다변량 보간법

수치해석에서는 다변량 보간술은 둘 이상의 변수의 함수에 대한 보간술로, 변종이 공간좌표일 때는 공간 보간술이라고도 한다.

보간할 함수는 주어진 지점$({\displaystyle {xi}_{}}$ $z$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \dots )}$에서 알려져 있으며$$$,$ 보간 문제는 임의 지점$({\displaystyle x,}$ $y$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle z}$$, z$${\displaystyle ,}$…)에서 값을 산출하는 것으로 구성된다(${\displaystyle x}$, y${\displaystyle ,}$ z , ) {\$displaystyle (x,y,z,\dots$ $)\}.$

다변량 보간법은 지구 표면의 점 집합에서 디지털 고도 모델을 만드는 데 사용되는 정지통계학에서 특히 중요하다(예를 들어 지형조사에서 점 높이 또는 수력조사에서 깊이).

정규 격자

일반 그리드에서 알려진 함수 값(사전 정의된, 균일하지 않은, 간격)에 대해서는 다음과 같은 방법을 사용할 수 있다.

임의 차원

• 근거리 보간법
• n-선형 보간(양측 및 삼선 보간 및 다항식 참조)
• n-영역 보간(양극 및 삼극 보간 참조)
• 크리깅
• 역 거리 가중치
• 자연 이웃 보간법
• 스플라인 보간법
• 방사상 기준 함수 보간

2차원

• 반스 보간법
• 이선 보간법
• 바이큐브 보간법
• 베지에 표면
• 란초스 리샘플링
• 델라우나이 삼각측량

비트맵 재샘플링은 영상 처리에 2D 다변량 보간법을 적용한 것이다.

동일한 데이터 집합에 적용되는 방법 중 세 가지는 검은색 점들에 위치한 25개의 값이다.색상은 보간된 값을 나타낸다.

두 변수의 다항식 보간법은 Padua 점을 참조하십시오.

3차원

• 삼선 보간법
• 삼두 보간법

비트맵 다시 샘플링을 참조하십시오.

N 치수를 위한 텐서 제품 스플라인

Catmull-Rom 스플라인들은 어떤 치수에도 쉽게 일반화될 수 있다.The cubic Hermite spline article will remind you that ${\displaystyle \mathrm {CINT} _{x}(f_{-1},f_{0},f_{1},f_{2})=\mathbf {b} (x)\cdot \left(f_{-1}f_{0}f_{1}f_{2}\right)}$ for some 4-vector ${\displaystyle \mat$$hbf {b} (x)}$은(는) x 단독 함수로서$,$ ${\displaystyle {여기}_{}}$서 f j {\displaystyle $f_{j}$은(는) 보간할 $함수$의 j$${\$displaysty j}$의 값이다.이 근사치를 다음과 같이 다시 쓰십시오.

${\displaystyle \mathrm {CR}(x)=\sum _{i=-1}^{2}f_{i}b_{i}(x)}$

이 공식은 N 치수로 직접 일반화할 수 있다.^[1]

${\displaystyle \mathrm {CR} (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{N}=-1}^{2}f_{i_{1}\dots i_{N}}\prod _{j=1}^{N}b_{i_{j}}(x_{j})}$

헤르미트 스플라인을 포함한 다른 유형의 스플라인 보간에도 유사한 일반화가 이루어질 수 있다는 점에 유의하십시오.효율성과 관련하여, 사실 일반적인 공식은 삼두보간 논문에서 설명한 바와 같이 모든 유형의 텐서 제품 스플라인에 대한 ${\displaystyle \mathrm{연속적}}$인 C I N ${\displaystyle \mathrm{T}}$ ${\$type$$ 연산의 구성으로 계산할 수 있다.단, 1차원 ${\displaystyle \mathrm{C}}$ R ${\$과 유사한 합계에 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $n}$ 항이$$ 있는 경우 $N{\displaystyle }${\$displaystyn$} -dension$$ 합계에 N ${\$ 항이$$ 있다는 사실이 남아 있다.

불규칙한 그리드(스캐터된 데이터)

불규칙한 그리드의 분산된 데이터에 대해 정의된 계획은 더 일반적이다.그들은 일반적으로 알려진 다른 방법으로 감소하면서, 모두 정규 그리드에서 작업해야 한다.

• 근거리 보간법
• 삼각측량 불규칙 네트워크 기반 자연 이웃
• 삼각 측량된 불규칙 네트워크 기반 선형 보간(조각 선형 함수의 일종)
  • n-제곱(예: 사면체) 보간법(이차 좌표계 참조)
• 역 거리 가중치
• 크리깅
• GEK(Gradient-enhanced Kriging)
• 얇은 판 스플라인
• 다하모닉 스플라인(박판 스플린은 다하모닉 스플라인에 특별한 경우)
• 방사상 기준 함수(폴리하모닉 스플라인(polyharmonic splines)는 저도 다항식 항을 갖는 방사상 기준 함수의 특수한 경우)
• 최소 제곱 스플라인
• 자연 근린 보간

그리딩은 불규칙한 간격의 데이터를 정규 그리드(그리드 데이터)로 변환하는 과정이다.

참고 항목

• 표면 피팅
• 스무딩

메모들

외부 링크

• 여러 1D, 2D 및 3D 스플라인 보간(Catmull-Rom 스플라인 포함)에 대한 C++ 코드 예
• 다차원 헤르미트 보간 및 근사치, 교수챈드라지트 바자자 퍼듀 대학교
• 3D 및 4D 스플라인 보간 방법을 포함하는 파이톤 라이브러리.