SL2(R)

수학에서 특수 선형 그룹 SL(2, R) 또는 SL₂(R)은 2 × 2 실제 행렬의 그룹이며 결정 요인이 1이다.

{\displaystyle{\mbox{SL}(2,\mathbf {R})=\좌측\{\\\\{\begin{pmatrix}a&b\\\c&d\end{pmatrix}}\colon a,b,c,d\in \r}{\mbox}, }.}

기하학, 위상, 표현 이론, 물리학에 응용된 입체 3의 단순한 비 컴팩트 리얼 리 그룹이다.

SL(2, R)은 부분적인 선형 변환에 의해 복합 상부 하프 평면에 작용한다.지수 PSL(2, R)을 통한 그룹 작용 계수(2 × R에 대한 투영 특수 선형 그룹)좀 더 구체적으로 말하자면

PSL(2, R) = SL(2, R) / {±I}

여기서 나는 2 × 2 아이덴티티 매트릭스를 나타낸다.모듈형 그룹 PSL(2, Z)을 포함한다.

또한 2중 커버 그룹인 Mp(2, R)와 메타폴틱 그룹(SL(2, R)을 공감 그룹이라고 생각함)도 밀접하게 관련되어 있다.

다른 관련 그룹은 결정인자 ±1을 갖는 실제 2 x 2 행렬의 그룹인 SL^±(2, R)이다. 그러나 이것은 모듈 그룹의 맥락에서 더 일반적으로 사용된다.

설명

SL(2, R)은 방향 영역을² 보존하는 R의 모든 선형 변환의 그룹이다.그것은 같은 집단인 Sp(2, R)와 특별한 단일 집단인 SU(1, 1)와 이형이다.그것은 또한 단위 길이 코쿼터 그룹과 이형적이다.그룹 SL^±(2, R)은 방향 전환이 가능한 비방향 영역을 보존한다.

지수 PSL(2, R)에는 다음과 같은 몇 가지 흥미로운 설명이 있다.

실제 프로젝트 라인 R ∪ {∞}의 방향 보존 프로젝트적 변환 그룹이다.
유닛 디스크의 정합성 자동화 그룹이다.
그것은 쌍곡면의 방향 유지 등위계 그룹이다.
3차원 민코스키 공간의 제한된 로렌츠 그룹이다.동등하게 무한직교군 SO⁺(1,2)와 이형이다.SL(2, R)이 스핀 그룹 스핀(2,1)과 이형성이라는 점에 따른다.⁺

모듈형 그룹 PSL(2, Z)의 요소들은 그룹 SL(2, Z)의 요소들과 마찬가지로 추가적인 해석을 가지고 있으며, 이러한 해석들은 SL(2, R)의 일반 이론에 비추어 볼 수도 있다.

동음이의어

PSL(2, R)의 요소는 실제 투영 라인 R ∪ {∞}에 있는 동음이의어다.

[x,1]\mapsto[x,\1]{\pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\\\\\[ax+b,\x+d]\\\\\\\\\\flt[{\frac+b}{cx+d}, 1\오른쪽]

이러한 투영적 변환은 뫼비우스 변환에 의해 리만 구체에 작용하는 PSL(2, C)의 하위 그룹을 형성한다.

실제 선이 쌍곡면의 경계로 간주될 때 PSL(2, R)은 쌍곡 운동을 표현한다.

뫼비우스의 변신

PSL(2, R)의 요소는 Möbius 변환에 의해 복잡한 평면에 작용한다.

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}\;\;\;\\\\mbox{{}여기서 }a,b,c,d\in \mathbf {R}{\mbox{})}}.

이것은 정확히 상반면을 보존하는 뫼비우스 변형의 집합이다.PSL(2, R)이 상부 하프 평면의 등정 자동화의 그룹이라는 것을 따른다.리만 매핑 정리에 의해 단위 디스크의 등정 자동화 그룹에도 이형화된다.

이러한 뫼비우스 변환은 쌍곡선 공간의 상부 반면 모델의 등각계로 작용하며, 디스크의 해당 뫼비우스 변환은 푸앵카레 디스크 모델의 쌍곡 등각형이다.

위의 공식은 이중 및 이중(일명 분할 복합) 숫자의 뫼비우스 변환을 정의하는 데도 사용할 수 있다.해당 기하학은 로바체프스키안 기하학과 비종교 관계에^[1] 있다.

부선 표현

그룹 SL(2, R)은 결합에 의해 리 대수 sl(2, R)에 작용한다(리 대수 원소 역시 2 x 2 행렬이라는 것을 기억하라), PSL(2, R)의 충실한 3차원 선형 표현을 제공한다.이는 대안으로 R의² 2차 형태 공간에 대한 PSL(2, R)의 작용으로 설명할 수 있다.결과는 다음과 같다.

{\bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\mapsto {\\nother{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\ac&ad+bc&bd\c^{2cd&d^{2}\nd{bmatrix}}}.

sl(2, R)의 킬링 폼은 서명(2,1)이 있고, PSL(2, R)과 로렌츠 그룹 SO⁺(2,1) 사이에 이형성을 유도한다.민코프스키 공간에 대한 PSL(2, R)의 이 작용은 쌍곡면의 하이퍼볼로이드 모델에 대한 PSL(2, R)의 등축 작용으로 제한된다.

원소분류

원소 A sl SL(2, R)의 고유값은 특성 다항식을 만족한다.

\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr}(A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0

따라서

\lambda ={\frac {\mathrm {tr}(A)\pm\\sqrt {\mathrm {tr}(A)^{2}-4}{2}}{2}}.

이는 유클리드 평면에서 해당 작용과 함께 원소의 다음과 같은 분류로 이어진다.

tr(A) < 2일 경우, A를 타원이라 하고, 회전에 결합한다.
tr(A) = 2이면 A를 포물선(parabolic)이라고 하며, 전단 매핑이다.
tr(A) > 2가 되면, A를 쌍곡선이라고 하며, 스퀴즈 맵핑이다.

이름은 원뿔 곡선의 분류에 대한 기행에 의해:하나가 추적(ε)살 반 tr, 치수의 효과를 위해 2수정으로 나누는 동안 절대 값 ±1의 할 때와 같이 PSL에서 일하면서 전반적인 요인을 무시하는 것에 해당합니다(2, R)의 절반의 절대 값은, 그 때 이 수익률:ϵ<1{\d 기행을 정의합니다 해당한다.isp $레이스타일 \epsilon <1$ $\epsilon =1$ ; $\epsilon =1$ = $\epsilon =1$ ${\displaystyle \epsilon =1$ 포물선; $\epsilon >1$ > 1 ${\displaystyle \epsilon >1},$ 쌍곡선.

식별 요소 1과 음의 식별 요소 -1(PSL(2, R)에서는 동일함)은 추적 ±2를 가지며, 따라서 이 분류에 의해 포물선 요소들이 따로 고려되기는 하지만 포물선 요소들이다.

SL(2, C)과 PSL(2, C) (Möbius transformation)과 PSL(2, R) (실제 Möbius transformation)에도 동일한 분류가 사용되며, 복잡한 트레이스에 해당하는 "록소드로믹" 변환이 추가되며, 다른 곳에서도 유사한 분류가 사용된다.

타원소(존중, 포물선, 쌍곡선) 원소와 함께 정체성과 음의 정체성을 더한 부분군을 타원소군(존중, 포물선 부분군, 쌍곡 부분군)이라고 한다.

이것은 부분군이 아닌 하위 집합으로 분류하는 것이다. 이러한 집합은 곱셈으로 닫히지 않는다(두 포물선 원소의 산물은 포물선일 필요가 없다 등).그러나 모든 원소는 아래에 자세히 설명된 대로 3개의 표준 1-모수 부분군 중 하나로 결합된다(대략 곱하기 ±1).

지형학적으로 추적이 연속 지도인 만큼 타원소(±1 제외)는 쌍곡소(±1 제외)와 마찬가지로 개방 집합이고 포물선원소(±1 포함)는 폐쇄 집합이다.

타원소

타원소의 고유값은 둘 다 복잡하며, 단위 원의 결합 값이다.그러한 요소는 유클리드 평면의 회전에 대한 결합이다. – 그것들은 아마도 비직교적인 기초에서 회전으로 해석될 수 있다 – PSL(2, R)의 해당 요소는 쌍곡면과 민코프스키 공간의 회전에 대한 (결합) 역할을 한다.

모듈 그룹의 타원소자는 고유값 {Ω, Ω⁻¹}을(를) 가져야 하며 여기서 Ω은 단결의 원시적인 3번째, 4번째 또는 6번째 루트다.이것들은 모두 순서가 유한한 모듈 그룹의 요소들로, 주기적인 차이점형으로서 토러스에서 작용한다.

미량 0의 원소는 "원소"라고 불릴 수 있지만 (편심성과 유사하게) 이것은 거의 이루어지지 않으며, 고유값 ±i를 가진 원소들에 해당하며 90° 회전하도록 결합되며 -I: 이들은 PSL(2)에서 비식별성 비자발이다.

타원소는 특수 직교 그룹 SO(2)인 유클리드 평면의 회전 부분군으로 결합된다. 회전 각도는 궤적의 절반의 아크코이며, 회전 부호는 방향에 의해 결정된다.(회전 및 그 역은 GL(2)에서는 결합이지만 SL(2)에서는 결합되지 않는다.)

포물선 원소

포물선 원소는 1 또는 -1인 단일 고유값만 가진다.그러한 요소는 유클리드 평면의 전단 매핑 역할을 하며, PSL(2, R)의 해당 요소는 쌍곡면의 한계 회전 및 민코프스키 공간의 무효 회전 역할을 한다.

모듈 그룹의 포물선 요소는 딘의 토러스 트위스트 역할을 한다.

Parabolic 요소 켤레 표준 가위의 2요소 그룹으로 ±I×:}×{나는±}{\displaystyle \left({\begin{}smallmatrix 1&, \lambda \\&, 1\end{smallmatrix}}\right)\times){\pm I\}(1λ 1). 사실 네명의 매트릭스의(1±11){\d에, 그들은 모두conjugate(SL(2에서)).isplayst $yle \left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\right)}$ , $\left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)$ (in GL(2) or SL^±(2), the ± can be omitted, but in SL(2) it cannot).

쌍곡선 원소

쌍곡선 원소의 고유값은 둘 다 실제 값이며, 왕복 값이다.그러한 원소는 유클리드 평면의 압착 매핑 역할을 하며, PSL(2, R)의 해당 원소는 쌍곡면의 번역과 민코프스키 공간의 로렌츠 부스트 역할을 한다.

모듈 그룹의 쌍곡성 요소는 토러스에서 아노소프의 차이점 형상으로 작용한다.

쌍곡 요소 표준의 2요소 그룹으로 켤레×±I:(λ λ − 1)×{나는±}{\displaystyle \left({\begin{}\lambda \\&,\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\rightsmallmatrix)\times){\pm I\}}들을 쥐어짜;쌍곡선 회전의 하이퍼볼릭 각도 추적의 절반이 arcosh었지만, s을 받다ign양수 또는 음수일 수 있다: 타원형 경우와 대조적으로 압착과 그 역수는 SL sl(축의 회전, 표준 축의 경우 90° 회전)의 결합이다.

커플러시 클래스

요르단 정규 형태에 의해 행렬은 고유값과 영일포텐스(구체적으로 요르단 블록에서 1s가 발생하는 것을 의미)에 의해 결합까지 분류된다.따라서 SL(2)의 원소는 고유값이 동일한 경우를 제외하고(결정요소가 고정되어 있고 추적 및 결정요소가 고유값을 결정하기 때문에) GL(2) 또는 실제 SL^±(2)의 결합까지 분류되므로, ±I와 추적 +2 및 추적 -2의 포물선 원소는 결합되지 않는다(전자는 조던 형태에 외부 대각선 입력이 없다).나중에 하다

SL(2)의 결합까지 (GL(2) 대신) 방향과 일치하는 추가 기준점이 있다: 위에서 설명한 것처럼 시계 방향과 시계 반대 방향(엘리틱) 회전은 결합되지 않으며 양과 음의 전단도 아니다. 따라서 추적의 절대값이 2 미만인 경우 각 트레이스(시계 및 카운트)에 대해 두 개의 결합 등급이 있다.시계방향 회전) 2와 동일한 추적의 절대값에는 각 추적(양전단, ID, 음전단)에 대해 3개의 결합 등급이 있으며, 2보다 큰 추적의 절대값에는 주어진 추적에 대해 1개의 결합 등급이 있다.

위상 및 범용 커버

위상학적 공간으로서 PSL(2, R)은 쌍곡면의 단위 접선다발로 설명할 수 있다.원 묶음이며 쌍곡면상의 연골구조에 의해 유도되는 자연적인 접촉 구조를 가지고 있다.SL(2, R)은 PSL(2, R)의 2배 커버로 쌍곡면에 있는 스피너 묶음으로 생각할 수 있다.

SL(2, R)의 기본 그룹은 무한 순환 그룹 Z이다. ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ , $)'{\$ 으로 표시된 범용 커버 그룹은 매트릭스 그룹이 아닌 유한 차원 Lie 그룹의 예다.즉, ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ , $){\$ 은(는) 충실하고 유한한 표현을 인정하지 $\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}$ 않는다.

위상학적 공간으로서 ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ( ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ $)'{\$ 은 쌍곡면 위에 있는 선다발이다 ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ .좌변량 측정법으로 임베디드했을 때 3-매니폴드 ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ , ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ )의 ${\$ 은 8개의 Thurston 기하학 중 하나가 된다 ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ .예를 들어 ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ , ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ $){\$ 은(는) 모든 쌍곡면에 대한 단위 접선 번들의 범용 덮개다 ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ . ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ( ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ $){\$ 을(를) 모델로 한 모든 다지관은 방향성이 있으며 ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ , 2차원 쌍곡선 오비폴드(Seifert 섬유 공간) 위에 있는 원 묶음이다.

브레이드 그룹₃ B는 모듈 그룹의 보편적인 중앙 확장이다.

이 커버 아래에서, 모듈 그룹 PSL(2, Z)의 프리이미지는 모듈 그룹의 보편적인 중앙 확장인 B₃, 3개의 발전기에 있는 브레이드 그룹이다.이것들은 관련 대수 그룹 내부의 격자들로, 이는 위상에서의 범용 커버 그룹과 대수적으로 일치한다.

2배 커버 그룹은 SL(2, R)을 공감 그룹 Sp(2, R)로 생각하는 메타폴릭스 그룹인 Mp(2, R)로 식별할 수 있다.

앞서 언급한 그룹들은 다음과 같은 순서를 형성한다.

{\mathbf {SL}(2,\mathbf {R})}}}}\cdots \to \mathrmat {Mp}(2,\mathbf {R})\to \mathrmatb}(2,\mathbF {R}).

그러나, n < Z ≅ π₁ π (PSL (2, R))로서 모든 n에 해당하는 다른 PSL (2, R)의 커버 그룹이 있는데, 이는 불분명한 것으로 그룹을 커버하는 격자를 형성한다. 이러한 커버 그룹들은 n이 짝수인 경우에만 SL (2, R)을 커버한다.

대수구조

SL(2, R)의 중심은 2소군 {±1}이며, 지수 PSL(2, R)은 단순하다.

PSL(2, R)의 이산형 부분군을 Fuchsian 그룹이라고 한다.유클리드 벽지 그룹과 프리제 그룹의 쌍곡 아날로그다.이 중 가장 유명한 것은 이상적인 삼각형에 의한 쌍곡면의 다듬기에 작용하는 모듈형 그룹 PSL(2, Z)이다.

원 그룹 SO(2)는 SL(2, R)의 최대 콤팩트 부분군이며, 원 SO(2) / {±1}은 PSL(2, R)의 최대 콤팩트 부분군이다.

이산군 PSL(2, R)의 슈르 승수는 Z보다 훨씬 크고, 범용 중앙 확장자는 범용 피복군보다 훨씬 크다.그러나 이러한 큰 중앙 확장은 토폴로지를 고려하지 않으며 어느 정도 병리적이다.

표현 이론

SL(2, R)은 실제의 비 컴팩트 심플 리 그룹이며, 복합 리 그룹 SL(2, C)의 분할 리얼 형태다.SL(2, R)의 리 대수(Lie 대수)는 sl(2, R)으로 표시된 모든 실제 2 × 2 행렬의 대수다.8형식의 비안치 대수학이다.

SL(2, R)의 유한차원 표현 이론은 SL(2, C)의 콤팩트한 실제 형태인 SU(2)의 표현 이론과 동등하다.특히 SL(2, R)은 비종교적 유한차원적 단일적 표현을 가지고 있지 않다.이것은 연결된 모든 단순 비 컴팩트 Lie 그룹의 특징이다.증거의 개요는 표현의 비단위성을 참조한다.

SL(2, R)의 무한차원 표현 이론은 상당히 흥미롭다.이 단체에는 여러 명의 단일 대표 가족이 있는데, 이 가족은 겔판드와 나이마르크(1946년), 브이 바그만(1947년), 하리쉬 찬드라(1952년)에 의해 상세하게 정리되었다.

참고 항목

참조

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[raw-1] Kisil, Vladimir V. (2012). Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of SL(2,R). London: Imperial College Press. p. xiv+192. doi:10.1142/p835. ISBN 978-1-84816-858-9. MR 2977041.

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