프레스택

대수 기하학에서 일부 그로텐디크 위상이 장착된 범주 C 위의 프리스트랙 F는 특정 리프팅 조건을 만족하는 펑터 p: F → C와 함께 범주로서 (섬유들이 그룹오이드일 때) 국소 이형성 물체가 이형성인 것이다.스택은 효과적인 하강을 가진 프리스트랙으로, 지역적인 물체가 함께 패치되어 세계적인 물체가 될 수 있다는 것을 의미한다.

자연에서 나타나는 프리스트랙은 일반적으로 스택이지만 순진하게 구성된 일부 프리스트랙(예: 그룹형 구조 또는 투영된 벡터 번들의 프리스트랙)은 스택이 아닐 수 있다.프레스랙은 스스로 연구하거나 스택으로 전달될 수 있다.

스택은 프리스트랙이기 때문에 프리스트랙의 모든 결과는 스택에도 유효하다.기사 전체에서 우리는 고정된 기본 범주 C로 작업한다. 예를 들어, C는 일부 Grotendieck 위상이 장착된 고정 체계에서 모든 계획의 범주가 될 수 있다.

비공식적 정의

F를 범주로 하고 ${\displaystyle \mathrm{Functor}}$ $p{\displaystyle }$→ C ${\displaystyle$ p$:$$F\to C$ 이것은 C의 형태론을 따라 풀백을 구성할 수 있다는 것을 의미한다.

$각{\displaystyle }$ 형태주의 f : ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$→ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle$ F${\displaystyle {(}^{}U)}$= p - 1($U$$$)${\displaystyle {}^{}}${\displaystyle $F(U)=p^{-1}(U)}$의 개체 U와 ${\displaystyle \mathrm{개체}}$ x의 y가 주어진다$.$C의 $V\to U}$ 풀백 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ y ${\displaystyle f^{*}x, f^{*}y}$를 수정한 후$,$ 우리는 그렇게^[1][2] 했다.

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom}}}}}}}(x,y)(V{f}{\}{\}U에)=[\operatorname {Hom}(f^{*}x,f^{*}y)]}}$

$f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f^{*}x}$부터 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f^{*}y}$까지의 모든 형태 집합이다$.$ 여기서 브래킷은 풀백의 다른 선택으로 인해 발생하는 서로 다른 Home 집합을 표준적으로 식별하는 것을 의미한다.${\displaystyle 각}$ $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle W}$→ V ${\displaystyle g:$$W\to V}$ over U, define the restriction map from f to g: ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)}$ to be the composition

${\displaystyle [\operatorname {Hom}(f^{*}x,f^{*}y)]{\c^{*}}{{*}}}}[\operatorname {Hom}(g^{*}x),g^{*(f^{*}y)]=]=[\operatorname {Hom}((f\circ g)^{*}x,(f\circle g)^{*}y)]}$

여기서$$ 표준 이형성 $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle f}$ g${\displaystyle {}^{}}$) ∗ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ { { { { { { { {$${ { { { { { { { { { { { { { { { { { { \ { f^{*}\$circ f^{*}\simeq }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$그러면 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{Hom}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom}}}}}}}(x,y)}$은(는) 슬라이스 범주 C${\displaystyle {/U}_{}}$ ${\$에 있는 사전 설명으로$,$ 대상$$ U와 함께 C에 있는 모든 형태론의 범주다.

정의상 F는 각 쌍 x, y, ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{Hom}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\underline {\$ipherline {\$operatorname{Hom}}}}}}}}}}(x,y)$가${\displaystyle {}_{}}$C/${\displaystyle U_{}}${\$displaystyle C_{/U}$의 유도된 그로텐디크 위상 위상과 관련된 집합의 집합인 경우 프리스트랙이다$.$

이 정의는 다음과 같이 동등하게 표현될 수 있다.^[3]First, for each covering family ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$, we "define" the category ${\displaystyle F(\{V_{i}\to U\})}$ as a category where: writing ${\displaystyl$$e p_{1}:$$V_{i}\time _{U}V_{j}\to V_{i}\,p_{$$12}:$$V_{i}\time _{U}V_{j}\time _{U}V_{k}\time _{U}V_{j}}$ 등$.$

1. an object is a set ${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}}$ of pairs consisting of objects ${\displaystyle x_{i}}$ in ${\displaystyle F(V_{i})}$ and isomorphisms ${\displaystyle \varphi _{ij}:p_{2}^{*}x_{j}{\overse$$t {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}}$ that satisfy the cocycle condition: ${\displaystyle p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{*}\varphi _{jk}}$
2. 형태론${\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{\phi }_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$)${\displaystyle \}}$ →${\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle y_{}}$i , ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle {}_{})\}}${\$displaystyle$\{($x_{i},\varphi _{i}}\$$}\to \{(y_{i},\psi _{ij})\}}$ consists of ${\displaystyle \alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}}$ in ${\displaystyle F(V_{i})}$ such that${\displaystyle \psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.$$}$

이 범주의 물체를 강하 기준이라고 한다.이 범주는 잘 정의되어 있지 않다. 문제는 풀백은 표준 이형성까지만 결정된다는 것이다. 이와 유사하게 섬유제품은 반대로 비논리적 관행에도 불구하고 표준 이형성까지만 정의된다.실제로 풀백, 그 구성, 섬유 제품 등의 일부 표준적인 식별을 할 뿐이다. 그러한 식별에 이르기까지 위의 범주가 잘 정의된다(즉, 범주의 표준적 동등성에 따라 정의된다).

F(U${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle F(}${ V ${\displaystyle i_{}}$→ ${\displaystyle U}$}${\displaystyle }$) ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\}})$가 정의한 하강 기준점으로 객체를 보내는 명백한$$ functor $F{\displaystyle (U}$)가 있다.One can then say: F is a prestack if and only if, for each covering family ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$, the functor ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$ is fully faithful.이와 같은 진술은 초기에 언급된 표준적 식별의 선택과는 무관하다.

$F{\displaystyle }$(${\displaystyle U}$ ${\displaystyle )}$→ ${\displaystyle F}$(${\displaystyle }${ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle U}$} ${\displaystyle )}$의 기본 $이미지$는 F $(\{V_{i}\to U\}에 대한$ F (\{V_}\to U\})의 유효 강하 데이터로 정밀하게 구성된다$$(그냥 "유효하다"의 정의).Thus, F is a stack if and only if, for each covering family ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$, ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$ is an equivalence of categories.

프리스트랙트와 스택의 정의에 대한 이러한 개혁은 그러한 개념의 직관적인 의미를 매우 명백하게 만든다. (1) "파이버된 범주"는 풀백을 구성할 수 있다는 것을 의미하며 (2) "그룹로이드에 프레스트팩"은 추가적으로 "로컬 이소모르픽"을 의미하며 (3) "그룹로이드에 스택"은 이전의 속성 외에 "글로벌 oids"를 의미한다.코크클 조건에 따라 지역 데이터로 bject를 구성할 수 있다.이 모든 것은 규범적인 이형성에 영향을 미친다.

형태론

정의들

프리스트랙스 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle F}$→ ${\displaystyle C}$, Q${\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p:$$F\to C,q:G\to C}$을(를) 고정 기준 범주 C에 대해$$, ${\displaystyle \mathrm{형태론}}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle F}$→ G ${\displaystyle f:$$F\to G}$은 (1) ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \circ }$ f${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q\circ f=p},$ (2) 데카르트 형태론을 데카르트 형태론에 매핑하는 functor이다$$.주 (2)는 G가 groupoids로 섬유화되는 경우 자동이다. 예를 들어 대수적 스택(모든 형태는 그 때 데카르트적이므로)

${\displaystyle p}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$→ C ${\displaystyle p:$$F_{S}\to C}$은(는) 기본 범주 C의 체계 S에 연결된 스택이고, 그 다음, $섬유{\displaystyle {}^{}}$p - ${\displaystyle 1^{}(U}$) = ${\displaystyle {}_{}}$ $){\displaystyle$ p$^{-1}(U)=$$F_{S}(U)}$은(는) 시공에 의해 C에서 U에서 S까지의 모든 형태론의 집합이다$$.이와 유사하게, 스택으로 간주되는 C의 체계 U($예{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle F_{}}$ U$${\$displaystyle F_{U$와 C의 그룹오이드에서 F 범주가 F인 경우, 2-요네다 보조정리기는 다음과 같이 말한다: 범주의^[4] 자연적 동등성이 있다.

${\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}(U,F){\c}{\chi \mapsto \chi(1_{U})}{\\}F(U)}}}$

여기서 ${\displaystyle {\mathrm{Funct}}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\$는 상대적인 펑터 범주를 가리킨다$$. 개체는 U에서 F로 C에서 F로 이어지는 펑터이며 형태는 기초 보존 자연 변환이다.^[5]

섬유제품

$Let{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle F}$→ ${\displaystyle B}$, G${\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:$$F\to B,g:$$G\to B}$는 프리스트랙스의 형태다.정의상 섬유제품 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$, ${\displaystyle f_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F\times _{B,f,g}G=F\times _{B}G}$는 다음과 같은 범주에 해당한다$$.^[6]

1. an object is a triple ${\displaystyle (x,y,\psi )}$ consisting of an object x in F, an object y in G, both over the same object in C, and an isomorphism ${\displaystyle \psi :f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$ in G over the identity morphism in C, and
2. a morphism ${\displaystyle (x,y,\psi )\to (x',y',\psi ')}$ consists of ${\displaystyle \alpha :x\to x'}$ in F, ${\displaystyle \beta :y\to y'}$ in G, both over the same morphism in C, such that ${\displaystyle g(\beta )\circ \p$$si =\cHB '\cHB$ f$(\cHB$ $)\}.$

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F\times$ _${B}G}$에서 F와 G에 이르는 망각적인 functors p, q와 함께 제공된다.

이 섬유 제품은 일반적인 섬유 제품처럼 작동하지만 자연 이소모형까지 작용한다.이것의 의미는 다음과 같다.첫째, 분명한 사각형은 통근하지 않는다. 대신 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle F\times _{B}G}$의 각 객체$({\displaystyle x,}$ y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \psi }$)$${\$displaystyle (x,y,\psi$ $)\}:$

${\displaystyle \psi :(f\circ p)(x,y,\psi )=f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)=(g\circ q)(x,y,\psi )}$.

즉, 되돌릴 수 없는 자연적 변형이 있다(=자연 이형성).

${\displaystyle \mathrm{\psi }}$: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \circ }$ p${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \Psi :f\circle p{\sim{\}{\\}g\circqu}}$.

둘째로, 그것은 엄격한 보편적 특성을 만족시킨다: 프리스트랙 H, 형태론${\displaystyle u}$ : ${\displaystyle H}$→ F ${\displaystyle u:$$H\to F$ $v{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ G ${\displaystyle v:$$H\to G$ 자연 이형성 $f{\displaystyle u\stackrel{}{}}$→${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \circ }$ v ${\displaystyle f\circle u{\sim }{\g\circle v},$$w{\displaystyle }$: H${\displaystyle }$→ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle w:$$H\to F\times _{B}G}$ together with natural isomorphisms ${\displaystyle u{\overset {\sim }{\to }}p\circ w}$ and ${\displaystyle q\circ w{\overset {\sim }{\to }}v}$ such that ${\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}$ is ${\display$$스타일 f\circle p\circle w{\sim }{\}}{\g\circle q\circle w$일반적으로 F와 G over B의 섬유 제품은 위의 $F$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F\times _{B}G}$에 대한 정격 이형이다.

B가 기본 범주 C(자체 위의 프리스트택)일 때 $B$가 삭제되고 F ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F\times G}$만 쓴다$.$ 참고, 이 경우 객체에 있는$$ in ${\displaystyle \psi}$은 모두 신분이다.

예:For each prestack ${\displaystyle p:X\to C}$, there is the diagonal morphism ${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$ given by ${\displaystyle x\mapsto (x,x,1_{p(x)})}$.

Example: Given ${\displaystyle F_{i}\to B_{i},G_{i}\to B_{i},\,i=1,2}$, ${\displaystyle (F_{1}\times F_{2})\times _{B_{1}\times B_{2}}(G_{1}\times G$$_{2}}\simeq (F_{1}\time _{B_{1}G_{1}}\time (F_{2}\time$ _${B_{$2}}$G_{$2$\}\}\}\}).$^[7]

예: 주어진 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle F}$→ ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:$$F\to B,g:$$G\to B}$ 및$$ 대각선 형태론 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle B}$→ B$$ B [\$displaystyle \Delta$:$B\to B\time$ B$\},$

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \simeq }$(${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \times }$ G${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$, ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ,${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F\time _{B}G\simeq$ ($F\time G)\time _{B\time B,f\time$ g$,\Delta }B$ ;

이 이형질성은 단순히 손으로 구성된다.

표현 가능한 형태론

A morphism of prestacks ${\displaystyle f:X\to Y}$ is said to be strongly representable if, for every morphism ${\displaystyle S\to Y}$ from a scheme S in C viewed as a prestack, the fiber product ${\displaystyle X\times _{Y}S}$ of prestacks is a scheme in C.

특히 이 정의는 구조물 지도 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p:X\to C}$에 적용된다($$기본 범주 C는 정체성을 통한 자기 위에 있는 프리스트랙이다).$그런{\displaystyle }$ 다음 X${\displaystyle }$≃ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X\simeq X\times _{C}C}$가 C의 체계인 경우에만 p를 강하게 나타낼 수 있다.

The definition applies also to the diagonal morphism ${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$. If ${\displaystyle \Delta }$ is strongly representable, then every morphism ${\displaystyle U\to X}$ from a scheme U is strongly representable since ${\displaystyle U\times$$_{X}T\simeq (U\times$ T$)\times _{X\time$X}X$}$는 어떤 T → X에도 강하게 표현 가능하다$$.

If ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a strongly representable morphism, for any ${\displaystyle S\to Y}$, S a scheme viewed as a prestack, the projection ${\displaystyle X\times _{Y}S\to S}$ is a morphism of schemes; this allows one to transfer many notions of properties on morphisms of schemes to the s문맥에 맞추다즉, P는 기저 변화 하에서 안정적이고 C의 위상(예: étal topology 또는 smooth topology)에 국부적인 기본 범주 C의 형태론에 대한 속성이 되도록 한다.그 다음에 강하게$$ 대표할 수 있는 ${\displaystyle \mathrm{형태론}}$f : X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}${\$displaystyle$$f:X\to$ Y$\},$ 모든 $형태론{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$→ Y$}$에 대해 $유도$ 투영 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ → ${\displaystyle X\times _{Y},$ T의 경우 P 속성을 갖는다고 한다.$T\to T}$은(는) P 속성을 가지고 있다$$.

예: 대수집단의 작용에 의해 주어지는 프리스트랙

G를 필드 k에 걸쳐 유한형 X의 계략에 대해 오른쪽에서 작용하는 대수집단이 되게 한다.그 후 X에 대한 G의 그룹 작용은 다음과 같이 k-schemes의 범주 C에 대한 프리스트랙(스택은 아니지만 스택은 아님)을 결정한다.F를 다음 범주로 하자.

1. 개체는 $집합{\displaystyle }$ X(U${\displaystyle }$)$$= ${\displaystyle {\mathrm{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$consisting$$ (U${\displaystyle }$,${\displaystyle }$${\displaystyle X}$ )${\displaystyle }$=$$Hom C display (U , X ) ${\displaystyle =\backslash }$$displaystyle$ X$(U)=\operatorname {Hom} _{C}(U,X)}$의 구성표 U와 x의 구성표 U로 구성된 쌍이다$.$
2. a morphism ${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$ consists of an ${\displaystyle U\to V}$ in C and an element ${\displaystyle g\in G(U)}$ such that xg = y' where we wrote ${\displaystyle y':$$U\to$ V${\\overset {y}{\\}}X}$.

이 범주 F는 C에서 건망증이 있는 펑터를 통해 groupoids로 섬유화되며, 액션 groupoid 또는 transformation groupoid로 알려져 있다.It may also be called the quotient prestack of X by G and be denoted as ${\displaystyle [X/G]^{pre}}$, since, as it turns out, the stackification of it is the quotient stack ${\displaystyle [X/G]}$. The construction is a special case of forming #The prestack of equivalence classes; in particular, F is앞잡이의 사람

X가 점 $\ast {\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle (k}$) ${\displaystyle *=\operatorname {Spec}(k)}$이고 G가 아핀인 경우, 지수${\displaystyle [\ast }$/ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ e${\displaystyle {}^{}}$= B ${\displaystyle {}^{}}$ p ${\displaystyle r^{}}$ e ${\$$BG^{pre}}$는 G의 분류 프리스트랙이며, 그 쌓이는 것은 G의 분류 스택이다.

X를 프리스트랙(사실상 스택)으로 보는 한 가지, 명백한 표준지도가 있다.

${\displaystyle \pi :X\to F}$

over C; explicitly, each object ${\displaystyle (U,x:U\to X)}$ in the prestack X goes to itself, and each morphism ${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$, satisfying x equals ${\displaystyle U\to V{\overset {y}{\to }}X}$ by definition, goes to the identity group element of G(U).

그러면 위의 표준 지도는 2-동등분자(2-Quotent)에 적합하다.

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \times \stackrel{}{\underset{}{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\underset{}{t}}}$ ${\displaystyle s}$ X${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{\pi }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X\times G{{\nderset {t}{\wrightarrow }}X{\\\\pi }{}F$

여기서 t: (x, g) → xg는 주어진 그룹 작용이며 투영이다.동일성 ${\displaystyle \mathrm{\pi s}}$ =${\displaystyle }$t t =${\displaystyle t}$ t$${\$displaystyle \pi \circ$ s$=\pi \circ t}$대신${\displaystyle \mathrm{\pi s}}$ →${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle \stackrel{}{}\pi }$ s → ~ $\style \picircs s{\sim{\}}}}\pi \circ t}$가 주어졌으므로 1 동일성이 아니다.

${\displaystyle g:(\pi \pi \pi s)(x,g)=\pi(x){\sim }{\}}{\pi \pi t)(x,g)=\pi(xg).}$

동등성 등급의 프리스트ack

X를 기본 범주 C에 있는 체계로 두십시오.By definition, an equivalence pre-relation is a morphism ${\displaystyle R\to X\times X}$ in C such that, for each scheme T in C, the function ${\displaystyle f(T):R(T)=\operatorname {Hom} (T,R)\to X(T)\times X(T)}$ has the image that is an equivalence relation."pre-${\displaystyle "}$라는 접두사는 주입 함수가 되기 위해 f (T ) ${\displaystyle$ f($T)}을($를) 필요로 하지 않기 때문이다.

예: 대수 그룹 G가 필드 k에 걸쳐 유한 유형의 체계 X에 대해 작용하도록 한다.$R{\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R=X\time _{k}G}$를 선택한 다음 모든 스키마 T over k let에 대해 T over k Let.

$[\displaystyle f(T):R(T)\to X(T)\time X(T),\, (x,g)\mapsto(x,xg)]}$

요네다의 보조정리법에 의해, 이것은 형태론 f를 결정하는데, 이것은 분명히 등가성 사전 관계인 것이다.

주어진 동등성 사전 관계 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:$$R\to X\time X}(+$ 일부 더 많은 데이터)에는 다음과 같이 정의된 관련 프리스트랙 F가 있다.^[8]첫째, F는 $다음$과 같은 범주로, s${\displaystyle }$= p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f}$, t${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s$= $p_{1}\circle$ f$,\,t=p_{2}\circle f$

건망증이 심한 functor를 통해 F 범주는 groupoids로 위장된다.마지막으로, 우리는 F가 프리스트랙(prestack)인지 점검한다.^[9] 이를 위해, 주목해야 할 것은 x, y in F(U) $및{\displaystyle }$f :${\displaystyle V}$ → ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:$$C{\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle U_{}}$ ${\$의 V$\to$ U$\},$

${\displaystyle {\begin{aigned}{\underline {\operatorname {Hom}}}}}(x,y)(V{f}{\\}U에)&=[\operatorname {Hom}(f^{*}x,f^{*}y)]\\\&=[\{\cHB :V\to R s\circle \delta =f^{*}x, t\circle \delta =f^{*}y\]\\&=[\{\cHB :V\to R(s,t)\circle \delta =(x,y)\circ f\}].\end{정렬}}}$

자, 이것은 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{Hom}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$(${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom}}}}}}($${\displaystyle x}$$,$${\displaystyle y}$$)}$의 섬유 제품임을$$ 의미한다${\displaystyle .}$ : ${\displaystyle R\to }$ X ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle (s,t):$$R\to X\time X}$ 및$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y):$$U\to X\time$ X$\}.$ 셰이브의 섬유 제품은 셰이프이므로 ${\displaystyle \underset{}{홈}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom}}}}}}}}}(x,y)$이 셰이브스라는 것을 따른다.

위의 프리스트랙 F는${\displaystyle }$[${\displaystyle X}$/${\displaystyle {}_{}}$~ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ e ${\$로 작성될 수 있으며$$, 스택화는${\displaystyle }$[${\displaystyle X{}_{}}$/ ~ ${\displaystyle R_{}}$]$${\$displaystyle [X/\sim$ _${R$로 작성된다.

참고 X를 스택으로 볼 때, X와${\displaystyle }$[${\displaystyle X{}_{}}$/ ~ ${\displaystyle R_{}{}^{}}$] ${\displaystyle p^{}}$ r ${\displaystyle e^{}}$ ${\$ 모두 동일한 객체 집합을 갖는다$$.형태론 수준에서는 X가 형태론으로서의 정체성 형태론만을 가지고 있는 반면, 프리스트랙 $[{\displaystyle X}$/${\displaystyle {}_{}}$~ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\$은 등가성 사전 관계 f에 의해 지정된$$ 추가적인 형태론 ${\displaystystyle \delta}$을 가지고 있다.

이 구조의 한 가지 중요한 점은 대수적 공간에 대한 지도책을 제공한다는 것이다: 모든 대수적 공간은 일부 체계 U, R에 대한$$ $[{\displaystyle U/~{}_{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$] ${\displaystyle [U/\sim _{R}]$ 형식이며, étalent 동등성 $사전{\displaystyle }$ 관계 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ U ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystystystyle f:$$R\to U\times U}$ such that, for each T, ${\displaystyle f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)}$ is an injective function ("étale" means the two possible maps ${\displaystyle s,t:$$R$$\to$ U$\time U\to U.)$

Deligne-Mumford 스택 $X{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$부터 동등성 사전 관계 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \times }$ U ${\displaystyle f:$일부 스키마 R, U에 $대해$R\$to$ U$\time$ U$}$을(를$)$ $생성$하여${\displaystyle }X{\displaystyle \mathfrak{}}$$${\$displaystyle$${\displaystyle \{\backslash {}_{}}$$mathfak${${\displaystyle X_{}}${\$displaystyle$과(와)가 연관된$$ 프리스트ack을 쌓도록 한다$.$^[10]정의에 따르면, Etale exjective morphism $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle U\mathfrak{}}$→ X ${\$:일부 스키마 $U$의 U$\to${\$mathfrak{$${\displaystyle {X\mathfrak{}}_{}}$}. 대각선이 강하게 표현 가능하므로 $섬유{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{제품}{}_{}}$U ×${\displaystyle X_{}}$ U =$$R {\$displaystyle U\times$_{\$mathfrak {X}U=R}$은 스키마(즉, 스키마로 표현됨)가$$ 되고 나서 그냥 두도록 한다.

$[\displaystyle s,t:오른쪽 화살표 U}$

첫 번째와 두 번째의 예측이다takeing $f{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$: R${\displaystyle }$→ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \times }$ U ${\displaystyle$ f$=(s,t):$$R\to U\time U$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$은(는$$) 동등성 사전 관계임을 알 수 있다.우리는 대략 다음과 같이 끝맺는다.

1. $\pi {\displaystyle }$ :${\displaystyle U\mathfrak{}}$→ X ${\$:$U\to {\$$mathfak$${X}}$ $to$ ${\displaystyle :}$: [${\displaystyle U{}_{}}$/ ~ ${\displaystyle R_{}{}^{}}$] ${\displaystyle p^{}}$ r${\displaystyle {}^{}{e}^{}}$ → ${\displaystyle X\mathfrak{}}${\$displaystyle \pi$:[$U/\sim _{R}^{pre}\$pre}\$pre}\$$mathfak$${X$$}($객체 수준의 변경은 없으며$\Delta$를 보내는 방법만 설명하면 된다.)$$
2. 스택화의 범용 속성별로 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}인자를${\displaystyle }$[${\displaystyle U}$/${\displaystyle {}_{}}$~ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle X\mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak {X$까지.
3. 마지막 지도가 이형인지 확인해봐.

프리스트랙스와 관련된 스택

주어진 프리스트랙에 스택을 연결하는 방법이 있다.그것은 프리슈프의 피복과 비슷하며 쌓기라고 불린다.시공 아이디어는 매우 간단하다: 프리스트랙 $p{\displaystyle }$: F → ${\displaystyle C}${\$displaystyle$ p$:$$F\to C$ 우리는 HF를 어떤 물체가 강하 기준이고 형태론은 강하 데이터의 범주라고 한다.(자세한 내용은 생략)

알고 보니 스택이고 자연적인 형태론 ${\displaystyle \theta }$: F${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H}$ F ${\displaystyle \theta$:$F\to HF}$와 같은 F는 만약 θ이 이형성일 경우에만 스택이다.

어떤 특별한 경우, 겹치는 것을 아핀 그룹 체계나 일반화를 위한 토스터의 관점에서 설명할 수 있다.사실 이런 관점에서 보면, 그룹오이드의 스택은 토르스의 범주일 뿐이며, 프리스트랙은 토르의 지역 모델인 사소한 토르스의 범주일 뿐이다.

메모들

참조

• Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Algebraic stacks, archived from the original on 2008-05-05, retrieved 2017-06-13
• Vistoli, Angelo (2005), "Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory", Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 1–104, arXiv:math/0412512, Bibcode:2004math.....12512V, MR 2223406

외부 링크

• Dai Tamaki (August 7, 2019). "Prestacks and fibered categories".