약하게 측정할 수 있는 함수

수학—특히 기능 분석에서—바나흐 공간에서 값을 취하며 약하게 측정할 수 있는 함수는 이중 공간의 어떤 요소와 함께 구성되는 함수가 통상적인 (강력한) 의미에서 측정할 수 있는 함수다.분리 가능한 공간의 경우, 약하고 강한 측정가능성의 개념은 일치한다.

정의

If ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ is a measurable space and ${\displaystyle B}$ is a Banach space over a field ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (which is the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ or complex numbers ${\displaystyle \mathbb {C} }$), then ${\displaystyle f:X\to B}$$$ 연속 선형 함수 $g{\displaystyle }$ :${\displaystyle B\mathbb{}}$→ K${\displaystyle }$, ${\displaystyle g:$$함수$ B$\to \mathb {K},}$

$K{\displaystyle }$ . ${\$$displaystyle \Sigma }$ 및$$${\displaystyle }$K . ${\displaystyle$$$\$sigma }$ -algebra에 $대해{\displaystyle \mathbb{}}$ 측정할 수 있는 $함수$임. {\$displaystyle$\mathb {$K}.}$

확률 공간의 측정 가능한 함수는 보통 랜덤 변수(또는 Banach space $B{\displaystyle }$ {\$displaystyle B}$와 같은 벡터 공간에서 값을 취할 경우 랜덤 벡터)라고 한다.$$따라서 상기 정의의 특별한 경우로서 $({\displaystyle \Omega \mathcal{}}$, P${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal{P}})$이 확률 공간이라면$$ 함수 $Z{\displaystyle }$: ${\displaystyle \Omega }$→ B ${\displaystyle Z:$$\Oomega \to B}$은(는$)$ 모든 연속 선형 함수 $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle B\mathbb{}}$→ K${\displaystyle }$, ${\displaystyle g:$$함수$ B$\to \mathb {K},}$

$일반적$인 $의미$로 K ${\$\$mathb$${K}$값$$ 랜덤 변수(예: 측정 가능한 함수)이며, and ${\$$displaystyle \Sigma }$ 및$$ 통상적인 $Borel{\displaystyle }$ $display {\$$displaystyle$ $\$$sigma }$ -algebra$$ on $.}$에 있다.

특성.

측정가능성과 약한 측정가능성의 관계는 페티스의 정리 또는 페티스의 측정가능성 정리라고 알려진 다음과 같은 결과에 의해 주어진다.

A function ${\displaystyle f}$ is said to be almost surely separably valued (or essentially separably valued) if there exists a subset ${\displaystyle N\subseteq X}$ with ${\displaystyle \mu (N)=0}$ such that ${\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq B}$ is separable.

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 분리$$ 가능한 경우, 분리 가능한 Banach 공간의 어떤 부분집합도 그 자체로 분리 가능하기 때문에 $위$의 N ${\displaystyle$N}을(를) 비워둘 수 $있으며{\displaystyle }$, B$${\$displaystytle$ B$}$이(가$$) 분리 가능한 경우 약하고 강한 측정가능성의 개념은 일치한다.

참고 항목

• Bochner 측정 가능한 기능
• 보크너 일체형
• Bochner 공간 – 수학적 개념
• 페티스 적분
• 벡터 측정

참조

• Pettis, B. J. (1938). "On integration in vector spaces". Trans. Amer. Math. Soc. 44 (2): 277–304. doi:10.2307/1989973. ISSN 0002-9947. MR 1501970.
• Showalter, Ralph E. (1997). "Theorem III.1.1". Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Mathematical Surveys and Monographs 49. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 103. ISBN 0-8218-0500-2. MR 1422252.