기하학적 안정 분포

기하학적 안정
파라미터	α ( , \alpha 0 , 2 : 파라미터; [-, 1 \ display \[ - , ] : 왜도 파라미터(왜도는 정의되어 있지 않습니다); " " (,") { \\ ( 0 , \ } : scale ; μμ - ( - \, \ } :로케이션
지지하다	XR∈{\displaystylex\in \mathbb{R}}, 또는 시작\∈[μ, ∞){\displaystyle x\in는 경우에는\mu ,\infty)}만약α<1{\displaystyle \alpha<1}과β=1{\displaystyle \beta =1}, 또는 시작\∈(− ∞, μ]{\displaystyle x\in(-\infty ,\mu]}만약α<1{\displaystyle \alpha<1}과 β)− 1{\displaystyl.e\beta =-1
PDF	일부 파라미터 값을 제외하고 해석적으로 표현할 수 없는
CDF	특정 파라미터 값을 제외하고 해석적으로 표현할 수 없는
중앙값	μ {\displaystyle \}( 스타일 \displaystyle )
모드	μ {\displaystyle \}( 스타일 \displaystyle )
분산	때 2 \ \ 때 2 2 \ \ alpha 2일 때, 그렇지 않으면 무한
왜도	0 그렇지 않으면 정의되지 않음
예: 첨도	때 그렇지 않으면 정의되지 않음
MGF	한정되지 않은
CF	+ t - i t - ( \ \[ 1 + \ ^ { \ } \ t \ vert ^ { \ } \ - 、 - - 、 - - \ t \ ）、; 어디 ω){만약 α+11≠ 1− 나는 α 2부호(t)π 나는 2π β 로그 ⁡ t표시(t)만약α=1{\displaystyle \omega){\begin{경우 황갈색 ⁡ β}1-i\beta \tan{\tfrac{\pi \alpha}{2}}\,{\textrm{서명}}(t)&,{\text{만약}}\alpha \neq 1\\1+i{{2\tfrac}{\pi}}\beta \log\vert t\vert \,{\textrm{서명}}(t)&.;{\text

기하학적 안정 분포 또는 지리적 안정 분포는 렙토쿠르틱 확률 분포의 한 유형입니다.기하학적 안정 분포는 L. B. 클레바노프, G. M. 마니야, I. A. 멜라메드(1985)에 도입되었다.랜덤 변수의 ^[1]난수를 합산하는 체계에서 Zolotarev와 무한히 분할되고 안정적인 분포의 아날로그 문제.이러한 분포는 산술의 수가 랜덤하고 산술의 분포와 무관하며 기하학적 분포를 갖는 경우 안정적인 분포를 위한 유사체이다.기하학적 안정 분포는 대칭 분포이거나 비대칭 분포일 수 있습니다.대칭 기하학적 안정 분포는 Linnik ^[2]분포라고도 합니다.Laplace 분포와 비대칭 Laplace 분포는 기하학적 안정 분포의 특수한 경우입니다.Mittag-Leffler 분포도 기하학적 안정 ^[3]분포의 특수한 경우입니다.

기하학적 안정 분포는 금융 ^[4]^[5]^[6]^[7]이론에서 응용된다.

특성.

대부분의 기하학적 안정 분포의 경우 확률 밀도 함수와 누적 분포 함수는 닫힌 형식이 없습니다.그러나 기하학적 안정 분포는 다음과 같은 형태의 ^[8]특성 함수로 정의할 수 있습니다.

\displaystyle \varphi(t;\alpha,\displayda,\displayda,\mu)=[1+\displayda ^{\alpha } t^{\alpha }\obega -i\mu t]^{-1}

어디 ω){나는 β 1− tan ⁡(π α 2)표시 ⁡(t)만약 α ≠ 11+i2π β 로그 ⁡ t표지판 ⁡(t)만약α=1{\displaystyle \omega){\begin{경우}1-i\beta\tan \left({\tfrac{\pi \alpha}{2}}\right)\,\operatorname{서명하}(t)&,{\text{만약}}\alpha \neq 1\\1+i{{2\tfrac}{\pi}}\beta\log t\operatornam.e{s $ign}(t)&{\text{if}}}\alpha=1\end{case$

$\alpha$ α(\ $displaystyle$ \alpha $\alpha$ 는 0보다 크고 2보다 작거나 같아야 하며, 형상 파라미터 또는 안정성의 지표로, 테일 ^[8]무게를 결정합니다.α $(\displaystyle \alpha})$ 가 $\alpha$ 작을수록 테일이 무거워집니다.

$\beta$ β \ $displaystyle \beta$ $\beta$ 는 -1보다 크거나 같고 1보다 작거나 같아야 합니다.이 파라미터는 왜도 파라미터입니다.^[8]β $({displaystyle\beta})$ 가 $\beta$ 음수이면 분포가 왼쪽으로 치우쳐지고 $β$ ({displaystyle\ $beta})$ 가 $\beta$ 양수이면 분포가 오른쪽으로 치우쳐집니다.β $\beta$ {\ $displaystyle \beta}$ 가 $\beta$ 0일 $\beta$ 분포는 대칭이며 특성 함수는 다음과 같이 ^[8]감소합니다.

δ

(

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

;

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

, 0 ,

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

,

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

μ )

=

[

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

+

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

-

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

] -

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

\ displaystyle \

varphi

(

t

; \

alpha

,

0

, \ lampda , \

lampda

^ { \

alpha

}

t^

{ \

alpha

} - i \ mu t

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

^ - 1 ^ - 1 }

\varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}

} }

μ $\mu =0$ { displaystyle $\mu$ = $0$ }인 $\mu =0$ 대칭 기하학적 안정 분포를 Linnik ^[9]분포라고도 합니다. $0<\mu <1$ 왜곡된 $\beta =1$ $안정$ 분포, 즉 β = $\beta =1$ 1 \ $displaystyle$ \ $\alpha <1$ $=$ 1 , $\alpha <1$ α < $\alpha <1$ $0<\mu <1$ $\alpha <1$ , $0<\mu <1$ 0 < $μ$ < $1$ \ $displaystyle$ 0 < \ $mu$ < $1$ ) $0<\mu <1$ $\beta =1$ $0<\mu <1$ 、 referredag 、 Mittag-Leffler ^[10]분포라고도 합니다.β $(\displaystyle \beta)$ 는 $\beta$ 분포의 왜도를 결정하지만 $\beta$ 의 경우 기하학적 안정 분포에 대해 정의되지 않은 일반적인 왜도 계수 또는 세 번째 표준화 모멘트와 혼동해서는 안 됩니다.

$\lambda >0$ $\lambda >0$ \ $lambda >$ 0)은 $\lambda >0$ $\mu$ 파라미터, $\mu$ μ(\ $displaystyle \mu)$ 는 $\mu$ 로케이션 ^[8]파라미터입니다.

에 있어 비열한. 0,[9]의 확률 밀도 func 있으면 α=2{\displaystyle \alpha}, β{\beta\displaystyle})0과μ{\displaystyle \mu})0(즉, α{\displaystyle \alpha}=2과 대칭 기하학적 안정 분포나 Linnik 분포), 유통이 되는 대칭의 천문학자 분포를 보여 준다.회부 등다음 중 n개:

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

(

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

,

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

)

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

2

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

exp

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

( -

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

) \

displaystyle

f (

x

\

mid

0 , \

displayda

)

= displayfrac

{

1

} {

2

\

exp

\

frac

{ x

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

} { \

right

} , \ frac

displayda }

、 \

f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!

。

라플라스 분포의 분산은 2⁄ $({$ 2 $\lambda$ ^{ $2$ $})$ 입니다.단 $\alpha <2$ α < $(\displaystyle \alpha$ < 2)의 $\alpha <2$ $\alpha <2$ 기하학적 안정 분포의 분산은 무한합니다.

안정적인 분포와의 관계

$X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ 인 분포는 X 1, $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ , $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ n(\ $displaystyle$ $X_{1},X_{2},\dots,X_{n})$ 이 $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ 독립적이고 이러한 분포에서 얻은 동일한 분포의 랜덤 $Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}$ 인 $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ $Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}$ $=$ a $Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}$ $Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}$ + X $Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}$ 2 $Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}$ + x $Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}$ n + $Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}$ n + n )이 됩니다 $.$ $a_{n}$ n({ $displaystyle a_{n$ }) $b_{n}$ $b_{n}$ n $({$ 의 경우 $($ 의 분포와 동일합니다.

기하학적 안정 분포는 유사한 속성을 가지지만 합계의 원소 수는 기하학적 분포 랜덤 변수입니다. $X_{1},X_{2},\dots$ 1, $X_{1},X_{2},\dots$ 2 $…({displaystyle X_{1},X_{2},\dots})$ 가 $X_{1},X_{2},\dots$ 독립적이고 기하학적 안정 분포에서 가져온 동일한 분포 랜덤 변수인 $X_{1},X_{2},\dots$ , 합 $Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}$ $Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}$ $Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}$ $Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}$ p ( $Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}$ 1 + $Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}$ 2 + $Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}$ + X $Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}$ ) + $Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}$ {\ $display$ Y _ { p $=$ {p } {a }p가 0에 가까워지면 일부 $b_{N_{p}}$ 에 대해 $($ $스타일$ X_ ${i})$ 의 $a_{N_{p}}$ 분포를 처리합니다 $b_{N_{p}}$ . $여기$ 서 $($ $N_{p})$ 는 $N_{p}$ $(표시$ 스타일 X_ ${$ $p})$ 와는 무관한 랜덤 변수입니다.모수가 ^[5]p인 기하 분포.즉, 다음과 같습니다.

\displaystyle \Pr(N_{p}=n)=(1-p)^{n-1},p,}

$Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})$ 는 Y $Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})$ ( X $Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})$ + $Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})$ + $Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})$ + $Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})$ N $Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})$ ) { $display$ Y = $a$ ( X $_$ { $1 }$ + X $Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})$ _ {2} + \ $cdots$ + X _ { $N$ _ { p $X_{i}$ $}$ ) equals $Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})$ a a a a adisplay display $display$ a adisplay a $X_{i}$ the the the the the the the the the the the the the the the the the the the $the$ the the the the the the the the the the the the the the the the the the = a = a $X_{i}$ ^[4]a (((((((((((((((((((((((((

또한 안정적인 분포 특성 함수와 기하학적 안정적인 분포 특성 함수 사이에는 관계가 있습니다.안정적인 분포에는 다음과 같은 형태의 특성 함수가 있습니다.

\displaystyle \Phi(t;\alpha,\displayda,\mu )=\exp \left [~it\mu \!-\!\xp \operatorname {sign}(t)\Omega}~\right]

어디에

\Omega =param{case}\tan {tfrac {pi \alpha }{2}\alpha \neq 1,\-{\tfrac {2}{\pi }}}\log t &{\text{if}}}\alpha =1.\end {case}

기하학적 안정 특성 함수는 다음과 같이 안정 특성 함수로 ^[11]표현될 수 있습니다.

\displaystyle \varphi(t;\alpha,\displayda,\mu)=[1-\log(t;\alpha,\displayda,\mu)]^{-1}}

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미타그-레플러 분포

레퍼런스

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파라미터	$\alpha \in (0,2]$ α $\alpha \in (0,2]$ ( $\alpha \in (0,2]$ , $\alpha \in (0,2]$ $){$ $displaystyle$ \alpha $\in ($ 0 , 2 $）$ : $\alpha \in (0,2]$ 파라미터 $\beta \in [-1,1]$ [ $\beta \in [-1,1]$ - $\beta \in [-1,1]$ , 1 $]{ display$ \ display \ $in$ [ - $1$ , $1$ ] $\beta \in [-1,1]$ : 왜도 파라미터(왜도는 정의되어 있지 않습니다) $\lambda \in (0,\infty )$ " " ( $0$ , $\lambda \in (0,\infty )$ " $\lambda \in (0,\infty )$ ) { $displaystyle$ \ $displayda$ \ $in$ ( 0 , \ $infty$ $)$ } : scale $\lambda \in (0,\infty )$ $\mu \in (-\infty ,\infty )$ μ $\mu \in (-\infty ,\infty )$ μ $\mu \in (-\infty ,\infty )$ - $）{$ $displaystyle \mu \in$ ( - \ $infty$ , \ $infty )$ $\mu \in (-\infty ,\infty )$ } :로케이션 $\mu \in (-\infty ,\infty )$
지지하다	XR∈{\displaystylex\in \mathbb{R}}, 또는 시작\∈[μ, ∞){\displaystyle x\in는 경우에는\mu ,\infty)}만약α<1{\displaystyle \alpha<1}과β=1{\displaystyle \beta =1}, 또는 시작\∈(− ∞, μ]{\displaystyle x\in(-\infty ,\mu]}만약α<1{\displaystyle \alpha<1}과 β)− 1{\displaystyl.e\beta =-1 $}$
PDF	일부 파라미터 값을 제외하고 해석적으로 표현할 수 없는
CDF	특정 파라미터 값을 제외하고 해석적으로 표현할 수 없는
중앙값	$\mu$ μ $(β$ $\beta =0$ $\beta =0$ $)$ {\displaystyle \ $mu$ $\mu$ }( $디스플레이$ 스타일 \displaystyle $= 0일$ $\mu$ )
모드	$\mu$ μ $(β$ $\beta =0$ $\beta =0$ $)$ {\displaystyle \ $mu$ $\mu$ }( $디스플레이$ 스타일 \displaystyle $= 0일$ $\mu$ )
분산	$2\lambda ^{2}$ $2일$ 때 $\alpha =2$ $alpha$ 2 \ $displaystyle$ $2$ \ $talpha = 2일$ 때 2 $2\lambda ^{2}$ 2 \ $displaystyle$ \ alpha $\alpha =2$ 2일 $2\lambda ^{2}$ 때, 그렇지 않으면 무한
왜도	$α$ $=$ $\alpha =2$ 0 $($ $표시$ 그렇지 않으면 정의되지 않음
예: 첨도	$α$ $=$ $\alpha =2$ 때 $\alpha =2$ $($ $디스플레이$ 그렇지 않으면 정의되지 않음
MGF	한정되지 않은
CF	$\ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}$ $\ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}$ + $\ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}$ t $\ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}$ - i $\ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}$ t $\ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}$ - $\ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}$ ( \ $displaystyle$ \ $left$ [ 1 + \ $labda$ ^ { \ $alpha$ } \ $vert$ t \ vert ^ { \ $alpha$ } \ - 、 - - 、 - - $i$ \ $mu$ t \ $right$ $\ \left[1+\lambda ^{\alpha }\vert t\vert ^{\alpha }\omega -i\mu t\right]^{-1}$ ）、 어디 ω){만약 α+11≠ 1− 나는 α 2부호(t)π 나는 2π β 로그 ⁡ t표시(t)만약α=1{\displaystyle \omega){\begin{경우 황갈색 ⁡ β}1-i\beta \tan{\tfrac{\pi \alpha}{2}}\,{\textrm{서명}}(t)&,{\text{만약}}\alpha \neq 1\\1+i{{2\tfrac}{\pi}}\beta \log\vert t\vert \,{\textrm{서명}}(t)&.;{\text ${if}}\alpha = 1\end{case}}$

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