기초가 (1/2, 1/2)인 간단한 입방결정 격자(또는 다른 방법으로 보면 아무런 차이가 없다.방정식 (8)이 된다.

${\displaystyle F_{hk\ell }=\sum _{j=1}^{2}f_{j}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})]}=\left[f_{Cs}+f_{Cl}\mathrm {e} ^{[-i\pi (h+k+\ell )]}\right]=\left[f_{Cs}+f_{Cl}(-1)^{h+k+\ell }\right]}$

그런 다음 평면$({\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$)$${\디스플레이 스타일$(hk\ell )}$에서 산란하는 구조 인자에 대한 다음 결과에 도달한다$.$

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{case}(f_{Cs}+f_{Cl}),&h+k+\el\{cl}\(f_{Cs}-f_{Cl}),&h+k+\ell&\text{odd}{case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 흩어진 강도에, Fhkm그리고 4.9초 만 ℓ 2){(fC의+fCl는)2, h+k+ℓ 심지어(fCl는 fCs−)2, h+k+ℓ 이상한{\displaystyle F_{hk\ell}^ᆭ=ᆮ(f_{C}+f_{당분이나 지방 말고도})^{2},&,h+k+\ell&{\text{심지어}}\\(f_{C}-f_{당분이나 지방 말고도})^{2},&,h+k+\ell&{\text{이상한}}\end{cas.에스}}}

육각형 근접 포장(HCP)

흑연과 같은 HCP 결정에서, 두 좌표는 원점$$${\displaystyle }$(${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 0}$)$${\$displaystyle \left (0$${\displaystyle ,}$0,${\displaystyle 0\mathrm{}}$$\wright)$과 c/2에 위치한 c축 위로 다음 평면을 포함하며$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle 따라서\mathrm{}}$ (${\displaystyle 1/}$ 3, ${\displaystyle 2}$, 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$) ${\$/2/2$\오른쪽)})$을 포함)을 포함하며$,$ 이 두 개의 좌표는 우리에게 주어진다.

${\displaystyle F_{hk\ell }=f\좌측[1+e^{2\pi i\좌측({\tfrac {h}{3}}}}{2k}}{3}}}}{\tfrac {}}}{\ell{2}}\우측)}}}}}}$

이로부터 더미 $변수{\displaystyle }$ X${\displaystyle h}$h /${\displaystyle 3\mathrm{}}$ + ${\displaystyle 2k}$ /$3$ + ${\displaystyle /}$ / $2$를 정의하는 것이 $편리$하며$,$ $여기서부터는 계수$ 제곱을 $고려$하므로 다음과 같다$.$

${\displaystyle F ^{2}=f^{2}\left(1+e^{2\pi iX}\right)\left(1+e^{-2\pi iX}\right)=f^{2}\left(2+e^{2\pi iX}+e^{-2\pi iX}\right)=f^{2}\left(2+2\cos[2\pi X]\right)=f^{2}\left(4\cos ^{2}\left[\pi X\right]\right)}$

이는 구조 계수에 대한 다음과 같은 조건으로 이어진다.

${\displaystyle F_{hk\ell }^{2}={\begin{case}0,&h+2k=3N{\text{과 }}\ell{\text{\text{}는 홀수,}\\\4f^{2},&h+2k=3N{\text{과 }}\ell{\text{은 짝수,}}\\3f^{2},&h+2k=3N\pm 1{\text{{\text{}와 }}\ell {\text{은 홀수,}\\f^{2},&h+2k=3N\pm 1{\text{{\text{}와 }}\ell {\text{는 짝수}\\end{case}}}$

1차원과 2차원의 완벽한 결정체

상호 격자는 하나의 차원으로 쉽게 구성된다. $마침표$가 ${\displaystyle a}$인 선의 입자에 대해$$상호 격자는 2$㎛/{\displaystyle 2\pi/a}$인 점의 무한 배열이다$.$ 2차원에는 ${\displaystyle \mathrm{5개}}$의 Bravais 격자만 있다.해당 역수 격자는 다이렉트 격자와 대칭이 같다. 2-D 격자는 아래와 같이 평면 스크린에서 간단한 회절 기하학을 시연하는데 탁월하다.Equations (1)–(7) for structure factor ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$ apply with a scattering vector of limited dimensionality and a crystallographic structure factor can be defined in 2-D as ${\displaystyle F_{hk}=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm$${e} ^{[-2\pi$ i$(hx_{j}+ky_{j$

그러나 그래핀과 같은 실제 2-D 결정체가 3-D로 존재한다는 사실을 상기하라.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$ 평면의$$ 3-D 공간에 존재하는 2-D 육각 시트의 역수 격자는 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ $또는$ z ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ z$^{*}$ 축에$$ 평행한 선들의 육각 배열로$,{\displaystyle }$ ± ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\$$displaysty$$}$까지 확장되며$$ 일정한 $z$의$$평면을 $교차한다.$le $z}$은(는) 육각형 점 배열로$$ 표시된다.

그림에는 2-D 역수 격자의 한 벡터 구조와 산란 실험과의 관계가 나와 있다.

파형 벡터 ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\$와 함께 병렬 빔이 파라미터 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$의 사각 격자에서 발생함$.$산란 파동은 특정 각도에서 감지되며, 이는 나가는 빔의 파동 $벡터$인 ${\displaystyle k{\mathbf{}}_{}{}_{}{}_{}}$$${\$displaystyle \mathbf$ {$}$$_$${o} =$을(를) 정의한다.$$$$One can equally define the scattering vector ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k} _{o}-\mathbf {k} _{i}}$ and construct the harmonic pattern ${\displaystyle \exp(i\mathbf {q} \mathbf {r} )}$. In the depicted example, the spacing of this pattern coincides to the distance between particle 행: $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle q=2\pi /a}$을$($를) 사용하여 모든 입자로부터의 산란 기여가 위상(deposition interference)에 놓이도록 한다.따라서 방향 $k{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 총 신호가 강하며$$, $q{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 역수 격자에 속한다$$.이 구성이 브래그의 법칙을 충족시킨다는 것은 쉽게 알 수 있다.

불완전 결정체

기술적으로 완벽한 수정은 무한해야 하므로 유한한 크기는 불완전하다.실제 결정체는 유한한 크기 외에 항상 순서의 불완전함을 나타내며, 이러한 결함은 물질의 특성에 심오한 영향을 미칠 수 있다.안드레 기니에르는^[5] 자신이 1종류의 장애라고 부르는 수정의 장기 질서를 보존하는 결함과 그것을 파괴하는 결함을 2종류의 장애라고 부르는 결함을 널리 채용할 것을 제안했다.첫 번째 예는 열 진동이고, 두 번째 예는 탈구의 밀도 입니다.

일반적으로 적용할 수 있는 구조 $인자{\displaystyle }$S ( ${\displaystyle q\mathbf{}}$) ${\displaystyle$ S$(\mathbf$ {$q} )}$을(를) 사용하여 불완전성의 영향을 포함할 수 있다$$.결정학에서 이러한 효과는 구조 인자 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$와는 별개로 취급되므로 크기나 열 효과에 대한 개별 인자가 산포된 강도에 대한 표현으로 유입되어 완벽한 결정 구조 인자는 변하지 않는다.따라서 결정학적 구조 모델링 및 회절에 의한 구조 결정에서 이러한 요인에 대한 자세한 설명은 이 글에서는 적절하지 않다.

유한크기효과

$S{\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle S(q)}$의 경우 유한$$ 결정이란 방정식 1-7의 합계가 현재 $유한{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$을 초과함을 의미한다$.$ 그 효과는 1-D 격자로 가장 쉽게 입증된다.위상 인자의 합은 기하학적 계열이며 구조 인자는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{{N}\왼쪽 {\frac {1-\mathrm {e}^{-iQa}}{1-\mathrm {e}}\오른쪽 ^{2}={\frac {1}{N}\frac {sin(Nka/2)}{\sin(qa/2)}\오른쪽]^{2}.}$

이 함수는 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 다른 값에 대한 그림에서 나타난다$.$ 모든 입자로부터의 산란이 위상일 때, 즉 산란이 역수 $격자점{\displaystyle }$q = ${\displaystyle \mathrm{2k}}$ / a ${\displaysty q=2k\pi /a}$에 있을 때$,$ 진폭의 합은${\displaystyle n}$ N$${\$displaysty \po$ N$}$이어야 한다$$.intensity are ${\displaystyle \propto N^{2}}$. Taking the above expression for ${\displaystyle S(q)}$ and estimating the limit ${\displaystyle S(q\to 0)}$ using, for instance, L'Hôpital's rule) shows that ${\displaystyle S(q=2k\pi /a)=$$그림$에서 볼 수 있는 N$$$}.$At the midpoint ${\displaystyle S(q=(2k+1)\pi /a)=1/N}$ (by direct evaluation) and the peak width decreases like ${\displaystyle 1/N}$. In the large ${\displaystyle N}$ limit, the peaks become infinitely sharp Dirac delta functions, the reciprocal lattice of the perfect 1-D lattice

In crystallography when ${\displaystyle F_{hkl}}$ is used, ${\displaystyle N}$ is large, and the formal size effect on diffraction is taken as ${\displaystyle \left[{\frac {\sin(Nqa/2)}{(qa/2)}}\right]^{2}}$, which is the same as the expression for ${\displaystyle S(q)}$$$위$$ $\displaystyle s(q)$는 역수 격자점 근처에 있으며$,$ q ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathrm{q}}$ q q q q q q q q${\displaystyle }$q$$q q q$$$q q.$ 한정된 실제 결정 구조를 [attice] $\ast {\displaystyle }${\$disste}$$×$$\$displaystytime$$ } 직사각형 함수는 직사각형 함수는 직사각형이다.수정 안과 수정 바깥에 0.Then ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$[crystal structure] = ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$[lattice] ${\displaystyle \times {\mathcal {F}}}$[basis] ${\displaystyle \ast {F}}$[rectangular function]; that is, scattering ${\displaystyle \propto }$ [reciprocal lattice] ${\displaystyle \$$times}$ $$[csinc 함수] $▼{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ $$[sinc 함수].Thus the intensity, which is a delta function of position for the perfect crystal, becomes a ${\textstyle \operatorname {sinc} ^{2}}$ function around every point with a maximum ${\displaystyle \propto N^{2}}$, a width ${\displaystyle \propto 1/N}$, area ${\displaystyle \propto N}$.

제1종 장애

이 결정의 무질서에 대한 모델은 완벽한 결정의 구조 요소로부터 시작된다.단순성을 위한 1차원 및 N 평면에서 우리는 위의 표현으로 완벽한 유한 격자(${\displaystyle q}$ )를 시작하며, 그 다음 이 장애는 $오직{\displaystyle }$ S${\displaystyle }$(q$){\displaystyle S(q)}$를 곱인자에 의해$$ 변경하여 다음과^[1] 같이 한다.

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}\왼쪽[{\frac {\sin(Nka/2)}{\sin(qa/2)}\오른쪽]^{2}\exp \left q^{2}\langle \langle \langle \right)}$

where the disorder is measured by the mean-square displacement of the positions ${\displaystyle x_{j}}$ from their positions in a perfect one-dimensional lattice: ${\displaystyle a(j-(N-1)/2)}$, i.e., ${\displaystyle x_{j}=a(j-(N-1)/2)+\delta x}$, where $$${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta x}$은(는) 작은 임의 변위$({\displaystyle a}$보다 작음$)$이다.첫 번째 유형의 장애의 경우, 각 임의 변위 ${\displaystyle \Delta }$ x ${\displaystyle \delta x}$은 다른 변위와 독립적이며, 완벽한 격자와 관련이 있다.따라서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta x}$ 변위는 결정의 변환 순서를 파괴하지 않는다$$.이는 무한 결정(${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle N\to \infit }$)의 경우 구조 인자의 델타 함수 Bragg 피크가 여전히 존재하며, 피크 폭은 $이러한{\displaystyle }$ 종류의 장애와 함께 여전히 0${\displaystyle }$→${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaysty N\to$\fto $\backslash$$fto$\ft.단, 피크의 진폭을 감소시키기도 하며, 지수 인자의$$ ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle q^{2$}}배율 때문에, $작은{\displaystyle }$ q$${\$displaystyle q}$의 피크보다 훨씬$$ 더 큰 $q{\displaystyle }$ ${\displaysty q}$의 피크를 감소시킨다$.$

구조는 단순히 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$과 무질서에 의존하는 용어로 축소된다. 왜냐하면 1종류의 모든 무질서가 산란면을 살포하여 폼팩터를 효과적으로 감소시키기 때문이다.

3차원에서 효과는 동일하고, 구조는 다시 승수 인자에 의해 감소하며, 이 인자를 흔히 데비-월러 인자라고 부른다.Debye-Waller 인자는 종종 열 운동으로 인해 발생한다는 점에 유의하십시오. 즉,$$ x {\$displaystyle$ \$delta x}$는 열 운동 때문이지만, 열 운동뿐만 아니라 완벽한 격자에 대한 임의의 변위는 Debye-Waller 인자에 기여할 것이다.

제2종 장애

그러나 원자 쌍의 분리가 증가함에 따라 원자의 쌍 사이의 상관관계가 감소하는 변동은 결정의 구조인자에서 Bragg 피크를 넓히는 원인이 된다.이것이 어떻게 작동하는지 보기 위해, 우리는 1차원 장난감 모델, 즉 평균 간격의 플레이트 $스택$을 고려한다$.$그 유래는 기니에의 교과서 9장에 그 뒤에 있다.^[6]이 모델은 호스만과 협력자들에^[7] 의해 수년에 걸쳐 많은 재료에 의해 개척되고 적용되었다.기니에와 그들은 이 장애를 두 번째 종류의 장애라고 불렀고, 특히 호스만은 이 불완전한 결정질서를 파라크리스탈린 주문이라고 불렀다.제1종 장애는 데비-월러 인자의 원인이다.

모델을 도출하기 위해 우리는 (하나의 차원)의 정의로 시작한다.

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}\sum _{j,k=1}^{N}\mathrm {e}^{-iq(x_{j}-x_{k}}}}}}}}}}$

우선, 단순성을 위해 무한 결정, 즉 $N{\displaystyle }$ →${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle N\to$\ft \ft.}을$($를) 고려할 것이다$.$ 우리는 아래의 두 번째 유형의 장애를 가진 유한 결정체를 고려할 것이다.

우리의 무한한 결정을 위해, 우리는 격자 부위의 쌍을 고려하기를 원한다.무한 결정의 각 면에 대해, 두 개의 $인접{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$ 평면이$$ 떨어져 있으므로 위의 이중 합은 원자의 어느 한 쪽 이웃 쌍에 걸쳐${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -m}$ 및$$ $m{\displaystyle }$ ${\$$displaystym$ $m$$}$ 격자$$ 스페이스가 떨어져 있는 위치, $N$을 $곱한$ 다음$.$

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{\\flt }^{\npt }{-\npt }{\rm {d}(\Delta x)p_{m}(\Delta x)\cos \left(q\Delta x\rig)}}$

여기서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}\mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p_{m}(\Delta$ x$)}$은 평면 쌍의$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ x ${\displaystyle \Delta x}$ 분리, $m{\displaystyle }$ ${\displaystym m}$ 격자$$ 스페이스에 대한 확률 밀도함수다.인접 평면의 분리에 대해서는 단순성을 위해 a의 평균 인접 간격 주변의 변동이 가우스인 것으로 가정한다.

${\displaystyle p_{1}(\Delta x)={\frac {1}{{1}{\pi \sigma _{2}{2}}^{1/2}}:\exp \왼쪽[\Delta x-a\오른쪽)^{2}/(2\sigma _{2}^2}\오른쪽]}}}$

그리고 우리는 또한 비행기와 그 이웃 간의 그리고 이 이웃과 다음 비행기 사이의 변동은 독립적이라고 가정한다.그러면 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\Delta }$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p_{2}(\Delta$ x$)}$은(는) 2 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle p_{1}(\Delta x)}$ s $등$의 경련일 뿐이다$$.두 명의 가우스인의 콘볼루션은 또 하나의 가우스인에 불과하기 때문에, 우리에게는 그런 것이 있다.

${\displaystyle p_{m}(\Delta x)={\frac {1}{{1}{\pi m\sigma _{2}^{2}}^{1/2}}:\exp \좌측[\delta x-ma\우측)^{2}/(2m\sigma _{2}\우측)}}}$

$S{\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle S(q)}$의 합은 그때 가우시인들의 푸리에 변환의 합에 불과하며$$, 그렇게 되었다.

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{\nothy }r^{m}\cos \left(mqa\오른쪽)}$

for ${\displaystyle r=\exp[-q^{2}\sigma _{2}^{2}/2]}$. The sum is just the real part of the sum ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }[r\exp(iqa)]$$^{m}}$ 따라서$$ 무한하지만 흐트러진 결정의 구조 인자는

${\displaystyle S(q)={\frac {1-r^{2}}:{1+r^{2}-2r\cos(qa)}}}$

이 $피크$는 ${\displaystyle {최대}_{}\mathrm{q}}$ ${\displaystyle p}$ = 2 $\$ / {\$displaystyle q_{p}=2n\$pi /$a$$}$의 피크가 있으며$,$ 여기서 ${\displaystyle \cos (({}_{}}$ P${\displaystyle }$a${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 1}${\$displaysty \cos(q_{P}a)=$1}의 피크는 높이가 있다$.$

${\displaystyle S(q_{P}}={\frac {1+r}{1-r}}}\{4}{q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}}}}={{n^{a^}}}}}}}{n^{n^{2}}\sigma _{2}}:2}}:}}$

즉, 연속적인 피크의 높이가 피크(따라서 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$)의 제곱에 따라 떨어진다.봉우리를 넓히면서도 키를 줄이지 않는 유한한 크기 효과와 달리 장애는 피크 높이를 낮춰준다.여기서 우리는 장애가 상대적으로 약하기 때문에 상대적으로 잘 정의된 봉우리를 가지고 있다고 가정한다.This is the limit ${\displaystyle q\sigma _{2}\ll 1}$, where ${\displaystyle r\simeq 1-q^{2}\sigma _{2}^{2}/2}$. In this limit, near a peak we can approximate ${\displaystyle \cos(qa)\simeq 1-(\Delta q)^{2}a^{2}/2}$, with${\displaystyle \mathrm{\Delta }q=q-}$${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$ 및 get$$

${\displaystyle S(q)\approx {\frac {S(q_{P})}{1+{\frac {r}{(1-r)^{2}}}{\frac {\Delta q^{2}a^{2}}{2}}}}\approx {\frac {S(q_{P})}{1+{\frac {\Delta q^{2}}{[q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}/a]^{2}/2}}}}}$

which is a Lorentzian or Cauchy function, of FWHM ${\displaystyle q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}/a=4\pi ^{2}n^{2}(\sigma _{2}/a)^{2}/a}$, i.e., the FWHM increases as the square of the order of peak, and so as the square of the wave vector ${\displaystyle q}$ at최고봉

마지막으로, 피크 높이와 FWHM의 제품은 일정하며 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q\sigma _{2}\ll 1}$ 한계에서$$ $4{\displaystyle \mathrm{}}$/ a ${\displaystyle 4/a$과 같다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 크지 않은$$ 처음 몇 개의 피크의 경우, ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$/ ${\displaystyle \ll }$ 1 ${\displaystyle \sigma _{2}/a\ll$ 1$}$ 제한에$$ 불과하다.

제2종 장애 유한 결정체

$N{\displaystyle }$ 크기의 1차원 결정$${\$displaystyle N}$인 경우

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{N}\좌측(1-{\frac {m}{N}\오른쪽)r^{m}\cos \좌측(mqa\오른쪽)}$

where the factor in parentheses comes from the fact the sum is over nearest-neighbour pairs (${\displaystyle m=1}$), next nearest-neighbours (${\displaystyle m=2}$), ... and for a crystal of ${\displaystyle N}$ planes, there are ${\displaystyle N-1}$ pairs of nearest neighbours, ${\displaystyle$$N-2}$쌍의$$ 가장 가까운 이웃 등

액체

결정과 대조적으로 액체는 장거리 순서가 없기 때문에(특히 규칙적인 격자가 없다), 구조 계수는 뾰족한 봉우리를 나타내지 않는다.그러나 그들은 그들의 밀도와 입자 사이의 상호작용의 강도에 따라 일정한 정도의 단거리 질서를 보여준다.액체는 등방성이므로 (4)의 평균 연산 후 구조 계수는 산란 벡터 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle q\mathbf{}}$ = q =${\displaystyle }$q = q =\$displaystyle q=\$left $\mathbf {q} \right$ $\}\}.$ 추가 평가를 위해 doubl에서$$ 대각선 $용어{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$=$$k = {\$displaysty$ j$=k}$을 분리하는 것이 편리하다.e sum, 위상이 동일한 0이므로 각 위상은 단위 상수에 기여한다.

${\displaystyle S(q)=1+{\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{j\neq k}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}\right\rangle }$.

(9)

방사형 분포 함수 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle r}$ )${\displaystyle$ $s$$(q)}$에 대한 대체$$ 식을 얻을 수 있다$.$^[8]

${\displaystyle S}$(${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+${\displaystyle {}_{}\rho }$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle d\mathbf{}}$ ${\displaystyle e{\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle$ S$(q)=1+\rho \int_{V}\mathbf {d} \mathbf {r} \,\mathbf {q} ^{-i\mathbf$ {$r} \$mathbf {} {} } } } } } \r(r(r(r) $\g(r)$.

(10)

이상기체

상호작용이 없는 제한적인 경우, $R{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$${\$ {$R} _{j}$과(와) ${\displaystyle {}_{}}$ k {\$displaystyle$ \$mathbf {R}$ _{$k}$ 사이에 상관관계가$$ 없기 때문에, 시스템은 $이상적$인 기체이며 구조계수는 완전히 $특징$이 없다$.$y are independent random variables), so the off-diagonal terms in Equation (9) average to zero: ${\displaystyle \langle \exp[-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})]\rangle =\langle \exp(-i\mathbf {q} \mathbf {R} _{j})\$$랑글 \langle \exp(i\mathbf {q} \mathbf {R} _{k}\angle =0}$.

하이큐 한계

상호작용하는 입자의 경우에도 높은 산란 벡터에서 구조 인자는 1로 간다.$이{\displaystyle }$ 결과는 방정식 (10)에서 따르며, S${\displaystyle }$(${\displaystyle }$${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S(q)-1}$은 "일반" $함수{\displaystyle }$g (${\displaystyle }$r )$${\$displaysty$ g$(r)}$의 푸리에 변환이므로$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaysty q}$ 인수의 높은 값에 대해 0이 된다$.$ 이 추론은 분포 함수를 나타내는 완벽한 결정에는 적합하지 않다.무한히 날카로운 봉우리들

낮은 수량 한계

낮은 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 한계에서$$ 시스템이 큰 길이 눈금에 걸쳐 프로빙되므로 구조 인자는 열역학 정보를 포함하며, 압축성 방정식에 의해 액체의$$ 등온 $압축성{\displaystyle {}_{}}$ { ${\displaystyle T_{}}$ ${\$과 관련된다.

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 0}S(q)=\rho \,k_{\mathrm {B} }T\,\chi _{T}=k_{\mathrm {B} }T\left({\frac {\partial \rho }{\partial p}}\right)}$.

하드 sphere 액체

하드 구체 모델에서 입자는 반경 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 가진 관통 불가능한 구로 설명된다$.$ 따라서 입자의 중심 대 중심 $거리{\displaystyle }$ r${\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r\geq 2R}$을(를) 가지며$$ 이 거리 이상의 상호작용을 경험하지 않는다.이들의 상호작용 잠재력은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle V(r)={\begin}\case}\flt &{{\text{{}r<2R,\0&{\text{}}}{}r\geq 2R의 경우.\end{case}}}$

이 모델은 Percus-에 분석 솔루션을^[9] 가지고 있다.예빅 근사.매우 단순화되었지만 액체 금속에서^[10] 콜로이드 중단에 이르는 시스템에 대해 좋은 설명을 제공한다.^[11]그림에서 용적률$Ⅱ{\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Phi }$에 대한 하드-sphere 유체의 구조 계수는 1% ~ 40%이다$$.

폴리머

폴리머 시스템에서 일반적 정의(4)는 유지된다. 기본 구성 요소는 이제 체인을 구성하는 단량체(monomer가 된다.그러나, 구조 인자는 입자 위치 간의 상관 관계를 측정하는 척도로서, 동일한 체인 또는 다른 체인에 속하는 단량체의 경우 이 상관관계가 다를 것이라고 합리적으로 예상할 수 있다.

Let us assume that the volume ${\displaystyle V}$ contains ${\displaystyle N_{c}}$ identical molecules, each composed of ${\displaystyle N_{p}}$ monomers, such that ${\displaystyle N_{c}N_{p}=N}$ (${\displaystyle N_{p}}$ is also known as the degree of polymerization).(4)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle S(\mathbf{q})=\frac{1}{N_c{N}_p}⟨\sum _{\alpha \beta =1}^{N_c}\sum _{jk=1}^{N_p}{\mathrm{e}}^{-i\mathbf{q}({\mathbf{R}}_{\alpha j}-{\mathbf{R}}_{\beta k})}⟩=\frac{1}{N_c{N}_p}⟨\sum _{\alpha =1}^{N_c}\sum _{jk=1}^{N_p}{\mathrm{e}}^{-i\mathbf{q}({\mathbf{R}}_{\alpha j}-{\mathbf{R}}_{\alpha k})}⟩+\frac{1}{N_c{N}_p}⟨\sum _{\alpha \ne \beta =1}^{N_c}\sum _{jk=1}^{N_p}{}^{}}$${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N_{c}N_{p}}}\left\langle \sum _{\alpha \beta =1}^{N_{c}}\sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{\alpha j}-\mathbf {R} _{\beta k})}\right\rangle ={\frac {1}{N_{c}N_{p}}}\left\langle \sum _{\alpha =1}^{N_{c}}\sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {$$e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{\alpha j}-\mathbf {R} _{\alpha k})}\right\rangle +{\frac {1}{N_{c}N_{p}}}\left\langle \sum _{\alpha \neq \beta =1}^{N_{c}}\sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{\alpha j}-\mathbf {R} _{\beta k})}\right\rangle }$,

(11)

여기서 지수 $\alpha {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ,\$displaystyle \$beta}$은(는) 서로 다른 분자에 라벨을 붙이고$$${\displaystyle ,}$ $j{\displaystyle }$ , ${\displaystyle k}${\$displaysty j,k}$ 각 분자를 따라 서로$$ 다른 모노머를 표시한다.오른쪽에는 분자 내(${\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$) 용어와 분자 간(${\displaystyle }$ α${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta$ $\}\})$ 용어를 분리했다.체인의 등가성을 이용하여 (11)을 단순화할 수 있다.^[12]

${\displaystyle S(\mathbf {q} )=\underbrace {{\frac {1}{N_{p}}}\left\langle \sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\$$mathbf {q} (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}\right\rangle } _{S_{1}(q)}+{\frac {N_{c}-1}{N_{p}}}\left\langle \sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{1j}-\mathbf {R} _{2k})}\right\rangle }$,

(12)

여기서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}q}$) ${\displaystyle S_{1}(q)}$은(는) 단일 체인 구조 요인이다.

참고 항목

• R-요인(결정론)
• 패터슨 기능

메모들

참조

1. 알스-닐슨, N., 맥모로우, D. (2011년)현대 X선 물리학의 요소들(2판)존 와일리 & 선즈.
2. 기니에, A. (1963년).X선 회절.크리스탈, 불완전한 크리스탈, 그리고 무정형 체내에서.W. H. 프리먼 앤 코
3. 챈들러, D. (1987년)현대 통계역학에 대한 소개.옥스퍼드 대학 출판부
4. Hansen, J. P. 그리고 McDonald, I. R. (2005).Simple Liquids 이론(3판)학술 출판사.
5. 테라오카, I. (2002년)폴리머 용액:물리적 특성에 대한 소개.존 와일리 & 선즈.

외부 링크

• 요크 대학교에 위치한 Structure Factor Tutorial.
• IUCr에 의한$$ $F{\displaystyle {}_{}}$ h ${\displaystyle k_{}}$ l ${\$의 정의
• CSIC의 Crystalography