축-각 표현

수학에서 회전의 축-각 표현은 3차원 유클리드 공간에서 회전을 두 가지 양으로 매개변수화하는데, 회전의 축 방향을 나타내는 단위 벡터 e와 축을 중심으로 회전의 크기를 설명하는 각도 θ이다. e의 크기가 제한되기 때문에 원점에 뿌리를 둔 단위 벡터 e의 방향을 정의하려면 3이 아닌 2개의 숫자만 필요하다. 예를 들어 e의 표고 및 방위각 각도는 특정 데카르트 좌표 프레임에서 찾기에 충분하다.

로드리게스의 회전 공식에 의해 각도와 축은 3차원 벡터를 회전시키는 변형을 결정한다. 회전은 오른손 법칙에 의해 규정되는 의미로 일어난다. 회전축을 오일러 축이라고 부르기도 한다.

그것은 3차원의 많은 회전 형식 중 하나이다. 축-각 표현은 3차원 공간에서 강체 신체의 회전 순서나 회전 순서가 단일 고정 축에 대한 순 회전에 해당한다는 것을 지시하는 오일러의 회전 정리에 전제되어 있다.

회전 벡터

축-각 표현은 보다 간결한 회전 벡터와 동등하며 오일러 벡터라고도 한다. 이 경우 회전축과 각도는 모두 회전각 θ인 회전축과 함께 벡터 코다이렉트로 표현된다.

${\displaystyle {\\desymbol {\theta }=\theta \mathbf {e} \,.}$

이 표기를 포함하는 지수 및 로그 맵에 사용된다.

많은 회전 벡터는 동일한 회전과 일치한다. 특히 길이 θ + 2πM의 회전 벡터는 어떤 정수 M에 대해서도 길이 θ의 회전 벡터와 정확히 동일한 회전을 인코딩한다. 따라서, 어떤 회전에도 해당하는 회전 벡터의 최소한 셀 수 있는 무한대가 있다. 더욱이 2㎛에 의한 모든 회전은 회전이 전혀 없는 것과 같기 때문에, 주어진 정수M에 대해 길이 2㎛의 모든 회전 벡터는 모든 방향에서 제로벡터와 동일한 회전을 인코딩하는 2변수 불가 회전 벡터를 구성한다. 지수 지도를 반전시킬 때, 즉 주어진 회전 행렬에 해당하는 회전 벡터를 찾을 때 이러한 사실을 고려해야 한다. 기하급수적인 지도가 위에 있지만 일대일 지도가 아니다.

예

땅에 서서 중력의 방향을 음의 z 방향으로 선택한다고 말한다. 만약 당신은 당신의 왼쪽으로 돌면 그럼.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output 순환될 것이다. .sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/2 라디안은 z축에 대해(나 90도). 축 각도 표현을 순서 쌍으로 보면 다음과 같다.

${\displaystyle (\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\frac {\pi }{2}}\right).}$

위의 예는 z 방향을 가리키는 magnitude/2의 크기를 가진 회전 벡터로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}0\\0\\\\\\\\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$

사용하다

축-각 표현은 단단한 신체 역학을 다룰 때 편리하다. 회전 특성화 및 균일한 변형과^{[clarification needed]} 비틀림과 같은 강체 움직임의 서로 다른 표현 간 변환에도 유용하다.

강체 본체가 고정된 축을 중심으로 회전할 때 축-각 데이터는 일정한 회전 축이며, 시간에 따라 회전 각도가 연속적으로 달라진다.

3개의 고유값 1과 e와^±iθ 연관된 3개의 직교 축을 카르테시안 표현으로 머서의 정리에 꽂는 것은 3차원으로 회전 매트릭스의 카르테시안 표현을 편리하게 구성하는 것이다.

벡터 회전

올린데 로드리게스의 이름을 딴 로드리게스의 회전 공식은 회전 축과 회전 각도가 주어진 유클리드 벡터를 회전하는 데 효율적인 알고리즘이다. 즉, Rodrigues의 공식은 전체 행렬 지수 계산 없이 s ${\displaystyle \mathfrak{o}}$ ${\$3$)$에서 SO(3)까지 지수 지도를 계산하는 알고리즘을 제공한다.

v가 ℝ에서³ 벡터이고 e가 θ 각도로 회전하는 회전축을 설명하는 원점에 뿌리를 둔 단위 벡터라면, 회전 벡터를 얻기 위한 Rodrigues의 회전 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=(\cos \theta )\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {e} \,.}$

단일 벡터의 회전의 경우, 벡터를 회전하기 위해 e와 θ을 회전 행렬로 변환하는 것보다 더 효율적일 수 있다.

다른 표현에 대한 관계

회전을 나타내는 몇 가지 방법이 있다. 서로 다른 표현들이 어떻게 연관되어 있는지, 그리고 그 사이에서 어떻게 전환될 것인가를 이해하는 것이 유용하다. 여기서 단위 벡터는 e가 아닌 Ω으로 표시된다.

𝔰𝔬(3) ~ SO(3)까지의 지수 지도

지수 지도는 회전의 축 각도 표현에서 회전 행렬로 변환하는 데 영향을 미친다.

${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}(3)\mathrm {SO}(3)\,}$

본질적으로, 테일러 확장을 사용함으로써 이 두 가지 표현 사이에 폐쇄형 관계를 도출한다. 단위 벡터 Ω $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{o}}$ ${\$3) = 단위 회전축을 나타내는 representing과 각도³ matrix angle angle ∈ ℝ에 대해 다음과 같이 등가 회전 매트릭스 R이 주어지며, 여기서 K는 Ω의 교차 제품 매트릭스, 즉 모든 벡터 v ∈에³ 대해 Kv = Ω ×v가 주어진다.

${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$

K는 스큐 대칭이고, 대각선 위 입력의 제곱합은 1이므로 K의 특성 다항식 P(t)는 P(t) = det(K - tI) = -(t³ + t)이다. Cayley-Hamilton 정리 P(K) = 0에 의해, 이것은 다음을 함축하고 있다.

${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$

그 결과 K⁴ = –K², K⁵ = K, K = K⁶, K² = –K⁷.

이러한 순환 패턴은 무한정 지속되기 때문에 K의 모든 상위 파워는 K와 K로² 표현될 수 있다. 따라서 위의 방정식에서 보면 다음과 같다.

${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\fract}\theta ^{3}}{3}}{3!}}}+{\frac {\theta ^{5}{5}}{5!}}}-\cdots \오른쪽)\mathbf {K} +\\왼쪽({\frac {\theta ^{2}}!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4}}{4!}}}+{\frac {\theta ^{6}{6}}{6!}}}-\cdots \right)\mathbf {K}^{2}\...}$

그것은

${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K}+(1-\cos \theta )\mathbf {K}^{2}\,}$

삼각함수에 대한 Taylor 시리즈 공식에 의해.

이것은 로드리게스의 회전 공식에 나오는 기하학적 것과 대조적으로, 거짓말-알지브라질의 파생이다.^[1]

위에서 언급한 지수도의 존재 때문에 회전축을 나타내는 단위 벡터 Ω, 각도 θ은 회전 행렬 R의 지수 좌표라고 부르기도 한다.

SO(3)에서 𝔰𝔬(3)까지의 로그 맵

K는 다음에 나오는 모든 벡터 v에 대해 회전 축 Ω: K(v) = Ω × v로 교차 제품에 영향을 미치는 3 × 3 행렬을 계속 나타내도록 한다.

회전 행렬의 축 각도 표현을 검색하려면 회전 행렬의 트레이스에서 회전 각도를 계산하십시오.

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr}(R)-1}{2}}\오른쪽)}$

표준화된 축을 찾는데 그걸 사용한다면

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{1\sin \}{{bmatrix}R_{32}-R_{23}\R_{13}-R_{21}-R_{12}end{bmatrix},}},},}$

여기서 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은$($는) $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ -th$$ 행 및 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ -th$$ 열에서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 구성 요소다$$.

축 각도 표현은 -${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle -\theta }$${\displaystyle }$약$$ - ${\displaystyle \Omega \mathit{}}$ ${\$$omega$$$}}}의$$ $회전$은 $\$ {\$displaystyle \theta}$ 약 {\$displaystystyle {\bmbol {\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}$의 회전과 동일하므로 고유하지 않다는 점에 유의하십시오$.$

회전 행렬 R의 행렬 로그는 다음과 같다.

${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$

예외는 R이 고유값이 -1일 때 발생한다. 이 경우 로그가 고유하지 않다. 단, 통나무의 프로베니우스 규범이 있는 경우에도 그렇다.

${\displaystyle \\log(R)\ _{\mathrm {F}}={\sqrt{2}} \theta \,}$

주어진 회전 행렬 A와 B,

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\\left\\log \left(A^{\mathsf{T}B\right)\right\\{\mathrm {F}}}}}$

회전 행렬의 3D 다지관의 지오데틱 거리.

작은 회전의 경우, 아크코스의 파생상품이 → → 0으로 무한대로 진행되기 때문에 위의 θ 계산은 숫자로 부정확할 수 있다. 그 경우, 작은 각도의 경우 R i I + θK이기 때문에 오프 축 용어는 실제로 θ에 대한 더 나은 정보를 제공할 것이다. (이는 exp용 Taylor 시리즈의 첫 번째 두 용어이기 때문이다(exp(θK).

이 공식은 또한 θ = π에서 수적인 문제를 가지고 있는데, 여기서 축의 오프(Off-axis) 용어는 회전 축에 대한 정보를 제공하지 않는다(아직도 부호 모호성까지 정의된다). 그런 경우에는 위의 공식을 재고해야 한다.

${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K}^{2}(1-\cos \theta )}$

θ = π, 우리는

${\displaystyle R=I+2\mathbf {K}^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}}\otimes{\boldsymbol {\omega }-I)=2{\boldsymbol {\\bmbol}}}}}}$

그렇게 하도록 내버려두자

${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }={\frac {1}{1}{2}}(R+I)\}}}$

그래서 B의 대각선 항은 Ω 원소의 제곱이고 부호(위 기호 모호성)는 B의 오프축 항의 부호에서 결정할 수 있다.

단위 쿼터니언

다음 표현은 축-각 좌표를 버시버(단위 쿼터니언)로 변환한다.

${\displaystyle Q=\왼쪽(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\}{2}}\오른쪽)}$

버서 q = s + x 스칼라와 벡터 x로 대표되는 경우, 축-각 좌표는 다음을 사용하여 추출할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos s\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {x} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{case}\end{aigned}}}$

회전 각도의 보다 수치적으로 안정된 표현은 atan2 함수를 사용한다.

${\displaystyle \theta =2\bename {atan2}(\mathbf {x},s)\...}$

여기서 x는 3벡터 x의 유클리드 규범이다.

참고 항목

• 동일좌표
• 나사 이론, 비틀림, 나사 및 렌치의 개념을 사용하여 강체 신체 움직임과 속도를 표현한 이론
• 유사벡터
• 행렬이 없는 회전

참조