무작위 원소

확률론에서 랜덤 요소는 단순한 실선보다 더 복잡한 공간에 랜덤 변수 개념을 일반화한 것이다. 이 개념은 모리스 프레셰트(1948)가 "확률 이론의 개발과 적용 영역의 확장으로 인해 실험의 (랜덤) 결과를 숫자 또는 유한한 숫자의 집합으로 설명할 수 있는 체계에서 실험의 결과가 나타내는 체계로, 엑사(exa)를 나타내는 체계로 넘어갈 필요가 있다고 논평하면서 도입되었다.mple, 벡터, 함수, 프로세스, 필드, 영상 시리즈, 변환 및 집합 또는 집합 집합 모음도."^[1]

현대적인 "랜덤 요소"의 사용은 종종 값의 공간이 위상학적 벡터 공간이며, 종종 하위 집합의 특정한 자연 시그마 대수학을 가진 바나흐 또는 힐버트 공간이라고 가정한다.^[2]

정의

$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, P${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal {F},P)}$은 확률공간이고$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle E\mathcal{}}$, E${\displaystyle }$) ${\displaystyle (E,{\mathcal {E})$은 측정가능한 공간이다. E에 값이 있는 임의 원소는 X: Ω→E 함수로서$,$ (${\displaystyle F}$, ${\displaystyle E}$) {\$displaystyle({\mathcal{F},{\mathcal{E})}$ -측정$$ 가능한 것이다. 즉, $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E\mathcal{}}$ ${\$에 대해$$B의 사전 이미지는 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 있다$.$

$때때로$ E ${\displaystyle E}$에 값이 있는 랜덤 요소를 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ 값 랜덤$$ 변수라고 부른다.

Note if ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$, where ${\displaystyle \mathbb {R} }$ are the real numbers, and ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ is its Borel σ-algebra, then the definition of random element is the class무작위 변수의 ical 정의.

Banach 공간 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 값이 있는$$ $랜덤{\displaystyle }$ 요소 X ${\displaystyle X}$의 정의는 일반적으로 모든 경계 선형 기능을 측정할 수 있는 B에 가장 작은 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ -algebra를$$ 사용하는 것으로 이해된다$$. ${\displaystyle 이}$ 경우 위와 동등한 정의는 맵 $X{\displaystyle }$ :${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ B ${\displaystyle$ X$:$$\Oomega \rightarrow B$ 확률 $공간$에서 f ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\circ X}$이(가) 모든 경계 선형 함수 f에 대한 랜덤 변수인 경우 또는 동등하게 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 약하게 측정할 수 있는$$ 임의의 요소다.

랜덤 요소의 예

변량변수

랜덤 변수는 가장 단순한 유형의 랜덤 요소다. 지도 X :${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ X$\colon \Oomega \to \mathb {R}}$은(는) 가능한 결과 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에서 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$까지 측정 가능한 함수 입니다$.$

실제 값 함수로서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 특정 이벤트의 일부 수치적 양을 설명하는 경우가$$ 많다. 예: 일정 횟수의 동전이 떨어진 후의 머리 수, 다른 사람의 높이.

언제 X{X\displaystyle}의 이미지(또는 범위)또는 셀 수 있게 무한한 유한하다는 이미지의 업적은 그 무한하다, 확률 변수와 그 분포 X{X\displaystyle}의 이미지에 각 값에 대한 확률을 할당할 확률 질량 함수로 기술될 수 있다. 이산 확률 variable[3]라고 불린다. x${\displaystyle X}$을(를) 연속 랜덤 변수라고 한다. 절대적으로 연속적인 특별한 경우, 분포는 확률을 구간에 할당하는 확률밀도함수로 설명할 수 있다. 특히, 각 개별 점은 절대 연속 랜덤 변수에 대해 반드시 확률 0을 가져야 한다. 모든 연속 랜덤 변수가 절대적으로 연속적인 것은 아니다.^[4] 예를 들어 혼합물 분포. 그러한 랜덤 변수는 확률밀도나 확률질량함수로 설명할 수 없다.

랜덤 벡터

임의 벡터는 열 벡터 $X{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ,${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$}, $...,X_{n})^$${T}}$ (or its transpose, which is a row vector) whose components are scalar-valued random variables on the same probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, where ${\displaystyle \Omega }$ is the sample space, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is the sigma-algebra (the collection of all 사건) 및 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은 확률 측정(각 사건의 확률을 반환하는 함수)이다$$.

랜덤 벡터는 다양한 유형의 집계 랜덤 변수(예: 랜덤 행렬, 랜덤 트리, 랜덤 시퀀스, 랜덤 프로세스 등)의 기본 구현으로 자주 사용된다.

랜덤 행렬

랜덤 행렬은 행렬 값 랜덤 요소다. 물리적 시스템의 많은 중요한 특성들은 매트릭스 문제로 수학적으로 표현될 수 있다. 예를 들어 격자의 열전도도는 격자 내 입자-입자 상호작용의 동적 행렬에서 계산할 수 있다.

임의함수

무작위 함수는 함수의 일부 패밀리로부터 단일 결과를 선택하는 임의 요소의 한 유형이며, 여기서 패밀리는 도메인에서 코도메인에 이르는 모든 맵의 일부 클래스를 구성한다. 예를 들어, 클래스는 모든 연속 기능 또는 모든 단계 기능으로 제한될 수 있다. 동일한 실현과 다른 지점에서 평가된 랜덤 함수에 의해 결정된 값은 일반적으로 통계적으로 독립적이지 않지만, 모델에 따라 다른 실현과 동일하거나 다른 지점에서 결정된 값은 독립된 값으로 취급될 수 있다.

랜덤 공정

랜덤 공정은 시간에 따른 랜덤 값의 일부 시스템의 진화를 나타내는 랜덤 변수의 집합이다. 이것은 결정론적 과정(또는 결정론적 시스템)에 대한 확률론적 대응이다. (예를 들어, 일반적인 미분방정식의 해결책의 경우처럼) 한 방향으로만 진화할 수 있는 과정을 기술하는 대신에, 확률적 또는 무작위적 과정에서는 약간의 난연성이 있다: 초기 조건(또는 시작점)이 알려져 있더라도, 공정이 e를 할 수 있는 몇 가지 (종종종 무한히 많은) 방향이 있다.대담하게 말하다

이산 시간의 단순한 경우에서, 연속 시간과 반대로, 확률적 프로세스는 일련의 랜덤 변수와 이러한 랜덤 변수와 연관된 시계열을 포함한다(예를 들어, 이산 시간 마르코프 체인이라고도 하는 마르코프 체인을 참조).

랜덤 필드

확률 공간$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, P${\displaystyle }$) ${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal{F},P)}$과 측정 가능한 공간 X를 주어진 X 값 랜덤 필드는 위상학적 공간 T의 요소들에 의해 지수화된 X 값 랜덤 변수의 집합이다. 즉, 임의의 필드 F는 집합이다.

${\displaystyle \{F_{t}:t\\in T\}}$

여기서 각 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 X 값 랜덤 변수다.

여러 종류의 랜덤 필드가 존재하며, 그 중에서도 마르코프 랜덤 필드(MRF), Gibbs 랜덤 필드(GRF), 조건 랜덤 필드(CRF), 가우스 랜덤 필드가 있다. MRF는 마르코비아의 재산을 전시한다.

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i} \partial _{i}),\,}$

여기서 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 변량 X의_i 인접 집합이다$$. 즉, 랜덤 변수가 값을 가정할 확률은 인접한 변수를 통해서만 다른 랜덤 변수에 의존한다. MRF에서 랜덤 변수의 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i} \partial _{i}={\frac {P(\omega )}{\sum _{\omega '}}}},}$

여기서 Ω'은 랜덤 변수 X를_i 제외하고 Ω의 동일한 실현이다. 1974년 줄리안 베삭이 제안한 MRF와 GRF의 관계에 기대지 않고서는 이 방정식으로 계산하기 어렵다.

무작위 측정

랜덤 측정은 측정값 랜덤 요소다.^[5][6] X를 완전한 분리 가능한 메트릭 공간이 되게 $하고{\displaystyle \mathfrak{}}$ B${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$ $){\displaystyle${\$mathfrak{B}(X$) 보렐 집합의$$ σ-algebra$.$ X에 대한 보렐 측정 μ는 모든 보렐 설정 A에 대해 μ(A) < μ이면 한정된다. Let ${\displaystyle M_{X}}$ be the space of all boundedly finite measures on ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$. Let (Ω, ℱ, P) be a probability space, then a random measure maps from this probability space to the measurable space (${\displaystyle M_{X}}$, ${\displaystyle {\math$$프락{B}(M_{X}})$^[7]. 측정치는 일반적으로 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\displaystyle \mu \mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\capa _{n}\delta _{X_{n},},}$

여기서 ${\displaystyle {\mu d}_{}}$ ${\$ $\mu _{d}$는 원자가 없는 확산 측정치인$$ $,$ $μ$ a는 순수하게 원자 측정치인 것이다$$.

랜덤 집합

랜덤 집합은 집합 값 랜덤 요소다.

한 가지 구체적인 예가 랜덤 콤팩트 세트다. $({\displaystyle M}$, ${\displaystyle d}$) ${\displaystyle$ ($M,d)}$을(를) 완전한 분리 가능한 메트릭 공간이 되도록$$ 하십시오. Let $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 모든 컴팩트 하위 집합 집합을 나타내며$$$,$ $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 Hausdorff 메트릭 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ h$}$은 $다음$과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b)\inf _{b\in K_{1}{1}d(a,b)\right\}.}$

${\displaystyle (K}$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle({\mathcal{K},h)}$도 완전한 분리 가능한 메트릭 공간이다$$. 해당 개방형 하위 집합은 $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${${\displaystyle K\},}$ K ${\$$displaystyle$ ${\$$mathcal$ {$B}({\mathcal {K})$의 K {\$displaystyle$ {\mathcal {$K}$에 on-algebra를 생성한다$.$

A random compact set is а measurable function ${\displaystyle K}$ from а probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ into ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}$.

다른 방법으로 말하면, 랜덤 콤팩트 세트는 측정 가능한 $함수{\displaystyle }$K : ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {2M}^{}}$ $[\$K\$colon \Oomega \to$ 2$^{M}}$가 K${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$) ${\displaysty K(\omega )}$가 거의 확실히 컴팩트하고

${\displaystyle \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}$

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$에 대해 측정할 수 있는 함수$.$

랜덤 기하학적 객체

여기에는 랜덤 점,^[8] 랜덤 그림, 랜덤 도형이 포함된다.^[8]

참조

문학

외부 링크

• 스프링거 수학 백과사전 수록곡