안정성(확률)

확률론에서 랜덤 변수의 안정성은 변수의 두 독립된 복사본의 선형 결합이 위치 및 척도 모수까지 동일한 분포를 갖는 속성이다.^[1]이 특성을 갖는 랜덤 변수의 분포는 "안정적 분포"라고 한다.확률 이론에서 이용할 수 있는 결과는 이 특성을 갖는 모든 가능한 분포가 4-모수 분포의 구성원이라는 것을 보여준다.안정적인 분포에 대한 기사는 이러한 분포의 특성 중 일부와 함께 이 집단을 설명한다.

"안정성"의 확률 이론과 확률 분포의 안정적 계열에서 중요한 점은 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수의 적절한 규범화된 합계에 대해 "관찰자"라는 것이다.

안정적인 분포의 중요한 특별한 경우로는 정규 분포, Cauchy 분포 및 Lévy 분포가 있다.자세한 내용은 안정적인 분포를 참조하십시오.

정의

안정이 의미하는 것에 대한 몇 가지 기본적인 정의가 있다.일부는 무작위 변수의 합계에 기초하고 다른 일부는 특성 함수의 특성에 기초한다.

분배 함수를 통한 정의

펠러는^[2] 다음과 같은 기본적인 정의를 내린다.랜덤 변수 X는 안정적(안정적 분포를 가지고 있음)이라고 하는데, 만약 X의 n개의 독립 복사본 X에_i 대해 다음과 같은 상수_n c > 0과 d가_n 존재한다면 말이다.

${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}{\stackrel {d}{d}{=}{n}}X+d_{n}}}}$

여기서 이 평등은 분포의 평등을 가리킨다.이 시작점에서 도출한 결론은 상수 c의_n 순서는 반드시 형식이어야 한다는 것이다.

${\displaystyle c_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ /${\displaystyle {\alpha }^{}}$ $displaystyle c_{n}=n^{1/\property }\,}$의 경우$$ 0< α 2.${\displaystyle$ 0$<\property \leq 2.}$

또 다른 결론은 위의 분포적 정체성이 n=2와 n=3만을 유지하기에 충분하다는 것이다.^[3]

확률론의 안정성

안정성 특성을 갖는 분포에 대해 도출할 수 있는 수학적 결과가 많이 있다.즉, 콘볼루션에 의해 폐쇄되는 특성을 가진 모든 가능한 분포의 집단이 고려되고 있다.^[4]여기서 안정분포라는 글에 기술된 분포를 구체적으로 의미하지 않고 이러한 안정분포라고 부르거나, 안정성이 있다고 가정할 경우 분포가 안정되어 있다고 말하는 것이 편리하다.안정적인 일변량 분포에 대해서는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

• 안정적인 분포는 항상 무한히 분리될 수 있다.^[5]
• 모든 안정적인 분포는 절대적으로 연속적이다.^[6]
• 모든 안정적인 분포는 단일 분포다.^[7]

기타 안정성 유형

위의 안정성의 개념은 무작위 변수에 대해 주어진 일련의 연산에 따라 닫히는 분포의 종류에 대한 생각에 기초한다. 여기서 연산은 "합계" 또는 "평균"이다.고려된 기타 운영에는 다음이 포함된다.

• 기하학적 안정성: 여기서 연산은 무작위 변수의 숫자의 합을 취하는데, 여기서 숫자는 기하학적 분포를 가진다.^[8]이 경우 안정 분포의 상대방은 기하학적 안정 분포다.
• 최대 안정성: 여기서 연산은 랜덤 변수의 최대값을 취한다.이 경우 안정적 분포의 상대방은 일반화된 극단값 분포로, 이 경우에 대한 이론은 극단값 이론으로 취급된다.안정성 표본을 참조하십시오.이 경우, 최대값 대신 최소값을 사용하는 버전은 단순한 확장에 의해 사용할 수 있다.

참고 항목

• 무한불가성
• 외설배분포

메모들

참조

• 루카스, E. (1970) 특성 기능.그리핀, 런던
• Feller, W. (1971) 확률 이론과 그 적용에 대한 소개, 제2권.와일리 ISBN0-471-25709-5
• 클레바노프, L.B., 마니야, 마니야, 멜라메드, I.A.(1984) "V. M. 졸로타레프의 문제 및 무작위 변수의 무작위 합산을 위한 계획에서 무한히 분리되고 안정적인 분포의 유사성"이론 프로밥. Appl, 29, 791–794