로드리게스의 회전 공식

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3차원 회전 이론에서, Olinde Rodrigues의 이름을 딴 Rodrigues의 회전 공식은 주어진 축과 회전 각도에서 주어진 공간에서 벡터를 회전시키는 효율적인 알고리즘이다.확장으로, 이것은 축-각도 표현에서 모든 회전 행렬의 그룹인 SO(3)의 회전 행렬을 계산하기 위해 세 가지 기저 벡터 모두를 변환하는 데 사용될 수 있다.즉, Rodrigues의 공식은 실제로 전체 행렬 지수를 계산하지 않고 SO(3)의 Lie 대수인 so(3)에서 SO(3)까지의 지수 맵을 계산하는 알고리즘을 제공한다.

이 공식은 레온하르트 오일러, 올린데 로드리게스 또는 둘의 조합에 의해 다양하게 인정된다.1989년의 상세한 역사 분석에서는 이 공식은 오일러의 것으로 간주되어야 한다고 결론지었고, 그것을 "울러의 유한 회전 공식"^[1]이라고 부르는 것이 권장되었다.이 제안은 주목할 만한 ^[2]지지를 받았지만, 일부 다른 사람들은 이 공식을 오일러-로드리게 공식의 많은 변형 중 하나로 보고, 따라서 둘 ^[3]다 신뢰한다.

진술

만약 v가 δ의³ 벡터이고 k가 오른쪽 법칙에 따라 v가 각도 θ로 회전하는 회전축을 기술하는 단위 벡터라면, 회전_rot 벡터 v에 대한 로드리게스 공식은 다음과 같다.

위의 공식의 직관은 첫 번째 항은 벡터를 축소하고 두 번째 항은 (벡터 덧셈을 통해) 새로운 회전 위치로 기울인다는 것입니다.세 번째 항은 첫 번째 항에 의해 손실된 높이(k$\$$textbf {k}$에 상대)를 다시 추가합니다.

또 하나의 문장은 회전면을 정의하는 0이 아닌 2개의 벡터 a, b의 교차곱 a × b로서 축 벡터를 쓰고, 각도θ의 감각을 a에서 b를 향해 측정한다.α가 이들 벡터 사이의 각도를 나타내면 두 각도 θ와 α가 반드시 같을 필요는 없지만 같은 의미로 측정된다.그러면 단위 축 벡터가 기록될 수 있습니다.

$({displaystyle \mathbf {k} = snaphfrac {a} \times \mathbf {b} } = snaphfrac {mathbf {a} \times \mathbf {b} } {\mathbf {b} \sin} } = snapa frac {mathbf {a} } } } 。}$

이 형식은 평면을 정의하는 두 개의 벡터가 관련되어 있을 때 더 유용할 수 있습니다.물리학의 예로는 로드리게스의 공식에 의해 주어진 두 개의 비공선 부스트 속도에 관한 회전을 포함하는 토마스 세차운동이 있으며, 회전축은 평면에 수직이다.

파생

k를 회전축을 정의하는 단위 벡터로 하고, v를 k x 각도θ(오른쪽 규칙, 그림에서는 시계 반대 방향으로) 회전하는 임의의 벡터라고 하자.

도트와 교차곱을 사용하여 벡터 v를 축 k에 평행하고 수직인 성분으로 분해할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {v} = \mathbf {v} _{\mathbf {v} + \mathbf {v} _{\perp },},}$

여기서 k에 평행한 성분은

$\displaystyle \mathbf {v} _{\mathbf }=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} }$

k에 대한 v의 벡터 투영이라고 불리며, k에 수직인 성분은

$\displaystyle \mathbf {v} _{\perp } =\mathbf {v} - \mathbf {v} - (\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} ) \mathbf {k} \times ( \mathbf {k} \times )$

k에서 v의 벡터 제거라고 합니다.

벡터 k × v는 k에 대해 시계 반대 방향으로 90° 회전하는 v의_⊥ 복사본으로 볼 수 있으므로 크기는 같지만 방향은 수직이다.마찬가지로 벡터 k × (k × v)는 k에 대해 180°를 통해 시계 반대 방향으로 회전하므로 k_⊥ × (k × v)와_⊥ v는 크기가 동일하지만 반대 방향(즉, 서로 음수이므로 마이너스 기호)이다.벡터 삼중곱을 확장하면 평행성분과 수직성분과의 연결이 확립된다.참조식은 a × (b × c) = (a · c)b - (a · b )c이다.

축에 평행한 구성요소는 회전 시 크기나 방향이 변경되지 않습니다.

${\displaystyle \mathbf {v} _{\displaystyle \mathrm {rot} =\mathbf {v} _{\display },}$

수직 성분만이 방향을 바꾸지만 그에 따라 그 크기를 유지할 것이다.

$\displaystyle \mathbf {v} _{\perp \mathbrm {rot} \right &=\left \mathbf {v} _{\perp \mathbrm {rot} _{\perp} \cos(\ta\ta\mathbf} {v} _\f} \right &\p} _p}$

k와_∥ v는 평행하기 때문에 이들의 교차곱은 0 k × v_∥ = 0이다.

$\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {k} \times \left(\mathbf {v} -\right)=\mathbf {k} \times \mathbf {k} \mathbf {k} \times {f} \mathbf} \mathbf {k}$

그리고 그것은 뒤따른다

$\displaystyle \mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} =\cos(\theta)\mathbf {v} +\sin(\theta)\mathbf {k} \times \mathbf {v} \,} }$

벡터_⊥ v와 k × v의 길이가 같고 k × v는 k에 대해 90°를 통해 시계 반대 방향으로 회전하므로_⊥ 이 회전은 정확하다.삼각함수 사인 및 코사인(cosine)을 사용하여 v 및 k × v의 적절한_⊥ 스케일링을 통해 회전된 수직 성분을 얻을 수 있습니다.회전된 구성요소의 형태는 데카르트 기준의 2D 평면 극좌표(r, θ)의 반경 벡터와 유사합니다.

$\displaystyle \mathbf {r} =r\cos(\theta)\mathbf {e} _{x}+r\sin(\theta)\mathbf {e} _{y} , , , }$

여기서_x e, e는_y 표시된 방향의 단위 벡터입니다.

이제 완전 회전 벡터는

$\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} =\mathbf {v} _{\mathrm {rot} +\mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} },}$

방정식에서 v와_⊥rot v의 정의를_∥rot 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{v}_{\mathrm{ 썩음}}&=\mathbf{v}_ᆲ+\cos(\theta)\,\mathbf{v}_ᆴ+\sin(\theta)\,\mathbf{k}\times, =\mathbf{v}_ᆸ+\cos(\theta)\left(\mathbf{v}-\mathbf{v}_{}\parallel \right)+\sin(\theta)\,\mathbf{k}\times{v}\\& \mathbf,{v}\\& \mathbf =\cos(\theta)\,\mathbf.{v}+(1-\cos \theta ) \mathbf {v} _{\times }+\sin(\theta ), \mathbf {k} \times \mathbf {v} \\cos(\theta ), \mathbf {v} + (1-\cos \theta) \csin {k} + mathbf}$

행렬 표기법

v와 k × v를 열 행렬로 나타내면, 교차곱은 행렬 곱으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}(\mathbf{k}\mathbf{v}\times)_ᆬ\\(\mathbf{k}\mathbf{v}\times)_ᆭ\\(\mathbf{k}\mathbf{v}\times)_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z}-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{)}-k_{)}v_{z}\\k_{)}v_{y}-k_{y}v_{)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&, -k_{z}&, k_{y}\\k_{z}&, 0&, -k_{)}\\-k_{y}&, k_{)}&, 0\end{.bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\v_{y}\v_{z}\end{bmatrix},}$

K는 단위 벡터 k에 대한 "교차곱 행렬"을 나타낸다.

${\displaystyle \mathbf {K} =\left[{\display{array}{ccc}\k_{y}\k_{z}&0&-k_{x}&0\end{array}\,},}$

즉,

${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {v} = \mathbf {k} \times \mathbf {v} }$

모든 벡터 v. (실제로 K는 이 성질을 가진 고유 행렬이다.)고유값 0과 ±i)를 가집니다.

따라서 교차곱을 반복하는 것은 왼쪽의 교차곱 행렬에 곱하는 것과 같습니다. 구체적으로는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {v} =\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \times \mathbf {k} \times \mathbf {v} ),}$

그러므로 매트릭스 언어의 이전 회전 공식은

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{v}_{\mathrm{ 썩음}}&=\mathbf{v}\cos\theta +(\mathbf{k}\mathbf{v}\times)\sin \theta+\mathbf{k}~(\mathbf{k}\cdot{v}\mathbf)(1-\cos \theta)\\&, =\mathbf{v}\cos\theta +(\mathbf{k}\mathbf{v}\times)\sin \theta +(\mathbf{v}-\mathbf{v}_{\perp})(1-\cos \theta)\\&, =\mathbf{v}\.왜냐면 \theta+(\mathbf{k}\mathbf{v}\times)\sin\theta +(\mathbf{v}+\mathbf{k}\times(\mathbf{k}\times \mathbf{v}))(1-\cos \theta)\\&, =\mathbf{v}\cos\theta +(\mathbf{k}\mathbf{v}\times)\sin \theta +(\mathbf{v}+\mathbf{K}(\mathbf{K}\mathbf{v}))(1-\cos \theta)\\&, =\mathbf{v}(\cos\theta +1-\cos \theta)+(\mathbf{k}\times \ma.thbf{v})\sin \theta +\mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} ) (1-\cos \theta)\end {aligned}})$

다음과 같은 것이 있습니다.

$\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} =\mathbf {v} +(\sin \theta)\mathbf {K} +(1-\cos \theta)\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v},\mathbf {K} \{1} \mathbf {K} \\c}$

이 표기법에서는 선행 항의 계수는 1입니다.아래의 거짓말 그룹 설명을 참조해 주세요.

v를 인수분해하면 콤팩트한 식을 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} =\mathbf {R} \mathbf {v} }$

어디에

회전 행렬은 축 k를 중심으로 시계 반대 방향으로 θ를 통과하는 회전 행렬이며, I는 3 × 3 항등 ^[4]행렬이다.이 행렬 R은 δ의³ 회전군 SO(3)의 요소이며 K는 Lie 그룹을 생성하는$$ Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ $o$(${\displaystyle 3}$$)$의 요소이다(K는${\displaystyle }$s(3$)$$의 특성$을 $나타내는{\displaystyle \mathfrak{}}$ 스큐 $대칭이다).$

지수 행렬의 관점에서 보면

$\displaystyle \mathbf {R} =\exp(\theta \mathbf {K}),}$

마지막 정체성이 유지되는 것을 보기 위해, 누군가는 주목한다.

$\displaystyle \mathbf {R}(\theta)\mathbf {R}(\theta +\phi)=\mathbf {R}(0)=\mathbf {I},}$

즉, 지수 부분군의 특성이며, 공식이 극소수 θ와 일치한다.

이 지수 관계에 기초한 대체 도출 방법은 ${\displaystyle \mathfrak{s}\mathrm{o}}$ ( 3${\displaystyle }$)$$\ $displaystyle$\$mathfrak {so}}($3$$$)$ ~ SO(3)의 $지수{\displaystyle \mathfrak{}}$ 맵을 참조하십시오.역매핑에 대해서는 SO(3)에서${\displaystyle \mathfrak{S}}$O(3$)$로의 로그맵을 참조해 주세요.\ $displaystyle$ {$mathfrak${$so}$ : (3) $。$

$회전{\displaystyle \mathbf{}}$R의 호지 쌍대({$displaystyle \mathbf {R})$는 R $=$ - ${\displaystyle \sin }$ (${\displaystyle \theta \mathbf{}}$ )$$k \$displaystyle \mathbf {R}$ ^{*}=-\$sin(\theta)\mathbf {k}$이다.

${\displaystyle {sin(\theta)\sin(\theta)=\left \mathbf {R}^{*}\mathbf {k} &=-{\frac \mathbf {R}^{*}\left \mathbf {R}{R}\end}} 정렬$

$여기$서 $=$±$$(\$displaystyle$ \$displaystyle$=\$pm$1)입니다$.$위의 간단한 식은 I$(\$와 $(\$ ${$$K} ^{2$})의 호지듀얼이 $0$이고 K$=$ - $(\displaystyle$ \$mathbf${K} =-\$mathbf${k$\}$ $}$ })라는 사실에 기인한다.

그러나 Rodrigues의 공식을 적용할 때는 ^a공식을 확장하여 일반적인 모호성을 제거할 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 축각
• 회전(수학)
• SO(3) 및 SO(4)
• 오일러-로드리그 공식

레퍼런스

• 레온하르트 오일러, "Problema algebrazum ob advies prorsus singleares memoryabile", 주석 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. 아카데미, 과학. 페트로폴리타네 15(1770), 75~106.
• Olinde Rodrigues, Journal de Mathémtiques péques, "Des l'pace, et de la variation des coordonnées provenant de ces dépositions des peuvent les péques" (제 5장)
• Don Koks, (2006) 수학물리탐구, Springer Science+Business Media,LLC. ISBN 0-387-30943-8.4장 pps 147 et seq.기하학 대수학의 우회 경로
• ^a Liang, Kuo Kan (2018). "Efficient conversion from rotating matrix to rotation axis and angle by extending Rodrigues' formula". arXiv:1810.02999 [cs].

외부 링크

• 요한 E.Mebius, 4차원 회전에 대한 일반 공식에서 3차원 회전을 위한 오일러-로드리그 공식의 파생, arXiv 일반 수학 2007.
• 또 다른 설명 예시는 http://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles, 물리 섹션, 파트 4. "제3의 차원"을 참조하십시오. 3페이지의 섹션 "Axis and Angle, http://chrishecker.com/images/b/bb/Gdmphys4.pdf"