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픽의 정리

Pick's theorem
복소해석의 정리는 슈바르츠 보조정리 § 슈바르츠–픽 정리를 참조하십시오.
1개의 내부(빨간색)와 96개의 경계(녹색) 지점이 1 + 96/2 - 1 = 48의 면적을 제공하는 6차 선버스트

기하학에서 픽의 정리는 정수 꼭짓점 좌표를 갖는 단순 다각형의 넓이에 대한 공식을 그 안에 있는 정수 점의 개수와 그 경계에 있는 정수 점의 개수로 제공합니다. 그 결과는 1899년 Georg Alexander Pick에 의해 처음으로 기술되었습니다.[2] 휴고 스타인하우스(Hugo Steinhaus)가 1950년 그의 책 수학 스냅샷(Mathematical Snapshots)을 통해 영어로 대중화했습니다.[3][4] 여러 개의 증명이 있으며, 특정 종류의 단순하지 않은 다각형에 대한 공식으로 일반화할 수 있습니다.

공식

i = 7, b = 8, A = i + b/2 − 1 = 10

다각형의 모든 정점에 대한 정수 좌표가 있다고 가정합니다. 를 다각형 내부의 정수 점의 수라고 하고, 를 경계의 정수 점의 수(양변의 정점과 점을 모두 포함)라고 합니다. 그러면 이 다각형의 영역 A는 다음과 같습니다.[5][6][7][8]

표시된 예제는 = displaystyle i = 7}개의 내부 점과 = 8 {\ b = 8}개의 경계 점을 가지므로 면적은 A = 7 + 82 - 1 = 10 {\displaystyle A = 7 + {\tfrac {8} {2}-1 = 10} 제곱 단위입니다.

증명

오일러 공식을 통해

이 정리의 한 가지 증명은 다각형을 세 개의 정수 꼭짓점이 있고 다른 정수 점이 없는 삼각형으로 세분화하는 것을 포함합니다. 그러면 분할된 각 삼각형의 면적이 정확히 임을 증명할 수 있습니다 따라서 전체 다각형의 면적은 분할된 삼각형의 수의 절반과 같습니다. 이런 식으로 넓이를 삼각형의 개수와 연관시킨 후, 증명은 오일러의 다면체 공식을 사용하여 삼각형의 개수를 다각형의 격자점의 개수와 연관시키는 것으로 끝납니다.[5]

Pick's 정리의 증명에 사용된 것처럼, 세 개의 정수 꼭짓점이 있고 다른 정수 점이 없는 삼각형의 복사본에 의한 평면 타일링

이 증명의 첫 번째 부분은 Pick의 공식과같이 3개의 정수 정점이 있고 다른 정수 점이 없는 삼각형의 은 정확히12 {\{\}{2임을 보여줍니다. 이 증명은 모든 삼각형이 평면을 타일로 만들고, 인접한 삼각형은 공유 모서리를 중심으로 서로 180° 회전한다는 사실을 사용합니다.[9] 세 개의 정수 꼭짓점이 있고 다른 정수 점이 없는 삼각형에 의한 타일링의 경우, 정수 격자의 각 점은 여섯 개의 타일로 이루어진 꼭짓점입니다. 격자점 당 삼각형 수(6개)가 삼각형 당 격자점 수(3개)의 두 배이므로 평면에서 삼각형의 밀도는 격자점보다 두 배 높습니다. 평면의 축척된 영역에는 포함된 그리드 점의 수보다 두 배 많은 삼각형(계측 계수가 무한대로 이동하는 한계)이 포함되어 있습니다. 따라서 각 삼각형은 증명에 필요한 영역 를 갖습니다[5] 이 삼각형들이 12 를 갖는다는 또 다른 증거는 대칭 볼록 집합의 격자점에 민코프스키 정리를 사용하는 것을 기반으로 합니다.[10]

격자 다각형을 특수 삼각형으로 세분화

이것은 이미 이러한 특별한 삼각형 중 하나인 다각형에 대한 픽의 공식을 증명합니다. 다른 다각형은 특별한 삼각형으로 세분화할 수 있습니다. 더 이상 선분을 추가할 수 없을 때까지 격자점 쌍 사이에 교차하지 않는 선분을 다각형 내에 추가합니다. 이렇게 세분화할 수 없는 다각형은 위에서 고려한 특별한 삼각형뿐이므로, 그 결과로 나타나는 세분화에는 특별한 삼각형만 등장할 수 있습니다. 각 특수 삼각형은 영역 를 가지므로영역 의 다각형은 A 특수 삼각형으로 세분화됩니다.[5]

다각형을 삼각형으로 세분하면 평면 그래프가 형성되며 오일러 V- E+ = + F = 는 평면 그래프의 정점, 모서리 및 면의 수에 적용되는 방정식을 제공합니다. 꼭지점은 폴리곤의 격자점일 뿐입니다. 중에는 = i + b {\displaystyle V = i+b}개가 있습니다. 면은 분할의 삼각형과 다각형 외부의 평면의 단일 영역입니다. 삼각형의 개수는 이므로 모두 F = A +{\displaystyle F = 2A+1} 면이 됩니다. 모서리를 세려면 세분에 삼각형의 변이 개 있는 것을 관찰합니다. 다각형 내부의 각 모서리는 두 삼각형의 변입니다. 삼각형의 b {\개의 모서리는 다각형의 경계를 따라 있으며 하나의 삼각형의 일부를 형성합니다 따라서 삼각형의 변의 는 6 = 2 -b {\ = 2E-b} 방정식을 따르며, 이로부터 한 변의 수 = 6 A + b 2 {\displaystyle E = {\tfrac {6A+b} {2}}. V {\displaystyle V}, E {\displaystyle E}에 대한 이 값을 연결합니다. 그리고 오일러 V - + = {\ + F = 2의 Fdisplaystyle = 2}는 다음을 제공합니다.

픽의 공식은 A에 대한 이 선형 방정식을 풀어서 얻어집니다 대안적이지만 유사한 계산은 동일한 세분류의 간선 가 E = + -3 {\displaystyle E = 3i + 2 b-3}임을 증명하여 동일한 결과를 유도합니다.

다른 방법으로 증명된 픽의 정리를 오일러 공식의 증명의 기초로 사용하여 다른 방향으로 가는 것도 가능합니다.[6][12]

기타 증명

오일러 공식을 사용하지 않는 픽 정리의 대안적인 증명은 다음과 같습니다.

  • 주어진 다각형을 삼각형으로 재귀적으로 분해할 수 있으므로 세분의 일부 삼각형은 1/2보다 큰 면적을 가질 수 있습니다. Pick의 공식에 사용된 점들의 넓이와 개수는 모두 서로 같은 방식으로 더해지므로 일반적인 다각형에 대한 Pick의 공식의 진리는 삼각형에 대한 진리로부터 이어집니다. 임의의 삼각형은 경계 상자를 삼각형 자체와 추가 직각 삼각형으로 세분화하며, 경계 상자와 직각 삼각형의 넓이는 모두 계산하기 쉽습니다. 이러한 면적 계산을 결합하면 삼각형에 대한 픽 공식이 나오고, 삼각형을 결합하면 임의의 다각형에 대한 픽 공식이 나옵니다.[7][8][13]
  • 또는 그리드 점을 중심으로 한 그리드 사각형을 사용하는 대신 그리드 점에 정점이 있는 그리드 사각형을 사용할 수 있습니다. 이러한 격자 사각형은 주어진 다각형을 조각으로 자르며, 이는 (다각형의 각 모서리를 따라 정사각형 쌍을 매칭하여) 동일한 면적의 폴리오미노로 재배열할 수 있습니다.[14]
  • 픽의 정리는 또한 Weierstrass 타원 함수와 관련된 이중 주기 함수의 복잡한 통합을 기반으로 증명될 수 있습니다.[15]
  • 다각형의 특성 함수에 포아송 합산 공식을 적용하면 또 다른 증명이 나옵니다.[16]

픽의 정리는 1999년 "100대 수학 정리" 웹 목록에 포함되었으며, 후에 프리크 위다이크는 다양한 증명 보조자의 힘을 테스트하기 위한 벤치마크 세트로 사용되었습니다. 2021년 현재 Pick의 정리는 Wiedijk가 기록한 10개의 증명 보조자 중 단 한 명에서만 공식화되고 증명되었습니다.[17]

일반화

i = 2, b = 12, h = 1, A = i + b/2 + h − 1 = 8

픽의 정리를 단순하지 않은 다각형으로 일반화하는 것은 더 복잡하고 단순히 내부 및 경계 정점의 수보다 더 많은 정보를 필요로 합니다.[3][18] 예를 들어, 개의 구멍이 단순한 정수 다각형으로 경계지어 서로 분리되고 경계로부터 분리된 다각형은 면적을[19] 갖습니다.

영역과 경계의 오일러 특성을 사용하여 정의된 추가 항을 사용하여 정수 꼭짓점 좌표를 갖는 더 복잡한 평면 직선 그래프로 경계를 이루는 영역에 Pick의 정리를 일반화하거나,[18] 자신과 교차할 수 있는 단일 경계 다각형을 갖는 다각형에 일반화할 수도 있습니다. 각 정수점 주위의 다각형의 감김 수와 그 전체 감김 수를 포함하는 공식을 사용합니다.[3]

픽의 정리가 더 높은 차원에서는 적용되지 않는다는 것을 보여주는 리브 사면체

3차원 리브 사면체는 4개의 정수점을 정점으로 하고 다른 정수점을 포함하지 않지만 모두 같은 부피를 갖는 것은 아닙니다. 따라서 다면체의 부피를 내부점과 경계점의 개수로만 함수로 표현하는 3차원 픽 정리의 아날로그는 존재하지 않습니다.[20] 그러나 이러한 부피는 대신 에르하트 다항식을 사용하여 표현할 수 있습니다.[21][22]

관련주제

몇몇 다른 수학적 주제들은 영역의 넓이와 격자점의 수를 연관시킵니다. 블리치펠트의 정리는 모든 도형이 적어도 격자점에서 그 영역을 포함하도록 번역될 수 있다는 것을 말합니다.[23] 가우스 원 문제는 원 안에 있는 격자점의 면적과 수 사이의 오차를 제한하는 것에 관한 것입니다.[24] 볼록 다면체에서 정수점을 세는 문제는 수학과 컴퓨터 과학의 여러 분야에서 발생합니다.[25] 응용 영역에서, 도트 평면계는 형상이 포함하는 그리드 포인트를 카운트하여 형상의 면적을 추정하기 위한 투명도 기반 장치.[26] Farey 수열은 유리수의 순서화된 수열로, 분석에 Pick의 정리가 포함된 유계분모가 있습니다.[27]

다각형의 면적을 계산하는 또 다른 간단한 방법은 신발끈 공식입니다. 모든 단순 다각형의 면적을 해당 정점의 연속 쌍의 좌표로부터 계산된 항의 합으로 제공합니다. Pick의 정리와 달리 신발끈 공식은 정점이 정수 좌표를 가질 필요가 없습니다.[28]

참고문헌

  1. ^ Kiradjiev, Kristian (October 2018). "Connecting the dots with Pick's theorem" (PDF). Mathematics Today. pp. 212–214.
  2. ^ Pick, Georg (1899). "Geometrisches zur Zahlenlehre". Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" in Prag. (Neue Folge). 19: 311–319. JFM 33.0216.01. 씨이트뱅크:47270
  3. ^ a b c Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (February 1993). "Pick's theorem". The American Mathematical Monthly. 100 (2): 150–161. doi:10.2307/2323771. JSTOR 2323771. MR 1212401.
  4. ^ Steinhaus, H. (1950). Mathematical Snapshots. Oxford University Press. p. 76. MR 0036005.
  5. ^ a b c d e Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2018). "Three applications of Euler's formula: Pick's theorem". Proofs from THE BOOK (6th ed.). Springer. pp. 93–94. doi:10.1007/978-3-662-57265-8. ISBN 978-3-662-57265-8.
  6. ^ a b Wells, David (1991). "Pick's theorem". The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books. pp. 183–184.
  7. ^ a b Beck, Matthias; Robins, Sinai (2015). "2.6 Pick's theorem". Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. pp. 40–43. doi:10.1007/978-1-4939-2969-6. ISBN 978-1-4939-2968-9. MR 3410115.
  8. ^ a b Ball, Keith (2003). "Chapter 2: Counting Dots". Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton University Press, Princeton, NJ. pp. 25–40. ISBN 0-691-11321-1. MR 2015451.
  9. ^ Martin, George Edward (1982). Transformation geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. Theorem 12.1, page 120. doi:10.1007/978-1-4612-5680-9. ISBN 0-387-90636-3. MR 0718119.
  10. ^ Ram Murty, M.; Thain, Nithum (2007). "Pick's theorem via Minkowski's theorem". The American Mathematical Monthly. 114 (8): 732–736. doi:10.1080/00029890.2007.11920465. JSTOR 27642309. MR 2354443. S2CID 38855683.
  11. ^ Funkenbusch, W. W. (June–July 1974). "From Euler's formula to Pick's formula using an edge theorem". Classroom Notes. The American Mathematical Monthly. 81 (6): 647–648. doi:10.2307/2319224. JSTOR 2319224. MR 1537447.
  12. ^ DeTemple, Duane; Robertson, Jack M. (March 1974). "The equivalence of Euler's and Pick's theorems". The Mathematics Teacher. 67 (3): 222–226. doi:10.5951/mt.67.3.0222. JSTOR 27959631. MR 0444503.
  13. ^ Varberg, Dale E. (1985). "Pick's theorem revisited". The American Mathematical Monthly. 92 (8): 584–587. doi:10.2307/2323172. JSTOR 2323172. MR 0812105.
  14. ^ Trainin, J. (November 2007). "An elementary proof of Pick's theorem". The Mathematical Gazette. 91 (522): 536–540. doi:10.1017/S0025557200182270. JSTOR 40378436. S2CID 124831432.
  15. ^ Diaz, Ricardo; Robins, Sinai (1995). "Pick's formula via the Weierstrass -function". The American Mathematical Monthly. 102 (5): 431–437. doi:10.2307/2975035. JSTOR 2975035. MR 1327788.
  16. ^ Brandolini, L.; Colzani, L.; Robins, S.; Travaglini, G. (2021). "Pick's theorem and convergence of multiple Fourier series". The American Mathematical Monthly. 128 (1): 41–49. doi:10.1080/00029890.2021.1839241. MR 4200451. S2CID 231624428.
  17. ^ Wiedijk, Freek. "Formalizing 100 Theorems". Radboud University Institute for Computing and Information Sciences. Retrieved 2021-07-10.
  18. ^ a b Rosenholtz, Ira (1979). "Calculating surface areas from a blueprint". Mathematics Magazine. 52 (4): 252–256. doi:10.1080/0025570X.1979.11976797. JSTOR 2689425. MR 1572312.
  19. ^ Sankar, P. V.; Krishnamurthy, E. V. (August 1978). "On the compactness of subsets of digital pictures". Computer Graphics and Image Processing. 8 (1): 136–143. doi:10.1016/s0146-664x(78)80021-5.
  20. ^ Reeve, J. E. (1957). "On the volume of lattice polyhedra". Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series. 7: 378–395. doi:10.1112/plms/s3-7.1.378. MR 0095452.
  21. ^ Beck & Robins (2015), 3.6 "폴리토프의 이산에서 연속적인 부피로", 76–77쪽
  22. ^ Diaz, Ricardo; Robins, Sinai (1997). "The Ehrhart polynomial of a lattice polytope". Annals of Mathematics. Second Series. 145 (3): 503–518. doi:10.2307/2951842. JSTOR 2951842. MR 1454701.
  23. ^ Olds, C. D.; Lax, Anneli; Davidoff, Giuliana P. (2000). "Chapter 9: A new principle in the geometry of numbers". The Geometry of Numbers. Anneli Lax New Mathematical Library. Vol. 41. Mathematical Association of America, Washington, DC. pp. 119–127. ISBN 0-88385-643-3. MR 1817689.
  24. ^ Guy, Richard K. (2004). "F1: Gauß's lattice point problem". Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics. Vol. 1 (3rd ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 365–367. doi:10.1007/978-0-387-26677-0. ISBN 0-387-20860-7. MR 2076335.
  25. ^ Barvinok, Alexander (2008). Integer Points In Polyhedra. Zurich Lectures in Advanced Mathematics. Zürich: European Mathematical Society. doi:10.4171/052. ISBN 978-3-03719-052-4. MR 2455889.
  26. ^ Bellhouse, D. R. (1981). "Area estimation by point-counting techniques". Biometrics. 37 (2): 303–312. doi:10.2307/2530419. JSTOR 2530419. MR 0673040.
  27. ^ Bruckheimer, Maxim; Arcavi, Abraham (1995). "Farey series and Pick's area theorem". The Mathematical Intelligencer. 17 (4): 64–67. doi:10.1007/BF03024792. MR 1365013. S2CID 55051527.
  28. ^ Braden, Bart (1986). "The surveyor's area formula" (PDF). The College Mathematics Journal. 17 (4): 326–337. doi:10.2307/2686282. JSTOR 2686282.

외부 링크

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