4 지수 추측

수학, 특히 초월수 이론의 분야에서 4 지수 추측은 지수에 대한 올바른 조건을 감안할 때 적어도 4 지수 중 1의 초월성을 보장할 수 있는 추측이다.이 추측은 두 개의 관련되고 더 강한 추측과 함께 지수함수의 특정 숫자의 값의 산술적 성격에 관한 추측과 이론의 서열 맨 위에 있다.

성명서

x₁, x₂, y, y가₁₂ 복잡한 숫자의 두 쌍이며 각 쌍이 합리적인 숫자에 대해 선형적으로 독립되어 있다면, 다음 네 개의 숫자 중 적어도 하나는 초월적이다.

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}y_{1}, e^{x_{1}y_{2}}, e^{x_{2}y_{1}, e^{x_{2}y_{2}}}}.}$

로그 측면에서 추측을 진술하는 대안적인 방법은 다음과 같다.1 ≤ i의 경우, j ≤ 2는 exp(λ_ij)가 모두 대수학일 정도로 복잡한_ij 숫자로 한다.λ과₁₁ λ은₁₂ 이성적인 숫자에 대해 선형적으로 독립하고₁₁, and과₂₁ rational 역시 이성적인 숫자에 대해 선형적으로 독립한다고 가정해 보자.

$\displaystyle \proda _{11}\proda _{22}\neq \proda _{12}\proda _{21}\,}$

선형대수학적 관점에서 동등한 공식은 다음과 같다.M을 2×2 행렬로 설정

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}\\lambda _{21}&\lambda _{22}\end{pmatrix},},},}$

여기서 exp(exp_ij)는 1 i i, j ≤ 2. M의 두 행이 이성수보다 선형적으로 독립되어 있고, M의 두 열은 이성수보다 선형적으로 독립되어 있다고 가정한다.그러면 M의 계급은 2이다.

선형적으로 독립된 행과 열을 갖는 2×2 행렬은 보통 2위를 가지고 있다는 것을 의미하지만, 이 경우 우리는 더 작은 분야에 걸쳐 선형 독립성을 요구하기 때문에 순위가 2가 될 수 밖에 없다.예를 들어, 행렬

${\displaystyle {\pmatrix}1&\pi \\pi &\pi ^{2}\end{pmatrix}}}$

π은 비이성적이기 때문에 합리적인 숫자에 대해 선형적으로 독립적인 행과 열을 가지고 있다.그러나 행렬의 순위는 1이다.따라서 이 경우에 그 추측은 적어도 e, e, e^ππ2 중 하나가 초월(e가 초월적이기 때문에 이 경우 이미 알려져 있다)이라는 것을 암시할 것이다.

역사

그 추측은 1940년대 초 앳 셀버그에 의해 고려되었는데, 그는 그 추측은 공식적으로 언급하지 않았다.^[1]이 추측의 특별한 사례는 1944년 레오니다스 알라오글루와 칼 루드비히 시겔이 고려했다고 시사하는 폴 에르드스의 논문에서 언급된다.^[2]1957년 초월수 이론에서 8개의 중요하고 개방적인 문제 중 첫 번째로 그것을 설정한 테오도르 슈나이더에 의해 동등한 문장이 인쇄에서 처음 언급되었다.^[3]

관련된 6개의 지수 정리도 1960년대에 세르게 랑과^[4] 카나카할리 라마찬드라에 의해 처음으로 명시적으로 언급되었고,^[5] 또한 둘 다 위의 결과를 명시적으로 추측하고 있다.^[6]실제로 6개의 지수 정리를 증명하고 난 후 랭은 6개의 지수 수를 4개로 떨어뜨리는 것의 어려움에 대해 언급한다. 즉, 그것을 4개에 적용하려고 할 때 6개의 지수 " just misss"에 사용되는 증거다.

코롤러리

오일러의 정체성을 이용한 이 추측은 e와 π을 수반하는 많은 수의 초월성을 내포하고 있다.예를 들어 x₁ = 1₂, x = √2, y = iπ₁, y₂ = iπ2, y = iπ2를 취하면 추측(참일 경우)은 다음 네 숫자 중 하나가 초월적이라는 것을 의미한다.

${\displaystyle e^{i\pi },e^{i\pi {2},e^{i\pi {\sqrt {2}},e^{2i\pi }}}$

이 중 첫째는 -1에 불과하고, 넷째는 1에 불과하므로, 그 추측에 의하면^iπ√2 e는 초월적(Gelfond-Schneider 정리의 결과로 이미 알려진)이라는 것을 내포하고 있다.

추측에 의해 해결된 수 이론의 개방적인 문제는 2와^t 3이^t 모두 정수인 비정수 실수 t가 존재하는지, 실제로^t a와 b가^t 정수에 대해 배수로 독립된 일부 정수의 쌍에 대한 정수인지에 대한 질문이다.2가^t 정수인 t 값은 일부 정수 m의 경우 t = logm₂ 형식의 모든 값이며, 3이^t 정수인 경우 t = logn₃ 형식이어야 한다.x₁ = 1, x₂ = t, y = log(2), y₁₂ = log(3)를 설정함으로써 4 지수 추측에 따르면 t가 비합리적이라면 다음 네 숫자 중 하나가 초월적이라는 것을 의미한다.

${\displaystyle 2,3,2^{t},3^{t}\,}$

따라서 2와^t 3이^t 모두 정수라면, 추측에 의하면 t는 합리적 숫자여야 한다.2가^t 또한 이성적인 유일한 합리적인 숫자 t는 정수이기 때문에, 이것은 2와^t 3이^t 모두 정수인 비정수 실수 t는 없다는 것을 암시한다.이러한 결과는 2와 3이 아닌 2개의 소수에게 알라오글루와 에르드스가 그들의 논문에서 원했던 것은 연속적으로 엄청나게 풍부한 2개의 숫자의 지수가 원시라는 추측을 함축하는 것으로서 라마누잔이 연속적으로 우월한 합성수들의 지수에 대한 결과를 확장시켰다.^[7]

날카로운 네 가지 지수 추측

4개의 지수 추측은 6개의 지수 정리 가설에서 복잡한 숫자의 쌍과 삼중의 수를 두 쌍으로 줄인다.이 역시 예리한 6개의 지수 정리로는 가능한 것으로 추측되며, 이것이 예리한 4개의 지수 추측이다.^[8]구체적으로 이 추측에₁ 의하면₂ x, x, x, y는₁₂ 각 쌍이 이성적인 숫자에 대해 선형적으로 독립되어 있는 복잡한 숫자의 두 쌍이고, β가_ij 1≤ i에 대한 4개의 대수적 숫자라면 j ≤ 2는 다음과 같은 4개의 숫자가 대수적 숫자라고 한다.

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}-\pair_{11},e^{x_{1}y_{1}-\pair_{12},e^{x_{2}y_{1}-\pair _{21},e^{x_{2}-}-pair _{22},},}},}}$

그 다음_i x_j y = 1 i i에 대한_ij β, j 2 2. 따라서 4개의 지수 모두 사실 1이다.

이 추측은 세 번째 x 값을 요구하는 6개의 예리한 지수 정리, 그리고 가설에서 대수학적으로 더 많은 지수화를 필요로 하는 아직 증명되지 않은 예리한 5개의 지수 추론을 모두 내포하고 있다.

강력한 4 지수 추측

이 문제의 순환에서 추측된 가장 강력한 결과는 강력한 4가지 지수적 추측이다.^[9]이 결과는 앞에서 언급한 4개의 지수들에 관한 추측뿐만 아니라 오른쪽에 설명된 5개, 6개의 지수 추측과 정리 그리고 아래에 상세히 기술된 3개의 지수 추측을 모두 의미할 것이다.이 추측의 진술은 1에 의해 생성된 대수적 숫자에 대한 벡터 공간과 여기에 L로^∗ 표기된 0이 아닌 대수적 숫자의 모든 로그에 관한 것이다. 따라서 L은^∗ 형태의 모든 복잡한 숫자의 집합이다.

${\displaystyle \property_{0}+\sum _{i=1}^{n}\properties _{i}\log \property_{i}}}$

일부_i n β와 α는_i 모두 대수학이고 로그의 모든 가지를 고려한다.강한 4 지수 추측의 진술은 그때 다음과 같다.x₁, x₂, y₁, y를₂ 두 쌍의 복잡한 숫자로 하고 각 쌍이 대수적 숫자에 대해 선형적으로 독립된 다음, 4개의 숫자 중 적어도 하나의 x y가_ij 1 ≤ i, j ≤ 2는 L에^∗ 있지 않다.

3 지수 추측

네 가지 지수적 추측에 의해 대수적 숫자의 로그 사이의 비삼위적, 동질적, 이차적 관계의 특별한 경우가 배제된다.그러나 베이커의 정리의 추측 연장은 동질적이든 아니든 대수적 숫자의 대수적 대수 사이에 전혀 비삼차적 대수적 관계가 있어서는 안 된다는 것을 암시한다.비균형 이차관계의 한 사례는 여전히 열려 있는 3 지수 추정에 의해 다루어진다.^[10]그 로그 형태에서 그것은 다음과 같은 추측이다.λ₁, λ₂, λ은₃ 대수적 숫자의 세 로그가 되도록 하고 γ은 0이 아닌 대수적 숫자로 하며, λ₁₂ = = λλ이라고₃ 가정한다.그러면 λλ₁₂ = γλ₃ = 0.

이 추측의 기하급수적인 형태는 다음과 같다.x₁, x₂, y를 0이 아닌 복합수로 하고 and을 0이 아닌 대수수로 한다.그렇다면 다음 세 숫자 중 적어도 하나는 초월이다.

${\displaystyle e^{x_{1}y}, e^{x_{2}y}, e^{\required x_{1}/x_{2}}.}$

또한₁ x, x₂, y가 0이 아닌 복합수이고 α, β₁, β₂, β, β, γ이 대수적 수인 경우에 다음과 같은 3개의 숫자가 대수적 수라고 주장하는 날카로운 3개의 지수적 추측도 있다.

${\displaystyle e^{x_{1}y-\properties _{1},e^{x_{2}y-\properties _{2}},e^{(\filename x_{1}/x_{2})-\pair }}}$

그 다음 xy₂ = β₂ 또는 βx₁ = αx₂.

한편 강력한 3 지수 추측은 x₁, x, y가₂ 모두 xy₁, xy₂, x₁/x를₂ 가진 0이 아닌 복합수라면, 적어도 xy₁, x₂₁/x₂ 세 숫자 중 하나는 L에^∗ 있지 않다고 말한다.

이 집단의 다른 결과와 마찬가지로, 강력한 3 지수 추측은 3 지수 추론을 의미하는 날카로운 3 지수 추론을 내포하고 있다.그러나, 강력하고 날카로운 3가지 지수 추측은 그들의 4개의 지수 상대들에 의해 암시되어 일반적인 추세를 거스른다.그리고 3개의 지수 추측이 4개의 지수 추측에 의해 암시되거나 암시되지 않는다.

날카로운 5개의 지수 추측과 마찬가지로 3개의 지수 추측은 (로그 버전에서₁) i = i,, - = -i and₂, 1 = 1을 둠으로써^π2 e의 초월성을 암시할 것이다.

베르트랑의 추측

지수함수와 관련된 초월수 이론의 많은 이론과 결과는 모듈형 함수 j와 관련된 유사점을 가지고 있다.q = nome과 j( j) = J(q)에 대해 e를 쓰면서^2πiτ, 다니엘 버트랜드는 q와₁₂ q가 복합 단위 디스크에서 0이 아닌 대수적 숫자로 다중적으로 독립되어 있다면, J(q₁)와 J(q₂)는 합리적 숫자에 대해 대수적으로 독립되어 있다고 추측했다.^[11]분명히 4개의 지수 추측과는 관련이 없지만, 사실 베르트랑의 추측은 약한 4 지수 추측으로 알려진 특별한 경우를 내포하고 있다.^[12]이₁ 추측에 따르면 x와₂ x가 두 개의 양의 실제 대수적 숫자인 경우, 둘 중 1과 같지 않으면 π과² 제품 로그(x₁)log(x₂)는 합리적인 숫자에 걸쳐 선형적으로 독립적이다.이것은₁ y = iπ, y₂ = -iπ, x와₁ x가₂ 실제인 4개의 지수 추측의 특별한 경우에 해당한다.그러나 놀랍게도, 그것은 또한 모듈식 함수 j를 통해 4가지 지수식 추측에 대한 접근법이 있을 수 있음을 암시하는 베르트랑의 추측의 진원지이기도 하다.

메모들

참조

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외부 링크

• "Four exponentials conjecture". PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. "Four Exponentials Conjecture". MathWorld.