선분적분

수학에서 선분은 적분할 함수가 곡선을 따라 계산되는 ^[1]적분입니다.경로 적분, 곡선 적분 및 곡선 적분이라는 용어도 사용됩니다. 등고선 적분도 사용되지만, 이는 일반적으로 복소 평면의 선 적분에 사용됩니다.

적분할 함수는 스칼라 필드 또는 벡터 필드일 수 있습니다.선 적분의 값은 곡선의 모든 점에서 필드 값의 합이며, 곡선의 일부 스칼라 함수에 의해 가중치가 부여됩니다(일반적으로 호 길이 또는 벡터 필드의 경우 곡선에 미분 벡터가 있는 벡터 필드의 스칼라 곱).이 가중치는 선분적분과 구간에 정의된 단순 적분을 구별합니다.W = $W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s}$ ⋅ ${\displaystyle$ W =\ $mathbf {F}$ \ $cdot \mathbf {s$ ${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ $W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s}$ 로의 일의 정의와 같은 물리학의 많은 단순한 공식들은 선 적분의 관점에서 자연스러운 연속 유사체를 갖는데, 이 ${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ W = ∫ ${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ F ( ${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ ) ⋅ ${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ ${\textstyle$ W =\ $int$ _{ $L}$ \ $mathbf$ {F $}$ (\ $mathbf$ { $s} }\cdot$ d $mathbf$ {s} } 로 $움직이는$ 물체에 대한 일을 계산합니다.L {\ $displaystyle$ L $L$ $L$ 를 따라 전기장 또는 $중력장$ F를 거칠 것.

벡터 미적분학

정성적인 용어로 벡터 미적분학에서 선분적분은 주어진 곡선을 따라 주어진 텐서장의 총 효과를 측정하는 것으로 간주될 수 있습니다.예를 들어, 스칼라 필드 위의 선분(순위 0 텐서)은 특정 곡선에 의해 조각된 필드 아래의 영역으로 해석될 수 있습니다.이는 xy $평면$ 에서 $z$ =f(x, $y$ ) 및 곡선 $C$ 로 생성된 표면으로 시각화할 수 있습니다.f의 선분은 C 위에 있는 표면의 점들이 조각되었을 때 생성된 "커튼"의 면적이 됩니다.

스칼라장의 선분적분

스칼라 장 f 위의 선 적분은 장에 의해 기술된 $표면$ z = $f (x, y)$ 를 따라 곡선 C 아래의 영역으로 간주될 수 있습니다.

정의.

일부 스칼라 $f\colon U\to \mathbb {R}$ f 의 $f\colon U\to \mathbb {R}$ $f\colon U\to \mathbb {R}$ → $f\colon U\to \mathbb {R}$ R {\ $displaystyle f\subseteq$ \ $mathbb$ {R $}$ $^{n$ $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ⊆ R colon $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ⊂ R $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ r \ $displaystyle$ U $\$ $subseteq \mathbb {R}$ ^{n $},$ 조각별 매끄러운 ${\mathcal {C}}\subset U$ C ⊂ ${\mathcal {C}}\subset U$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {C}\subset$ U $}$ 의 선분은 다음과 같이 정의됩니다.

\int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r}(t))\right)\left\mathbf {r} '(t)\right \,dt.

\mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}

서

\mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}

r :

\mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}

[

b

] →

\mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}

{\

displaystyle \mathbf {r}

\

mathbf

{r} \

mathcal {C}}

는

{\mathcal {C}}

C

{\mathcal {C}}

{\

displaystyle

{\

mathcal {C}}

의 임의의 사영 매개 변수화로,

r (a

)

와 r

(b)

이 C

{\mathcal {C}}

{\

displaystyle

{\

mathcal {C}

의 끝점을 제공합니다.여기서, 그리고 기사의 나머지 부분에서 절대값 막대는 벡터의 표준(유클리드) 노름을 나타냅니다.

$함수$ f를 적분이라 하고, ${\mathcal {C}}$ C ${\$ {\ $mathcal {C}}$ 는 ${\mathcal {C}}$ 적분의 영역이며, $기호$ ds는 ${\mathcal {C}}$ C ${\mathcal {C}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {C}}($ 즉, C ${\mathcal {C}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {C}}$ 의 미분 길이)의 기본 호 길이로 직관적으로 해석할 수 있습니다. ${\mathcal {C}}$ C ${\mathcal {C}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {C}}$ 에 ${\mathcal {C}}$ 대한 스칼라 필드의 선분은 C ${\$ {\ $mathcal {C$ ^[2]의 선택한 매개 $변수화$ r에 종속되지 않습니다.

기하학적으로, 스칼라 $필드$ f가 평면 ( $n$ = $2)$ 위에 정의될 때, 그것의 그래프는 공간에서 $표면$ z = $f (x, y$ )이고, 선분은 ${\mathcal {C}}$ C ${\mathcal {C}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {C}}$ 와 $f$ 의 그래프로 경계지어지는 (서명된) 단면적을 제공합니다.오른쪽에 있는 애니메이션을 봅니다.

파생

스칼라장 위의 선분의 경우, 적분은 위의 f, $C$ 의 $정의$ 와 C의 $매개변수화$ r을 사용하여 리만 합으로 구성할 수 있습니다.이것은 $구간$ [ $a,$ b]를 $길이$ $Δt$ = ( $b$ - $a$ )/n의 n개의 하위 구간 $[$ $t, t$ ]으로 분할하여 수행할 수 있습니다. $그러면$ $r ($ t)는 곡선 C에서 샘플 포인트라고 하는 일부 지점을 나타냅니다.샘플 포인트 { $r (t i):$ 1≤ $i$ ≤ $n}$ 집합을 사용하여 각 샘플 $포인트$ r $(t i -1)$ 과 r $(t i)$ 사이에 직선 조각을 도입하여 $곡선$ C를 다각형 경로로 근사할 수 있습니다.(곡선을 다각형 경로에 근사하는 것을 곡선의 정류라고 합니다. 자세한 내용은 여기를 참조하십시오.)그런 다음 곡선의 인접한 표본 점 사이의 선분의 거리를 $Δs$ 로_i 레이블을 지정합니다.f $(r (t))$ 와 δ $s$ 의 곱은 높이와 $너비$ 가 $각각$ f $($ r(t))와 δs인 직사각형의 부호가 있는 영역과 연관될 수 있습니다.파티션의 길이가 0에 가까워짐에 따라 항들의 합의 극한을 취하는 것은 우리에게 주어집니다.

I=\lim _{\Deltas_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r}(t_{i}))\,\Deltas_{i}

평균값 정리에 의해 곡선의 다음 점들 사이의 거리는

\Delta s_{i}=\left \mathbf {r}(t_{i}+\Delta)-\mathbf {r}(t_{i})\right \left \mathbf {r} '(t_{i})\델타\right

이를 위의 리만 합에 대입하면 산출량

I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r}(t_{i}))\left \mathbf {r} '(t_{i})\right \Delta t

이것은 적분에 대한 리만 합입니다.

I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r}(t))\left \mathbf {r} '(t)\right dt.

벡터장의 선분적분

정의.

$벡터장$ F: $U$ ⊆ $R$ → $R$ 에 대하여, 부분적 매끄러운 $곡선$ C ⊂ $U$ 를 따라 r 방향으로 선분은 다음과 같이 정의됩니다.

\int _{C}\mathbf {F}(\mathbf {r})\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F}(\mathbf {r}(t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt

여기서

·는 점곱이고

,

r :

[

a, b

] →

C

는 곡선 C를 r

(a)

와 r

(b)

가 C의 끝점을 제공하도록 하는

편향

매개변수화입니다.

따라서 스칼라 필드의 선분은 벡터가 적분의 선에 항상 접선인 벡터 필드의 선분입니다.

벡터 필드의 선분은 절댓값의 매개 변수화 r과 독립적이지만 방향에 따라 다릅니다.특히 모수화 방향의 반전은 ^[2]선분적분의 부호를 변경합니다.

미분 기하학의 관점에서, 곡선을 따라 벡터 필드의 선분은 음악적 동형(벡터 필드를 해당 코벡터 필드로 가져감) 하에서 해당 1-폼의 적분이며, 몰입된 1-매니폴드로 간주되는 곡선 위에 있습니다.

파생

벡터 필드 내부의 곡선을 따라 있는 입자(빨간색으로 표시)의 궤적입니다.a에서 시작하여 입자는 벡터 필드 F를 따라 경로 C를 추적합니다.접선 벡터(빨간 화살표)와 필드 벡터(파란색 화살표)의 점곱(녹색 선)은 곡선 아래의 영역을 정의하며, 이는 경로의 선분과 동일합니다. (자세한 설명은 이미지를 클릭하십시오.)

벡터 필드의 선분은 스칼라 필드의 경우와 매우 유사한 방식으로 유도될 수 있지만, 이번에는 점 곱을 포함하여 유도됩니다.다시 $위$ 의 F, C 및 $매개 변수화$ r( $t$ )의 정의를 사용하여 리만 합으로부터 적분을 구성합니다.구간[ $a, b$ ]( $파라미터$ t의 값의 범위)를 길이 $Δt$ = ( $b$ - a $)/ n$ 의 n개 $구간$ 으로 분할합니다.[ $a,$ $b]$ 의 i번째 점이 되도록 $하면 i,$ $r i ($ t)는 곡선의 i번째 점의 위치를 알려줍니다.그러나, 우리는 후속 지점들 사이의 거리를 계산하는 대신, 그들의 변위 벡터인 $Δr$ 을_i 계산해야 합니다.이전과 같이 곡선의 모든 점에서 F를 $평가$ 하고 각 변위 벡터로 점곱을 취하는 것은 C에 $대한$ $F$ 의 각 분할의 무한소 기여를 제공합니다.파티션의 크기를 0으로 설정하면 합계가 됩니다.

I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F}(\mathbf {r}(t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}

평균값 정리에 의해 곡선 위의 인접한 점들 사이의 변위 벡터는

\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r}(t_{i}+\Delta)-\mathbf {r}(t_{i})\delta \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta.

이를 위의 리만 합에 대입하면 산출량

I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F}(\mathbf {r}(t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,

위에서 정의된 적분에 대한 리만 합입니다.

경로독립성

만약 $벡터장$ F가 $스칼라장$ G(즉, F가 보수적인 경우)의 구배라면,

\mathbf {F} =\nabla G,

그 다음

G

와

r(t

)의 조성의 도함수는 다변수 연쇄법칙에 의하여

{\frac {dG(\mathbf {r}(t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r}(t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F}(\mathbf {r}(t))\cdot \mathbf {r} '(t)

이는

F (t

)의 선분에 대한 적분이 됩니다.C 경로가 주어지면 다음과 같습니다.

\int _{C}\mathbf {F}(\mathbf {r})\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F}(\mathbf {r}(t))\cdot \mathbf {r} '(t),dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r}(t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r}(b))-G(\mathbf {r}(a)).

즉, F 위 C의 $적분$ 은 점 $r (b)$ 와 r $(a)$ 의 G $값$ 에만 의존하므로 그들 사이의 경로와는 독립적입니다.이러한 이유로, 보존 벡터장의 선분은 경로 독립이라고 불립니다.

적용들

선분은 물리학에서 많은 용도를 가지고 있습니다.예를 들어, $벡터장$ F로 표현되는 힘의 장 안에서 곡선 C로 진행하는 입자에 대한 작업은 C에 ^[3]대한 $F$ 의 선분입니다.

곡선을 가로지르는 흐름

$\mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ F : $\mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ⊆ $\mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 2 → $\mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 2 $\mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ {\ $displaystyle \mathbf {F}$ \displaystyle \ $mathbf$ {F} $^{2}$ \ $to \mathbb {R}$ ^{ $2$ F $(x, y$ ) = ( $P (x, y$ )), 곡선 C ⊂ $U$ 를 가로지르는 선분은 다음과 같이 조각적 매끄러운 $매개변수화$ r로 정의됩니다: [ $a, b]$ → $C$ , $r$ ( $t)$ = ( $x (t), y$ ( $t)):$

{\displaystyle \int _{C}\mathbf {F}(\mathbf {r})\cdot d\mathbf {r} ^{\perp } =\int _{a}^{b}{\big{bmatrix}P{\big(},\big)}\Q{\big(}x(t), y(t){\big}}\end{bmatrix}}\cdot {\cdot {bmatrix}y'(t)\-x'(t)\end{bmatrix}~dt=\int {a}^{b}\left(-Q~dx+P~right).

여기서 θ는 점곱이고 $\mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))$ $\mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))$ ⊥ ⋅ $\mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))$ = ( $\mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))$ - x $)$ {\ $displaystyle \mathbf$ {r} '( $t)^{\perp$ } = $\mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))$ (y $'(t$ ), $-x'(t)}$ 는 $\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))$ r $\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))$ ′( $\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))$ = ( $),$ $\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))$ ′( $\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))$ ${\displaystyle \mathbf$ { $r} '(t$ )=( $x'(t$ ), $y'(t$ 의 시계방향 수직입니다.

흐름은 방향성 있는 의미로 계산됩니다. $곡선$ C는 r $(a)$ 에서 r $(b)$ 로 지정된 전방 방향을 가지며, F $(r (t)$ 가 전방 속도 $벡터$ r $'(t)$ 의 시계 방향에 있을 때 $흐름$ 은 양으로 계산됩니다.

복소선적분

복소수 분석에서 선분은 복소수의 곱셈과 덧셈으로 정의됩니다.U는 복소 평면 C의 열린 부분 집합이고, $f$ : $U$ → C는 $L\subset U$ 이며, $L\subset U$ ⊂ U {\ $displaystyle$ L $\subset$ U $}$ 는γ: [a $, b]$ → $L$ 로 매개 변수화된 유한 길이의 곡선이며, 여기서γ( $t)$ = $x (t)$ + $iy (t)$ 입니다.선분적분

\int _{L}f(z)\,dz

구간 [a, b]를 a = t < t < ...로 세분화하여 정의할 수 있습니다. 식 을 고려하면 < t = b

\sum _{k=1}^{n}f(\displaystyle \sum _{k})\,[\displaystyle (t_{k})]\sum _{k=1}^{n}f(\display_{k})\,\Delta \display_{k}

그러면 적분은 분할 구간의 길이가 0에 가까워짐에 따라 이 리만 합의 극한이 됩니다.

매개변수화 $δ$ 가 연속적으로 미분 가능한 경우, 선분적분은 실수 변수의 함수의 적분으로 평가될 수 있습니다.

\int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\lot(t))\lot '(t)\,dt.

L이 폐곡선일 $때$ (초기점과 최종점이 일치함), 선분적분은 ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$ ∮ ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$ ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$ ( ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$ $,$ ${\textstyle$ \ $point _{L}f($ z)\, $dz,}$ 를 공학에서 순환적분이라고도 합니다.

공액 복소 ${\overline {dz}}$ ${\overline {dz}}$ ¯ {\ $displaystyle$ {\ $overline {dz}}$ 에 대한 선 적분은 다음과 같이 정의됩니다.

\int _{L}f(z){\overline {float}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z))}\,float}}=\int _{a}^{b}f(\float(t)){\overline {\continues '(t)}}\,dt.

복잡한 함수의 선분은 여러 기법을 사용하여 평가할 수 있습니다.가장 직접적인 방법은 실수부와 허수부로 분할하여 두 개의 실수값 선분을 평가하는 것으로 문제를 줄입니다.코시 적분 정리는 분석 함수의 선분을 더 편리한 곡선 위의 동일한 적분과 동일하게 하기 위해 사용될 수 있습니다.또한 f $(z)$ 가 특이점 없이 분석적인 $영역$ 을 둘러싸는 폐곡선에 걸쳐 적분값이 단순히 0이거나, 영역이 특이점을 포함하는 경우 잔차 정리가 특이점을 기준으로 적분을 계산한다는 것을 암시합니다.이는 또한 분석 함수에 대한 복소 선 적분의 경로 독립성을 의미합니다.

예

$함수$ f $(z)$ = $1/ z$ 를 고려하고, 복소수 지수를 사용하여 등고선 L을 [ $0, 2π]$ 의 t를 $가진$ z $(t)$ = $e$ 로 $매개$ 변수화한 반시계 방향 단위 원을 약 0이라고 합니다.대신 다음을 확인할 수 있습니다.

{\display{aligned}\point _{L}{\frac {1}{z}}\,dt&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{it}\,dt\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}

이는 코시의 적분 공식과 잔차 정리의 전형적인 결과입니다.

복소선 적분과 벡터장의 선 적분의 관계

복소수를 2차원 벡터로 볼 때, 복소수 $f(z)$ f ( $f(z)$ ) ${\displaystyle$ f ( $z)}$ 의 선분은 공액 ${\overline {f(z)}}.$ f ( ${\overline {f(z)}}.$ z) ¯에 해당하는 벡터장의 선분과 플럭스 적분과 동일한 실수부 및 복소수부를 $갖습니다$ . {\ $displaystyle {\overline {f($ z)}} $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ 으로 $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ r ( $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ t ) $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ = $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ ( $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ ( $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ {\ $displaystyle \mathbf {r}(t$ $f(z)=u(z)+iv(z)$ ( $x(t),y(t))}$ 매개 변수는 $f(z)=u(z)+iv(z)$ 이고, f $f(z)=u(z)+iv(z)$ $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ $f(z)=u(z)+iv(z)$ ( $f(z)=u(z)+iv(z)$ + $f(z)=u(z)+iv(z)$ {\ $displaystyle$ f $(z$ $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ = $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ $(z)$ + $iv(z)}$ 는 벡터 필드 $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ ) $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ f $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ ¯ $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ $=$ ( $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ + $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ y $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ - v $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ {\ $displaystyle \mathbf {F}(x,y$ $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ ={\ $overline {f(x+iy$ ) $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ =( $u(x+iy)}, -v(x+iy))},$ 다음과 같습니다.

{\display{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dy)\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp} }\end{aligned}

코시 정리에 의하여, f $f(z)$ ( $f(z)$ {\ $displaystyle$ f $($ z $)}$ 가 $f(z)$ 임의의 매끄러운 폐곡선 L에 대하여 분석적일 때, 왼쪽 적분은 0입니다. 이에 상응하여 그린 정리에 의하여,F = $\mathbf {F} ={\overline {f(z)}}$ ( $\mathbf {F} ={\overline {f(z)}}$ ) ¯ {\ $displaystyle \mathbf {F}$ = {\ $overline {f(z)}}}$ 이(가) 비회전성(무회전성)이고 비압축성(무수렴성)일 때 오른쪽 적분은 0입니다.사실, f $f(z)$ ${\displaystyle$ f $(z)}$ 에 $f(z)$ $f(z)$ 코시-리만 방정식은 F에 $대한$ 컬과 발산의 소실과 같습니다.

그린의 정리에 의해, 부드럽고 닫힌 양의 방향의 $L$ L ${\displaystyle$ L $}$ 로 둘러싸인 영역의 넓이는 ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$ ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$ i ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$ ∫ ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$ ¯ ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$ 로 $주어집니다$ . ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int$ _ ${L}{\overline$ {z}}\, $dz.$ $}$ 이 ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$ 사실은 예를 들어 면적 정리의 증명에 사용됩니다.

양자역학

양자역학의 경로 적분 공식은 실제로 이러한 의미에서 경로 적분이 아니라 함수 적분, 즉 경로 공간에 걸친 적분, 가능한 경로의 함수를 의미합니다.그러나 이 글의 의미에서 경로 적분은 양자역학에서 중요합니다. 예를 들어 복잡한 윤곽 적분은 양자 산란 이론에서 확률 진폭을 평가하는 데 종종 사용됩니다.

참고 항목

참고문헌

^ Kwong-Tin Tang (30 November 2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2: Vector Analysis, Ordinary Differential Equations and Laplace Transforms. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1.
^ ^a ^b Nykamp, Duane. "Line integrals are independent of parametrization". Math Insight. Retrieved September 18, 2020.
^ "16.2 Line Integrals". www.whitman.edu. Retrieved 2020-09-18.
^ Ahlfors, Lars (1966). Complex Analysis (2nd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 103.

외부 링크

"Integral over trajectories", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
칸 아카데미 모듈:
Planet Math에서 경로 적분.
벡터장의 선분적분 – 상호작용

[Tang2006-1] Kwong-Tin Tang (30 November 2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2: Vector Analysis, Ordinary Differential Equations and Laplace Transforms. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1.

[:1-2] Nykamp, Duane. "Line integrals are independent of parametrization". Math Insight. Retrieved September 18, 2020.

[3] "16.2 Line Integrals". www.whitman.edu. Retrieved 2020-09-18.

[4] Ahlfors, Lars (1966). Complex Analysis (2nd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 103.

[1]

[2]

[3]

v t 미적분학.
전발굴절	이항 정리 오목함수 연속함수 요인 유한 차분 자유 변수 및 경계 변수 함수의 그래프 선형함수 라디안 롤의 정리 세컨트 경사도 접선
한계	불확정형 함수의 극한 편면한계 수열의 극한 근사순서 (ε, δ)-한계의 정의
미분적분학	도함수 이계도함수 편미분 미분 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴 표기법 미분법칙 직선성 힘 합 체인 로병원스 제품. 라이프니츠 장군의 통치 몫 기타기법 암묵적 분화 역함수와 미분 로그 도함수 관련요금 정지점 1차 도함수 판정법 이계도함수 판정법 극값 정리 최대 및 최소 추가 응용프로그램 뉴턴 방법 테일러 정리 미분방정식 통상미분방정식 편미분방정식 확률미분방정식
적분학	유도체 호 길이 리만 적분 기본속성 적분상수 미적분학의 기본정리 적분 기호 아래에서 미분하기 부품별통합 대체통합 삼각법의 오일러 접선반각치환 부분적분율의 적분 이차적분 사다리꼴 규칙 볼륨 워셔법 쉘법 적분방정식 적분 미분 방정식
벡터 미적분학	파생상품 컬 방향도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본정리 라인 적분 그린스 스톡스' 가우스의
다변량 미적분학	발산 정리 기하학적 헤센 행렬 야코비안 행렬과 행렬식 라그랑주 승수 선분적분 매트릭스 다중적분 편미분 표면적분 부피적분 고급주제 미분형식 외도함수 일반화된 스톡스 정리 텐서 미적분학
시퀀스 및 시리즈	산술기하학 수열 계열종류 교대 이항법 푸리에 기하학적 하모닉 인피니트 힘 맥라우린 테일러 망원경 수렴성 검정 아벨의 교대급수 코시 결로 직접비교 디리클레의 적분 한계비교 비 뿌리 용어
특수기능 수와 수	베르누이 수 e (통계 상수) 지수함수 자연로그 스털링 근사
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 극소수 무한소 미적분학 아이작 뉴턴 플럭스 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭스법 기계 정리법
목록	미분규칙 지수함수의 적분 목록 쌍곡함수의 적분 목록 역쌍곡선함수의 적분 목록 역삼각함수의 적분 목록 무리수 함수의 적분 목록 로그 함수의 적분 목록 유리함수의 적분 목록 삼각함수의 적분 목록 세컨트 세컨트 큐브 한계선 목록 적분 목록
기타주제	복소적분학 등고선적분 미분기하학 다지관 만곡 곡선의 표면의 텐서 오일러-매클로린 공식 가브리엘의 뿔 인테그레이션 비 22/7이 ①을 초과한다는 증명 레지오몬타누스의 각도 극대화 문제 슈타인메츠 고체

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