슈타이너 원뿔

슈타이너 원뿔형 또는 보다 정확하게는 스위스의 수학자 야콥 슈타이너의 이름을 딴 슈타이너의 원뿔형 세대는 들판 위로 돌출된 평면상에서 비감발 투사 원뿔형 단면을 정의하기 위한 대안법이다.

원뿔의 일반적인 정의는 2차 형태를 사용한다(사분면 기하학(사분면 기하학) 참조). 원뿔의 또 다른 대체 정의는 쌍곡선 극성을 사용한다. 그것은 K. G. C. 폰 슈타우트 때문이며 때때로 폰 슈타우트 원뿔이라고 불린다. 폰 스토트 정의의 단점은 기초 필드가 이상한 특성을 가지고 있을 때만 작동한다는 것이다($즉{\displaystyle }$, C h ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle Char\neq 2}).$

스타이너 원뿔의 정의

• Given two pencils ${\displaystyle B(U),B(V)}$ of lines at two points ${\displaystyle U,V}$ (all lines containing ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$ resp.) and a projective but not perspective mapping ${\displaystyle \pi }$ of ${\displaystyle B(U)}$ onto ${\displaystyle B(V)}$$[\displaystyle B(V$ 그러면 해당 선의 교차점이 비감발 투사 원뿔 단면을^[1][2][3] 형성한다(그림 1)

연필 $B{\displaystyle (U)}$ ${\displaystyle B(U)}$에 대한 원근법 매핑 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$} $연필{\displaystyle }$ B${\displaystyle (B}$)$${\$displaystyle$ B$(V)}$에 대한 원근법 매핑은 해당$$ 선들이 고정선 a$({\displaystystyle$$$$\pi)$에 교차하는 편향($1$이다. (그림 2)

투영적 매핑은 원근법 매핑의 유한한 산물이다.

간단한 예: 첫 번째 다이어그램에서 $한{\displaystyle }$ 번의$$이동이 U {\$displaystyle U}$ 및 선$$ 연필 모양의 $V{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $V}$을(를) 가리키고$$ 시프트 연필을 V {\displaystyle $V}$ $주위$에 고정 각도 $\phi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \varphi$ $}$만큼$$ 회전시키면 시프트(번역$)$와 회전은 투영 매핑을 생성한다$.$$$ $U{\displaystyle }${\$displaystyle$ U$} 지점$의 연필을 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 지점의 연필 위에$$ 놓고$,$ 새겨진 각도 정리로부터 다음과 같이 얻는다. 해당 선의 교차점이 원을 형성한다.

일반적으로 사용되는 필드의 예로는 $실수{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ 합리적 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$ {$Q}$ 또는$$ 복잡한 숫자 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$등이 있으며$,$ 유한 투영 평면에 대한 예도 제공된다.

비고: 투사 평면의 기본 정리는 필드(파피안 평면) 위에 투사 평면의 투사적 매핑은 세 개의 선 이미지를 규정함으로써 고유하게 결정된다고 명시한다.^[5] 즉, 원뿔형의 슈타이너 세대를 위해서는 두 점 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle 외}$에${\displaystyle }$V ${\displaystyle U,V}$ 3개의 선 이미지만$$ 제시하면 된다. 이들 5개 항목(2점, 3선)이 원뿔 단면을 고유하게 결정한다.

비고: "내성적"이라는 표기법은 다음과 같은 이중 진술 때문이다. $중심{\displaystyle }$ $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$에서 선 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$까지 선 a ${\displaystyle a}$에 있는 점을 투영하는 것을 관점이라고 한다$$(아래 참조).^[5]

예

For the following example the images of the lines ${\displaystyle a,u,w}$ (see picture) are given: ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. The projective mapping ${\displaystyle \pi }$ is the product of the following perspective mappings ${\display$$style \pi _{b},\pi _{a}}$: 1) ${\displaystyle \pi _{b}}$ is the perspective mapping of the pencil at point ${\displaystyle U}$ onto the pencil at point ${\displaystyle O}$ with axis ${\displaystyle b}$. 2) ${\displaystyle \pi _{a}}$ is the perspective mapping of the pencil at point ${\disp$$laystyle O}$ onto the pencil at point ${\displaystyle V}$ with axis ${\displaystyle a}$. First one should check that ${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b}}$ has the properties: ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. Hence for any line ${\displa$$ystyle g}$ 이미지$$ $\pi {\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ b${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)}$을(를) 구성할 수 있으므로$$ 임의의 점 집합의 이미지를 생성할 수 있다. $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ $및$ v ${\displaystyle v}$ 선에는 원뿔형 포인트 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ $및$ V ${\displaystyle V}$ resp만$$ 들어$$ 있다. 따라서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 및$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은 생성된 원뿔 섹션의 접선 선입니다$$.

이 방법이 원뿔 단면을 생성한다는 증거는 무한대의 선으로 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$을(를) 선으로 하고${\displaystyle ,}$ $,$ V {\$displaystyle U,$V}을(를)${\displaystyle }$x축 및${\displaystyle }$y축 resp의 무한대에 점으로 $하는$ 좌표계의 원점으로 하는$$ 점 O ${\displaystystystyle$ O}을$($를)로 변환하는 것에서 나타난다.${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ E$=(1,1$ 생성된 곡선의 아핀 부분은 하이퍼볼라 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=1/x}$로 나타난다$.$^[2]

비고:

1. 원뿔형 부분의 Steiner 생성은 일반적으로 평행사변형 방법이라고 불리는 타원형, 포물선, 하이퍼볼라를 구성하는 간단한 방법을 제공한다.
2. 점을 구성하는 동안 나타나는 형상(그림 3)은 파스칼의 정리의 4점 변형이다.^[6]

이중 원뿔의 스타이너 생성

정의 및 이중 생성

이중화(이중성(이중성(투사 기하학) 참조)는 선과 운영 교차로와 점을 교환하고 연결하는 것을 의미한다. 투사면의 이중 구조도 투사면이다. 파피안 평면의 이중 평면은 파피안이며 균질 좌표에 의해 조정될 수도 있다. 비감발성 이중 원뿔 부분은 2차 형태로 유사하게 정의된다.

이중 원뿔은 Steiner의 이중 방법에 의해 생성될 수 있다.

• $두{\displaystyle 선}$$$$u$, v {\$displaystyle$ u$$,$v}$ 및 투사적 매핑 $\pi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle u}$을(를) $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 대한 점 집합$.$ 그런 다음 해당 점들을 연결하는 선들이 이중 비감발 투사 원뿔 단면을 형성한다.

$선{\displaystyle }$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 점 집합에$$ 대한 선 $u{\displaystyle }$ {\$displaystyle u}$의 점 집합의 원근법 매핑 mapping ${\displaystyle \pi }$은(는) 해당 점의 연결선이 $고정점{\displaystyle }$ Z ${\displaysty Z}$에서 교차하도록 바이어싱(1-1 대응)이며$,$ pers의 중심이라고 한다.Pectivity $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }($그림 참조).

투영적 매핑은 원근법 매핑의 유한한 시퀀스다.

이중 및 공통 원뿔 섹션을 다룰 때 공통 원뿔 부분을 점 원뿔이라고 하고 이중 원뿔을 선 원뿔이라고 부르는 것이 보통이다.

기초 장이 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ =${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle Char=2}$을(를) 갖는 경우, 원뿔의 매듭(또는 핵)이라고 하는 점에서 점 원뿔의 모든$$ 접선이 교차한다. 따라서 비감소 점 원뿔의 이중은 타원형 곡선(이중 평면)이 아니라 이중 선의 점의 부분집합이다. 따라서, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ r${\displaystyle 2}$ 2$${\$displaystyle Char\neq$ 2$}$이(가) 비감발 점 원뿔의 이중인$$ 경우에만 비감기 선 원뿔이 된다.

예

(1) 두 가지 관점에 의해 주어지는 투영도:
Two lines ${\displaystyle u,v}$ with intersection point ${\displaystyle W}$ are given and a projectivity ${\displaystyle \pi }$ from ${\displaystyle u}$ onto ${\displaystyle v}$ by two perspectivities ${\displaystyle \pi _{A},\pi _{B}}$ with centers ${\displaystyle A,B$$}}.$${\$ 지도$$ 라인 $u$ ${\displaystyle o},$${\displaystyle {\pi }_{}}$ B ${\$ 지도$$ $라인$ $o$ ${\displaystytle v}($도표 참조).$$ Point ${\displaystyle W}$ must not lie on the lines ${\displaystyle {\overline {AB}},o}$. Projectivity ${\displaystyle \pi }$ is the composition of the two perspectivities: ${\displaystyle \ \pi =\pi _{B}\pi _{A}}$. Hence a point ${\displaystyle X}$ is mapped onto ${\displaystyle \pi (X}$${\displaystyle \pi (X)=\pi _{B}\pi _{A}(X)}$ and the line ${\displaystyle x={\overline {X\pi (X)}}}$ is an element of the dual conic defined by ${\displaystyle \pi }$.
($W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$이(가) 고정점이라면 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이(가) 원근법일 것이다$$.)

(2) 다음과 같은 세 가지 포인트와 그 이미지가 주어진다.
다음은 스타이너 원뿔에 대해 위에 주어진 이중 예다.
The images of the points ${\displaystyle A,U,W}$ are given: ${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$. The projective mapping ${\displaystyle \pi }$ can be represented by the product of the following perspectivities ${\displaystyle \pi _{B},\p$$i _{A}$:

1. ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$는 $중심{\displaystyle }$ B ${\displaystyle$$o$$}$의 점 집합에$$ 대한 $선{\displaystyle }$ $u$ ${\displaystyle$ $u$$}$의 점 집합의 관점이다.
2. ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$A}는$$$$ $중심{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이$(가)$ 있는 선 $v{\displaystyle }${\displaystyle v}의 점 집합에$$ 대한 선 $o{\displaystyle }${\$displaystystyle o$}의 관점이다$.$

One easily checks that the projective mapping ${\displaystyle \pi =\pi _{A}\pi _{B}}$ fulfills ${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$. Hence for any arbitrary point ${\displaystyle G}$ the image ${\displaystyle \pi (G)$$=\pi _{A}\pi _{B}(G)}$을(를) 구성할 수 있으며$$, 라인 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\pi (G}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{)}}$의${\$은(는) 비배열 이중 원뿔 섹션의 요소다$$. Because the points ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$ are contained in the lines ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ resp.,the points ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$ are points of the conic and the lines ${\displaystyle u,v}$ are tangents at ${\displa$$Ystyle U,V}$.

메모들

참조

• Coxeter, H. S. M. (1993), The Real Projective Plane, Springer Science & Business Media
• Hartmann, Erich, Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF), retrieved 20 September 2014 (PDF; 891 kB).
• Merserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, ISBN 0-486-63415-9