고유 인자화 도메인

대수구조
그룹다운 그룹 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 퀀들 Quas그룹과 루프 아벨 군 마그마 거짓말군 집단 이론
반지 같은 울리다 Rng 세미닝 근링 정류 링 통합 도메인 밭 디비전 링 리 링 링 이론
격자 모양의 격자 세미라티체 보완 격자 총순번 헤이팅 대수 부울 대수 선반 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자와 그룹화 벡터 공간 선형대수학
대수적 유사 대수학 연상적 비연관적 구성 대수 리 대수 등급이 매겨진 바이알게브라 호프 대수
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수학에서 고유한 인자화 영역(UFD) (부르바키 용어를 따라 요인 링이라고도 부르기도 한다)은 산술의 기본 정리와 유사한 문구가 들어 있는 링이다. 구체적으로, UFD는 0이 아닌 모든 비-비-비-제로 원소의 생산물이 0이 아닌 원소의 생산물로 기록될 수 있는 일체형 영역(비-비-제로 원소의 생산물이 0이 아닌 것)이며, 순서와 단위에 따라 고유하게 조정된다.

UFD의 중요한 예로는 하나 이상의 변수에 있는 정수 및 다항식 링과 정수 또는 필드에서 오는 계수를 들 수 있다.

고유한 인자화 도메인은 다음과 같은 클래스 포함 체인에 나타난다.

rngs ⊃ rings ⊃ commutative ring ⊃ 적분 도메인 ⊃ 통합적으로 폐쇄된 도메인 ⊃ GCD 도메인 ⊃ 고유 인자화 도메인 ⊃ 주요 이상 도메인 ⊃ 유클리드 도메인 ⊃ 필드 ⊃ 대수적으로 폐쇄된 필드 fields.

정의

형식적으로 고유 인수 도메인은 R의 0이 아닌 모든 요소 x를 R의 p와_i u의 u의 unreducable 요소의 제품(x가 하나의 단위일 경우 빈 제품)으로 작성할 수 있는 통합 도메인 R으로 정의된다.

x = u p₁₂ ⋅⋅⋅ p_n, n ≥ 0

그리고 이러한 표현은 다음과 같은 의미에서 독특하다: 만약 q₁, ..., q가_m R의 불가결한 요소라면 w는 다음과 같은 단위다.

x = w q₁₂ q q_m, m 0 0,

그 다음 m = n, 그리고 p가_i i ∈ {1, ..., n}의_φ(i) q와 연결된 것과 같은 생체적 지도 φ: {1, ..., m}이 있다.

고유성 부분은 일반적으로 검증하기 어렵기 때문에 다음과 같은 등가 정의가 유용하다.

고유한 인수 영역은 모든 0이 아닌 요소가 하나의 단위와 R의 주요 요소로 작성될 수 있는 통합 영역 R이다.

예

기초 수학에서 친숙한 대부분의 링은 UFD이다.

• 모든 주요 이상 도메인, 즉 모든 유클리드 도메인은 UFD이다. 특히 정수(산술의 근본적인 정리도 보임), 가우스 정수와 아이젠슈타인 정수는 UFD이다.
• R이 UFD인 경우 R[X], 계수가 R인 다항식의 링이다. R이 필드가 아닌 한 R[X]은 주요한 이상적인 영역이 아니다. 유도에 의해, 어떤 UFD(특히 필드 또는 정수 위에 있는)에 대한 임의의 수의 변수에 있는 다항식 링은 UFD이다.
• 필드 K(또는 PID와 같은 일반 UFD에 대해 일반적으로) 위에 있는 공식 파워 시리즈 링 K[X₁,...,X_n]는 UFD이다. 반면에 UFD를 통한 공식적인 파워 시리즈 링은 UFD가 국부적이더라도 UFD가 될 필요는 없다. 예를 들어, R이 prime ideimal (x,y,z⁷)에서 k[x,y]/(x² + y + z³)의 국산화라면 R은 UFD인 국부 링이지만, R 위에 있는 공식 파워 시리즈 링 R[X]은 UFD가 아니다.
• 아우슬란더-뷔흐스바움 정리는 모든 일반 국부 링이 UFD라고 명시하고 있다.
• ${\displaystyle \mathbb{Z}}$[ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\pi }{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {]}^{}}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[e^{\frac {2\pi$ i$}{n}}}}}$은(는) 모든 정수 1 ≤ n ≤ 22에 대한 UFD이지만$$ n = 23에는 해당되지 않는다.
• 모리는 노에테리아 지방 링과 같은 자리스키 링의 완성이 UFD라면 그 링은 UFD임을 보여주었다.^[1] 이것의 반대는 사실이 아니다: UFD인 노에테리아 지방 링이 있지만 완성은 없다. 이런 일이 일어날 때의 질문이요 예를 들어, k[x,y,z](미국+y3+z5)의 주요한 이상(x,y,z)에서 국산화 등을 위해 이 지역 링과 송유관이 완성된다 UFDs지만, k[x,y,z](미국+y3+z7)의 주요한 이상에서 현지화 외관상 비슷한 예에서(x,y,z)지역 링은 다목적 사격장치지만 송유관이 완성된n.은 미묘하다고르다.
• $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 2 이외의 특성의 필드가 되도록$$ 한다. 클라인과 나가타는 Q가 X에서 비정형 2차 형태일 때마다 R[X₁,...,X_n]/Q가 UFD이고 n은 최소 5라는 것을 보여주었다. n=4일 때 링은 UFD가 될 필요가 없다. For example, ${\displaystyle R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)}$ is not a UFD, because the element ${\displaystyle XY}$ equals the element ${\displaystyle ZW}$ so that ${\displaystyle XY}$ and ${\displaystyle ZW}$ are two different factorizations of the same element into irreduci피를 흘리다
• 링 Q[x,y]/(x² + 2y² + 1)는 UFD이지만 링 Q(i)[x,y]/(x² + 2y² + 1)는 UFD가 아니다. 반면 링 Q[x,y]/(x²² + y – 1)는 UFD가 아니지만 링 Q(i)[x,y]/(x² + y² – 1)는 (Samuel 1964, p.35)이다. 마찬가지로 2차원 실구의 좌표 링 R[X,Y,Z]/(X² + Y² + Z² - 1)은 UFD이지만 복잡한 구의 좌표 링 C[X,Y,Z]/(X² + Y²² + Z - 1)은 UFD가 아니다.
• 변수_i X에 w 가중치가_i 부여되고, F(X₁,...,X_n)가 w의 균일한 다항식이라고 가정하자. 그 다음 c가 w에 복사되고 R이 UFD이고 R을 통해 미세하게 생성된 모든 투영 모듈이 자유롭거나 c가 1md w인 경우, 링 R[X₁, ..., Z_n]/(Z^c - F(X₁, ..., X_n)는 UFD(Samuel 1964, p.31)이다.

비예시

• The quadratic integer ring ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ of all complex numbers of the form ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$, where a and b are integers, is not a UFD because 6 factors as both 2×3 and as ${\displaystyle \left(1+{\sqrt {-5}}\right)$$\left(1-{\sqrt{-5}}\오른쪽$ . 이 링의 유일한 단위가 1과 ${\displaystyle \sqrt{-1}}$이므로 2, 3, $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ -${\displaystyle \sqrt{}}$5 ${\$ 1$+{\sqrt{-5}$및 $1{\displaystyle \mathrm{}\sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{5}}$ ${\$ 중 어느 것도 연관되지 않기 때문에 이러한 요소는 실제로 다른 요인이다. 비록 이것이 명백하지 않을 수도 있지만, 네 가지 요소들이 모두 수정할 수 없다는 것을 보여주는 것은 어렵지 않다.^[2] 대수 정수를 참조하십시오.
• 제곱이 없는 양의 정수 d의 경우, $Q{\displaystyle \mathbb{}}$[${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{d}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\dstyle \mathb {Q}[{\sqrt{-d}]}$의 정수 링은 Heegner 번호가 아닌 한 UFD가 되지 않는다$$.
• 복잡한 숫자에 대한 공식 파워 계열의 링은 UFD이지만, 모든 곳에 수렴하는 서브링, 즉 단일 복합 변수의 전체 함수의 링은 UFD가 아니다. 왜냐하면 0의 무한성을 가진 전체 함수가 존재하기 때문에, 따라서 무한정 수정 불가능한 인자의 무한성이 존재하기 때문이다. 반면에 UFD 인자화는 핀이 되어야 한다.예:

${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infit }\좌측(1-{z^{2}}: {n^{2}}\오른쪽).}$

특성.

정수에 대해 정의된 일부 개념은 UFD로 일반화할 수 있다.

• UFD에서, 모든 불가해한 요소는 프라임이다. (모든 필수 영역에서는 모든 주요 요소가 수정 불가능하지만, 그 반대가 항상 유지되는 것은 아니다. 예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{원소}}$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ K${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle z\in K[x,y,z]/(z^{2}-xy)}$은(는) 수정 불가하지만$$ prime은 아니다.) 이것은 부분적인 컨버스라는 점에 유의하십시오. ACCP를 만족하는 도메인은 모든 되돌릴 수 없는 요소가 프라임인 경우에만 UFD이다.
• UFD의 어떤 두 요소도 가장 큰 공통 디비저와 최소 공통 배수를 가지고 있다. 여기서 a와 b의 가장 큰 공통점자는 a와 b를 모두 나누는 원소 d이며, 따라서 a와 b의 다른 공통점들은 모두 d를 나눈다. a와 b의 가장 큰 공통점들은 모두 연관되어 있다.
• 모든 UFD는 통합적으로 폐쇄된다. 즉, R이 몫 필드 K를 갖는 UFD이고, K의 요소 k가 R의 계수를 갖는 단항 다항식의 루트라면 k는 R의 요소다.
• S를 UFD A의 곱셈적으로 닫힌 서브셋으로 한다. 그러면 국산화 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\디스플레이$ 스타일 $S^{-1}A}$가 UFD이다. 이것에 대한 부분적인 반대도 또한 지속된다; 아래를 보라.

링이 UFD가 되는 동등한 조건

노메테리아 적분 영역은 모든 높이 1이 주 이상일 경우에만 UFD이다(끝에 증거가 제시됨). 또한 디데킨드 도메인은 이상적인 클래스 그룹이 사소한 경우에만 UFD이다. 이 경우에, 그것은 사실 주요한 이상적인 영역이다.

일반적으로, 통합 도메인 A의 경우, 다음 조건은 동등하다.

1. A는 UFD이다.
2. A의 모든 nonzero prime idea는 prime idea를 포함하고 있다. (Kaplansky)
3. A는 주요 이상(ACCP)에서 상승 체인 조건을 만족하며, 국산화⁻¹ SA는 UFD로, 여기서 S는 원시 요소에서 생성되는 A의 곱절적으로 닫힌 부분집합이다.(나가타 기준)
4. ACCP를 만족시키고 모든 불가침은 최상이다.
5. A는 원자적이고 모든 불가해한 것은 프라임이다.
6. A는 GCD 영역(즉, 어떤 두 요소가든 가장 큰 공통점을 가지고 있다) 만족(ACCP)이다.
7. A는 슈레이어 영역이며 원자적이다.^[3]
8. A는 슈라이어 이전의 영역이며 원자적이다.
9. A는 모든 점자가 주체가 되는 점자 이론을 가지고 있다.
10. A는 모든 구분의 이상이 주체가 되는 Krull 도메인이다(사실 이것은 부르바키에서의 UFD의 정의다).
11. A는 Krull 도메인이고 키 1의 모든 주요 이상은 주원이다.^[4]

실제로 (2)와 (3)이 가장 유용한 점검 조건이다. 예를 들어, 모든 주요 이상은 PID의 주요 요소에 의해 생성되기 때문에 PID가 UFD인 것은 (2)부터 즉시 따른다.

또 다른 예로, 모든 주요 이상적 키가 주체가 되는 노메테리아 통합 영역을 생각해 보자. 모든 기본 이상은 높이가 한정되어 있기 때문에, 그것은 주요한 하나의 기본 이상(높이 유도)을 포함하고 있다. (2)에 의해 링은 UFD이다.

참고 항목

• 파라팩토리 로컬 링
• 비 커밋 고유 인자화 도메인

인용구

참조