6 지수 정리

수학, 특히 초월수 이론에서 6개의 지수 정리는 지수들에 대한 올바른 조건을 감안할 때 최소한 하나의 지수 집합의 초월성을 보장하는 결과물이다.

성명서

x₁, x₂, ..., x가_d 합리적인 숫자에 대해 선형적으로 독립된 d 복합수이고 y₁, y₂, ..., y도_l 또한 합리적인 숫자에 대해 선형적으로 독립된 l 복합수이고 dl > d + l일 경우 다음 dl 숫자 중 적어도 하나는 초월수인 것이다.

${\displaystyle \exp(x_{i}y_{j}),\cHB(1\leq i\leq d,\1\leq j\leq l)).}$

가장 흥미로운 경우는 d = 3과 l = 2일 때인데, 이 경우 6개의 지수(expective)가 있으므로 결과의 명칭이 된다.정리는 관련보다 약하지만 지금까지 입증되지 않은 4개의 지수적 추측에 의해 엄격한 불평등 dl > d + l가 dl ≥ d + l로 대체되어 d = l = 2가 허용된다.

정리정리는 대수적 숫자의 대수적 대수적 대수적 수치의 L 집합(set L)을 도입하여 대수적 관점에서 진술할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{L}=\\\\lambda \in \mathb {C} \,:\,e^{\lambda }\in {\overline {\mathb {Q}}\}}}$

그러면 정리는 i = 1, 2, j = 1, 2, 3에 대한 L의 원소라면 λ_ij11, λ₁₂, λ, λ은₁₃ 이성수에 대해 선형적으로 독립하고, λ₁₁, λ, λ₂₁ 등도 이성수에 대해 선형적으로 독립한 것이라고 말한다.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}\lambda _{13}\\\lambda _{22}&\lambda _{23}\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

2등급을 가지고 있다.

역사

x₁, x₂, x, x가₃ 양의 정수인₁ y = 1, y가₂ 실재하는 결과의 특수한 경우는 레오니다스 알라오글루와 폴 에르드스가 1944년부터 발표한 논문에서 처음으로 언급되었는데, 이 논문에서 연속적으로 엄청나게 풍부한 수의 비율이 항상 프라임임을 증명하려고 노력하였다.그들은 칼 루드비히 시겔이 이 특별한 사건의 증거를 알고 있다고 주장했지만 기록되어 있지 않다.^[1]그들은 특수 사례를 이용하여 연속적으로 엄청나게 많은 수의 비율이 항상 프라임 또는 반임이라는 것을 증명한다.

이 정리는 1960년대에 세르게 랑과^[2] 카나카나할리 라마찬드라에^[3] 의해 독자적으로 완전한 형태로 먼저 명시되고 증명되었다.

5 지수 정리

보다 강력하고 관련있는 결과는 5개의 지수 정리인데, 다음과 같다.^[4]x₁, x₂, y₁, y를₂ 두 쌍의 복잡한 숫자로 하고, 각 쌍은 이성적인 숫자에 대해 선형적으로 독립하며, γ은 0이 아닌 대수적 숫자로 한다.그렇다면 다음 다섯 숫자 중 적어도 하나는 초월이다.

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1},e^{x_{1}y_{2}},e^{x_{2}y_{1},e^{x_{2}y_{2}},e^{\message x_{2}/x_{1}}}}}}}$

이 정리는 6개의 지수 정리를 내포하고 있고, 그 다음으로는 아직 증명되지 않은 4개의 지수 추측에 의해 함축되어 있는데, 이것은 사실 이 리스트의 처음 4개의 숫자 중 하나는 초월적이어야 한다고 말한다.

예리한 6 지수 정리

6개의 지수 정리, 5개의 지수 정리 모두를 암시하는 또 다른 관련 결과는 날카로운 6개의 지수 정리다.^[5]이 정리는 다음과 같다.x₁, x₂, x는₃ 합리적인 숫자에 대해 선형적으로 독립된 복잡한 숫자로 하고 y와₁₂ y는 이성적인 숫자에 대해 선형적으로 독립된 복잡한 숫자의 한 쌍이 되도록 하며_ij, β는 1 i i ≤ 3과 1 ≤ j ≤ 2에 대한 6개의 대수적 숫자로 다음과 같은 6개의 숫자가 대수적 숫자라고 가정한다.

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2}y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},e^{x_{3}y_{1}-\beta _{31}},e^{x_{3}y_{2}-\beta _{32}}.}$

그 다음 x_i y_j = 1≤ i ≤ 3 및 1 1 j ≤ 2에 대한 β_ij.그 다음 6개의 지수 정리는 모든 i와 j에 대해_ij β = 0을 설정하여 따르는 반면, 5개의 지수 정리는 x₃ = γ/x를₁ 설정하여_i 베이커의 정리를 사용하여 x가 선형적으로 독립되도록 한다.

5개의 지수 정리도 예리한 버전이 있지만, 아직 증명되지는 않았지만, 그렇게 해서 5개의 지수 정리라고 알려져 있다.^[6]이 추측에는 날카로운 6개의 지수 정리, 5개의 지수 정리 둘 다 내포되어 있으며, 다음과 같이 기술되어 있다.x₁, x₂, y₁, y는₂ 두 쌍의 복잡한 숫자로 되어 있고, 각 쌍은 이성적인 숫자에 대해 선형적으로 독립되어 있으며, α, β₁₁₁₂, β, β₂₁, β, β₂₂, β, γ은 다음과 같은 5개의 숫자가 대수학적으로 되도록 0 0의 6개의 대수학 숫자로 한다.

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2}y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},e^{(\gamma x_{2}/x_{1})-\alpha }.}$

그 다음 x_i y_j = 1≤ i에 대한 β_ij, j ≤ 2 및 γx₂ = αx₁.

현재 알려지지 않은 이러한 추측의 결과는 x₁ = y₁ = β₁₁ = 1, x₂ = y₂ = i i 및 문장의 다른 모든 값을 0으로 설정함으로써 e의^π² 초월성이 될 것이다.

강한 6 지수 정리

이 분야의 이론과 추측을 더욱 강화하는 것이 강력한 버전이다.6개의 강력한 지수 정리는 데미안 로이가 입증한 결과로서 6개의 지수 정리가 날카롭다는 것을 암시한다.^[7]이 결과는 1에 의해 생성된 대수적 숫자와 여기에 L로^∗ 표시된 대수적 숫자의 모든 로그에 대한 벡터 공간과 관련이 있다. 따라서 L은^∗ 형태의 모든 복잡한 숫자의 집합이다.

${\displaystyle \property_{0}+\sum _{i=1}^{n}\properties _{i}\log \property_{i}}}$

일부_i n β와 α는_i 모두 대수학이고 로그의 모든 가지를 고려한다.강한 6개의 지수 정리는 x₁, x, x가₂₃ 대수적 숫자에 대해 선형적으로 독립된 복잡한 숫자라면, 그리고₁ y와₂ y가 또한 대수적 숫자에 대해 선형적으로 독립된 한 쌍의 복잡한 숫자라면, 1 ≤ i ≤ 3과 1 ≤ j ≤ 2에 대한 6개의 숫자 x y_ij 중 적어도 하나는 L에^∗ 있지 않다고 말한다.이것은 이 6개의 숫자 중 하나가 단순히 대수적 숫자의 로그가 아니라는 표준 6개의 지수 정리보다 더 강하다.

미셸 월즈슈미트가 공식화한 강력한 5가지 지수 추측도 있다.^[8]그것은 강한 6개의 지수 정리나 날카로운 5개의 지수 추측을 모두 암시할 것이다.이₁ 추측에 따르면 x, x₂, y, y가₁₂ 두 쌍의 복잡한 숫자인 경우, 각 쌍이 대수적 숫자에 대해 선형적으로 독립되어 있고, 다음 5개의 숫자 중 적어도 하나는^∗ L에 있지 않다.

${\displaystyle x_{1}y_{1}y_{1},\,x_{1}y_{2}y_{1},\,x_{2}y_{1},\,x_{1}/x_{2}.}$

위의 모든 추측과 이론은 베이커의 정리가 증명되지 않은 확장의 결과물이며, 이성적인 숫자에 대해 선형적으로 독립된 대수적 숫자의 로그도 자동적으로 대수적으로 독립된다.오른쪽의 도표는 이 모든 결과들 사이의 논리적 함의를 보여준다.

교화군 품종 일반화

지수함수는^z 승수군 G의_m 지수지도를 균일화한다.따라서 우리는 6개의 지수적 정리를 보다 추상적으로 다음과 같이 재구성할 수 있다.

G = G_m × G로_m 하고 u : C → G(C)를 0이 아닌 복합분석적 집단 동형성으로 삼는다.L은 u(l)가 G의 대수점인 복합수 l의 집합으로 정의한다. Q에 대한 최소 생성 집합이 3개 이상의 원소를 갖는 경우 이미지 u(C)는 G(C)의 대수적 부분군이다.

(고전문을 도출하려면 u(z) = (e^y₁z; e^y₂z)를 설정하고 Qx₁ + Qx₂ + Qx는₃ L의 하위 집합임을 유의하십시오.)

이와 같이 6개의 지수 정리의 진술은 대수적 숫자 분야에 걸쳐 임의의 교감 집단 다양성 G로 일반화할 수 있다.그러나 이러한 일반화된 6개의 지수적 추측이 초월수 이론의 현재 상태에서는 범위를 벗어난 것 같다.

특수하지만 흥미로운 사례 G = G_m × E 및 G = E × E × E ′에 대해, 여기서 E, E algebra은 대수 숫자 분야에 걸쳐 타원 곡선이며, 일반화된 6 지수 추정에 대한 결과는 알렉산더 모모트에 의해 입증되었다.^[9]These results involve the exponential function e^z and a Weierstrass function ${\displaystyle \wp }$ resp. two Weierstrass functions ${\displaystyle \wp ,\wp '}$ with algebraic invariants ${\displaystyle g_{2},g_{3},g_{2}',g_{3}'}$, instead of the two exponential functions ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle e^{}}$ y ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ e ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\$ 고전적 문장의 경우$$.

G = G_m × E로 하고 E가 실제 장 위에 있는 곡선에 등가하지 않으며 u(C)가 G(C)의 대수 하위 그룹이 아니라고 가정한다.그 후 L은 2개의₁ 원소 x, x 또는₂ 3개의 원소 x₁, x₂, x에₃ 의해 Q에 걸쳐 생성되며, 여기서 c는 0이 아닌 복합수인 Rc에 모두 포함되어 있지 않다.G = E × E ^[10]′에도 유사한 결과가 나타난다.

메모들

참조

• Alaoglu, Leonidas; Erdős, Paul (1944). "On highly composite and similar numbers". Trans. Amer. Math. Soc. 56 (3): 448–469. doi:10.2307/1990319. JSTOR 1990319. MR 0011087.
• Lang, Serge (1966). Introduction to transcendental numbers. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Co. MR 0214547.
• Momot, Aleksander (2011). "Density of rational points on commutative group varieties and small transcendence degree". arXiv:1011.3368 [math.NT].
• Ramachandra, Kanakanahalli (1967–1968). "Contributions to the theory of transcendental numbers. I, II". Acta Arith. 14: 65–72, 73–88. doi:10.4064/aa-14-1-65-72. MR 0224566.
• Roy, Damien (1992). "Matrices whose coefficients are linear forms in logarithms". J. Number Theory. 41 (1): 22–47. doi:10.1016/0022-314x(92)90081-y. MR 1161143.
• Waldschmidt, Michel (1988). "On the transcendence methods of Gel'fond and Schneider in several variables". In Baker, Alan (ed.). New advances in transcendence theory. Cambridge University Press. pp. 375–398. MR 0972013.
• Waldschmidt, Michel (2005). "Hopf algebras and transcendental numbers". In Aoki, Takashi; Kanemitsu, Shigeru; Nakahara, Mikio; et al. (eds.). Zeta functions, topology, and quantum physics: Papers from the symposium held at Kinki University, Osaka, March 3–6, 2003. Developments in mathematics. Vol. 14. Springer. pp. 197–219. MR 2179279.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Six exponentials theorem". MathWorld.
• "Six exponentials theorem". PlanetMath.