사분면체

수학에서 사분면 또는 사분면(높은 치수의 사분면)은 원뿔면(엘립스, 파라볼라, 하이퍼볼라)의 일반화다. a(D + 1)차원 공간에 있는 (D 치수 D의) 과외면이며, D + 1 변수에서 2도(원뿔 부분의 경우 D = 1)의 무적화 다항식 0 집합으로 정의된다. 정의 다항식이 절대적으로 해석할 수 없는 경우, 퇴행형 사분면 또는 환원형 사분면이라고 하는 경우가 많지만, 일반적으로 0 집합은 사분면으로 간주되지 않는다.

좌표 x₁, x₂, ..., x에서_D+1 일반 사분위는 따라서 대수 방정식으로^[1] 정의된다.

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{D+1}x_{d+1}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}{d+1}P_{i}x_{i}+R=0}$

벡터 및 행렬 표기로 다음과 같이 압축적으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle xQx^{\mathrm {T}+Px^{\mathrm {T}}+R=0\,}$

여기서 x = (x₁₂, x, ..., x)는_D+1 행 벡터, x는^T x(열 벡터)의 전치, Q는 (D + 1)× (D + 1) 행렬, P는 (D + 1)차원 행 벡터, R은 스칼라 상수다. Q, P, R 값은 종종 실수나 복잡한 숫자에 대해 취해지지만, 어떤 분야에서도 사분위가 정의될 수 있다.

사분위는 아핀 대수적 품종, 또는 환원 가능한 경우 아핀 대수적 집합이다. 사분위는 투영 공간에서도 정의될 수 있다. 아래의 § 투영 기하학을 참조한다.

유클리드 평면

유클리드 평면의 치수는 2이므로 유클리드 평면의 사분위는 1 치수를 가지므로 평면 곡선이 된다. 그것들은 원추형 또는 원추형이라고 불린다.

유클리드 공간

3차원 유클리드 공간에서 사분면은 차원 D = 2를 가지며, 사분면이라고 알려져 있다. 그것들은 부착된 변형 하에서 궤도로 분류되고 이름이 지어진다. 더 정확히 말하면, 만약 아핀 변환이 4중치를 다른 것에 매핑한다면, 그들은 같은 등급에 속하며, 같은 이름과 많은 속성을 공유한다.

주축 정리는 모든 (감소 가능한) 사분면에 대해 적절한 유클리드 변환 또는 데카르트 좌표 변경을 통해 사분면의 2차 방정식을 다음과 같은 정상적인 형태 중 하나에 넣을 수 있음을 보여준다.

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{1}{z^{2} \over c^{2}}+\barepsilon _{2} \2}=0,}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{3}=0}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{4}=0,}$

${\displaystyle z={x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon_{5}{y^{2} \over b^{2}},}$

여기서 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $_$${i}$는 값 0 또는 1만 사용하는$$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$_{$3}$을 제외하고 1, –1 또는 0이다$$.

이 17개의 정상 형태는^[2] 각각 부착 변형 아래의 단일 궤도에 해당한다. In three cases there are no real points: ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=1}$ (imaginary ellipsoid), ${\displaystyle \varepsilon _{1}=0,\varepsilon _{2}=1}$ (imaginary elliptic cylinder), and ${\displaystyle \varepsilon _{4}=1}$ (pair of complex conjugate 병렬 평면, 축소 가능한 사분면). 하나의 경우, 가상의 원뿔에는 하나의 점이 있다(${\displaystyle {}_{}1}$ = 1,${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$2 = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \varepsilon _{1}=1,\varepsilon _{2}=0}).$ $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{$2}=$0,}$ 1은$$ 선(사실상 두 개의 복잡한 결합 평면 교차)을 가지고 있다. $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \var렙실론 _{3}=0,}$의 경우 1은$$ 두 개의 교차 평면(축소 가능한 사분면)을 갖는다. $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=0,}$의 경우 1개가 이중 평면을 가지고 있다. $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \varepsilon _{4}=-1,}$의 경우 1은$$ 두 개의 평행 평면(축소 가능한 사분면)을 갖는다.

따라서 17개의 정상적인 형태 중 9개의 진정한 사분위가 있는데, 원추형, 3개의 원통형(흔히 퇴행형 사분체라고 불림)과 5개의 비퇴행형 사분체(엘립소이드, 파라볼로이드, 하이퍼볼로이드)가 다음 표에 자세히 설명되어 있다. 나머지 8개의 사분위는 상상의 타원체(실제점 없음), 상상의 원통(실제점 없음), 상상의 원뿔(실제점 없음), 환원 가능한 사분위(단일 실점), 두 개의 평면으로 분해된다; 평면의 구별 여부에 따라 그러한 분해된 사분위가 5개 있다.대문을 열다

표준 방정식의 매개변수 중 두 개 이상이 같을 때, 한 축(또는 구의 경우 무한히 많은 축)을 회전할 때 불변으로 남아 있는 4분의 1의 혁명을 얻는다.

정의 및 기본 속성

아핀 사분위는 도 2의 다항식의 0의 집합이다. 달리 명시되지 않은 경우, 다항식은 실제 계수를 가지도록 되어 있으며, 0은 유클리드 공간에 있는 점들이다. 그러나 대부분의 특성은 계수가 어떤 필드에 속하고 점이 부속 공간에 속할 때 참으로 남아 있다. 대수 기하학에서 보통 그렇듯이, 계수가 실제일 때 다항식 계수, 일반적으로 복합수를 포함하는 대수적으로 닫힌 장에 대한 점을 고려하는 것이 종종 유용하다.

많은 성질은 무한대에 점을 추가하는 것으로 구성되는 투영완성에 의해 사분면을 투영공간으로 확장함으로써 진술하기 쉬워진다(그리고 증명하기 쉽다). 엄밀히 말하면

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n}}}$

아핀 사분면을 정의하는 2급 다항식이다. 그러면 그 투영적 완성은 p를 로 균질화함으로써 정의된다.

${\displaystyle P(X_{0},\ldots,X_{n}}=X_{0}^{2}\,p\좌({\frac{X_{1}{0}}},\ldots,{\frac {X_{n}}}},{X_{0}}}\rig)}}}$

(p의 정도가 2이기 때문에 이것은 다항식이다.) 투사 완료 지점은 투사 좌표가 P의 0인 투사 공간의 점이다.

따라서, 투영 사분면은 2도의 동종 다항식의 투영 공간에 있는 0의 집합이다.

위의 동질화 과정은 X₀ = 1을 설정하여 되돌릴 수 있기 때문이다.

${\displaystyle p(x_{1},\ldots,x_{n}}=P(1,x_{1},\ldots,x_{n}\}).$

아핀 4중방과 그것의 투영적인 완성을 구분하지 않는 것이 종종 유용하며, 아핀 방정식 또는 4중방의 투영 방정식을 말하는 것이 유용하다. However, this is not a perfect equivalence; it is generally the case that ${\displaystyle P(\mathbf {X} )=0}$ will include points with ${\displaystyle X_{0}=0}$, which are not also solutions of ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$ because these points in projective space correspond to points 부속 공간의 "무한도"에서.

방정식

치수 n의 부속 공간에 있는 사분위는 도 2의 다항식 0의 집합이다. 즉, 좌표가 방정식을 만족하는 점들의 집합이다.

${\displaystyle p(x_{1},\ldots,x_{n}=0,}$

다항식 p가 형태를 갖는 곳

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i,0}+a_{0,i})x_{i}+a_{0,0}\,,}$

for a matrix ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ with ${\displaystyle i}$ and ${\displaystyle j}$ running from 0 to ${\displaystyle n}$. When the characteristic of the field of the coefficients is not two, generally ${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$ is assumed; equivalently $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {T\mathsf{}}^{}}$ ${\$ 계수 필드의 특성이 2인 경우 일반적으로 ${\displaystyle a_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a_{i,j}=0}$이$($) j ${\displaysty j<$i ; $동등$하게$$A {\$displaystystystystysty$}가 삼각형일 때 가정한다$$.

행렬 방정식으로 방정식을 단축할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}A\mathbf {x} =0\...}$

와 함께

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}\,.}$

투영완성의 방정식은 거의 동일하다.

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}A\mathbf {X} =0,}$

와 함께

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}}.}$

이러한 방정식은 차원 n의 공간에서 차원 n – 1과 도 2의 대수적 초대면으로서 사분면을 정의한다.

매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 변환 불가능한 경우 사분위는 소멸되지 않는다고 한다.

투영 사분면의 정상 형태

실베스터의 관성 법칙에 의해 실제 투사 공간에서는 비성 2차 형태 P(X)를 정상 형태로 넣을 수 있다.

${\displaystyle P(X)=\pm X_{0}^{2}\pm X_{1}^{1}^{2}\pm \cdots \pm X_{D+1}^{2}}}$

적절한 투영적 변환을 통해(단수 사분위에 대한 정규 형태는 계수로 ±1과 0을 가질 수 있다. 3차원 공간의 2차원 표면(차원 D = 2)의 경우, 정확하게 세 가지 비감속 사례가 있다.

${\displaystyle P(X)={\begin}X_{0}^{2}+X_{1}^{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}-X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\end{cases}}}$

첫 번째 경우는 빈 세트다.

두 번째 경우는 무한대의 선택된 평면이 빈 세트, 점 또는 비감산 원뿔에서 각각 사분면을 절단하는지에 따라 타원체, 타원형 파라볼로이드 또는 두 장의 하이퍼볼로이드를 생성한다. 이것들은 모두 양의 가우스 곡률을 가지고 있다.

세 번째 경우는 무한대의 평면이 각각 두 개의 선으로 자르는지, 또는 비생성 원뿔체로 자르는지에 따라 쌍곡선 포물선 또는 한 장의 하이퍼볼로이드를 생성한다. 이것들은 음의 가우스 곡률의 이중 지배 표면이다.

타락한 형태

${\displaystyle X_{0}^{2}-X_{1}^{2}-X_{2}^{2}=0.\,}$

무한대의 평면이 점, 선, 두 선 또는 비감발 원뿔에서 각각 절단하는지에 따라 타원형 실린더, 포물선 실린더, 쌍곡선 실린더 또는 원뿔을 생성한다. 이것들은 가우스 곡률 제로 단독 지배 표면이다.

우리는 투영적 변환이 가우스 곡선 형태의 다른 부호를 섞지 않는다는 것을 안다. 이것은 일반적인 표면에 적용된다.^[3]

복잡한 투영 공간에서 모든 비감소 사분위는 서로 구별할 수 없게 된다.

정수 및 합리적인 솔루션

Each solution of ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$ with ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a vector having rational components yields a vector ${\displaystyle \mathbf {X} \neq \mathbf {0} }$ with integer components that satisfies ${\displaystyle P(\mathbf {X} )=0}$; set ${\displaystyle \mathbf{X}=k(1}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle$ $\$$mathbf {X} =k(1,\mathbf {x}$)를$$ 곱하는 요인 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는) $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ \$mathbf {x}$의 성분의 모든 분모를 지우는 가장 작은 양의 정수입니다$.$

또한, 기본 행렬이 변위할 수 없는 경우, 합리적인 구성요소가 있는$$ y ${\$에 $대한$ p${\displaystyle }$( ${\displaystyle y\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(\mathbf {y} )=0}$에 대한 모든 솔루션을 사용하여 다음과 같이 합리적인 구성요소를 가진 다른 솔루션을 찾을 수 있다. Let ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {Y} +\lambda \mathbf {Z} }$ for some values of ${\displaystyle \mathbf {Y} \neq \mathbf {0} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Z} \neq \mathbf {0} }$, both with integer components, and value ${\displaystyle \lambda }$. Writing ${\displaystyle P(\mathbf{X})={}^{}}$${\displaystyle {\mathbf{X}}^{}}$ T ${\displaystyle X\mathbf{}}$ ${\$ 정수 성분이$$ 있는 비가수 대칭 $행렬{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle$A}에$$ 대해, 다음이 있다.

${\displaystyle P(\mathbf {X} )=\mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Y} +2\lambda \mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} +\lambda ^{2}\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} \,.}$

언제

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Y} &=0,\\\mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} &\neq 0,\\\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} &\neq 0\end{aligned}}}$

then the two solutions to ${\displaystyle P(\mathbf {X} )=0}$, when viewed as a quadratic equation in ${\displaystyle \lambda }$, will be ${\displaystyle \lambda =0,-(2\mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} )/(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} )}$, wh후자는 0이 아니고 합리적이다. In particular, if ${\displaystyle \mathbf {y} }$ is a solution of ${\displaystyle p(\mathbf {y} )=0}$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ is the corresponding non-zero solution of ${\displaystyle P(\mathbf {Y} )=0}$ then any ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ for which (1) ${\displaystyle \mathbf{Z}}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$ is not orthogonal to ${\displaystyle A\mathbf {Y} }$ and (2) ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} \neq 0}$ satisfies these three conditions and gives a non-zero rational value for ${\displaystyle \lambda }$.

In short, if one knows one solution ${\displaystyle \mathbf {y} }$ with rational components then one can find many integer solutions ${\displaystyle \mathbf {W} _{\mathbf {Z} }=(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {Z} )\mathbf {Y} -(2\mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}A\math$$bf {Z} )\mathbf {Z}$ $W$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$ $\$$mathbf {W} _{\$$mathbf {Z}}}$의 $선택$에 따라 달라진다$$$.$ 더욱이 프로세스는 되돌릴 수 있다! If both ${\displaystyle \mathbf {y} }$ satisfies ${\displaystyle p(\mathbf {y} )=0}$ and ${\displaystyle \mathbf {w} }$ satisfies ${\displaystyle p(\mathbf {w} )=0}$ then the choice of ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {W} -\mathbf {Y} }$ will necessarily produce ${\displaystyle {\mathbf{W}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$= ${\displaystyle W\mathbf{}}$ ${\$ 이 방법을 사용하면 피타고라스의 3배 또는 헤로니아 삼각형을 모두 생성할 수 있다.

필드 위에 투영 사분위수

실제 투사 공간에서 투사 사분면의 정의(위 참조)는 필드 위에 있는 n차원 투사 공간에서 투사 사분면을 정의하는 것을 공식적으로 채택할 수 있다. 좌표 처리를 생략하기 위해 일반적으로 투영적 사분위는 벡터 공간에 2차 형태로 정의된다.

이차형

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) 필드로 $하고$ V ${\displaystyle V$$}$을(를) 벡터 공간으로 K {\displaystyle K$}$을(를) 위에 두십시오$$$.$ V ${\displaystyle V}$에서 $K{\displaystyle }$ ${\displaysty$ K$}$로 매핑 $q {\$dapping $q}$

(Q1) ${\displaystyle \;q(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{2}q({\vec {x}})\;}$ for any ${\displaystyle \lambda \in K}$ and ${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$.

(Q2) ${\displaystyle \;f({\vec {x}},{\vec {y}}):=q({\vec {x}}+{\vec {y}})-q({\vec {x}})-q({\vec {y}})\;}$ is a bilinear form.

2차 형태라고 불린다. $이선형{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$은(는) 대칭이다.

In case of ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ the bilinear form is ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=2q({\vec {x}})}$, i.e. ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle q}$ are mutually determined in a unique way.
In case of ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ (that means: ${\displaystyle 1+1=0}$) the bilinear form has the property ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$, i.e. ${\displaystyle f}$ is symplectic.

For ${\displaystyle V=K^{n}\ }$ and ${\displaystyle \ {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad }$ (${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$ is a base of ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle q}$$$익숙한 형태를 가진$$$\displaystyle$\$q}$

${\displaystyle q({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}\ {\text{ with }}\ a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})\ {\text{ for }}\ i\ne$$q\ {\text{$및$}\ a_{ii}:=q({\vec{e}_$${i}\}$ 및

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{f\mathrm{}}}}$( ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle y\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\le }}}$ k ${\displaystyle a_{}}$ i ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$i ${\displaystyle {}_{}}$ + x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)$${\$displaystyle$ f$({\vec{x},{\vec {y}}=\sum _{1=i$=i$\leq$ k$}^{na}a_{k_{k}x_{k}y_${k}y_$\{$$k}.$

예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle n=3,\displaystyle q({\vec {x}=x_{1}x_{2}-{3}^{2},\bec {y}}}}=x_{1}y_{1}{1}y_{1}-{3x_{3}.};}.$

들판 위의 n차원 투사 공간

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) 필드$$, 2${\displaystyle 2}$ n ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ n$\in \mathb {N$

${\displaystyle {필드}_{}}$ $K{\displaystyle }$, ${\displaystyle K,}$ 위에 V n +${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ a$$ (n + 1)차원 벡터 공간

${\displaystyle ⟨}$ $x{\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$${\displaystyle \stackrel{}{}}$→$\{\displaystyle \langle{\vec}\$langle$}$ 0${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ →${\displaystyle \stackrel{}{}\in }$ ${\displaystyle V_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$

${\displaystyle P\stackrel{}{}}$= {${\displaystyle ⟨}$ x${\displaystyle \stackrel{}{}}$→$$ x →${\displaystyle \stackrel{}{}\in }$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \},}$ ${\$포인트 집합,

${\displaystyle \mathcal{G}}$= V ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$의${\displaystyle }${$$ $서브스페이스$, ${\displaystyle$ {\mathcal${G}=\{\\text{n2차원 서브스페이스 }$V_${n+1}\}$선 집합.

${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle K\mathcal{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( P${\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$) ${\$은 $K{\displaystyle }${\$displaystyle K}$ 위에 놓인 n차원 투영 공간이다$.$

$V{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle n_{}}$+${\displaystyle 1}$($$ + 1 ) {\displaystyle $(k+1)}$ -차원$$ 부공간인 V n + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$에 포함된 점 집합은$$ ${\displaystyle P_{}}$n ( K ) {\$displaystyle P_{n}(K)}$의 k$${\$displaystystystyle k}$차원$$ 아공간이다$.$

> ${\$ a${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (n-1)$-차원$$ 아공간을 하이퍼플레인이라고 한다.

투영 사분면체

For a quadratic form ${\displaystyle q}$ on a vector space ${\displaystyle V_{n+1}}$ a point ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$ is called singular if ${\displaystyle q({\vec {x}})=0}$. The set

${\displaystyle {\mathcal {{Q}=\\langle {\vec}\x}\angle \in {\mathcal {P}\mid q({\vec {x}})=0\}}}$

$Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 단수 포인트를 4중이라고 한다(이중$$ 형식 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 대한).$$

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle P_{2}(K)}$의 예:$$
(E1): ${\displaystyle {}_{}(x\stackrel{}{}\stackrel{}{\to }}$ )${\displaystyle }$= x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ - ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle$\;$q({\vec{x}}}=x_{$1}$x_{2}-x_{3}^{2}\}$ 원뿔을 얻는다$$.
(${\displaystyle E2\stackrel{}{}}$) ${\displaystyle q(}$x${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ $displaystyle \;q({\vec{x}})=x_{1}x_{2}\;}$의 경우 x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{1}=$${\displaystyle 0}$$},$ $x$ 2${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystystyle x_{2}=0},$. 그들은 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle (0,}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \langle (0,0,1)^{\text{$$T}\rangele }$;

아래 고려사항에 대해서는 $Q{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}\neq \emptyset }$로 가정한다$.$

극공간

포인트 $P{\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle p\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle P\mathcal{}}$ ${\${\$mathcal {P}}$의 경우 세트$$

${\displaystyle P^{\perp }=\{\langle {\vec}}\angle \in {\mathcal {P}\mid f({\vec {p},{\vec}}}}=0\}}}}}}}$

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 극공간이라고$$한다(q {\displaystyle $q}$에 대한).$$$$

${\displaystyle \mathrm{f}(p\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\$ $임의$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$x →$${\$displaystyle{\vec{x$에 $대해$ P ${\displaystyle {\perp }^{}}$= ${\displaystyle P\mathcal{}}$ ${\$을 얻는다$.$

If ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})\neq 0\;}$ for at least one ${\displaystyle {\vec {x}}}$, the equation ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$is a non trivial linear equation which defines a hyperplane. 그러므로

$⊥{\$은(는) 하이퍼플레인 또는 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이다$.$

선과 교차점

4중 $Q{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$와 선의 교차점에 대해 익숙한$$ 문구는 참이다.

임의 라인 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 경우 다음과$$ 같은 경우가 발생한다.

a) $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle Q}$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\$ g ${\displaystyle g}$을(를) 외부 라인 또는

b) $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle Q\mathcal{}}$ $displaystyle g\subset {\mathcal {Q}\;}$ 및$$ g ${\displaystyle g}$을(를) 접선 또는

${\displaystyle b\mathcal{}}$′) ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \cap }$ Q${\displaystyle }$= 1 ${\$= $1\;},$ g ${\displaystyle g}$을(를) 접선 또는

c) ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle Q\mathcal{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\$ g ${\displaystyle g}$을(를) secant line이라 한다.

증명:$$${\displaystyle U}$=${\displaystyle u\stackrel{}{}}$ →$$ $displaystyle$ $g}$을(를) $Q{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과(와) 교차하는 선으로$$ 한다$.$$U=\langle {\$$vec$${u}}\rangele \}$과(${\displaystyle 와}$) V ${\displaystyle =\stackrel{}{\to }}$ v → ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$ → $⟩$ {\$displaystyle$\;$V$$=\langle {\v$}\vc$}\rangele \}$는$$g {\$displaysty$ $g}$의 두 번째 지점이다$.$ q(u → ) = 0 = $0$$}$
${\displaystyle q(x{\vec{u}+{\vec{v}})=q(x{\vec {u}}+f(x{\vec {u},{\vc{v}})+f(x{\vec}}=q({\vc{v}}}}}}+vec{vec};;}$
I) In case of ${\displaystyle g\subset U^{\perp }}$ the equation ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})=0}$ holds and it is ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})\;}$ for any ${\displaystyle x\in K}$. Hence either ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=0\;}$ for any${\displaystyle x\in K}$ or ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})\neq 0\;}$ for any${\displaystyle x\in K}$, which proves b) and b').
II) In case of ${\displaystyle g\not \subset U^{\perp }}$ one gets ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})\neq 0}$ and the equation ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec$${u},{\vec{v}=0\;}$은(는) $정확히{\displaystyle }$ 하나의$$솔루션 x {\$displaystyle x}$을(를) 가지고$$ 있으므로$:$${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \{}$Q = 2 {\${\displaystyle displaystyle\mathcal{}}$ $g\cap${\$mathcal{Q}$ =$2$ c를 입증한다.

추가로 그 증거는 다음을 보여준다.

점 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Q\mathcal{}}$ ${\$을(를) 통과하는$$ $선{\displaystyle }$ g${\displaystyle$ $g^{\perp$ })는$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\perp }^{}}$ ${\$ $\}\}$일 경우에만 접선이다.

f-11, q-11

고전적인 사례에서 $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ K$=\mathb {R}$ $또는$ C ${\$는) ${\displaystyle \mathrm{char}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaysty \operatorname {char}$ K$\$$neq 2$$$$}$ $및$ $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyty$ q}이($으)$로 인해 급진적인 하나만 존재한다$$. ${\displaystyle \mathrm{char}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{K}}$= 2 ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$의 경우 $4중$ Q ${\$은($위$의 참조)$$ f ${\displaystyf f}$에 의해 결정되지 않으므로$$ 다음 두 개의 활성도를 처리해야 한다.

a) $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\perp }^{}}$= ${\displaystyle P\mathcal{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle {\R}:=\{P\in {\mathcal}\mid P^{\perp }={\mathcal${P$}\}}}}}}}}}}$은 투영적인 아공간이다$$. ${\displaystyle \mathcal{R}}$ ${\$을(를) 4중 $Q{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 f-라디칼이라고 한다$$$.$

b) $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\displaystyle \cap }$ Q ${\$은(는) Q ${\$$displaystyle q}$ -radical$$ of $Q{\displaystyle }$ {\$displaystystylease {\\\mathcal{Q}$라고 한다$$$.$

c) ${\displaystyle \mathrm{char}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$의 $경우{\displaystyle \mathcal{}}$ R${\displaystyle }$= ${\displaystyle S\mathcal{}}$ ${\$가 있다$.$

$S{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle {\mathcal{S}=\emptyset }$인 경우 사분면체라고 한다$.$

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle P_{2}(K)}$의 예($$위 참조):
(E1): For ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$ (conic) the bilinear form is ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.$$}$
${\displaystyle \mathrm{char}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2$}의 경우$$ 극공간은 $절대{\displaystyle \mathcal{}}$ P ${\${\\$mathcal${$P}$이(가) 아니다$.$ 따라서 $R{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle S\mathcal{}}$ =${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystystyle {\\R}={\mathcal}}={S}}}}=\mathcalmet$ $\}\}\}.$
In case of ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ the bilinear form is reduced to ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ and ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{$$T}}\rangele \notin{\mathcal{Q$ 따라서 ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\displaystyle \ne }$ S${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal{R}\neq{\mathcal{S}=\emptysset \}}$이 경우$$ f-라디칼은 모든 접선의 공통점, 이른바 매듭이다.
두 경우 모두 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle$ S$=\emptyset }$과(원뿔) 사면이 비감소되지 않는다.
(E2): For ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ (pair of lines) the bilinear form is ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ and ${\displaystyle {\mathca$$l {R}=\langle(0,0,1)^{\text{$$T}\rangele ={\mathcal{S}\,}$ 교차점$$.
이 예에서는 사면이 퇴화된다.

대칭

사분위는 다소 동질적인 물체다.

For any point ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}\;}$ there exists an involutorial central collineation ${\displaystyle \sigma _{P}}$ with center ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle \sigma _{P}({\mathcal {Q}})={\mathcal {Q}}}$.

교정: $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \notin }$ Q ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\$ 극공간 $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\perp }^{}}$ ${\$ P$^{\perp}}}}$는 하이퍼플레인이다$$.

선형 매핑

${\displaystyle \varphi :{\vec{x}}\오른쪽 화살표 {\vec}-{\frac {f({\vec {p},{\vec {p}}}{q\\vec {p}}}{\vec {p}}}}}{\vec {p}}}}}}}}}}}}$

축 $⊥{\$ P$^{\perp }}$과(와$$) $중심{\displaystyle \mathcal{}}$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$P}이(가) 있는 비자발적인 중심 결합 ${\displaystyle$ P$}$을(를) 유도하여 Q ${\displaystystyle$ {$Q}}}}$ 불변성을$$ 남긴다.
In case of ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ mapping ${\displaystyle \varphi }$ gets the familiar shape${\displaystyle \;\varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-2{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{$$f({\vec {p}},{\vec {p}})}}{\vec {p}}\;}$ with ${\displaystyle \;\varphi ({\vec {p}})=-{\vec {p}}}$ and ${\displaystyle \;\varphi ({\vec {x}})={\vec {x}}\;}$ for any ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in P^{\perp }}$.

비고:

a) 외부 라인, 접선 라인 또는 세컨트 라인은 각각 외부, 접선 및 세컨트 라인의$$ 비자발 ${\displaystyle {ution}_{}}$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 의해 매핑된다.

b) $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle p_{}}$ P$${\$displaystyle \sigma _{P}$에 의해 포인트 고정된다$.$

q-subspace 및 4분위수 색인

${\displaystyle U\mathcal{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle Q\mathcal{}}$ $displaystyle$ $\;{\$$mathcal$${U}\};$P $K){\displaystyle$ $P_$${n$$}}}$의 ${\displaystyle 하위\mathcal{}}$ 공간 U ${\displaystyle$ $\;{\mathcal {U}\subset {Q};};}$을()라고 $한다{\displaystyle }$.

예를 들어, 하이퍼볼로이드(아래)의 구 또는 선의 점.

두 개의 최대 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -하위 공간은$$ 동일한 $치수{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$을(를) 갖는다$.$^[5]

$그런{\displaystyle }$ 다음$$ $최대{\displaystyle \mathcal{}}$$$Q {\$displaystyle$ q$}$ -$$Q {\$displaystyle${\$mathcal${Q}의 하위 공간의$$ 치수를$$m {\$displaystyle m$$}$으로 설정하십시오.

정수 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle m}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\$을(를) $Q{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 인덱스라고 한다$$$.$

정리: (BUEKENHOUT)^[6]

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ (${\displaystyle {}_{}K}$) ${\displaystyle P_{n}(K)}$에 있는 비감속 $4중{\displaystyle \mathcal{}}$ Q$${\$displaystyle${\$mathcal {Q}}$의 색인 $i{\displaystyle }$ ${\displaystystyle i}$에 대해서는 다음이$$ 참이다.

${\displaystyle i\le n\frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$.

$Q$ ${\$${\displaystyle Q}$$}}$ P ${\displaystyle n_{},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle P_{n}(K),$ $n{\displaystyle }$$\geq$ $2$$}$및 i ${\displaystyle$ i$}$ 인덱스로$$ 하자.

$i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ i$=1}$사방$$ $Q{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 경우 구체(또는 $n{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyn=2$}인 경우 타원형 원뿔)라고 한다$$.$$

$i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle i=2}$사분면$$ $Q{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 경우 (한 장의) 하이퍼볼로이드라고 한다$$.

예:

a) Quadric ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ in ${\displaystyle P_{2}(K)}$ with form ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$ is non-degenerate with index 1.

b) 다항식 ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle \xi }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+a_{0$인 경우$}\xi +b_{0$$}\;}$은(는) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$에 대해$$ 2차 형식 ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}({}_{}^{}\stackrel{}{\to }}$ )${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{\mathrm{}}_{}^{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 4 $displaysty \;q({\vec{x}}})=x_{0}^{0}x_{0}$x_${2+}b_{0$}v_{0}v_{0}v_{0}v_{0}b_{0}v_{0}b_{0}v_{0}v_{0}v_{0}v_$}x_{2}^{2}-x_{3}x_{4}\;}$은(는) 색인 1의$$ P ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle P_{3}(K)}$에 비분할 4중 $Q{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를 발생시킨다$$. 예를 들어, ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle \xi }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 1 ${\$\;$p(\xi )=\xi$^{2$}+1\;}$은(는) $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$그러나 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 복구할 수 없다$$.$$$$

c) ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ $3{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle P_{3}(K)}$에서 2차 형식 ${\displaystyle Q(x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ $displaysty \;q({\vec{x}}})=x_{1}x_{2}+x_{$3_{$3$}$}x_{4}\;}$이(가) 하이퍼볼로이드를 생성함$$

사분면의 일반화: 이차 집합

정품 꼬치장(분할 고리)을 넘어 공간에 사분면의 정의를 공식적으로 확장하는 것은 합리적이지 않다. 왜냐하면 보통 사분위와는 전혀 다른 사분위수를 2개 이상 붙일 수 있기 때문이다.^[7][8][9] 그 이유는 다음과 같다.

디비전 $링{\displaystyle }$ K$${\$displaystyle$K}은(는) 어떤 $방정식{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle a}$x +${\displaystyle b}$ =${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \text{a}}$, ${\displaystyle bk}$ K$${\$displaystyle$ x$^{2}+ax+b=0,\in$ K$}$이(가$)$ 최대 두 개의 솔루션을 갖는 경우에만 대응적이다.

4차원의 일반화가 있다: 2차적 집합.^[10] 2차 집합은 4차원과 동일한 기하학적 특성을 가진 투영 공간의 점 집합이다. 모든 선은 2차 집합을 교차하거나 집합에 포함된다.

참고 항목

• 클라인 쿼드릭
• 축 회전
• 초정량학
• 축 변환

참조

참고 문헌 목록

• 오딘: 지오메트리, 스프링거, 2002년 베를린, ISBN 978-3-540-43498-6, 페이지 200.
• M. Berger: 수학 문제집, ISSN 0941-3502, Springer New York, 페이지 79–84.
• A. Beutelspacher, U. Rosenbaum: Projektive Geometrie, Vieweg + Teubner, Brounschweig u. a. 1992년 ISBN 3-528-07241-5, 페이지 159.
• P. 뎀보스키: 유한 기하학, 스프링거, 1968, ISBN 978-3-540-61786-0, 페이지 43.
• Iskovskikh, V.A. (2001) [1994], "Quadric", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Quadric". MathWorld.

외부 링크

• 모든 4중 표면의 대화형 Java 3D 모델
• 강의 노트 Planar Circle 기하학, Moebius, Laguerre 및 Minkowski Planes 소개, 페이지 117