루스-허위츠 안정성 기준

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제어시스템 이론에서 Routh-Hurwitz 안정성 기준은 선형 시간 불변성(LTI) 동적 시스템 또는 제어 시스템의 안정성을 위해 필요하고 충분한 조건인 수학적 시험이다. 안정적인 시스템은 출력 신호에 경계가 있는 시스템이다; 위치, 속도 또는 에너지는 시간이 흐를수록 무한대로 증가하지 않는다. 루스 테스트는 영국 수학자 에드워드 존 루스가 1876년 선형 시스템의 특징적인 다항식의 모든 뿌리가 음의 실제 부분을 가지고 있는지를 판단하기 위해 제안한 효율적인 재귀 알고리즘이다.^[1] 독일의 수학자 아돌프 후르비츠는 1895년 후르비츠 행렬이라 불리는 정사각형 행렬로 다항식의 계수를 배열하기 위해 독자적으로 제안했으며, 다항 행렬의 주요 하위 행렬의 결정요인의 순서가 모두 양수일 경우에만 안정적이라는 것을 보여주었다.^[2] 루스 테스트는 허위츠 결정요소를 직접 계산하는 것보다 더 효율적인 방법으로 계산하는 데 있어 두 절차는 동등하다. 루스-허위츠 기준을 만족하는 다항식을 허위츠 다항식이라고 한다.

기준의 중요성은 음의 실제 부분을 갖는 선형계 특성 방정식의 루트 p가 안정(경계)된 시스템의 솔루션^pt e를 나타낸다는 것이다. 따라서 이 기준은 시스템을 직접 해결하지 않고 선형 시스템의 운동 방정식이 안정적인 해법만 가지고 있는지를 판단할 수 있는 방법을 제공한다. 이산형 시스템의 경우 해당 안정성 시험은 슈르-콘 기준, 쥬리 테스트 및 비스트릿 테스트로 처리할 수 있다. 컴퓨터의 출현과 함께 그 기준은 널리 쓰이지 않게 되었는데, 대안은 다항식을 숫자로 풀어 뿌리에 직접 근사치를 얻는 것이다.

루스 테스트는 유클리드 알고리즘과 코우치 지수를 평가할 때 스투름의 정리를 통해 도출할 수 있다. 후르비츠는 자신의 조건을 다르게 도출했다.^[3]

이 유클리드 알고리즘 사용

그 기준은 루스-허비츠 정리와 관련이 있다. 그 정리의 진술로부터,${\displaystyle }p{\displaystyle }$ -${\displaystyle q}$ =${\displaystyle w}$( +${\displaystyle \mathrm{})}$) -${\displaystyle w}$( -${\displaystyle \mathrm{})}$ $){\displaystyle p-q=w(+\fty$)-$w(-\fty )}$가 있다. 여기서$$,

• ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$은(는) 음의 실제 부분이 있는$$ 다항식 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$ )$${\$displaystyle f(z)}$의 루트 수입니다.
• ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$은(는) 양의 실제 부분이 있는$$ $다항식{\displaystyle }$ f${\displaystyle (z}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ f$(z)}$의 루트 수입니다(정리에 따르면 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 가상 선에 루트가 없는 것으로 간주됨$$).
• w(x)는 일반화된 Sturm 체인의 변형 수로 $P{\displaystyle {}_{}}$ 0$($ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }${\$displaystyle$ $P_{0$$}(y)}$ 및 ${\displaystyle P_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{연속}}$ 유클리드 분할에 의해$)$ 여기서 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle y)}$ ${\displaysty f(y)}$에서 얻은 변형 수입니다.$=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}($real y)의$$ 경우

대수학의 기본 정리에 의해, 도 n의 각 다항식은 복잡한 평면에 n 루트를 가져야 한다(즉, 상상의 선에 뿌리가 없는 ƒ의 경우, p + q = n). 따라서 p - q = n(증거가 아래에 제시되어 있는 경우)에만 ƒ은 (허위츠) 안정적인 다항식이라는 조건을 가지고 있다. 루스-허위츠 정리를 이용하여 p와 q의 조건을 일반화된 스터름 체인의 조건으로 대체할 수 있으며, 이는 coefficients의 계수에 대한 조건을 차례로 부여하게 된다.

행렬 사용

f(z)를 복잡한 다항식이 되게 하라. 그 과정은 다음과 같다.

1. 다항식 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle P_{0}(y)}$ 및$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle P_{1}(y)}$을(를${\displaystyle )}$ 계산하여 f ( ${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$P ${\displaystyle 0{}_{}}$( ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ) + ${\displaystyle I}$ 1 ($$y ) {\$displaystystyle f(iy)$를 계산하십시오.$=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}$ 여기서$$ y는 실제 숫자다.
2. P ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle P_{0}(y)}$ 및$$ P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle P_{1}(y)}$에 연결된 ${\displaystyle \mathrm{실베스터}}$ 행렬을 계산하십시오$.$
3. 홀수 행과 다음 행이 선행 0의 수가 같도록 각 행을 다시 정렬하십시오.
4. 이 행렬의 각 주성분 부수를 계산하십시오.
5. 최소 한 명의 미성년자가 음수(또는 0)인 경우 다항식 f는 안정적이지 않다.

예

• Let ${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle z}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle bz}$ + c ${\displaystyle$ f$(z)=az^{2}+bz+c}$ $$(단순함을 위해 실제 계수를 취함) 여기서 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty c\neq 0}$ $$(Routh-Hurwitz 정리를 사용할 수 있도록 0의 루트를 피함) 먼저 실제 다항식 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle P_{0}(y)}$ 및$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle y}$) ${\displaystyle P_{1}(y)}$:

${\displaystyle f(iy)=-ay^{2}+iby+c=P_{0}(y)+iP_{1}(y)=-ay^{2}+c+i(by)}$

다음으로, 우리는 일반화된 Sturm 체인을 얻기 위해 이 다항식들을 나눈다.

• ${\displaystyle P_{0}(y)=(-a/b)y)$$P_{1}(y)+c,}$ 산출량$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle P_{2}(y)=-c,}$
• ${\displaystyle P_{1}(y)=(-b/c)y)$$P_{2}(y),}$에서 P$$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle P_{3}(y)=0}$을 산출하고$$ 유클리드 사단이 중지한다.

1부 리그에서 b가 0과 다르다고 가정해야 한다는 것을 주목하라. 일반화된 Sturm 체인은 이 경우$({\displaystyle P}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, P ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle c}$- ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$,${\displaystyle }$- c${\displaystyle }$) ${\displaystyle (P_{0})(y),$$P_{1}(y),$$P_{2}(y)=(c-ay^{2},by,-c$ $y{\displaystyle }$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ y$=+\infit },$$$(${\displaystyle c}$- ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle(c-ay^{2})$의 기호는 a의 반대 기호이고$$ b의 기호는 b의 기호다. $({\displaystyle y}$= -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ $){\displaystyle (y=-\infit )}}$을$($를) 놓았을 때, 사슬의 첫 번째 원소의 기호는 다시 a의 반대 기호, by의 기호는 b의 반대 기호다. 마지막으로 -c는 항상 c의 반대 기호를 가지고 있다.

이제 f가 허위츠 스테이블이라고 가정해보자. 즉 $w{\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle w}$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$w$(+\infit )-w(-\infit )=2}($f의 정도)를 의미한다. 함수 w의 속성에 의하면, 이것은 ${\displaystyle \mathrm{w}}$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle$ w $(+\infit )=2}$ 및 w$$${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{}}$∞${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= $0{\displaystyle }$ ${\displaysty$w$(-\infit )=0}$과 ${\displaystyle \mathrm{같다}}.$ 따라서 a, b, c는 동일한 기호를 가져야 한다. 따라서 우리는 2급 다항식들에 필요한 안정성 조건을 찾았다.

루스-허위츠 기준 2차 및 3차 다항식

• The second-degree polynomial ${\displaystyle P(s)=s^{2}+a_{1}s+a_{0}}$ has both roots in the open left half plane (and the system with characteristic equation ${\displaystyle P(s)=0}$ is stable) if and only if both coefficients satisfy ${\displaystyle a_{i}>0}$.
• 그third-order 다항식 P(s))s3+2s2+1s+0{\displaystyle P(s)=s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}모든 뿌리의 열린 4시간 비행기 만일 2{\displaystyle a_{2}}, 0{\displaystyle a_{0}}은 긍정적인과 21>0.{\displaystyle a_{.2}는$_{1}>a_{0}.$$}$
• 일반적으로 Routh 안정성 기준은 Routh 배열의 모든 첫 번째 열 요소가 동일한 기호를 갖는 경우에만 다항식이 열린 왼쪽 절반 평면에 모든 뿌리를 가지고 있다고 명시한다.

고차 예제

표식 방법을 사용하여 상위 순서 특성 다항식의 루트를 얻기 어려울 때 안정성을 결정할 수 있다. n차 다항식용

• ${\displaystyle D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}$

표는 n + 1 행과 다음 구조를 가지고 있다.

${\displaystyle a_{n}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	${\displaystyle a_{n-4}}$	$\displaystyle \reason }$
${\displaystyle a_{n-1}$	${\displaystyle a_{n-3}}$	${\displaystyle a_{n-5}}$	$\displaystyle \reason }$
${\displaystyle b_{1}.$	${\displaystyle b_{2}}:$	${\displaystyle b_{3}}$	$\displaystyle \reason }$
${\displaystyle c_{1}.$	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle c_{3}}$	$\displaystyle \reason }$
$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\ddots }$

$여기$서 b ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 및 $c$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 요소를 다음과 같이 계산할 수 있다$$.

• ${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{n-1}\properties {a_{n-2}}-a}-a_{n-(2i+1)}{a_{n-1}}}.}$
• ${\displaystyle c_{i}={\frac {b_{1}\properties {a_{n-(2i+1)}-a_{n-1}}-a_{n-1}{b_{i+1}}}{b_{1}}}}.}$

완료되면 첫 번째 열의 기호 변경 횟수가 음이 아닌 루트의 수가 된다.

0.75	1.5	0	0
-3	6	0	0
3	0	0	0
6	0	0	0

첫 번째 열에는 두 개의 부호 변화(0.75 → -3, -3 → 3)가 있으므로, 시스템이 불안정한 두 개의 부호적 뿌리가 있다.

서보 시스템의 특성 방정식은 다음과 같다.^[4]

• ${\displaystyle b_{0}s^{4}+b_{1}s^{3}+b_{2}s^{2}+b_{3}s+b_{4}}=0}$

${\displaystyle b_{0}}$	${\displaystyle b_{2}}:$	${\displaystyle b_{4}}$	0
${\displaystyle b_{1}.$	${\displaystyle b_{3}}$	0	0
${\displaystyle b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3} \over b_{1}:{1}:{1}$	$\frac{{\displaystyle b_{}}}{}$ $\frac{{\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}}{}$ $\frac{{\displaystyle {}_{}{}_{}}}{}$ $\frac{{\displaystyle {4\mathrm{}}_{}{}_{}{}_{}}}{}$ $\frac{{\displaystyle {}_{}}}{}$ 0 $\frac{{b\mathrm{}}_{}}{}$ $\frac{{}_{}}{}$ ${\$0$\over b_{1$}}$$= ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$	0	0
${\displaystyle (b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}b_{3}b_{3}b_{1}^{2}b_{4} \over b_{1}b_{0}b_{3}}}}}}}{3}}}}$	0	0	0
${\displaystyle b_{4}}$	0	0	0

안정성을 위해, Routh 배열의 첫 번째 열에 있는 모든 요소는 양수여야 한다. 따라서 주어진 시스템의 안정성을 위해 충족되어야 하는 조건은 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle b_{1}0,b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}}0, (b_{1}b_{0}b_{3}b_{3}b_{3}b_{3}b_{3}b_{3}^{2}b_{4}0,b_{4}}}}0}0}}}}}}0}}}}}}}}}}0}0}}}}}}0}}}}}}}}}}}}0}0}}}0}}}}$^[4]

만약

${\displaystyle (b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}b_{3}b_{3}b_{1}^{2}b_{4}\geq 0}$

그때

${\displaystyle b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0}$

만족하다.

• ${\displaystyle s^{4}+6s^{3}+11s^{2}+6s+200=0}$^[5]

우리는 다음 표를 가지고 있다.

1	11	200	0
6 1	6 1	0	0
10 1	200 20	0	0
-19	0	0	0
20	0	0	0

두 가지 신호 변화가 있다. 우반면 기둥 2개와 좌반면 기둥 2개가 있어 시스템이 불안정하다. 0 행이 Routh 표에 나타나지 않았으므로 시스템은 Ω 폴을 가질 수 없다.^[5]

때로는 상상의 축에 극이 존재하여 한계 안정의 상황을 만들기도 한다. 이 경우 전체 행의 "Routh 어레이" 계수가 0이 되고 따라서 기호의 변화를 찾기 위한 다항식의 추가 해법은 불가능하다. 그리고 또 다른 접근법이 작용하게 된다. 0을 포함하는 행 바로 위에 있는 다항식을 "보조 다항식"이라고 한다.

• ${\displaystyle s^{6}+2s^{5}+8s^{4}+12s^{3}+20s^{2}+16s+16s+0=0.\,}$

우리는 다음 표를 가지고 있다.

1	8	20	16
2	12	16	0
2	12	16	0
0	0	0	0

그러한 경우 보조 다항식은 $A{\displaystyle (}$ ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {2초\mathrm{}}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {12초\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{16이다.}}$${\displaystyle }$다시$$ 0과 같은 ${\displaystyle A=2s^{4}+12s^{2}+16.\,}$ 다음 단계는 다음의 다항식을 산출하는 위의 방정식을 구별하는 것이다. ${\displaystyle B}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {8\mathrm{}}^{}}$ 초 3${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 24}$ 초 ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$.${\$ 스타일 B=$8s^{3}+24s^{$1}.\,}. 0을 포함하는$$행의 계수는 이제 "8"과 "24"가 된다. Routh 배열의 과정은 상상의 축에서 두 점을 산출하는 이러한 값을 사용하여 진행된다. 상상의 축에 있는 이 두 점이 한계 안정성의 주요 원인이다.^[6]

참고 항목

참조

• 펠릭스 갠트마허 (J.L. 브레너 번역가)(1959) 매트릭스 이론의 적용, 페이지 177–80, 뉴욕: 사이언스.
• Pippard, A. B.; Dicke, R. H. (1986). "Response and Stability, An Introduction to the Physical Theory". American Journal of Physics. 54 (11): 1052. Bibcode:1986AmJPh..54.1052P. doi:10.1119/1.14826. Archived from the original on 2016-05-14. Retrieved 2008-05-07.
• Richard C. Dorf, Robert H. Bishop (2001). Modern Control Systems (9th ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-030660-6.
• Rahman, Q. I.; Schmeisser, G. (2002). Analytic theory of polynomials. London Mathematical Society Monographs. New Series. Vol. 26. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006.
• Weisstein, Eric W. "Routh-Hurwitz Theorem". MathWorld--A Wolfram Web Resource.

외부 링크

• Routh-Hurwitz 테스트를 구현하는 MATLAB 스크립트
• Routh-Hurwitz-Criterion 온라인 구현