레이쇼두후리 방정식

일반상대성이론에서 레이쇼두리 방정식 또는 란다우-레이쇼두리 ^[1]방정식은 근처 물질의 비트의 움직임을 설명하는 기본적인 결과이다.

이 방정식은 펜로즈의 기본 보조 개념으로서 중요하다.호킹 특이점 이론과 일반 상대성 이론의 정확한 해법의 연구를 위해, 그러나 독립적인 관심을 가지고 있다. 왜냐하면 그것은 뉴턴의 중력 이론에서와 같이 일반 상대성 이론에서 질량에너지의 두 비트 사이에 중력이 보편적 유인력이 되어야 한다는 우리의 직관적인 기대를 단순하고 일반적으로 검증하기 때문이다.이온

이 방정식은 인도의 물리학자 아말 쿠마르 레이차우루리와^[2] 소련의 물리학자 레프 ^[3]란다우에 의해 독립적으로 발견되었다.

수학문

시간 같은 단위 벡터 ${\vec {X}}$ X $→$ {\ $displaystyle {X}}($ 적분 곡선을 통해 교차하지 않는 월드 라인의 집합 또는 일치로 해석될 수 있음), Raychaudhuri의 방정식을 쓸 수 있다.

{{dot {theta }}=-{\frac {theta ^{3}-2\flac ^{2}-{E[\vec {X}}^{a}}+{{\dot {X}}^{a}}}}_{{\dot {a}}}}

어디에

2\display ^{2}=\display _{mn},\display ^{mn},\display ^{mn},\displaystyle 2\displaystyle ^{mn},\display ^{mn}

(음수가 아닌) 전단 텐서의 2차 불변량이다.

\displaystyle _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}},\theta \,h_{ab}

그리고 소용돌이 텐서

(\displaystyle \mega _{ab}={h^{m}_{a},{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}})

각각 다음과 같다.여기서,

(\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}_{a},{h^{n}}_{b}X_{(m;n)})}

는 확장 텐서이고, $\theta$ \ $theta)$ 는 $\theta$ 확장 스칼라라고 불리는 트레이스입니다.

\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a},X_{b}

X $→$ {\ $displaystyle {X$ 과(와) 직교하는 하이퍼플레인에 대한 투영 텐서입니다. 또한 점은 합동에서 월드 라인을 따라 계수된 적절한 시간에 대한 차이를 나타냅니다.마지막으로, 조력 $E[{\vec {X}}]_{ab}$ E [ $E[{\vec {X}}]_{ab}$ $E[{\vec {X}}]_{ab}$ ] $E[{\vec {X}}]_{ab}$ b $E[{\vec {X}}]_{ab}$ {\ $displaystyle$ E $[{\vec {X}}}_{ab}}$ 의 $E[{\vec {X}}]_{{ab}}$ 흔적은 다음과 같이 쓸 수 있다.

{E[\vec {X}}^{a}}_{a}=R_{mn},X^{m},X^{n}

이 양은 Raychaudhuri 스칼라라고도 불립니다.

직감적인 의미

팽창 스칼라는 중앙 결합 관찰자에 의해 측정된 시간과 관련하여 물질의 작은 공 부피가 변화하는 분수 속도를 측정합니다(따라서 음의 값을 취할 수 있습니다).즉, 위의 방정식은 시간적 합치성의 확장을 위한 진화 방정식을 제공한다.이 양의 도함수(적정 시간에 관한)가 특정 사건 후 어떤 세계선을 따라 음수인 것으로 판명되면, (질량의 중심이 문제의 세계선을 따르는) 작은 물질의 공이 팽창한 후에 반동이 일어나야 한다.그렇지 않으면 계속 확장할 수 있습니다.

전단 텐서는 물질의 초기 구형 공이 타원체 모양으로 변형되는 경향을 측정합니다.소용돌이 텐서는 인접한 세계선이 서로 뒤틀리는 경향을 측정합니다(이렇게 되면, 0이 아닌 소용돌이성을 보이는 일반적인 유체 흐름의 유체 요소에서 일어나는 것처럼 우리의 작은 물질 방울이 회전합니다).

Raychaudhuri 방정식의 오른쪽은 두 가지 유형의 용어로 구성됩니다.

(재)를 촉진하는 용어
- 처음에는 0이 아닌 확장 스칼라,
- 0이 아닌 전단,
- 조력 텐서의 양의 흔적, 이것은 물리적으로 합리적인 유체 용액과 같은 가장 중요한 유형의 솔루션을 유지하는 강력한 에너지 조건을 가정함으로써 정확히 보장되는 조건이다.
반대되는 용어
- 0이 아닌 소용돌이, 뉴턴 원심력에 해당함
- 가속도 벡터의 양의 발산(예: 자기자극에 의해 함께 고정된 유체 볼의 유체 요소에 대한 신체 힘에 의한 구체 대칭 폭발 또는 보다 단조롭게는 외향 포인팅 가속).

보통 한 학기가 이긴다.그러나 균형을 이룰 수 있는 상황도 있다.이 밸런스는 다음과 같습니다.

안정적: 완벽한 유체덩어리(예를 들어 항성 내부의 모형에서)의 정수적 평형의 경우 팽창, 전단 및 소용돌이가 모두 사라지며 가속도 벡터(주변 유체의 압력에 의해 제공되는 각 액체 방울에 대한 필요한 신체력)의 방사적 발산(Raychaudhuri scalar)과 맞닿는다.E $E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)$ [ $E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)$ $→$ ] $E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)$ $E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)$ $E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)$ ( $E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)$ $E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)$ $)$ {{ $displaystyle$ E $[{\vec {X}}}$ {{ $a}_$ {a $}=4\$ pi $(\mu$ + $E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)$ 3p)}}입니다 $E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)$ .뉴턴 중력에서 조력 텐서의 미량은 $μ$ 이고 $4\pi \mu$ 일반상대성이론에서는 이 항에 의해 중력에 대항하는 압력의 경향이 부분적으로 상쇄되어 특정 상황에서는 중요해질 수 있다.
:예를 들어,Gödel 용액에 이 먼지 입자들의 세계 선, 일정하지만 소용돌이도 단지 조금이라도 진공 에너지("우주 상수")때문에 끊임 없는 Raychuadhuri scalar는 균형 잡힌 시어, 확대, 가속 소실이 불안정해졌지요.

포커싱 정리

강한 에너지 우리의 블랙 홀의 일부 지역에서 보유하고 있으며,는hypersurface 직교는 소실 소용돌이도,거나 동등하고 X({\displaystyle{\vec{X}}}가 되timelike 격자 단위 벡터 필드자 가정해 보자.예를 들어, 이 상황이 아인슈타인 장 방정식( 인 경우 일치 소용돌이를 벌었다는 세계적인 라인들에 대해 비틀림 제시했다)의 정확한 먼지 해결책 우주 모델은 먼지 입자들을 라인 공부에 발생할 수 있다.

그리고 Raychaudhuri의 방정식이 되

{\displaystyle{\dot{\theta}}=-{\frac{\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec{X}}]^{}}_{를}}.

시간에 확장 scalar지 않는다가 증가함에 따라 지금은 반대 쪽 항상 0, 부정적이다.

이후 지난 2조건non-negative입니다. 우린.

{\displaystyle{\dot{\theta}}\leq}-{\frac{\theta ^{2}{3}}}.

적절한 시간τ{\displaystyle \tau}에 비례해서 이 불평등 통합하면 준다.

{\displaystyle{\frac{1}{\theta}}\geq{\frac{1}{\theta_{0}}}+{\frac{\tau}{3}}}.

만약 초기 값은 확장 scalar의 0{\displaystyle \theta_{0}}은 반대 θ, 이것은 우리 geodesics(θ{\displaystyle \theta}마이너스 무한대에 간다)의 적절한 시간 내에 대부분의 3/θ 0{\displaystyle 3\theta_{0}에서}융합되어야 함을 의미한 후 측정의 초기 VAlue θ 0{\displaystyle \theta_{0}}은 확장 scalar.이, 그러나 그것은 먼지의 움직임을 수학적 설명의 붕괴를 알린 곡률 특이점을 신호를 보낼 필요가 없다.

광방정식

또한 늘 지오데식 합성에 대한 레이쇼후리 방정식의 광학(또는 늘) 버전도 있습니다.

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

^

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

- 1

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

-

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

+

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

^

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

- T

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

U

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

{

dot

\

displaystyle

\ dot \

widehat

\

theta

} = - { \

frac

{ } { } {

}

{ \

widehat

{ } { } { \ wide

hat

{ \ that } ^2 -

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

^2 + 2 ^2 + 2

^2

^2

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

μ U }

{\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }

U }} }} }} }} }} }} }} }} 、

여기서 모자는 팽창, 전단 및 소용돌이가 횡방향에 대해서만 발생함을 나타낸다.vorticity가 0일 때 늘 에너지 상태를 가정하면 아핀 파라미터가 2 / $2/{\widehat {\theta }}_{0}$ ^ $2/{\widehat {\theta }}_{0}$ (\ $displaystyle$ 2 $/{\widehat$ {\ $theta }}_{$ 0 $2/{\widehat {\theta }}_{0}$ 에 도달하기 전에 가성(austics)이 형성됩니다.

적용들

사건의 지평선은 null 무한대의 인과적 과거 경계로 정의된다.이러한 경계는 늘 측지학에 의해 생성됩니다.아핀 파라미터는 null infinite에 가까워지면 무한대로 진행되며 그 때까지는 가성(austics)이 형성되지 않습니다.따라서 이벤트 지평선의 확장은 음이 아니어야 합니다.팽창은 면적 밀도의 로그 변화율을 제공하므로, 이는 적어도 고전적으로 Null 에너지 조건을 가정할 때 이벤트 수평 영역이 결코 내려갈 수 없음을 의미합니다.

「」를 참조해 주세요.

운동학적 분해와 레이쇼드후리 방정식의 도출을 위한 일치(일반상대성이론).
중력 특이점
펜로즈호킹 특이점은 포커싱 정리의 적용을 위한 이론이다.

메모들

^ 변형 가능한 고체로서의 시공간, M. O. Tahim, R. R. Landim 및 C.A. S. Almeida, arXiv: 0705.4120v1.
^ Dadhich, Naresh (August 2005). "Amal Kumar Raychaudhuri (1923–2005)" (PDF). Current Science. 89: 569–570.
^ 스티븐 호킹과 G. F. R. 엘리스의 시공간 대규모 구조, 케임브리지 대학 출판부, 1973년 페이지 84, ISBN 0-521-09906-4.

레퍼런스

Poisson, Eric (2004). A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black Hole Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83091-5. 시간 측지학 및 늘 측지학 모두에 대한 Raychaudhuri의 방정식과 포커싱 정리에 대한 훌륭한 설명은 2장을 참조하십시오.
Carroll, Sean M. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8732-3. 부록 F를 참조하십시오.
Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Hertl, Eduard (2003). Exact Solutions to Einstein's Field Equations (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7. Raychaudhuri 방정식의 일반적인 형식을 포함하여 측지적 합치에 대한 자세한 설명은 6장을 참조하십시오.
Hawking, Stephen & Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. Raychaudhuri 방정식의 일반적인 형태에 대한 설명은 섹션 4.1을 참조하십시오.
Raychaudhuri, A. K. (1955). "Relativistic cosmology I.". Phys. Rev. 98 (4): 1123–1126. Bibcode:1955PhRv...98.1123R. doi:10.1103/PhysRev.98.1123. hdl:10821/7599. Raychaudhuri의 그의 방정식을 소개하는 논문.
Dasgupta, Anirvan, 난단, Hemwati &, Kar, 사얀(2009년)."geodesic 흐름의 힘줄이 많은 블랙 홀 배경에서 운동학".Phys. 목사 D79(12):124004.arXiv:0809.3074.Bibcode:2009PhRvD..79l4004D.doi:10.1103/PhysRevD.79.124004.S2CID 118628925.Raychaudhuri 방정식의 3kinematical 양(즉 팽창 scalar, 전단과 회전)의 일반적인 형태의 파생 섹션 IV를 참조하십시오.
Kar, Sayan & SenGupta, Soumitra (2007). "The Raychaudhuri equations: A Brief review". Pramana. 69 (1): 49–76. arXiv:gr-qc/0611123. Bibcode:2007Prama..69...49K. doi:10.1007/s12043-007-0110-9. S2CID 119438891. Raychaudhuri 방정식의 리뷰에 대해서는, 을 참조해 주세요.

외부 링크

존 C의 아인슈타인 장 방정식의 의미.배즈와 에모리 F.분 레이쇼후리의 방정식은 아인슈타인의 방정식이 말하는 것에 대한 잘 알려진 (강력히 추천되는) 반기술적인 설명에서 중심을 잡습니다.

[1] 변형 가능한 고체로서의 시공간, M. O. Tahim, R. R. Landim 및 C.A. S. Almeida, arXiv: 0705.4120v1.

[2] Dadhich, Naresh (August 2005). "Amal Kumar Raychaudhuri (1923–2005)" (PDF). Current Science. 89: 569–570.

[3] 스티븐 호킹과 G. F. R. 엘리스의 시공간 대규모 구조, 케임브리지 대학 출판부, 1973년 페이지 84, ISBN 0-521-09906-4.

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