퀘이콘벡스 함수

볼록하지 않은 퀘이콘벡스 함수

퀘이콘벡스가 아닌 함수: 함수 값이 파선 적색선 아래에 있는 함수 영역의 점 집합은 볼록 집합이 아닌 두 개의 적색 구간의 결합이다.

정규 분포의 확률밀도함수는 퀘이콘케이브(quasiconcave)이지만 오목한 것은 아니다.

수학에서 퀘이콘벡스 함수는 실제 벡터 공간의 간격이나 볼록 부분 집합에 대해 정의된 실제 값 함수로서, 어떤 형태 집합 $(-\infty ,a)$ - $(-\infty ,a)$ , $(-\infty ,a)$ )의 역 영상 $(-\displaystyle (-\inft ,a)}$ 은 볼록 집합이다 $(-\infty ,a)$ .단일 변수의 함수의 경우, 곡선의 모든 확장을 따라 가장 높은 지점은 엔드포인트 중 하나이다.퀘이콘벡스 함수의 음은 퀘이콘케이브라고 한다.

모든 볼록함수 역시 퀘이콘벡스이지만 모든 퀘이콘벡스함수가 볼록한 것은 아니기 때문에 퀘이콘벡스함수는 볼록성의 일반화다.quasiconvexity와 quasiconcavity는 단일 실제 인수를 가진 함수의 단일 불변성 개념으로 다중 인수를 가진 함수로 확장된다.

정의 및 속성

함수 $f:S\to \mathbb {R}$ : $f:S\to \mathbb {R}$ → R ${\$ $x,y\in S$ 벡터 공간의 $S$ 볼록 $부분집합$ S ${\displaystyle$ S}에 $f:S\to \mathbb {R}$ $정의된$ S\ $to \mathb {R}$ 은(는) 모든 $x,y\in S$ , y icon S {\ $displaysty x,y\in S}$ 및 $\lambda \in [0,1]$ , 1 $\lambda \in [0,1]$ ] ${\displaysty \lambda \in [0,1]$ 이 $x,y\in S$ $\lambda \in [0,1]$ (으)인)이면 quasonvx는 quasonvx이다.

f(\data x+(1-\bigda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){big \}}.

즉, $f$ $f$ 이 $f$ (가) 다른 두 점 사이의 점이 다른 두 점보다 함수의 높은 값을 제공하지 않는 것이 항상 사실이라면 $f$ ${\displaystyle$ f $}$ 은(는) quasiconvex이다 $f$ .점 $x$ $x$ $및$ y $y$ 과 $x$ $y$ 와) 그 사이의 점은 선상의 점일 수 있고 n차원 공간에서 보다 일반적인 점이 될 수 있다는 점에 유의하십시오.

Quasilinar 함수는 Quasiconvex와 Quasiconcave이다.

음이 아닌 실제 숫자에 오목함수와 준콘벡스 함수의 그래프.

An alternative way (see introduction) of defining a quasi-convex function $f(x)$ is to require that each sublevel set $S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}$ is a convex set.

더 나아가서

f(\data x+(1-\bigda )}<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}

모든 $x\neq y$ $x\neq y$ $x\neq y$ $x\neq y$ $x\neq y$ 및 $\lambda \in (0,1)$ $\lambda \in (0,1)$ ( $\lambda \in (0,1)$ 1 $\lambda \in (0,1)$ ) ${\displaystyle \lambda \in (0,1$ )에 대해 $\lambda \in (0,1)$ $f$ ${\displaysty$ f}은 $($ 는) 엄격히 quasiconvx이다 $f$ .즉, 엄격한 퀘이콘벡시성은 다른 두 지점 사이에 직접 있는 지점이 다른 지점보다 함수의 값을 더 낮게 제공해야 한다고 요구한다.

퀘이콘케이브 함수는 음수가 퀘이콘벡스인 함수를 말하며, 엄밀한 퀘이콘케이브 함수는 음수가 퀘이콘벡스인 함수를 말한다.동등하게 함수 $f$ $f$ 은 $f$ (는) quasiconcave이다.

f(\data x+(1-\bigda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){big \}}.

그리고 만약의 경우에 철저하게 quasiconcase.

f(\data x+(1-\bigda )y)}\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}}

A(엄격한) 퀘이콘벡스 함수는 하단 윤곽선 세트를 볼록(엄격한)하고, 퀘이콘케이브 함수는 상단 윤곽선 세트를 볼록(엄격한) 볼록(엄격한)으로 설정한다.

quasiconvex와 quasiconcave 둘 다인 함수는 quasilinar이다.

만약 $S\subset \mathbb {R}$ $S\subset \mathbb {R}$ $S\subset \mathbb {R}$ ${\$ 이 $S\subset \mathbb {R}$ 가) 있다면, 준-공칭성의 특정한 경우는 국소적으로 최대값이 있는 단임성이다.

적용들

퀘이콘벡스 함수는 수학 분석, 수학 최적화, 게임 이론과 경제학에 응용이 있다.

수학적 최적화

비선형 최적화에서 quasiconvx 프로그래밍은 quasiconvx 함수에 대해 최소(있는 경우)로 수렴하는 반복 방법을 연구한다.퀘이콘벡스 프로그래밍은 볼록 프로그래밍의 일반화다.^[1]Quasiconvex 프로그래밍은 "대립" 이중 문제의 해결책에 사용되는데, 이 이중 문제의 경우, 입찰자는 원시 문제의 quasiconvex 폐쇄를 제공하며, 따라서 라그랑고의 이중 문제가 제공하는 볼록 폐쇄보다 더 엄격한 경계를 제공한다.^[2]이론적으로,quasiconvex 프로그래밍과 볼록 프로그래밍에 문제가 반복의 수가 문제(그리고 근사 오차의 역수에 참아 와)의 차원에서 다항식고 시간의 시간 내에 해결될 수 있다.;[3] 하지만 그런 이론적으로"효율적인"방법"divergent-series"stepsize 규칙, wh을 사용한다.ich는 처음에 고전적인 하위학위적 방법들을 위해 개발되었다.상이한 직렬 규칙을 사용한 고전적인 하위 계층적 방법은 하위 계층적 투영법, 다발적 하강법, 비매끄러운 필터법 등 볼록 최소화의 현대적 방법보다 훨씬 느리다.

경제 및 부분 미분 방정식:미니맥스 정리

미시경제학에서 퀘이콘케이브 효용 함수는 소비자가 볼록한 선호도를 가지고 있음을 의미한다.퀘이콘벡스 기능은 게임 이론, 산업 조직, 일반 평형 이론에서도 중요하며, 특히 시온의 미니맥스 정리의 적용에 있어서도 중요하다.존 폰 노이만(John von Neumann)의 미니맥스 정리를 일반화한 시온의 정리는 부분 미분 방정식 이론에도 사용된다.

퀘이콘벡시성보존재

Quasiconvexity를 보존하는 작업

최대 퀘이콘벡스 함수(예: $f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace$ = $f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace$ { $f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace$ $f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace$ , $f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace$ … , $f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace$ $f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace$ ${\$ 는 퀘이콘벡스다.마찬가지로, 퀘이콘벡스 함수의 최대치는 퀘이콘벡스 함수의 최대치는 엄격한 퀘이콘벡스다.^[4]마찬가지로 퀘이콘케이브 함수의 최소는 퀘이콘케이브, 엄밀히 따지면 콰이콘케이브 함수의 최소는 퀘이콘케이브다.
composition with a non-decreasing function (i.e. $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ quasiconvex, $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ non-decreasing, then $f=h\circ g$ is quasiconvex)
최소화( $f(x,y)$ : $f(x,y)$ ( $f(x,y)$ x $f(x,y)$ , $f(x,y)$ ) ${\displaystyle f(x,$ $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ )} $f(x,y)$ quasiconvex $f(x,y)$ , C $C$ 볼록스 $C$ 집합, $h$ $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ ( $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ ) $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ = $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ C ( $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ , $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ ) ${\displaysty$ h( $x)=\inf _{y\in C}f(x,y$ )는 $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ quasiconvex)이다 $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$ .

Quasiconvexity를 보존하지 않는 작업

The sum of quasiconvex functions defined on the same domain need not be quasiconvex: In other words, if $f(x),g(x)$ are quasiconvex, then $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ need not be quasiconvex.
다른 도메인(예: $f(x),g(y)$ ( $f(x),g(y)$ ) $f(x),g(y)$ , $f(x),g(y)$ $f(x),g(y)$ ) $f(x)},g(y)$ 이 $f(x),g(y)$ (가) quasiconvex, $h(x,y)=f(x)+g(y)$ ( x $h(x,y)=f(x)+g(y)$ , $h(x,y)=f(x)+g(y)$ ) $h(x,y)=f(x)+g(y)$ = $h(x,y)=f(x)+g(y)$ ( x $h(x,y)=f(x)+g(y)$ ) $h(x,y)=f(x)+g(y)$ + $h(x,y)=f(x)+g(y)$ ( $h(x,y)=f(x)+g(y)$ ) ${\displaysty h(x,y)=f(x)+g(y)}$ )인 경우 quasiconvex가 될 필요는 없다.그러한 기능을 경제학에서는 "중독성 분해"라고 하고, 수학 최적화에서는 "분리"라고 부른다.

예

모든 볼록함수는 퀘이콘벡스다.
오목함수는 퀘이콘벡스일 수 있다.예를 들어, $x\mapsto \log(x)$ $x\mapsto \log(x)$ $x\mapsto \log(x)$ ( x $x\mapsto \log(x)$ ) $x\mapsto \log(x)$ {\ $displaystyle$ x $\mapsto \log(x)}$ 은 $x\mapsto \log(x)$ (는) 오목형 및 quasiconvex이다.
모든 단조함수는 퀘이콘벡스와 퀘이콘케이브 둘 다이다.보다 일반적으로, 한 점까지 감소하고 그 점부터 증가하는 함수는 퀘이콘벡스(비교적 비이미지성)이다.
바닥 함수 $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ ${\displaystyle$ x $\mapsto \lfloor }$ 은(는) 볼록하지도 않고 연속적이지도 않은 퀘이시콘벡스 함수의 예다 $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ .

참고 항목

볼록함수
오목함수
대수오목함수
여러 복합 변수의 의미에서의 유사성(일반화된 볼록성이 아님)
유사콘벡스 함수
인벡스 함수
콘크리이트레이션

참조

^ Di Guglielmo(1977, 페이지 287–288):Di Guglielmo, F. (1977). "Nonconvex duality in multiobjective optimization". Mathematics of Operations Research. 2 (3): 285–291. doi:10.1287/moor.2.3.285. JSTOR 3689518. MR 0484418.
^ Di Guglielmo, F. (1981). "Estimates of the duality gap for discrete and quasiconvex optimization problems". In Schaible, Siegfried; Ziemba, William T. (eds.). Generalized concavity in optimization and economics: Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held at the University of British Columbia, Vancouver, B.C., August 4–15, 1980. New York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. pp. 281–298. ISBN 0-12-621120-5. MR 0652702.
^ Kiwiel, 크시슈토프 C(2001년)."subgradient 방법의quasiconvex 최소화에 수렴과 효율성".수학적 계획, 시리즈 A권 90점, 1. 베를린, 하이델베르크:스프링거.를 대신하여 서명함. 1–25. doi:10.1007/PL00011414.ISSN 0025-5610.MR1819784.Kiwiel이 유리 네스테 로프는 처음에는quasiconvex 최소화 문제 효율적으로 해결될 수 있고 설립되는 것을 인정합니다.
^ Johansson, Edvard; Petersson, David (2016). "Parameter Optimization for Equilibrium Solutions of Mass Action Systems": 13–14. Retrieved 26 October 2016. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)

Avriel, M, Diewert, W.E., Shaible, S., Zang, I., Generalized Concerabity, Plenum Press, 1988.
Crouzeix, J.-P. (2008). "Quasi-concavity". In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Second ed.). Palgrave Macmillan. pp. 815–816. doi:10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
가수, 이반 추상 볼록스 분석.모노그래프와 고급 텍스트의 캐나다 수학 협회 시리즈.와일리-인터사이언스 출판물.존 와일리 & 선즈 주식회사, 1997년 뉴욕.xxii+491 페이지ISBN 0-471-16015-6

외부 링크

SION, M, "일반적인 미니맥스 이론", Pacific J. Math. 8 (1958), 171-176.
수학 프로그래밍 용어집
오목 및 준콘케이브 함수 - 뉴욕대학교 경제학과 찰스 윌슨 교수
Quasiconcavity와 Quasiconvexity - Martin J. Osborn, University of Toronto University 경제학과에 의한 quasiconcavity and Quasiconvexity

[1] Di Guglielmo(1977, 페이지 287–288):Di Guglielmo, F. (1977). "Nonconvex duality in multiobjective optimization". Mathematics of Operations Research. 2 (3): 285–291. doi:10.1287/moor.2.3.285. JSTOR 3689518. MR 0484418.

[2] Di Guglielmo, F. (1981). "Estimates of the duality gap for discrete and quasiconvex optimization problems". In Schaible, Siegfried; Ziemba, William T. (eds.). Generalized concavity in optimization and economics: Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held at the University of British Columbia, Vancouver, B.C., August 4–15, 1980. New York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. pp. 281–298. ISBN 0-12-621120-5. MR 0652702.

[3] Kiwiel, 크시슈토프 C(2001년)."subgradient 방법의quasiconvex 최소화에 수렴과 효율성".수학적 계획, 시리즈 A권 90점, 1. 베를린, 하이델베르크:스프링거.를 대신하여 서명함. 1–25. doi:10.1007/PL00011414.ISSN 0025-5610.MR1819784.Kiwiel이 유리 네스테 로프는 처음에는quasiconvex 최소화 문제 효율적으로 해결될 수 있고 설립되는 것을 인정합니다.

[4] Johansson, Edvard; Petersson, David (2016). "Parameter Optimization for Equilibrium Solutions of Mass Action Systems": 13–14. Retrieved 26 October 2016. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)

[1]

[2]

[4]

v t 볼록 분석 및 변동 분석
주제(목록)	초케 이론 볼록 기하학 볼록 최적화 이중성 라그랑주 승수 레전드르 변환 국소 볼록한 위상 벡터 공간 심플렉스
지도	볼록 결합 오목한 (폐쇄) K- 로그로 적절한 사이비- 준-) 볼록함수 인벡스 함수 레전드르 변환 반연속성 하위생성
주 결과(목록)	에클랜드의 변이 원리 펜첼-모로우 정리 펜첼영 부등식 젠센의 부등식 헤르미트-하다마드 부등식 크레인-밀만 정리 마주르의 보조정리 샤플리-폴크만 보조정리 로빈슨우르세스쿠 시몬스 우르세스쿠
놓다	볼록 선체 (Pseudo-) 볼록 세트 유효 도메인 비문 하이포그래프 존 타원체 조노토프
시리즈	볼록 시리즈 관련 (cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하위) 이상 볼록, (Hx), (Hx)
이중성	이중 시스템 이중성격차 강한 이중성 약한 이중성

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