4차원 유클리드 공간의 회전

수학에서 4차원 유클리드 공간의 고정점에 대한 회전 집단을 SO(4)로 나타낸다.그 이름은 그것이 순서 4의 특별한 직교 그룹이라는 사실에서 유래되었다.

이 조항에서 회전은 회전 변위를 의미한다.고유성을 위해 회전 각도는 문맥에 의해 언급되거나 분명하게 암시되는 경우를 제외하고 세그먼트 [0, ]]에 있는 것으로 가정한다.

"고정면"은 회전 후 평면의 모든 벡터가 변하지 않는 평면을 말한다."변위 평면"은 회전에 의해 영향을 받을 수 있지만, 평면의 모든 벡터가 회전이 끝난 후 평면에 남아 있는 평면을 말한다.

4D 회전 기하학

4차원 회전은 단순 회전과 이중 회전의 두 가지 유형이다.

단순 회전

회전 중심 O에 대한 단순한 회전 R은 전체 평면 A ~ O(축 평면)를 고정시킨다.A에 완전히 직교하는^[a] 모든 평면 B는 특정 지점 P에서 A를 교차한다.그러한 각 지점 P는 B에서 R에 의해 유도된 2D 회전 중심이다.이 모든 2D 회전은 동일한 회전각 α를 갖는다.

축 평면 A의 O에서 나오는 반선은 이동하지 않고, O에서 직교하는 반선은 α를 통해 이동하며, 다른 모든 반선은 α 미만의 각도를 통해 이동한다.

이중 회전

4-공간 R의 각 회전(원점 고정)에 대해, 각각 불변성이며 직계 합 A ⊕ B가 모두 4-공간인 직교 2-플레인 A와 B 쌍 이상이 있다.따라서 이들 평면 중 하나에 작용하는 R은 해당 평면의 일반적인 회전을 생성한다.거의 모든 R(3차원 부분 집합을 제외한 모든 6차원 회전 집합)의 경우 평면 A의 회전 각도 α와 평면 B의 β(둘 다 0이 아닌 것으로 가정)가 서로 다르다.불평등한 회전각 α 및 β 만족 -π < α, β < π은 거의^[b] 고유하게 R에 의해 결정된다.4-공간이 방향이라고 가정할 때, 2-플레인 A와 B의 방향은 두 가지 방법으로 이 방향과 일치하도록 선택할 수 있다.회전각이 동일하지 않으면(α α β) R을 "이중 회전"이라고 부르기도 한다.

이중 회전의 경우 A와 B는 유일한 불변 평면의 쌍이며, A의 원점으로부터의 반선은 각각 α와 β를 통해 변위되며, A나 B에 있지 않은 원점으로부터의 반선은 α와 β 사이의 각도를 통해 변위된다.

이소클린

이중 회전의 회전 각도가 같을 경우, 단 두 개 대신 무한히 많은 불변 평면이 존재하며, O의 모든 반선은 동일한 각도를 통해 이동한다.그러한 회전을 이소클린식 또는 등각형 회전 또는 클리퍼드 변위라고 한다.주의: O를 통과하는 모든 평면이 등각 회전 하에서는 불변하는 것은 아니며, 반선 및 그에 따라 변위된 반선만 불변하는 평면에 한한다.^[2]

4차원 공간에 대해 고정된 방향을 선택했다고 가정할 때, 이등변성 4D 회전은 두 가지 범주로 나눌 수 있다.이를 확인하려면 등각 회전 R을 고려하고, OU와 OX가 불변 평면에 걸쳐 있는 O(OUXYZ로 표시됨)에서 상호 수직 반선(OW, OX, OY, OZ)의 방향 정합성 순서 집합을 취하며, 따라서 OI와 OZ도 불변 평면에 걸쳐 있다.이제 회전 각도 α만 명시되어 있다고 가정한다.그 후 평면 OUX와 OYZ에는 일반적으로 회전각 α를 가진 4개의 이등변성 회전이 있는데, 이는 OUX와 OYZ의 회전 감각에 따라 달라진다.

우리는 OU에서 OX로, 그리고 OI에서 OZ로 회전하는 감각이 양성으로 간주된다는 관례를 만든다.그 다음 4회전₁ R = (+α, +α), R₂ = (-α, -α), R₃ = (+α, -α), R₄ = (-α, +α)가 있다.R과₁ R은₂ 서로의 invers이다; R과₃ R도₄ 그렇다.α가 0과 π 사이에 있는 한, 이 네 회전은 구별될 것이다.

같은 기호를 가진 이소클린 회전은 좌 이소클린, 반대 기호를 가진 것은 우 이소클린으로 표시된다.좌/우 이등분자 회전은 각각 단위 쿼터별로 좌/우 곱셈으로 표현된다. 아래 "쿼터니온과 관계" 단락을 참조하십시오.

4회전은 α = 0 또는 α = π인 경우를 제외하고 쌍으로 다르다.각도 α = 0은 아이덴티티 회전, α = α는 아이덴티티 매트릭스의 음에 의해 주어지는 중심 역전에 해당한다.SO(4)의 이 두 원소는 좌, 우 이등변성이 동시에 일어나는 유일한 원소다.

위에서 정의한 좌/우 이등분선은 어떤 특정한 이등분 회전을 선택했는가에 따라 달라 보인다.However, when another isoclinic rotation R′ with its own axes OU′, OX′, OY′, OZ′ is selected, then one can always choose the order of U′, X′, Y′, Z′ such that OUXYZ can be transformed into OU′X′Y′Z′ by a rotation rather than by a rotation-reflection (that is, so that the ordered basis OU′, OX′, OY′, OZ′ is also consistent with the same fixed choice OU, OX, OY, OZ로 방향 설정.따라서 방향(즉, 보편적으로 오른손잡이로 표기되는 축의 시스템 OUXYZ)을 선택한 후에는 특정 이등변위 회전에서 왼쪽 또는 오른쪽 문자를 결정할 수 있다.

SO(4)의 그룹 구조

SO(4)는 비전속 컴팩트 6차원 리 그룹이다.

회전 중심 O를 통과하는 각 평면은 SO(2)에 대한 역방향 부분군 이형체의 축 평면이다.이러한 모든 하위 그룹은 SO(4)에서 상호 결합된다.

O를 통과하는 각 직교면 쌍은 SO(4) 이형에서 SO(2) × SO(2)까지 교감 부분군의 불변면 쌍이다.

이러한 그룹은 SO(4)의 최대 토리로, 모두 SO(4)에서 상호 결합된다.Clifford torus도 참조하십시오.

모든 좌등각 회전은 SO(4)의 비확정 부분군 S를³_L 형성하며, 이는 단위 쿼터니온의 승수 그룹³ S에 이형이다.모든 우측 이등분자 회전은 마찬가지로 SO(4) 이형에서 S까지³ 부분군 S를³_R 형성한다.S와³_L S는³_R 모두 SO(4)의 최대 하위집단이다.

각 좌등각 회전은 각 우등각 회전과 통한다.이것은 직접적인 제품 S3L × S3R 정상적인 하위 그룹 S3L과 S3R에 존재하는. S3L과 S3R 차갑지 않는 양쪽 상응하는 인자 그룹의 직접적인 제품의 다른 요소, 즉 S3이다.(이것은 그러니깐(4)또는 한 하위 그룹에만 동형, 동형이 저는과 중앙 역전 −I 정체성의 각 항목에 속하다를 암시한다.둘 다 S3L고S³_R.)

각 4D 회전 A는 두 가지 면에서 좌, 우 등각 회전 A와_L A의_R 산물이다.A와_L A는_R 중심 반전까지 함께 결정된다. 즉, A와_L A_R 둘 다 중심 반전 곱할 때 그들의 제품은 다시 A가 된다.

이는 S³_L × S가³_R SO(4)의 범용 커버 그룹이며, S와 S는³_R SO³_L(4)의 정상 서브그룹임을 의미한다.Identity rotation I과 central inversion -I는 순서 2의 그룹₂ C를 형성하며, 이는 SO(4)와³_L S와 S의³_R 중심이다.집단의 중심은 그 집단의 정상적인 부분군이다.SO(4)에서 C의₂ 인자 그룹은 SO(3) × SO(3)에 대해 이형이다.S³_L by C의₂ 요인³_R 그룹과₂ S by C의 요인 그룹은 각각 SO(3)에 대한 이형성이다.마찬가지로 SO(4) by S³_L 및 SO(4) by S의³_R 요인 그룹은 각각 SO(3)에 대해 이형이다.

The topology of SO(4) is the same as that of the Lie group SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2), namely the space ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}}$ where ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ is the real projective space of dimension 3 and ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$3-sphere 입니다.단, Lie 그룹으로서 SO(4)는 Lie 그룹의 직접 산물이 아니므로 SO(3) × 스핀(3) = SO(3) × SU(2)에 이형성이 없다는 점이 주목할 만하다.

일반적으로 회전 그룹 중 SO(4)의 특수 특성

홀수차원 회전 그룹은 중심 역전을 포함하지 않으며 단순한 그룹이다.

짝수 회전 그룹은 중심 반전 -I를 포함하고 그룹 C₂ = {I, -I}을(를) 중심으로 한다.n ≥ 6의 경우에도 SO(n)의 중심에 의한 요인 그룹 SO(n)/C가₂ 단순 그룹이라는 점에서 SO(n)는 거의 단순하다.

SO(4)는 다르다: 왼쪽과 오른쪽 이등분자 회전을 서로 변형시키는 SO(4)의 어떤 요소에도 의한 결합이 없다.반사는 좌등분자 회전을 우등분자 회전을 결합에 의해 우등분 회전으로 변형시키고, 그 반대의 경우도 마찬가지다.이는 고정점 O가 있는 모든 등위계 그룹 O(4)에서 구별되는 부분군 S와³_L S는³_R 서로 결합되므로 O(4)의 정상 부분군이 될 수 없음을 의미한다.5D 회전 그룹 SO(5)와 모든 상위 회전 그룹은 O(4)에 대해 이형 부분군을 포함한다.SO(4)와 마찬가지로, 모든 짝수 회전 그룹에는 이등변성 회전이 포함된다.그러나 SO(4)와 달리 SO(6) 및 모든 상위 고차원의 회전 그룹에서 동일한 각도를 통한 2개의 이등변 회전은 결합이다.모든 이등변성 회전의 집합은 정상적인 부분군은 말할 것도 없고 SO(2N)의 부분군도 아니다.

4D 회전 대수

SO(4)는 일반적으로 방향을 유지하는 등축 선형 매핑 그룹과 함께 실제 숫자에 대한 내부 제품이 있는 4D 벡터 공간의 그룹을 통해 식별된다.

그러한 공간의 직교 기준과 관련하여 SO(4)는 결정인자 +1이 있는 실제 4차 직교 행렬 그룹으로 표현된다.^[3]

이소클린 분해

매트릭스에 의해 주어진 4D 회전은 다음과 같이 좌등각 회전과 우등각 회전으로^[4] 분해된다.

내버려두다

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}}$

임의의 정형외과적 기초에 관한 그것의 행렬이다.

이를 통해 소위 연관 행렬을 계산하십시오.

${\displaystyle M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}}$

M은 순위 1을 가지며, A가 실제로 4D 회전 행렬인 경우에만 16D 벡터로서 단위 유클리드 규범이다.이 경우 다음과 같은 실제 숫자 a, b, c, d 및 p, q, r, s가 존재한다.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\bp&bp&br&br&bs\cp&cq&cr&cs\\dp&dr&ds\end{pmatrix}}}}}$

그리고

${\displaystyle (ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}+d^{2}+d^{2}}\오른쪽)\왼쪽(p^{2}+q^{2}+r^{2}+r^{2}+r^{2}+s^{2}}\오른쪽)=1.}$

a, b, c, d 및 p, q, r, s의 정확히 두 세트가 있어 a² + b² + c² + d² = 1과 p² + q² + r²² + s = 1이다.그들은 서로 반대다.

그러면 회전 행렬이 같음

${\displaystyle {\reasoned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&, -aq-bp+cs-dr&, -ar-bs-cp+dq&, -as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&, -bq+ap+ds+cr&, -br+as-dp-cq&, -bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&, -cq+dp-as-br&, -cr+ds+ap+bq&, -cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&, -dq-cp-bs+ar&, -dr-cs+bp-aq&, -ds+cr+bq+ap\end{pmatrix}}\\&, ={\begin{pmatrix}a&, -b&, -c&, -d\\b&^;\,\,a&, -d&^;\,\,c\\c&^;\,\,d&^;\,\,a&, -b\\d&, -c&^;\,\,b&^;\,\,a\end{pmatrix}}{\pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\\,\,\,\,\,\,\,s&r&s&\,\,s&\,\,q\s&\,\,\,\,pmatrix}.\end{정렬}}}$

이 공식은 반 엘프링호프(1897년) 때문이다.

이 분해의 첫 번째 요인은 좌 이등분 회전을 나타내고, 두 번째 요인은 우 이등분 회전을 나타낸다.요인은 음의 4차 아이덴티티 매트릭스(즉, 중심 반전)까지 결정된다.

쿼터니온과의 관계

데카르트 좌표(u, x, y, z)가 있는 4차원 공간의 점은 쿼터니온 P = u + xi + yj + zk로 나타낼 수 있다.

좌등각 회전은 단위 쿼터니온 Q_L = a + bi + cj + dk에 의한 좌등 곱셈으로 표현된다.매트릭스 벡터 언어에서 이것은

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}}$

마찬가지로 우등분 회전은 단위_R 쿼터 Q = p + 제 + rj + sk에 의한 우등분배(matrix-vector)로 표현된다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

앞의 절(#Isoclinic 분해)에서는 일반적인 4D 회전이 어떻게 좌우 이등변수 인자로 분할되는지를 보여준다.

반 엘프링호프의 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle u'+xi'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),}$

아니면 상징적인 형태로

${\displaystyle P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }\,}$

독일의 수학자 펠릭스 클라인에 따르면 이 공식은 1854년에^{[citation needed]} 이미 케일리에게 알려졌다.

quaternion 곱셈은 연관성이 있다.그러므로

${\displaystyle P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L}}\왼쪽(PQ_{\mathrm {R}}\right),\,}$

좌등각 회전과 우등각 회전은 통근한다는 것을 보여준다.

4D 회전 행렬의 고유값

4D 회전 행렬의 네 가지 고유값은 일반적으로 단위 크기의 복잡한 숫자의 두 개의 결합 쌍으로 발생한다.고유값이 실제인 경우, 회전은 벡터의 크기를 변경하지 않기 때문에 ±1이어야 한다.그 고유값의 결합은 또한 단일성이며, 고정 평면을 정의하는 한 쌍의 고유 벡터를 산출하므로 회전이 간단하다.쿼터니온 표기법에서, 단위 쿼터니온 Q와_L Q의_R 실제 부분이 크기가 같고 부호가 동일한 경우에만 SO(4)의 적절한 (즉, 비반복) 회전은 적절한 단순 회전이다.^[c]둘 다 0이면 회전의 모든 고유값은 단결이고, 회전이 null 회전이다.Q와_L Q의_R 실제 부분이 같지 않으면 모든 고유값이 복잡하며, 회전은 이중 회전이다.

오일러-로드리게스 3D 회전 공식

우리의 일반적인 3D 공간은 좌표계 UXYZ가 있는 4D 공간의 좌표계 0XYZ를 가진 아공간으로 편리하게 처리된다.그것의 회전 그룹 SO(3)는 행렬로 구성된 SO(4)의 하위 그룹으로 식별된다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.}$

앞의 하위섹션에서 Van Elfrinkhof의 공식에서 3차원에 대한 이러한 제한은 p = a, q = -b, r = -c, s = -d 또는 쿼터니온 표현으로 이어진다.Q_R = Q_L′ = Q_L⁻¹.그러면 3D 회전 매트릭스가

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}\end{pmatrix},}$

이는 오일러-로드리게스 매개변수에 의한 3D 회전을 나타낸 것이다: a, b, c, d.

해당 쿼터니온 공식 P′ = QPQ⁻¹, 여기서 Q = Q 또는_L 확장된 형태:

${\displaystyle x'i+yj+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)}$

해밀턴-케일리 공식으로 알려져 있다.

호프 좌표

3D 공간의 회전은 구면 좌표를 사용하여 수학적으로 훨씬 더 쉽게 추적할 수 있게 한다.3D의 모든 회전은 고정된 회전 축과 그 축에 수직인 불변 평면으로 특징지어질 수 있다.일반성을 상실하지 않고 xy-plane을 불변 평면으로, z축을 고정 축으로 취할 수 있다.방사상 거리는 회전에 영향을 받지 않기 때문에 고정축 및 불변성 평면에 언급된 구형 좌표에 의해 단위 구(2-sphere)에 미치는 영향에 의해 회전을 특성화할 수 있다.

${\displaystyle {\pregated}x&=\sin \theta \coses \phi \\z&=\coses \theta \ended}}}}$

x² + y² + z² = 1이므로 점수는 2-sphere에 위치한다.z축에 대한 각도 φ에 의해 회전하는 {,, }}의₀₀ 점은 단순히₀ {,, + + }.}에₀ 의해 지정된다.4D 회전을 처리하는 데도 초심 좌표가 유용하지만, 3-sphere의 위치를 지정하는 3개의 각도 좌표 세트인 홉프 좌표 {ξ₁, η, η₂}^[5]에 의해 4D에 훨씬 더 유용한 좌표계가 제공된다.예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle {\regated}u&=\cos \x&=\cos \xi_{1}\sin \eta \x&=\cos \{2}cos \eta \\y&=\sin \cos \coses \eta \end{liged}}}}}}}}}}?$

u² + x² + y² + z² = 1이므로 점수는 3-sphere에 위치한다.

4D 공간에서 원점에 대한 모든 회전은 완전히 서로 직교하고 원점에서 교차하는 두 개의 불변성 평면을 가지고 있으며, 두 개의 독립각 ξ과₁ ξ에₂ 의해 회전된다.일반성을 상실하지 않고 우리는 각각 이러한 불변 평면으로 uz-plane과 xy-plane을 선택할 수 있다.점 {ξ₁, η₁₀₀, ξ₂₀}의 4D 회전을 각도 ξ, η, ξ₂}을 통해 간단하게 { hop₁₀ + ξ₁, η₀, η₂₀ + hop₂}로 표현한다.

4D 회전 시각화

3D 공간의 모든 회전에는 회전으로 변하지 않는 불변 축 선이 있다.회전은 회전축과 그 축에 대한 회전각을 지정함으로써 완전히 지정된다.일반성을 상실하지 않고 이 축을 데카르트 좌표계의 z축으로 선택할 수 있어 회전을 더 단순하게 시각화할 수 있다.

3D 공간에서는 구형 좌표 {,, }}을(를) 2-sphere의 파라메트릭 식으로 볼 수 있다.고정 θ의 경우, 그들은 z축에 수직인 2-sphere의 원을 설명하고, 이러한 원을 구상의 점 궤적으로 볼 수 있다.구체의 점 {θ₀, φ₀}은, z축에 대한 회전 하에, 각도 φ이 달라짐에 따라 궤적₀₀ { +, } + φ}을 따른다.궤적은 시간 단위로 회전 파라메트릭으로 볼 수 있으며, 여기서 회전각은 시간 단위로 선형이다. Ω은 "사각형 속도"이다.

3D 사례와 유사하게, 4D 공간의 모든 회전에는 회전으로 불변하며 완전히 직교하는 최소 두 개의 불변 축 평면이 있다(즉, 한 지점에서 교차한다).회전은 축 평면과 축 평면에 대한 회전 각도를 지정하여 완전히 지정된다.일반성을 상실하지 않고, 이러한 축 평면은 회전을 더 단순하게 시각화할 수 있도록 데카르트 좌표계의 uz 및 xy-plane으로 선택할 수 있다.

4D 공간에서 Hopf₁ 각도 { {, η, ξ₂}은(는) 3-sphere를 매개 변수화한다.고정 η을 위해 그들은,η).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:0와 융기 ξ1과 ξ2에 의해 parameterized을 묘사한다. 0.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/4은 xy-과 uz-planes의 클리퍼드 원환체의 특별 케이스다.이 토리는 3D 공간에서 흔히 볼 수 있는 토리가 아니다.그것들은 여전히 2D 표면이지만, 3-sphere에 내장되어 있다.3-sphere는 유클리드 3D 공간 전체에 입체적으로 투사될 수 있으며, 이 토리는 보통 혁명의 토리로 간주된다.uz₁₀ 및 xy-planes 불변성으로 회전을 진행하는 { {, η₀, ξ₂₀}에 의해 지정된 지점이 η에₀ 의해 지정된 토러스 위에 남아 있음을 알 수 있다.^[6]점의 궤적은 { figures + Ωt₁₀₁, η₀, ξ₂₀ + Ωt}로₂ 시간의 함수로 쓸 수 있으며, 아래 그림에서와 같이 관련 토러스 위에 입체적으로 투영된다.^[7]이러한 수치에서 초기 지점은 {0, π/4, 0}, 즉 클리포드 토루스(Clifford torus)로 간주된다.그림 1에서 2개의 단순 회전 궤도는 검은색으로 표시되며, 왼쪽과 오른쪽 등각 궤적은 각각 빨간색과 파란색으로 표시된다.그림 2에서는 Ω₁ = 1 및 Ω₂ = 5인 일반 회전이 표시되며, 그림 3에서는₁ Ω = 5인 및 Ω₂ = 1인 일반 회전이 표시된다.

4D 회전 행렬 생성

4차원 회전은 로드리게스의 회전 공식과 케이리 공식에서 도출할 수 있다.A를 4 × 4 스큐 대칭 행렬이 되게 하라.스큐 대칭 행렬 A는 다음과 같이 고유하게 분해될 수 있다.

${\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}}:$

AA₁₂ = 0, A = -A₁ 및 A = -A 특성을₁³ 만족하는₂³₂ 두 개의 스큐 대칭 행렬 A와₁ A로₂, 여기서 ∓θi와₁ ∓θi는₂ A의 고유값이다.그런 다음, 4D 회전 행렬은 Rodrigues의 회전 공식과 Cayley 공식에 의해 꼬치대칭 행렬 A와₁ A에서 얻을₂ 수 있다.^[8]

고유값 집합이 있는 4 × 4 비제로 스큐 대칭 행렬이 되도록 한다.

${\displaystyle \left\{\theta_{1}i,-\theta_{1}i,\theta_{2}i,-\theta_{2}i:{\theta_{1}^{1}^{2}+{\theta_{2}}^{2}>0\right\}.}$

그러면 A는 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}}:$

여기서 A와₁ A는₂ 특성을 만족하는 스큐 대칭 행렬이다.

${\displaystyle A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.}$

더욱이, 스큐 대칭 행렬 A와₁ A는₂ 다음과 같이 고유하게 얻어진다.

${\displaystyle A_{1}={\frac {{\theta_{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}-{\theta _{1}^{1}}\오른쪽)}}}$

그리고

${\displaystyle A_{2}={\frac {{\theta_{1}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\왼쪽({\theta _{1}^{1}-{\theta _{2}}^{2}}^{2}\오른쪽)}}}}}.}$

그러면.

$[\displaystyle R=e^{A}=I+\sin \theta \{1}A_{1}+\왼쪽(1-\cos \theta _{1}\오른쪽){A_{1}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\왼쪽(1-\cos \theta _{2}\오른쪽){A_{2}}^{2}}$

로드리게스의 회전 공식에 의해 생성되는 E의⁴ 회전 행렬이며, 고유값 집합이다.

${\displaystyle \left\{e^{{e^}{{1}i}e^{-\theta _{1}i}e^{\theta _{2}i}e^{-\theta _{2}i}\right\}.}$

또,

${\displaystyle R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\fracta _{1}{1+{1}\theta _{1}{1}^{1}}}}A_{1}+{{1}+{\frac _{1}^{1}^{1}:{1}:{2}}:{1+{1}^{1}:{1}{1}^{1}:{1}}{A_{1}^{1}}}{2\frac _{2}}+{{1}+}{1}+{2}}:2}}:}A_{2}}+{\frac {2{\theta _{2}}:{1}+{{2}}:{{2}}^{2}}:}{A_{2}}:2}}:00}$

E의⁴ 회전 행렬은 Cayley의 회전 공식에 의해 생성되며, R의 고유값 집합은 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.}$

발생 회전 행렬은 다음과 같이 θ과₁ θ₂ 값을 기준으로 분류할 수 있다.

1. θ₁ = 0 및 ≠ 0₂ 또는 그 반대로 ≠이면 공식은 간단한 회전을 생성한다.
2. 만약 θ과₁ θ이₂ 0이 아닌 경우, θ₁ θ은₂ 공식이 이중 회전을 발생시킨다.
3. 만약 θ과₁ θ이₂ 0이 아니고 θ₁ = θ이면₂, 공식은 등각 회전을 생성한다.

참고 항목

• 라플라스-룬지-렌츠 벡터
• 로렌츠 군
• 직교군
• 직교 행렬
• 회전면
• 푸앵카레 군
• 쿼터니온과 공간 회전

메모들

참조

참고 문헌 목록

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